圆锥曲线轨迹全归纳（13题型提分练）解析版-2025年高考数学

同锥曲线轨迹全归纳(13题型提分练)

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M目录

题型一：定义法：圆型............................................................................1

题型二：椭圆定义型..............................................................................3

题型三：双曲线定义型............................................................................6

题型四：抛物线定义型...........................................................................10

题型五：直接设点型.............................................................................13

题型六：相关点代入法...........................................................................16

题型七：交轨法.................................................................................18

题型八：参数消参法.............................................................................22

题型九：空间型：坐标法.........................................................................25

题型十：空间型：截面型曲线轨迹.................................................................29

题型十一：空间型：双球圆锥型...................................................................34

题型十二：立体几何定角型.......................................................................38

题型十三：复数中的轨迹.........................................................................42

英突围・檐:住蝗分

题型一：定义法：圆型

指I点I迷I津

如果动点P的运动规律合乎我们已知的某种曲线(如圆、椭圆、双曲线、抛物线)的定义，可直接写出所求

的动点的轨迹方程，这种方法叫做定义法.

平面内到一定点的距离等于定长的点的轨迹是圆，定点为圆心，定长为圆的半径.

(1)若直线含参，参数在x系数出，则不包含竖直，如y=k(x-1)+1,不含想x=1

(2)若直线含参，参数在y的系数出，则不含水平，如x+m(y-1)+2=0,不含y=1

(3)若直线参数在常数位置，则为一系列平行线，如x+y+c=0与y=-x平行

1.(22-23高三,四川绵阳•阶段练习)已知加eR,若过定点4的动直线4：工-〃9+加-2=0和过定点8的动

直线4：y-4=-机(x+2)交于点/>(尸与/,B不重合)，则错误的是()

A./点的坐标为(2,1)B.点尸的轨迹方程/+/-5^=0

C.PA2+PB2=25D.2尸4+尸3的最大值为5”

【答案】B

【分析】求出直线恒过的定点可判断A,由已知可得两条直线互相垂直，由此可验证B、C,由已知可得以，尸8,

设2PAB=9,进而求出2P/+P5的最大值，即可判断D.

【详解】由动直线4：x-w+加-2=。，得x-2+加(1-田=0,所以定点幺(2,1),故A正确；

由动直线4：V-4=TW(X+2),可得8(-2,4),

由4:x—my+m-2=0和4：mx+y-4+2m=0,满足lx加+=0

所以/]，4，可得P4LPB,

所以|尸2「+|依「=|/砰=(2+2)2+(1-如=25,故C正确；

设尸则(x_2『+(y_l)2+(x+2)2+(y_4『=25,

即点尸的轨迹方程为/+/-5夕=0,而尸与N,B不重合，则xw±2,故B错误；

因为上4_1_尸3,设/尸48=0,。为锐角，贝l||P旬=5cos6,|P8|=5sin6,

所以2173d+=5(2cos夕+sin。)=5j^sin(d+p),

所以当sin(e+e)=l时，2|尸”|+|尸邳取最大值5石，故D正确.

故选：B.

2.(2022高三•全国•专题练习)设"，©R,过定点A的动直线x+即+加=0和过定点8的动直线蛆-/-%+2=0

交于点P(XJ),贝力PN|+|P8|的取值范围是()

A.[百2向B.[V10,2V5]C.[V10,4V5]D.[2后4向

【答案】B

【分析】先由两直线方程求出48的坐标，由于两直线垂直，所以|尸/『+|尸8「=|/3「=10,若设

NABP=。,贝IJ|P4|=&3sin8,|%|=而cosS,然后表示出I尸山+I尸3|变形后，利用三角函数的性质可求得

其范围.

【详解】解：由题意可知，动直线X+叩+"7=0经过定点/(0,-1),

动直线机X-〉-加+2=0,即机(x-l)-y+2=0,经过点定点8(1,2),

动直线x+my+m=0和动直线mx-y-m+2=0的斜率之积为-1,始终垂直，

/>又是两条直线的交点，；.尸/_1尸2，.」川，+|28「=|/3|2=10.设/48/=〃，则|P4|=&3sine,

\PB\=y/\0cos0,

由|尸川》0且|尸,可得8e[0,^]:\PA\+\PB^Vw(sin0+cos0)=275sin(6>+(9e[0,。，

~e[―-,--],sin(0+—)6[-^-,1],2^5sin(0+—)s[V10,,故选：B.

444424」

【点睛】关键点点睛：此题考查直线过定点问题，考查两直线的位置关系，考查三角函数的应用，解题的

关键是由已知得到|尸4「+|尸8「=I。，通过三角换元转化为利用三角函数的性质求|尸川+|P5|的取

值范围，考查数学转化思想，属于较难题.

(必

3.(24-25高三・福建厦门•阶段练习)已知0(0,0),00，T,直线/1：丘-7+2斤+3=0,直线

I2)

4：x+@+3左+2=0,若尸为4,4的交点，贝|3|尸。|+2|尸@的最小值为()

A.3>/3B.6—3^2C.9—3>/2D.3+V^

【答案】A

【分析】利用直线过定点及两直线位置关系先确定P的轨迹，取点构造相似结合三角形三边关系计算即可.

【详解】因为直线4：丘一>+2无+3=0,直线4：x+@+3左+2=0,易知/]_L4，

且/"2分别过定点/(-2,3),8(-2,-3),取其中点C(—2,0),易知

则P点在以C为圆心，3为半径的圆上，取点噌,。],连接PE,QE,QP,

则3|PO|+2\PQ\^2(\PE\+\PQ\)>2\QE\=2^QO2+OE2=373,

当且仅当P、。、E三点共线，且尸与线段0E和圆C的交点重合时取得等号.

故选：A.

4.(22-23高三•福建莆田•阶段练习)已知meR,若过定点力的动直线4：x-邛y+机-2=0和过定点8的动

直线/2：歹-4=-切(》+2)交于点尸(P与N,8不重合)，则下列结论中正确的是()

A./点的坐标为(2,1)B.点P的轨迹方程/+/-5^=0

C.P^+PB2=25D.2P/+P8的最大值为50

【答案】ACD

【分析】根据定点判断方法、直线垂直关系、勾股定理、三角函数辅助角求最值即可得解.

【详解】对于选项A：

I、：x-my+加一2=0可以转化为m(l-y)+x-2=0,

故直线恒过定点/(2,1),故该选项正确；

对于选项C：4：V-4=-%(X+2)恒过定点2(—2,4),由4：x—即+加一2=0和4：机x+y—4+2机=0,满

Q

足lx〃z+(-加)x1=0,所以/,1/2,可得PALPB,所以|尸/「+归5『=|48『=+2)2+(>4)2=25,故

C正确；

对于选项B：设P(x,y),贝I](x-2)2+-1)2+(x+2)2+(y-4)2=25,

即点P的轨迹方程为X2+/-57=0,而P与48不重合，则挖去48两点故B错误；

对于选项D：

因为PAA.PB,设ZPAB=0,6为锐角，贝WP/|=5cose,|P8|=5sine,

所以2\P^\+\PB\=5(2cos6+sin0)=5V5sin(0+(p),所以当sin(6+°)=l时,2陷|+网取最大值5底

故D正确.

故选：ACD.

5.(22-23高三,新疆乌鲁木齐•阶段练习)设aeR,过定点/的动直线x+叼+1=0和过定点B的动直线

ZMX--2机+3=0交于点P(x,y),则尸点的轨迹方程是

【分析】根据两直线的方程可求得定点/、8的坐标，以及两直线垂直，进而可得P点的轨迹是以为直

径的圆，即得.

【详解】由x+叼+1=0可知叼=-x-l,所以该直线过定点

由利》:->一2%+3=0可得加(^-2)=y一3,所以该直线过定点8(2,3),因为lx机-加xl=0,

所以直线x+叼+1=0与加x-y-2m+3=0垂直，所以上4_|_尸3,即P点的轨迹是以48为直径的圆,

所以尸点的轨迹方程是上—二+^-|J=㈠-:丫,即1X_1J+^-|J=|.

题型二：椭圆定义型

指I点I迷I津

平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆

的点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距

L（20-21高三・浙江金华•模拟）如图，/尸。0=60。，等边△ABC的边长为2,M为2C中点，G为4ABC

的重心，B,C分别在射线。尸，上运动，记M的轨迹为G，G的轨迹为。2，则（）

A.q为部分圆，G为部分椭圆B.q为部分圆，G为线段

c.G为部分椭圆，G为线段D.G为部分椭圆，G也为部分椭圆

【答案】C

【分析】建系如图，由两点间距离公式结合中点坐标公式可得点M的轨迹方程，由此得G为部分椭圆；过

点A作与y轴垂直的直线分别交。尸于点E,交。。于点尸，得等边AOM,由平面几何可得G是等边AOEF

的外心,由此可得点G的轨迹为y轴在曲线£内的一段线段.

【详解】以。为原点，以NP。。的角平分线为了轴建立平面直角坐标系如图所示.

依题意得直线OQ的方程为y=瓜,直线。尸的方程为V=-屈.

设点可友-岛),C(c,V3c),由忸C|=2得e—c)2+30+c)2=4(*),

X=b+c=2x

设点〃[x,y)因为M是5C的中点，所以,即《

b-c=

-C)耳

42_,

将其代入（*）得77^+12x2=4,即可+了一1,故M的轨迹G为椭圆在NP。。内部的部分.

3

3

过点A作与V轴垂直的直线分别交OP于点E,交。。于点尸，贝卜。£尸显然也是等边三角形.

下面证明等边△4BC的重心G即等边△。环的外心.

设2OCB=a,贝1」/。8。=120°-。=//。/，又NBOC=NCE4=60。,S.BC=AC,所以AOBC三

因此OC=4F.

在AOGC和AFG/中，ZOCG=0+30°=ZFAG,又GA=GC,所以AOGCMA尸G/,则OG=FG,同理可

证OG=EG,即点G是等边AOEF的外心，所以，点G在了轴上移动，故点G的轨迹G为了轴在曲线G内

【点睛】关键点点睛：建立适当的坐标系是解决本题的关键.

2.(2024•浙江绍兴•模拟预测)单位向量向量］满足卜+0=］。巧+2,若存在两个均满足此条件的向量

4也，使得4+-共仇+可，设Z，4也在起点为原点时，终点分别为4瓦,%则s△阳％的最大值()

A.2GB.V3C.4D.2

【答案】B

【分析】设3=(L0),b=(x,y),整理得1+；=1,可知点片,与在椭圆上，设与关于点。的对称点为

B3,分析可知4综层三点共线，结合椭圆性质分析求解.

【详解】由题意不妨设7=(1,0),b=(x,y),则N+B=(X+1J),

因为5+,=Z+2,则J(x+1)+/=［X+2,整理得3+?=1,

可知向量g的终点2的轨迹为椭圆，且/。,0)为椭圆的右焦点，

可知点昂不在椭圆上，设为关于点。的对称点为员，因为瓦+£=川区+4,则6=(4-1)/+而，

可得西=(1T)西+几力，由(1-几)+4=1可知4"自三点共线，

设4(项,必)，因为。为线段与区的中点，则邑侔,=2%明=2x1|O^|.|y1|=|y||<V3,

当且仅当片为短轴顶点时，等号成立，所以S△叫Bz的最大值为百•故选：B.

【点睛】关键点点睛：本题的关键点有两点：

1.设3=(1,0),b=(x,y),求得向量否的终点8的轨迹为椭圆；

2.设为关于点O的对称点为耳,可知4片,与三点共线.

3.(23-24高三上•上海•模拟)设圆Q和圆Q是两个定圆，动圆P与这两个定圆都相切，则动圆P的圆心的

轨迹不可能是()

A.B.

D.

【分析】按动圆尸与圆a、圆&内切、外切情况分类，结合椭圆、双曲线定义确定轨迹的可能情况即得.

【详解】设动圆尸的半径为「，圆。和圆a的半径分别是耳,々,

①当。=々，且两圆外离时，

尸+八二OXPr-rx-\OXP

若圆尸与圆a、圆a都外切或都内切，则有或，

r-r=\OP'

r+r2=02P22

于是|QP|=|。2尸|,此时点P的轨迹是线段002的中垂线;

r-rx=OXP\+rx=OxP\

若圆尸与圆a、圆a一个外切一个内切，则有或*

OP

r+r2=O2P\rf=2\'

于是||。尸|-|。2尸||=1+々，此时点尸的轨迹是双曲线,

因此此时点P的轨迹是一条直线和一个双曲线，B可能;

②当4片々，且两圆内含时（不妨设。＞々），\op2\＜rx-r2＜rx+r2,

rx—r=OXP\

若圆尸与圆Q、圆a都内切，则有＜,即有|。0+|。2尸卜上弓，此时尸点轨迹为椭圆;

r-r2=02Pl

rx-r=OXP\

若圆尸与圆a内切、与圆。2外切时，则有＜,即有|。0+|。2尸|=/+2,此时尸点轨迹为椭圆;

r+r2=O2P\

因此尸点轨迹为两个椭圆，c可能;

③当两圆4片々且两圆外离时（不妨设外＞々），\op2\＞rx+r2＞rx-r2,

r+r1=OXP\r

若圆尸与圆a、圆a都外切或都内切，则有＜或«-L

r+r2=O2P\r-r2=\O2P\'

有||。产巾。2尸||=广4,尸点轨迹为双曲线;

r

r-rx-OXP\+i=01Pl

若圆尸与圆。、圆a一个外切一个内切，则有或«

rOP

r+r2=O2P\~i=2\'

有心尸|-||。2尸卜4+々，尸点轨迹为双曲线,

因此尸点轨迹为两个双曲线，D可能;

而两个圆相交或相外切时，尸点轨迹是被直线。02分成的不连续的两段图形，轨迹不可能是完整的椭圆

两圆内切时，尸点轨迹是直线。。2被其中较大的圆分成的在该圆外部的两条射线（不含端点），A不可能.

故选:A

【点睛】关键点睛：涉及轨迹形状的判断问题，利用基本轨迹定理、椭圆、双曲线及抛物线定义是求解问

题的关键.

4.（23-24高三・陕西榆林•模拟）已知点N（2,0）,动点/在圆环（x+2『+/=64上运动，线段/N的垂直

平分线交于尸点，则尸的轨迹方程为；若动点0在圆（x++/=1上运动,则的最大值为.

【答案】—+^=16

1612

【分析】由题意得出尸4=7W,得到点尸满足|PM|+|PN|=8>4,根据椭圆的定义，求得点P表示",N为

焦点的椭圆，即可求解.

将求|尸。|最大值的问题，转化为求点尸到圆心C（T,O）距离最大值的问题，结合点尸满足椭圆方程，转化为

二次函数求给定区间的最大值即可.

【详解】由题意，圆（尤+2）2+/=64的圆心为“（-2,0）,点N（2,0）,线段4N的垂直平分线交于点P,

所以尸是0V的垂直平分线上的一点，所以照|=忸叫，又由以叫=8,所以点尸满足归必+|尸叫=8>4,

根据椭圆的定义，可得点尸表示为焦点的椭圆，其中2a=8,2c=4,

22

可得a=4,c=2,所以6=k7=12,所以椭圆的方程为土+匕=1.

1612

22q

・•,圆C的方程为（x+l）2+/=l，..・圆心C（TO）,半径r=l,设P（x,y）,则L+L=1,丁=12-

16124

P到圆心C的距离|PC|=J（x+iy+y2=^（X+1）2+12-|X2=^（x+4）2+9,

又xe[-4,4].•.当工=4时，|PC|取得最大值5,，忸。|的最大值为：1Pql1ax+r=5+1=6,

22

故答案为：上+匕=1,

1612

题型三：双曲线定义型

指I点I迷I津

平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于常数（小于|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线.这两个定

点做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.

1.（22-23高三・江西•阶段练习）已知点/（0,20）,川2亚,0）,点尸为圆x?+/_5&x+&y+12=0上一

点，则|尸/|一|尸理的最小值为《）

4#)

A.2B.4rD,正

55

【答案】D

【分析】4,3为两个定点，问题可转化为以a2为焦点的双曲线与圆有交点，由此求|以|-|尸耳的最小值.

\2\2

(5行(6

【详解】圆C：一+必-5岳+缶+12=0,化成标准方程为X----+----yd----=1，圆心

2JI2J

，5加封

半径为1.点/(0,2后)，8(2后,0),如图所示:

由的"砧=T，所以aB,C三点共线,有|AB|=4,忸C|=l.

问题可以转化为：已知点，(-2,0),8(2,0),点尸为圆C:(X-3)2+/=1上一点，求阳1TpM的最小值，

如图所示：

设|/M|-|P5|=2a(a>0),则点夕轨迹为以N,B为焦点的双曲线的右支,

22

双曲线方程为三-一J=l，由点P在圆C:(x-3)2+y2=l上，所以双曲线与圆有交点,

a4—a

(22

=1

由4-a2,消去了，得4x?-6。\+(/+4/=0,

(X-3)2+/=1

△=(一6叫2-16(/+4/)=20/-64/>0,解得a2餐,

则\PA\~\PB\=2。2竽，所以网H尸邳的最小值W-

故选：D

【点睛】L求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法.具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标

准方程的形式，然后再根据a,b,c,e及渐近线之间的关系，求出a,6的值.

2.解答曲线与曲线相交的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或必建立一元二次方程，然后借助

根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系，要强化联立得出一元二次方程后的运算能

力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题.

2.（21-22高三•江苏南通•阶段练习）在矩形AB2W中，4/=8,AB=6,把边48分成〃等份，在笈8的

延长线上，以82的〃分之一为单位长度连续取点.过边N8上各分点和点4作直线，过82延长线上的对应

分点和点/作直线，这两条直线的交点为尸，如图建立平面直角坐标系，则点尸满足的方程可能是（）

22

B.

6436v7

丫2v222

C.---------=l(x>4,y>0)D.————=l(x>8,j/>0)

169V76436v7

【答案】C

【分析】设尸（％Jo）,结合题意找出％与为的关系式，即可求解.

【详解】设尸（%,%）,则与24,为20,根据题意，易得直线//7）：y=tI（x+4）,直线

由%：V="h（x+4），令x=4,得了=&\,因此边上各分点坐标为4,生，

由的：＞=』7（X-4）,令y=6,得X=6（X「4）+4,因此延长线上的对应分点坐标为

x4

o-y0

a一日+4力,

I%）

6（%―4）8-022

结合题意，可知F—Z74,化简得丛-为=1.

——=-2——169

86

因此点尸满足的方程为：工-匕=1（x24,y20）.

故选：C.

3.（2018高三上,全国,专题练习）已知定点不（-2,0）,F2（2,0）,N是圆。：上任意一■点，点片关

于点N的对称点为M,线段耳河的中垂线与直线G“相交于点尸，则点尸的轨迹是

A.直线B.圆

C.椭圆D.双曲线

【答案】D

【分析】由N是圆上任意—点，可得cw=l,结合已知，由垂直平分线的性质可得产川=郎,

从而可得|叫-PF\=\PF2-PM\=MF2=20N=2为定值，由双曲线的定义可得点P的轨迹是以耳骂为焦点

的双曲线.

【详解】因为N为邛/中点，。为片名中点，所以优M=2|ON|=2,

因为P在线段的中垂线上，所以I因HPM，因此归耳卜下修=周期=2|。川=2,即点尸的轨迹是双曲

线，故选D.

【点睛】本题主要考查定义法求轨迹方程、双曲线定义的应用，属于难题.求轨迹方程的常见方法有:①直接

法，设出动点的坐标（xj）,根据题意列出关于XJ的等式即可；②定义法，根据题意动点符合已知曲线的

定义，直接求出方程；③参数法，把xj分别用第三个变量表示，消去参数即可；④逆代法，将

代入/（%，%）=0.

4.（20-21高三•湖北武汉•模拟）在平面直角坐标系xQy中，动点P与两个定点可卜人,0）和玛（石,0）连线的

斜率之积等于g,记点尸的轨迹为曲线E,直线/：V=Mx-2）与£交于A,8两点，贝U（）

A.£的方程为了-r=1B.E的离心率为百

C.E的渐近线与圆（x-2）2+/=l相切D.满足|/同=2月的直线/有2条

【答案】CD

V12

【解析】由已知结合斜率的两点式有・不V用=],即可得E的方程x为=l,xw±L6,进而可求£

的离心率，利用圆心到E的渐近线距离判断圆与E的渐近线的位置关系，联立直线/与曲线E,结合

M却=坂声|西-91求左值的个数，由此即可判断各选项的正误.

2

【详解】令尸（x,y）,由题意得：匕V万,二V?!=1]'即得'X一/=1，"±/6—，

••.A错误，又a3c=2,即e=&亘，故B错误，

3

由E的渐近线为〉=±[x,而（x-2y+_/=l圆心为（2,0）,半径为1,

273

；.（2,0）到y=±gx距离为"=）^=1,故E的渐近线与圆（x-2y+/=l相切，故C正确,

联立曲线E与直线/的方程，整理得：（1-3/）/+12左2；―3（4左2+1）=0,△=1+左2＞（）,

12人23（4左2+1）

而\AB\=Vl+VI再-%1=273,

123左2_/123/一1

代入整理：MB/粗+内）=26,即有左2=1或/=o（由尸o与X-y2=i,x中土石无交点，舍去），故

13k—113

左=±1,.・.D正确.故选：CD

【点睛】易错点睛:

（1）两点式表示斜率时要保证分母不为0,从而确定曲线E的轨迹要去掉土内.

（2）由恒国=V1ZF|无「％1=2百求得k值要考虑曲线E的轨迹不包含x/士省的情况舍掉增根.

5.（24-25高三•全国•模拟）过曲线C上一点P作圆^+好句的两条切线，切点分别为48,若

kpA%=2,则曲线C的方程为.

【答案】2x2-/=l且x、l）

【分析】设尸及切线方程，由直线与圆相切得出关于斜率左的方程，由判别式得出其+需＞1,再由斜率关

系计算即可.

【详解】设P（%o，yo）,则过点P的切线方程为夕-%=上口-％）,即依-＞+%-何）=0，

所以为得（x；—1快2-2%%上+就一1=0,

则L，KB是此方程的两根，x：T*0,A=4x^-4（x^-l）（^-l）＞0,即x；+y：＞l,

-p2_1n

故a・G="=2,得线—就=1,而要满足题意需P在圆外，则无：＞彳,

不）一13

即曲线C的方程为2尤2_/=］（无2＞2§且一片1）.

7

故答案为：2x2-y2=l（x2＞|Mx2^l）

题型四：抛物线定义型

;指I点I迷I津

；平面内与一个定点F和一条定直线1(1不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线

的焦点，直线I叫做抛物线的准线.

L(21-22高三下•浙江•阶段练习)己知点F(0,1),直线/：y=—1,P为平面上的动点，过点尸作直线/的

垂线，垂足为Q,且存•斯=丽•冠，动点尸的轨迹为C,已知圆M过定点。(0,2),圆心〃在轨迹C

上运动，且圆M与x轴交于/、3两点，设|。0=/2，则%+'的最大值为()

”2。

A.2B.3C.272D.372

【答案】C

(2、

【分析】利用数量积运算可得动点P的轨迹C方程，设进而得到O"的方程为：

22

(x-a)2+(y--)2=a2+(--2)2,可得/(a+2,0),B(a-2,0),利用两点之间的距离公式可得，

44

4+，2_彳+片_2a2+16

,再利用基本不等式即可得出.

2hI/2dQ，+64

【详解】设尸(工,切,则。依，-1),

QP•QF=FPFQ,.*.(0,j+l),(—x,2)=(x,j/—l),(x,—2),.-.2(y+l)=x2—2(y—1),.t.x2=4y.

(2\22

动点尸的轨迹C为：x2=4y.设.(fl£R).则OM的方程为：(x-a)2+(y-—)2=a2+(---2)2.

(4J44

2

化为——2ax+「=4-/.令y=o,则2"+屋=4,解得x=a+2,或q—2.

2

取4(。+2,0),B(a~2f0).・・.|叫=)=&+2)2+4,\DB\=l2=^a-2)+4.当时,

11J2+/2

’1।’2_’1丁’2

------1----------------------2亚，当且仅当

I2/1I、12

%+%的最大值为2行.故选：C.

。=±2百时取等号.当。=。时，y-+y-=2.综上可得:

1

,2424

2.(2024高三•全国•专题练习)已知P是直线/：x-y-2=0上的一个动点，过点P作抛物线C:y=/的两条

切线尸/,PB,切点分别为A,B,则八板的重心G的轨迹方程为（）

142412

A.y——x2—xH—B.y——x2—xH—

333333

214421

C.y=—x2——x+—D.y=—x2——x+—

333333

【答案】B

【分析】设4（久1,月），8（%242），^PAB的重心为G（x,y）,由定理1.1知「偿弃,%62），再由重心公式得到号，

%=4d-3y,代入直线/方程整理即可.

【详解】设4（孙月），B（x2,y2）,AP/8的重心为G（xj）.

由定理1.1知pgl广西冷），则由三角形的重心坐标公式，

可得x=±+；+x.=.,

必+>2+ypX；+X：+再12

3-3

2

于是，Xp=x,yp=4xp-3y=4x-3y,

2

由点P在直线/：x_y_2=0上得x_(4f_3切_2=0,gpy=|x-1x+|.

其中定理1.1及证明：如图，抛物线d=2勿（p>0）上两个不同的点A,3的坐标分别为4（久1）1）,B

（久222），

以A,8为切点的切线正/,心相交于点尸，我们称弦N2为阿基米德的底边.

手虫;证明:由广，

定理LL点P的坐标为,则V=一，

22PP

所以过点A的切线方程为广。亍（x-%!）,过点3的切线方程为广。亍（x

-尤2），联立这两个方程

再将x=土产代入点A处的切线方程,

可得广江+土］五/再］二以这表明'点尸的坐标为【平萱J.故选："

2Ppi2）2p

3.（20-21高三•广西南宁・模拟）抛物线：V=4x的过焦点的弦的中点的轨迹方程为（）

A.y1-x-1B./=工-；C.y2-2(x-l)D.y1-lx—\

【答案】C

【解析】设出过焦点的直线方程，与抛物线方程联立求出两根之和，可得中点的坐标，消去参数可得中点

的轨迹方程.

【详解】由抛物线的方程可得焦点尸(1,0),可得过焦点的直线的斜率不为0,

设直线方程为：x=my+l,

设直线与抛物线的交点4不，乂)，B®,%),设4B的中点P(x,y),

联立直线与抛物线的方程可得：

22

y-4my-4=0,必+了2=4机，xt+x2=m(yx+y2)+2=4m+2,

|y-2/^21

所以可得一c，消去加可得尸的轨迹方程：/=2%-2,故选：C.

[y=2m

【点睛】方法点睛：求轨迹方程的常见方法有：1、定义法；2、待定系数法；3、直接求轨迹法；4、反求

法；5、参数方程法等等.

4.(2024•浙江•模拟预测)已知曲线C上的点满足：到定点(1,0)与定直线了轴的距离的差为定值加，其中,

点A,8分别为曲线C上的两点，且点5恒在点A的右侧，则()

A.若加=g,则曲线C的图象为一条抛物线

B.若加=1,则曲线C的方程为/=4x

C.当机＞1时，对于任意的/(再,%),B(x2,y0),都有㈤＞|引

D.当加＜-1时，对于任意的，(XQo),8(%，%)，都有|再|＞|司

【答案】AC

【分析】设曲线C上的点P(x,y),由题意求出的方程，分工20、x＜0化简后逐项判断可得答案.

【详解】对于A,若机=g，设曲线c上的点P(x,y),由题意可得加-广六-上段,

化简得/=2x+k|-当时，/=3x—为抛物线，

44

33

当xvO时，y2=x—,因为x＜0,所以x—＜0,而＞20,显然不成立，

44

综上，若冽=；,则曲线。的图象为一条抛物线，故A错误；

对于B,若加=1,设曲线。上的点尸(%,y),由题意可得J(x—iy+y2一国=1,

化简得好=2工+2忖，当％之0时，/=4x为抛物线，当九＜0时，＞=。为一条射线，故B错误；

对于C,若加＞1,设曲线C上的点P(%,y),由题意可得“工一球+产一国=加,

化简得/=2x+2m\x\+m2-1,因为加＞1,当xNO时，y2=+—,

为开口向右，顶点为的抛物线的一部分，，当x＜0时，/=2（1-⑼1-号蛇

为开口向左，顶点为［一,。1的抛物线的一部分，，且（—,。）与［一,。）关于x=g对称,其图象大致如

下，

因为4（芯,％）,8（%2，%））两点的纵坐标相同，根据对称性可得忖|＞卜|，故c正确；

对于D,若加＜-1,设曲线C上的点P（%,y）,由题意可得+、2一国=加,

2

化简得歹2=2x+2加|乂+加2一1,因为加＜一1,当时，y=2（m+l）|x--——

为开口向左，顶点为（一,o］的抛物线的一部分，当x＜0时，/=2（1-加）口

为开口向右,顶点为［一的抛物线的一部分，且］一,o］与［一,。］关于x=；对称，其图象大致如下,

因为用再,外）,8仁，%）两点的纵坐标相同，根据对称性可得闻＜闯，故D错误.

【点睛】关键点点睛：解题的关键点是设曲线c上的点P（x,y）,求出P点的轨迹方程，数形结合求出答案.

5.（24-25高三•全国,模拟）设厂（1,0）,点V在x轴上，点p在了轴上，且旃=2而，PM_LPF,当点P

在V轴上运动时，点N的轨迹方程为

【答案】/=4x

【分析】设M(x0,O),尸(0,%),N(x,y),根据闻丽可得Xo+y：=0,根据曲=2赤可得

x()=-x,%=g,v，代入即可得结果.

【详解】设河伉,0),尸(0,%),N(x,y),则由=(%,-%),即=(一先),

MN=(x-x0,y),MP=(-x0,y0),

因为由J_而，则两7•而=x()+K=0,又因为痂=2症，贝叶：°,即｛1,

5=2%y=-y

、0N

可得-X+或=0,即「=4x.故点N的轨迹方程是J?=4x.故答案为