圆锥曲线综合大题归类 -2025年高考数学一轮复习知识清单（解析版）

专题24圆锥曲线综合大题归类

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目录

题型一：大题基础：五个方程.....................................................................1

题型二：直线横截式.............................................................................4

题型三：直线“双变量”型过定点....................................................................7

题型四：面积最值范围型.........................................................................11

题型五：面积比值范围型.........................................................................15

题型六：定值型.................................................................................20

题型七：斜率“和”型.............................................................................24

题型八：斜率“积”型.............................................................................27

题型九：斜率“比值”型...........................................................................31

题型十：斜率复合型.............................................................................35

题型十一：切线型...............................................................................38

题型十二：三角函数型转化难题...................................................................42

题型十三：韦达定理不能直接用：定比分点.........................................................46

题型十四：非对称型............................................................................50

题型十五：点代入型............................................................................54

英突围・檐:住蝗分

题型一：大题基础：五个方程

基本模板实战模板

l^设点，A(xp%),3(%2,%)

2、方程1：设直线：y-y0=k(x-x0)--此处还有千言万语，在后边分类细说。

3、方程2：曲线：椭圆，双曲线，抛物线，或者其他(很少出现)，注意一个计算技巧，方程要事先去分

母

4、方程3:联立方程，整理成为关于x(或者y)的一元二次方程。要区分，椭圆，双曲线，和抛物线联立

后方程

的二次项能否为零--这就是实战经验。

5、(1)>0；(2)二次项系数是否为0；一—这两条，根据题确定是直接用，或者冷处理。但是必须

考虑。

6、方程4、5：韦达定理

7、寻找第六个方程，第六个方程其实就是题目中最后一句话

1.(24-25高二上•广西梧州•阶段练习)已知动点尸在抛物线C:y2=2px(p>0)上，Q(-2,3),点p到C的

准线的距离为d,且d+|P0的最小值为5.

⑴求C的方程；

⑵若过点(1,0)的直线/与C交于两点，且直线QA的斜率与直线的斜率之积为求/的斜率.

4

【答案】⑴/=8x⑵4或公

【分析】(1)利用抛物线的定义转化一个距离，则可用两点间距离线段最短得解；

(2)利用方程组思想结合韦达定理，转化到坐标法来研究，即可得解.

1,oj,由抛物线的定义可得怛产|=心则』+归。=|母j+「Q白忸a，

【详解】（I）设抛物线C的焦点为尸

2

当。，尸，尸三点共线且点尸在线段。尸上时，|尸耳+|尸。取得最小值5,则但@=1+2+32=5,整理得

2

卷+2）=16,解得p=4或。=一12,因为。＞。，所以p=4,故C的方程为V=8x.

（2）设过点（1,0）的直线/:%=〃7+1,4（占,%）,3（%2，%）.

丫2_o

%+%=8加=%-3%-3（%-3）（力一3）1

联立,消元得V-8切-8=0,则

QAQB9

x=my+1yxy2=-8'玉+2x2+2+3）（my2+3）2

得（/+2）必%+（3加—6）（%+%）+27=—8（加之+2）+8加（3机—6）+27=0,

代入韦达定理得：（加2+2）（—8）+（3祇—6）（8加）+27=—8（m2+2）+8m（3m—6）+27=0,

化简得16/一48m+11=0=＞（4"一1）（4小—11）=0,得机=；或?.故/的斜率为4或4.

3

2.（2022•陕西榆林•模拟预测）已知椭圆C与双曲线2x2-2y2=i有相同的焦点，且椭圆C过点尸1,

（1）求椭圆C的标准方程;

3

（2）已知椭圆。的左焦点为尸，过尸作直线,与椭圆。交于A、5两点，若弦AS中点在直线y=m上，求直线

O

/的方程.

22

【答案】⑴土+匕=1⑵％-2y+l=0或3%-2y+3=0.

43

【分析】（1）根据椭圆的焦点及椭圆上的点列出方程求解即可；

（2）由题意直线斜率不为0,设直线方程》=阳-1,联立椭圆方程，由根与系数的关系求出中点纵坐标,

代入y=?求出机即可得直线方程.

O

【详解】（1）由题意，椭圆C与双曲线2--2y2=1有相同的焦点为（±1,0）,

2

3

设椭圆的方程为：乌+t=1（"6＞0）,又•.•椭圆C过点尸（1,31

；=1,,解得々2=4,Z?2=3.

abyab

a2=/?2+12,

22

椭圆C的标准方程为土+匕=1.

43

（2）当直线/与x轴重合时不满足题意；当直线/与x轴不重合时，设直线/的方程为1=畋-1,

消去x化简得（3m2+4）y2-6my-9=0.

3

.•弦A3中点在直线y=7上，

O

6m32

E解得加=2或m=.・.直线/的方程为一尹「。或""+3=0.

3.（2。24四川南充•一模）已知动点P”与定点内,。）的距离和尸至愧直线/42的距离的比是常数小

记点尸的轨迹为曲线c.

（1）求曲线c的标准方程；

⑵设点尸’（-1,0）,若曲线C上两点N均在X轴上方，且人"〃尸|&0|+但刻=：夜，求直线的

斜率.

2_

【答案】⑴、+/=1⑵±6

【分析】（1）根据距离公式列出方程即可求解；

（2）设kFM=kFN=k,可得直线尸N的方程，呢绒联立方程组，结合对称性与弦长公式列出方程即可求解.

2

【详解】（1）由题意，H+、2整理化简得，—+y=l,所以曲线C的标准方程为H+y2=L

H222

（2）由题意，直线砂,尸N的斜率都存在，设kpM=kF，N=k,则直线F/V的方程为＞=%（》+1）,

y=左（1+1）

分别延长NF',交曲线C于点设N&,yJ,N'（N，%），联立丁,即

----Fy=1

12

（1+2用三+4h+2左2—2=0,则玉+々=一谷?,X々=!！，，根据对称性，可得|即个但用,

4.（24-25高三上广东惠州•期中）已知双曲线Uf-y'l及直线/:＞=履-1.

（1）若/与C有两个不同的交点，求实数%的取值范围；_

⑵若/与C交于A,B两点，。是坐标原点，且△OAB的面积为&,求实数上的值.

【答案】（1乂一&，-1）3-1，1）=（1，五）（2）左=0或左=±¥

【分析】（1）将双曲线C:/-y2=l及直线/:＞=丘-1联立，消去y,得到关于x的一元二次方程，根据题

意即可求解；

（2）方法一：根据面积5。项=/4到3=节有=点，其中d为。到直线/的距离，然后用含k的式子表

示出解方程即可求出左的值；

方法二：根据得5皿=）、-引=0,然后用含k的式子表示出归-司，解方程即可求出京的值.

[x2_2_,

【详解】（1）直线/与双曲线C有两个不同的交点，则方程组'二有两组不同的实数根，

[y=0-1

，、fl-k2^0_

整理得（1-公卜+2丘-2=0.\=止_4（1-用（-2）＞0'解得一行＜3且左W±1，双曲线C与直线/有

两个不同的交点时，上的取值范围是卜也-1）5-1,1）口（1,夜）.

（2）解法一：设交点4&,%）,8（%»2），由（1）知双曲线C与直线/联立的方程为（1-4x+2履-2=0.

由韦达定理得：%1+x2=-—=——,贝='］+32昆_石|=A/］+.2.J（%2+%1）2—4石/

1—K1—K

=71弄・（一二］一4（一六］="1记.手年又0到直线/的距离1=-/'，

火l-k2）（1-k-J卜一灯J1+E

所以△OAB的面积S0AB=^-|AB|-d=『诵=0,解得左=0或6=±f,

又因为-0＜左＜0且七工±1,所以4=0或女=±¥.所以当4=0或％=±¥时，△OAB的面积为血.

解法二：设交点4包,%）,3（孙％），直线/与丁轴交于点。（。,-1）,

由（1）知双曲线C与直线/联立的方程为（1-廿卜+2履-2=0.由韦达定理得：西+马二-二^天心一2

1-Kl-k2

当A,8在双曲线的一支上且闾＞|引时,

=#-引.

—

=；忧_司=应，故(为_电)~=8,BP(%,+%2)"4X,%2=8

由已知得S.0AB

所以（一告Ji4［一金）=8,解得，=。或"=±乎’又因为一夜＜左＜0且七±1,所以上=。或

左=±*.所以当…或/=±乎时，△OAB的面积为啦.

题型二：直线横截式

指I点I迷I津

（1）直线AB方程为a=ty+m,联立曲线方程，

结合韦达定理化简整理得到只关于t、机的方程，即可求出t、机的关系，即可进一步讨论直线过定点

的情况；

（2）设直线时注意考虑AB斜率不存在的情况，联立方程也要注意讨论判别式.

22

1.（24-25高三上•河北邯郸•阶段练习）已知双曲线C：3-2=l（a＞0,b＞0）的左、右顶点分别为

ab

A(-2,0),5(2,0),离心率为立.过点(4,0)的直线/与。的右支交于M、N两点，设直线AM,3M,比V的斜率

2

分别为％1，%2，左3.(D若%l=g，求：43；

(2)证明：％2(匕+内)为定值.

【答案】(1)-；⑵证明见解析

【分析】(1)依题意，求得双曲线，设出直线MN的方程，联立方程组，由韦达定理可解；

(2)利用两点斜率公式，结合双曲线方程求得％他，再结合(1)中结论即可得证.

【详解】(1)设双曲线的焦距为2c,由题意得，。=2,£=①，所以c=V7.

a2

因为02=/+62,所以6=石，所以c的标准方程为1一：=1.

R匚1

143i

直线AM：y=5(x+2),由43消去y化简并整理得V-2x-8=0,

—y=-(x+2),

解得％=4或%=—2(舍)，所以M(4,3).

-3-03

又直线MN过点(4,0),所以直线脑V的方程为％=4,所以N(4,-3)£=丁下=-

X

(2)设则尤=，%2=

玉+2%-2・

/I）3

因为3-q=L所以勺・勺=%%■V；

玉+2须一2%；_4x；—44

,2

_2L=i

设直线MTV:X=型y+4,由＜43一，消去X化简并整理得(3/-4"2+24冲+36=0.

x=my+4,

3m2-4w0

A=144（/+4）＞0

%%

设N(%2，y2)，贝卜-24m,故%2，%3=

玉一2X2-2（机％+2）（加％+2）/+2根（％+%）+4

36

%%=茄二

36

3m2-4933

4.所以％2（左+%3）=桃2+k2k3=—+2为定值.

22

2.(2024高二上.江苏.专题练习)已知椭圆C：\+方=1伍＞6＞0),若椭圆的焦距为4且经过点卜2,加)

过点7卜布,。)的直线交椭圆于P,。两点.

(1)求椭圆方程；

（2）若直线PQ与x轴不垂直，在x轴上是否存在点S（s,O）使得NPST=NQST恒成立？若存在，求出s的值;

若不存在，说明理由.

【答案】（1）（~+?=1⑵存在，

【分析】（1）由焦距是4求出C,将卜2,夜）代入椭圆方程求出a,6,得到答案；

（2）根据题意有乐$+%$=。，转化为2年跖-（«+5）（%+%）=0,由韦达定理代入运算得解.

a2—b1=4

【详解】（1）由题意，c=2,将点卜2,0）代入椭圆方程得42_，解得/=8,b2=4,

22

所以椭圆。的方程为土+匕=1.

84

（2）在x轴上存在点S|-己一,0使得ZPST=NQST,理由如下：设。（&%）,。（々,%）,直线

__22,

PQ:x=my-A/6,联立产。：X=的一而与椭圆工+匕=1可得（机？+2）,2_2娓my-2=0,

〜“84

贝+因为NPST=NQST,所以即S+%S=0,即+++=0,

m+2m+2xxsx2s

整理得K（工2-s）+y2a—s）=0,即y（冲2_n_§）+%（祖乂―#一S）二0,即2即%一（指+$）（%+%）=0，

贝ij2mxi（指+5）­=o,又加。0,解得$=一生但，所以在无轴上存在点S[-使得

m2+2V>m2+23[3）

22

3.（24-25高三上•河北石家庄•阶段练习）已知焦距为的椭圆C:0+2=l（a>6>O）的右焦点为产,

ab

右顶点为A,过F作直线/与椭圆C交于8、。两点（异于点A）,当BDLx轴时，\BD\=\.

⑴求椭圆C的方程；

（2）证明：154。是钝角.

2

【答案】⑴土r+必=1⑵证明见解析

4

【分析】（1）根据条件，求a,b,c,可得椭圆C的方程.

（2）设直线即方程，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理，再证AB.ADvO即可.

2

i2h2NX2

【详解】（1）由题意：——=1=>”2,所以椭圆C的方程为：—+/=!.

a4

设直线/：》=）+括，由了+>'=1=>«2+4}2+2A一1=0.设3（4%）,。（孙％）,贝|%+/=_4^，

x=ty+6'广+4

乂%=.所以四•仞=（占-2,%>优-2,%）=&-2）（々一2）+%%=®+6一2）他+石一2）+%%

-项5+%）+隙-2）、_?一+2一2片1^<0，

所以44。为钝角或平角（舍去）.故4AD为钝角.

22

4.（24-25图二上,福建福州•阶段练习）已知椭圆C：=+」■=l（a>。>0）的右焦点F在直线x+2y-1=0上，

ab~

A，8分别为C的左、右顶点，且|A月=3忸耳.

（1）求C的标准方程；

（2）是否存在过点G（-LO）的直线/交C于M,N两点，使得直线3N的斜率之和等于-1?若存在，求

出/的方程；若不存在，请说明理由.

22

【答案】⑴二+乙=1⑵存在，x-y+l=0.

43

【分析】（1）先求出点尸的坐标，得出椭圆中的c=l,结合椭圆的几何性质可出答案.

（2）设直线/的方程为：x=my-l,MO1,月）,可（外,火），将直线方程与椭圆方程联立，得出韦达定理,

由题意心M+%PN=T,将韦达定理代入可出答案.

【详解】（1）设右焦点F（c,O）,直线x+2y-l=0与x轴的交点为（1,0）,

所以椭圆C右焦点厂的坐标为（1,0）,故在椭圆C中c=l,由题意|AF|=a+c=3忸同=3（a-c）,结合c=l,

（2）当直线/的斜率为0时，显然不满足条件⑥”+%呐=-1,当直线/的倾斜角不为0。时，

设直线/的方程为：x=my-l,M（xi，yj,可3,％），+4/-12；可得自疗+4）V-6阳-9=0,

由题意△=36〃/-4义（37储+4）x（—9）=144，/+144>0,贝lj%+%=-6m-,%%=——?—，

'/3m+43m+4

由+-=+—=2畋

x1-2x2-2myx-3my2-3n^yxy2-3m^yx+72）+9

6m

2mx——------3x

3机2+43疗+4

二

—m,由kpM+kPN=-1,即m=1,

2-9。6m

mx——--------3mx——-------1-9

3m2+43m2+4

故存在满足条件的直线，直线/的方程为：y+l=0.

题型三：直线“双变量”型过定点

指I点I迷I津

当题中的直线既无斜率，又不过定点线，就要设成“双变量”型：y=^+m,依旧得讨论k是否存在

情况

当直线既不过定点，也不知斜率时，设直线，就需要引入两个变量了。

(1)设成y=kx+mo此时直线不包含斜率不存在，注意适当的对此补充讨论。

(2)设成x=ty+m,此时直线不包含水平，也要适当的补充讨论。

(3)设“双变量”时，第一种设法较多。因为一般情况下，没有了定点在x轴上，那么第二种设法实

际上也没有特别大的计算优势。如第1题。

(4)重要！双变量设法，在授课时，一定要讲清楚以下这个规律：

一般情况下，试题中一定存在某个条件，能推导出俩变量之间的函数关系。这也是证明直线过定

点的理论根据之一。

1.(24-25高二上•黑龙江•期中)己知动点P(x,y)到定点F(2,0)的距离与动点P到定直线％=-2的距离相等，

若动点P的轨迹记为曲线C.

⑴求C的方程；

⑵不过点下的直线与C交于横坐标不相等的A,8两点，且|Ab|+怛同=6,若AB的垂直平分线交x轴于点

N,证明：N为定点.

【答案】⑴产=8x⑵证明见解析

【分析】(1)由题意，根据抛物线的定义进行求解即可；

(2)设出直线AB的方程，将直线方程与曲线C的方程联立，利用韦达定理及IA尸I+18尸1=6得到

yly2=-8m,再+尤?=2,求出48的中点坐标和直线ACV的方程，进而即可得证.

【详解】(I)因为动点尸(x，y)到定点/(2,0)的距离与动点尸到定直线彳=一2的距离相等，

所以动点尸的轨迹为焦点在X轴，开口朝右的抛物线，此时P=4,则曲线C的方程为y2=8x；

(2)证明：设直线的方程为x=)+A(无］,%),8(尤2,%)，

,消去V并整理得-8/y-8ffl=0,止匕时A=64/2+32m>0,

x=ty+m

TN

解得2产+加>0,由韦达定理得%%%=-8根，因为IA厂|+|5厂|=%+%2+4=6,

所以西+入2=2,因为％+超+%)+2根=2,所以8/+2机=2,解得4/+根=1,

设点M为A3的中点，此时M(L旬，所以直线"N的方程为1),

令尸0,解得赤=5.故点N为定点，坐标为(5,0).

丫2

2.(24-25高二上•黑龙江哈尔滨•阶段练习)已知椭圆C:土+9=1,点A为椭圆上顶点，直线/:>=区+根

3

与椭圆。相交于",N两点，

⑴若左=1,0为"N的中点，。为坐标原点，|0。=回，求实数，"的值;

114

（2）若直线AM,4V的斜率为配网，且《+右=2,证明：直线过定点，并求定点坐标.

【答案】（1）5=±1（2）证明见解析；定点坐标（-1,-1）

【分析】（1）直曲联立表示出韦达定理，再由中点坐标公式求出。（/,%）,最后结合两点间距离公式求出

即可；

（2）当直线7VW的斜率不存在时，设直线方程为x=r,则Af&s）,N（r,-s）,由斜率关系求出r=-l；当直

线肱V的斜率存在时，直曲联立表示出韦达定理，再由斜率的定义结合勺+左2=2化简得到左和加的关系,

然后再求出直线所过定点即可；

（X2.

_____[_y2/_]

【详解】（1）当人=1时，/：丫=尤+加，设M（占,％）,^%，%），^5,%）,<3,,消去，可得

y=x+m

4x2+6mx+3m2-3=0,△=36m2—16（3加？-3）=-12m2+48>0=>—2<m<2,

%+工2=—|机，由中点坐标公式可得无0=*；*=-1~

，解得机=±1,符合题意;

（2）当直线MN的斜率不存在时，设直线方程为x=r,则

因为点A为椭圆上顶点，所以4（1,0）,所以匕=9­=9,贝|]勺+&=9+宁=弓=2,

所以r=-l,当直线"N的斜率存在时，直线方程为>=履+机，

V2

联立椭圆方程了十）'一，消去y可得（3人?+1卜2+6协优+3血2-3=0,

y=kx+m

222m

=（6to）-4（3^+l）（3m-3）>0,可+4=-^xtx2='晨J：,

JKI13K十1

mil,yj-1y,-l乂%+占%一（占+々）2kxlx2+（m-l）（xl+x2）

贝（J5+/=------------1------------------=---------------------------------------------------=----------------------------------------------------------=Z,

%x2菁%2玉%2

将韦达定理代入上式并化简可得：；：=2,=机=1舍，所以左=m+1,

3m—3

所以直线y=H+m=G〃+l）x+〃?=（x+l）m+x,此时直线过定点（T,一1）,

综合以上可知直线过定点

3.（24-25高三上•江苏南通•阶段练习）已知椭圆C：,+/=1（。>6>0）的离心率为方，点4（0,1）在C上.

⑴求C的方程；

（2）设C的右顶点为8,点P,。是椭圆上的两点（异于顶点），若直线"，AQ与x轴交于点石，产，若5E=3R,

求证：直线PQ恒过定点.

【答案】⑴丁+V=1（2）证明见解析

【分析】（1）根据离心率、A点坐标列方程求得b,c,由此求得椭圆方程.

11/2

（2）设BE=BF=Q不妨设E在尸左侧，可得1+1=-4,将椭圆平移至二+仃+以=1,设PQ方

kAPkAQ4V'

程为nu+〃y=l,联立方程组可得（4+8”）/+&加+1=0,进而可得优的值，可求定点.

cV3

e=­=—

a2

a=2y2

【详解】（1）由题意知b=ln6=1,C的方程为小丁“

a2=b2+c2

（2）设BE=BF=不妨设E在尸左侧，，E（2—2,0）,尸（2+4,0）,A（0,l）,

11,

1卜__1------1------二—4

Jkk'

4-2,2+2入AP^AQ

即/+4/+8丁=0,此时A平移至A（0,0）,p,。分别平移至P（%,y）,

2

设P。'方程为「+力=1,.,.%2+4）？+8,（如+用=0,=^（4+8zz）（—I+8m--+1=0，

'x

•.kAP，髓是关于/的方程（4+8〃）»+8制+1=0的两不等实根,

1

由k^p+kQ+4kAp,^AQ=°=>4+即+4,=0=>m=—,

A4+8〃2

，直线尸。'的方程为白+4=1,PQ'恒过定点（2,0）,.•.尸。恒过定点（2,1）.

4.（24-25高二上•全国•课后作业）已知川-3,0）,点。在圆玛：（x-正产+丁=16上运动，线段的的垂

直平分线交线段。用于点P,设动点P的轨迹为曲线C.

⑴求C的方程；

⑵设c与x轴交于A,B两点（A在B点左侧），直线/交C于M,N两点（M,N均不在x轴上），设直线

k

的斜率分别为匕若广=2,证明：直线/过定点.

*Vn

22

【答案】⑴上+匕=1（2）证明见解析

42

【分析】（1）利用垂直平分线的性质及椭圆的定义计算即可；

（2）设/方程及”,N坐标，联立椭圆方程，利用韦达定理及两点斜率公式化简计算即可.

【详解】（1）易知圆g:（x-0）2+y2=16的圆心为此（血,0）,半径为4,由题得

怛司+|「阊=|。局=4＞闺闾=20,所以动点尸的轨迹是以耳耳为焦点的椭圆，

22

不妨设椭圆的长轴、短轴、焦距为2〃,2b,2c,其中。=2,c=0,〃=/C2=2,所以。的方程为土+乙=1.

42

（2）易知直线/的斜率不为0,设/的方程为x=O+”，加（西,弘）小伍，％），

x=ty+m

2mtm2-4

联立一丁9得（广+2）y2+2m）+机2_4=0,则%+%=_,又可知点

——+—=1「+2'"%-r+2

142

A(-2,0),3(2,0),所以勺=三&=*又2=2,所以

%一2二2%

即(％—2)(42—2)=771%，又再=以+相，尤2=优+根，代入得

2%%2—2

1+4)M%+，(m—2)(%+%)+(m—2)2=0,整理可得仁+4乂/—4)+%(机—2)(—2间+(帆—2)2(r+2)=0,

因为Af,N两点不在x轴上，所以机—2w0,所以，之+4)(m+2)+，(一2加)+(加-2乂/+2)=。，化简得

22

6机+4=0,所以加=-§,直线/的方程为工="-§,故直线/恒过定点

题型四：面积最值范围型

指I点I迷I津

求最值求范围，属于前边知识额综合应用，主要是以下两点要注意

1.注意变量的范围。

2.式子转化为求值域或者求最值的专题复习

一些常见的思维：

1.可以借助均值不等式求最值。

2.分式型，多可以通过构造来求最值，如下几种常见的。

分式型：以下几种求最值的基本方法

反比例函数型:吧”，可以分离常数，利用“左加右减上加下减”画图

(1)PX+q

(2)mx+"与"x-+/zx+c型,可以设mx+n=t,换元，简化一次项，然后构造均值或者对勾函数

ax+bx+cmx+n

求解。

ax2+bx+c

2

(3)〃吠+"x+e型，判别式法，或者分离常数，然后转化分子为一次，再换元求解

1.(24-25高三上•重庆•阶段练习)己知0为坐标原点，双曲线。：3-2=1(4>0,6>0)的焦距是实轴长

的百倍，过C上一点尸作C的两条渐近线的平行线，分别交y轴于S,T两点，且|。53。刀=4.

(1)求双曲线C的标准方程；

(2)过双曲线C的右焦点尸的直线4与双曲线的左、右两支分别交于48两点，点。是线段AB的中点，过点

产且与4垂直的直线4交直线。。于点M,点N满足=+,求四边形MANS面积的最小值.

2

【答案】⑴/一二=1⑵

4

【分析】⑴设P(&,y。),求出过点尸作C的两条渐近线的平行线方程，再利用|。5"。7=4和4+k.?

解出双曲线方程即可；

(2)设直线4:x=my+6,(7"N0),Aa，%),*%,%),。^,为)，直曲联立，利用韦达定理，三点共线，

M产，4斜率之积为_1,列出等式求出尸点坐标，结合向量关系得到四边形M4A归是平行四边形，然后再由

弦长公式，点到直线的距离公式，以及换元法求导分析单调性，求最小值即可求解；

22

【详解】（I）,,:.设POo，y°），则其/-当v=1,即¥=勺h宕-凡过点尸作C的两条渐近线的平

",aba

行线方程分别为：y-%=2（尤-尤o）,y-%=-2（*-尤0），则不妨取sj。,%-

aa<a）\aJ

于是3卜|0刀=y0--x0-y0+-x0=巾一2年=从=4又，=耳,且是+/=〃,可得，=1,>=5,

aaa

2

所以双曲线方程为f一匕=1,

4

］「、©--/-x=机y+小

⑵-7H田,设直线/：龙=缈+行,（利。0）,4（%,%）,5（%2，%），。（马，％），联立方程'y2

\I4

可得(4加2一1)+86⑵+16=0,0A=320m2—64^4m2-1)=64m2+64>0,4m2—1w0,

%依,x%=Y—，由于直线4与双曲线的左右两支相交，所以方程①有两个同号的实根,

124m2-1124m2-1

故高>°=4/-1>°,由。Q,M三点共线得£=£=痂,②

V-01,

由心乩得力？尻=一1,③由②③解得“由MN=M4+痴可知，四边形町4NB是平行

四边形,所以^MANB=25Mli|AZ?|,_6非____

.Jl+4

2222

IF|I£~r8Vl+m_8(l+m)_4r~:8(l+m)_32(1+m)

吐ki=k而丁产L…斤/E而可蔑•停了

令"4病-1,则疗=T，，>。，

3(r+5)2-t2-2r(z+5)3_(r+5)2(z-10)

，令/'⑺=0=>r=10,所以在（0,10）上单调递减，在

川)=：3

（10,+旬上单调递增,故〃%n="10）=苧，所以S"=4X笆I=6不，当且仅当t=10，即加=±西

4，522

时取等号.

2.（24-25高二上•