专项突破卷：立体几何中的截面问题（解析版）

专题突破卷15立体几何中的截面问题

量题好嵬

判断正方体截面的形状

星题好z破

题型一：判断正方体截面的形状

I.如图，在正方体A8CD-aqqq中，E为AB中点，尸为线段上一动点，过。,E,P

的平面截正方体的截面图形不可能是（）

c.梯形D.菱形

【答案】A

【分析】根据点p在G、2以及三个特殊位置时，截面图形的形状，选出正确选项.

【详解】B选项，当点p与2重合时,

取4g中点a,因为E是A3中点，则EH//。。，且EH=DD[,

连接D£、EH、叫、DtD,则四边形为平行四边形，

又因为所以平行四边形为矩形，故排除B选项;

C选项，当点尸与C1重合时,

取B瓦中点G,因为E是A3的中点，所以EG//DC-

连接DE、EG、GCPC[D,截面四边形EGC"为梯形，故排除C选项;

D选项，当点尸为G2中点时,

因为E是A3中点，所以PBJ/DE且PB尸DE,

连接P耳、耳£、ED、DP,则四边形£B|PZ）是平行四边形,

又因为用2=JCP'BC：=叱寸）+*={7+暗,

2华~+*'

BtE=yjBE+BB；=BB；=

因为是正方体，所以所以BIP=B]E,

所以平行四边形班JD是菱形，故排除D选项；

不管点P在什么位置，都不可能是三角形.

故选：A.

2.已知正方体A8。-A4GR的棱长为2,点M、N、P分别为棱AB、CQ、的中点,

则平面A/NP截正方体所得截面的面积为（）

A.BB.3也C.60D.6

2

【答案】B

【分析】通过平行画出截面为正六边形，然后结合正三角形面积计算其面积即可.

【详解】如图所示，分别取BC,AA，AR的中点。，E,F,

连接M2,NQ,ME,EF,PF,则M0/AC,FP/ZA^.

因为AC〃AC,所以EP〃服。，同理得M//QN,EM//PN.

由基本事实及其三个推论得M，N,P,Q,E,尸六点共面,

所以平面MNP截正方体ABCD-A与GR所得的截面是六边形.

根据正方体的性质可知截面跳PNQM是边长为垃的正六边形,

所求面积S=6xgx应x忘xsin605=3班.

故选：B

3.已知正方体ABCO-AMGA的棱长为6,点E,尸分别在棱。鸿，2G上，且满足

D,ED,F1

点。为底面”CD的中心，过点£，F,。作平面EFO,则平面EFO截

正方体AB。-A瓦G2所得的截面面积为（）

A.8722B.6A/22C.4A/22D.2夜

【答案】A

【分析】由于上下底平行，则可得平面呼。与上下底面的交线平行，则可得所为平面跖O

与上底面4gGR的交线，AC为平面EFO与下底面ABCD的交线，则梯形EFC4为平面截

正方体的截面，可证得梯形跖。1为等腰梯形，根据已知的数量关系求解即可.

【详解】连接AC网）,4G，AC与8。交点即为。，

D.ED.F1

因为六二表二公，所以跖"4G，

因为AC||AC,所以EFIIAC,

所以E,F,O,A,C共面，

所以平面砂。截正方体ABCD-ABG2所得的截面为梯形EFCA,

D.ED.F1

因为正方体ABCD-A耳GR的棱长为6,且方片=芸=可，

所以AC=JAB?+BC?=&2+62=60，

在RtA>Z）|E/中，»E=DF=2,则EF=J*?+Dp?=20,

£=

在RtZiA41K中，ADIA-£>,£=6-2=4,贝I]

122

AE=^A^+A.E=V6+4=2A/13,

在RtCG尸，ClF=D1Cl-DlF=6-2=4,贝[J

CF=JCC：+G尸=V62+42=2>/13,

过£作£211，47于M,则AM=AC=6五一2后二？后,

22

22

所以EM=yjAE-AM=J（2炳2_Q近y=2而,

所以等腰梯形EFC4的面积为

；x（EF+AC）xEM=gx（2夜+6近）x2而=8夜.

故选：A

D\FG

4.在长方体ABC。-A瓦G2中，AB=2AD=2AAi,点”是线段C，上靠近鼻的四等分

点，点N是线段CG的中点，则平面40N截该长方体所得的截面图形为（）

A.三角形B.四边形C.五边形D.六边形

【答案】C

【分析】延长交0c的延长线于点/，连接AF交BC于点a,连接NH,延长交

的延长线于点E,连接AE交于点G,连接GM,即可得到截面图形，再利用相似验证

即可.

【详解】延长MN交0c的延长线于点p，连接AF交2C于点H,连接NH,

延长交。。的延长线于点E,连接AE交于点G,连接GN,

则五边形AHNMG为平面AMN截该长方体所得的截面图形,

^^AB=2AD=2AAi=4,又点M是线段G2上靠近A的四等分点，点N是线段CC1的

中点,

所以GM=3,DtM=l,ClN=NC=l,所以CP=3,又CFHAB,

所以*=第=。，又BH+CH=2,所以CW=《,

CFCH37

又鬻=器，即3=益&，解得

DFED'匕幺+，3

又桀=兽，即券=」不，解得G〃=：,符合题意,

ADED22+A7

3

即五边形A/m/MG为平面AAW截该长方体所得的截面图形.

故选：C

5.如图，在棱长为2的正方体AB。瓦GR中，内部有一个底面垂直于的圆锥，当

该圆锥底面积最大时，圆锥体积最大为（）

「A/3八

C.-----nu.——兀

26

【答案】C

【分析】取A8,AD，OR,RG，GBi，48的中点，记为M,N,E,F,P,G,当圆锥底面内切于正

六边形肱VEEPG时该圆锥的底面积最大，结合圆锥体积公式计算即可得解.

【详解】如图所示，取■,相＞,。4而二64，瓦2的中点,记为M,N,E,F,P,G,

易知六边形MVEFPG为正六边形，此时AC的中点。在正六边形的中心，

当圆锥底面内切于正六边形肋VEFPG时该圆锥的底面积最大，

设此时圆锥底面圆半径为「，因为=所以r力MN下,

22

圆锥底面积为s=兀/=5兀，圆锥顶点为A（或。）处，

此时圆锥体积最大，此时V=，S.AO=1＞＜。兀义‘2+2="兀.

33222

故选：C.

6.在正方体ABC。-ABC?中，点瓦厂分别为棱A5,AO的中点，过点瓦EG三点作该正

方体的截面，则（）

A.该截面多边形是四边形

B.该截面多边形与棱BBI的交点是棱BB,的一个三等分点

C.AC,平面GE尸

D.平面平面GEF

【答案】B

【分析】将线段跖向两边延长，分别与棱CB的延长线，棱C。的延长线交于G,H,连

qBPBG1

GG,C声分别与棱叫,DR交于P,Q，可判断A；利用相似比可得〒="=个可判断B；

证明AC,平面8G。即可判断c；通过证明AC，平面A片。，可判断D.

【详解】对于A,将线段所向两边延长，分别与棱CB的延长线，棱CD的延长线交于G,H,

连£G，GH分别与棱8用刀2交于尸,。，得到截面多边形£PE/。是五边形，A错误；

对于B,易知△A£F和aBEG全等且都是等腰直角三角形，所以G2=AF=1BC,

2

BPBG1BP1

所以==即高"=1,点P是棱83］的一个三等分点，B正确；

CCj（jrCJDDXJ

对于C,因为AB|_L平面BCC^I，8C|U平面3CGB1,所以4月，3£,

又BG_LB]C,AlBl4c=4,4片,与Cu平面44c,所以_L平面4耳。,

因为ACu平面44C,所以ACLBG，同理可证4CLB。，

因为BDcBQ=B,BD,BQu平面BCQ,所以_L平面BCQ,

因为平面BG。与平面C|EP相交，所以A0与平面GE尸不垂直，C错误；

对于D,易知BCJIAD\,BDIIBR,所以人。，AR,，耳R,

又ARcBR=R,ADi,BlDiuABR,所以_L平面A5Q,

结合C结论，所以平面C|E尸与平面A瓦。不平行，D错误.

故选：B.

7.在正方体ABCD-ASGD中，瓦尸,G分别为BC,CD,的中点，若AB=4,则平面EFG

截正方体所得截面的面积为（）

A.672B.6月C.1272D.12相

【答案】D

【分析】借助正方体截面的性质可得该截面是边长为2后的正六边形，计算其面积即可得.

【详解】如图，过点G作跖的平行线交于点J,过点•/作FG的平行线交A用于点/,

过点/作EF的平行线交AR于点“，易知点J,/,H都在截面EFG内,

且都是其所在棱的中点，从而所得截面是边长为2近的正六边形，

所求面积S=6x[x20'x2收xsin600）=12

故选：D.

8.已知正方体A88-A瓦C2的边长为1,现有一个动平面a,且a〃平面4BD,当平

面a截此正方体所得截面边数最多时，记此时的截面的面积为S,周长为/,则（）

A.S不为定值，/为定值B.S为定值，/不为定值

C.S与/均为定值D.S与/均不为定值

【答案】A

【分析】利用正方体棱的关系，判断平面。所成的角都相等的位置，可知截面边数最多时为

六边形.如图所示，可计算出周长为定值，计算正三角形的面积和截而为正六边形时的

截面面积通过比较即可得答案.

【详解】正方体的所有棱中，实际上是3组平行的棱，与面AQB平行的面且截面是六边形

时满足条件，如图所示,

正方体边长为1,即所〃48

EF.则妪

设---=2,=B[E=X,

以A.B4局

NE_\E

=l-A,:.EF+NE=yf2A+>/2（l-A）=y/2,

同理可得六边形其他相邻两边的和均为友,

.••六边形的周长/为定值30，

正三角形*5的面积为三③缶向

当M,N,E,P,G,H均为中点时，六边形的边长相等即截面为正六边形时截面面积最大，

此时=，截面面积为‘X-xsin60x6=-x—x—x6=^^-,

222224

\J\7

.•・截面从AD8平移到与C2的过程中，截面面积的变化过程是由小到大，再由大到小，故

可得周长/为定值，面积S不为定值.

故选：A

9.已知正方体的棱长为4,M为棱QC的中点，N为侧面BG的中心，过点

M的平面a垂直于ZW,则平面1截正方体AC】所得的截面面积为（）

A.4（A/5+A/2）B.2上

C.56D.4拓

【答案】D

【分析】取BC,CC|的中点£,尸，由ADM^DCE,证得All再由C£_L平面ABCD,

证得从而得到AM，平面ONE,同理证得利用线面垂直的判定定

理，证得DV人平面ARM,得到平面a截正方体的截面为△AQM,进而求得截面的面积,

得到答案.

【详解】如图所示,

取BC,CG的中点及/，分别连接,

在正方形ABCD中，因为分别为DC,BC的中点，可得.ADMsDCE,

所以NOAM="DE,ZAMD=ZCED,

因为NA£>M=90,所以NAMD+NCDE=90,所以NDPM=90,即

又因为E,N分别为BC,BCt的中点，所以NE//CG,

因为平面ABC£）,AMu平面ABCD,所以CglAM,所以AM_LNE,

又因为DENE=E且DE,NEu平面DNE,所以A"_L平面OVE,

因为Z）Nu平面£WE,所以A"_L£>N,同理可证：DtM±DN,

又因为AM2M=/且41公2知<=平面AAM，所以DN人平面ARM,

即平面a截正方体ABC。-ABCR的截面为,

由正方体AB。-的棱长为4,

在直角AOR中，可得明=）心+可"2="+不=4也,

在直角△ADM中，可得.=Jm+W2="+2?=26，

在直角叫M中,可得RM=、DD；+D”=〃+2?=2式,

所以截面的面积为5=^乂40*於同=4瓜

故选：D.

10.在棱长为1的正方体A8CD-AB|G2中，E,F,G分别为棱A4,BC,CQ的中点,

动点"在平面EFG内，且£>〃=1.则下列说法正确的是（）

A.存在点a,使得直线。”与直线尸G相交

B.存在点使得直线DHL平面EFG

C.直线4H与平面ERG所成角的大小为m

D.平面ERG被正方体所截得的截面面积为更

2

【答案】C

【分析】连接。/，DG,取尸G的中点M,连接DM,点。到线段尸G的最短距离大于1,

\EF-n\

即可判断A；建立空间直角坐标系，点。到平面EFG的距离为=里＜1,即可判断B；

M2

由£＞4_L平面EFG,连接交EG于点。，Rt。用"与全等，所以

IT

ZBlHO=ZDHO=^,即可判断C；平面EFG被正方体所截得的截面图形为正六边形，且

边长为正，可求截面面积.

2

【详解】

连接DE,DG,所以口同=QG|=],忻@=等，取FG的中点连接。0,

所以逑＞1,点。到线段尸G的最短距离大于1,所以不存在点使得直线。”与

114

直线FG相交，故A不正确；

以。为坐标原点，分别以D4,DC,所在直线为x轴，V轴，z轴建立空间直角坐标

系，则,1,0,；＞尸@』，0)，G[O,I,£|,D(O,O,O),

所以所=1),1,_曰，£G=(-1,1,0),DE=(l,0，m，

11八

EF-n=0——x+y——z=0

设平面EFG的法向量为it=(x,y,z),所以，即《22

EG-n=Q

-x+y=0

令x=l,贝！Jy=l,z=l,所以〃=(1,1,1),

\DE-n|Q伺

所以点。到平面砂G的距离为^^=斗="＜1,而。H=l,所以不存在点H,使得

\n\2V32

直线。H_L平面EFG,故B不正确；

因为。4=(1/,1),所以。耳，平面EFG,连接。瓦交EG于点。，所以。为。耳的中点,

DO=BQ=当,

所以ZB.HO为直线B,H与平面瓦G所成角,

因为DH=1,在Rt^ODF/中，sinZDHO=—=—,

DH2

TTTT

所以ND"O=§,因为RtOB位与RtAODH全等,所以N耳“O=ND"。=§,故C正确;

延长GP交与8的延长线于N,连接EN交A3于P,连接P/L取2G的中点K,2A的中

点J,

连接KG,EJ,KJ,KG//EP,EJ//GF,KJ//PF,

平面EFG被正方体所截得的截面图形为正六边形，且边长为交，

2

所以截面面积为6x^x走、亚=士叵，故D不正确.

2244

故选：C.

题型二：球的截面性质与计算

11.已知正三棱锥A-BCD的外接球是球。，正三棱锥底边BC=3,侧棱48=2/，点E在

线段应＞上，且BE=DE,过点E作球。的截面，则所得截面圆面积的最大值是（）

9兀

A.2兀B.——C.3兀D.4兀

4

【答案】D

【分析】设，3。）的外接圆的圆心为。1，根据RtAOQD中，R2=3+（3-R）2,解得R,过点

E作圆。的截面，当截面过球心时，截面面积最大，由此能求出所得截面圆面积的最大值.

【详解】如图，设，应心的中心为。一球。的半径为R,连接0D,

2

则。。=3sin60°x：=g,AOt=y/AD-DO[=3,

在RtAOOQ中，R2=3+（3_R）Z,解得R=2,

当截面过球心时，截面面积最大，最大面积为兀.改=4兀.

•••所得截面圆面积的最大值为4兀.

故选：D.

12.已知球。的体积为中，点A到球心。的距离为3,则过点A的平面。被球。所截的

截面面积的最小值是（）

A.9兀B.1271C.16兀D.20兀

【答案】C

【分析】根据球的体积公式，结合球的截面的性质进行求解即可.

【详解】设球。的半径为R,则]兀心=詈，解得R=5.

因为点A到球心O的距离为3,

所以过点A的平面a被球O所截的截面圆的半径的最小值为r=庐于=4，

则所求截面面积的最小值为兀产=16兀.

故选：C

13.在正六棱柱ABCQEF-A4GA4片中，A4,=2AB=6,。为棱AA】的中点，以。为球心,

6为半径的球面与该正六棱柱各面的交线总长为（）

A.(3+73)11B.(6+退)兀C.(3+2括)兀D.(6+26)兀

【答案】D

【分析】根据题意，画出图形，设G,“分别为CG，£>2的中点，连接

OG，A£,OEi，AE，OG,OH,由题意可知球。不与侧面42片4及侧面人/片片相交，球。与

侧面BCG瓦交于点C1,C,与侧面所与片交于点,然后分别判断与其余4个面的交线,

求出球面与正六棱柱各个面所交的弧线的长度之和即可

【详解】因为球。的半径为6,AB=3,所以球。不与侧面及侧面ASA相交，

设G,H分别为CCPDDl的中点，连接OG，A3,OE「AR,OG,OH,

则由题意可得OA,=3,=A4=36,

所以OG=70A2+AG2=A/9+27=6,

所以球。与侧面BCCtBt交于点G,C,与侧面EFFE交于点0E,

在正六边形44GA&耳中，因为NBiG2=i20o,NAC4=30°,所以NAG2=90°,

所以AG^CQ,

因为CC]_L平面A4C1R£；耳，A[C]U平面44££)|£；g，所以CG^AG，

因为CDcCG=c,,C[2，CC]u平面cDDtct,

所以4G，平面CDAG，所以。G,平面CD£>C，且0G=3有，

所以=y/OG2+GH2=727+9=6，

所以球。与侧面CDD.C,的交线是以CG为直径的半圆，

同理可得球。与侧面EDDE的交线是以E6为直径的半圆，

JT1

因为NE|AG=；，所以球。与上下底面的交线均为工个半径为36的圆，

36

所以球面与该正六棱柱各面的交线总长为

2TIX3+2X—x2^x3^3=671+26兀

6

故选：D

i/r,：zJxlc,

B(

14.已知S«=2,底面半径0A=4的圆锥内接于球。，则经过S和。/中点的平面截球。所

得截面面积的最小值为()

D.5兀

【答案】A

【分析】根据球的截面性质，结合三角形面积等积性、勾股定理进行求解即可.

【详解】如图，

S

7(9

设球。的半径为R,线段。的中点为E,因为

所以42+(R-2)2=代，解得R=5,

设经过S和。质中点E的平面截球。所得截面圆的圆心为。2,半径为「，球心。到截面的距

离0。2=d，

则产=改一/，要截面面积最小，则〃要最小，即d要最大，

因为当d为点。到SE的距离时最大，此时小SE=SO-EQ,又5片=后方=2应，

所以六'二屹=忑,

所以户=52一壹与

故截面面积的最小值为兀/=yK.

故答案为：-

故选：A

15.已知边长为6的正方体与一个球相交，球与正方体的每个面所在平面的交线都为一个面

积为16兀的圆，则该球的表面积为（）

A.967tB.100兀C.125TID.204兀

【答案】B

【分析】首先得截面圆半径，再求得球心到截面圆的距离即可得球的半径，结合球的表面积

公式即可求解.

【详解】由对称性，球心与正方体重心重合，且每个面的交线半径为4.

连球心与任意面中心，则连线长为3,且连线垂直该面，

再连交线圆上一点与球心（即为球半径），由勾股定理得球的半径为5,

则表面积为4兀-5?=100TT.

故选：B.

16.已知三棱锥ABC的体积是如，42,C是球。的球面上的三个点，且NACB=60。，

36

AB=BAC+BC=2,则球。的表面积为（）.

A.36兀B.24TIC.1271D.8兀

【答案】C

【分析】利用正弦定理即可求出VABC的外接圆半径，即可求出三棱锥O-ABC的高，利用

余弦定理即可求出ACBC,可计算出三角形ABC的面积，再利用锥体的体积公式，进而求

解.

【详解】因为AB=6，=60°,

所以由正弦定理得，VABC的外接圆半径为r=,=1,

2sin60°

在VABC中，由余弦定理可得3=AB2=AC2+BC2_2AC-3CCOS60。

=AC2+BC2-ACBC=（AC+BC）2-3AC-BC,

所以34>30=（47+8（浮-3,

又因为AC+3c=2,所以AC8C=g,

所以Sa”=-AC-BCsin60°=-x-x^=—,

△ABC223212

因为%=—S〃

aAbBcCAABC•/j=—xx=,

°-3"c31236

:』=母，由球中的截面性质及勾股定理，可知球的半径R=病下=石，

所以球O的表面积为：S=47IT?2=12TI.

故选：C.

17.已知球O半径为4,圆。|与圆。2为球体的两个截面圆，它们的公共弦长为4,若|OQ|=3,

\oo2\~y/3,则两截面圆的圆心距|aal=（）

A.#B.孚C.3+V3D.26

【答案】D

【分析】根据球心与截面圆心连线垂直圆面，求得两个圆面所成二面角，再根据直角三角形

以及勾股定理求解即可.

【详解】设圆。।与圆。2公共弦为A3,其中点为E，

2222

则I。1司==V4-3=J7，|。2Al=7|OA|-|OO2|=⑪一旧=而,

所以|0闽=J|O|A「一=万］=A/3,\O2E\=J|QA|2T时=V13-4=3,

3

所以在RtAOQE中，tan/OEO|=耳=6,所以NOEO1=60,

在RtAOO,E中，tan/OEO,="，所以ZOEO2=30,

3

所以在ME。中，/0皿=90，所以［0a=Jn/+Q百=囱百；=2石

故选：D.

18.球面被平面所截得的一部分叫做球冠，截得的圆面叫做球冠的底，垂直于圆面的直径被

截得的一段叫做球冠的高.球冠也可看作圆弧绕过它的一个端点的直径旋转一周所成的曲

面.假设球面对应球的半径是R,球冠的高是/7,那么球冠的表面积公式为5=2成据中

国载人航天工程办公室消息，北京时间2023年12月21日21时35分，经过约7.5小时的

出舱活动，航天员汤洪波、唐胜杰已安全返回天和核心舱，神舟十七号航天员乘组第一次出

舱活动取得圆满成功.若航天员汤洪波出仓后站在机械臂上，以背后的地球为背景，如图所

示，面向镜头招手致意，此时汤洪波距离地球表面约为400km（图中的点A处），设地球半

径约为Rkm,则此时汤洪波回望地球时所能看到的地球的表面积为（）

2200兀氏2

IOOTTT?,2pC.S版2「800兀改

AA.----------kmB.-----kmD.----------km

H+400H+4007?+400H+400

【答案】D

【分析】由题意可得。。'=结合公式S=2M十算即可求解.

,又OC=R,

R2

则R2=OO'OA=OO\R+400),得OO'=

R+400'

所以兀兀成2400007L/?

S=2R/z=2R(R—OO')=2(R——--)=2K/?--=-§(km?).

R+400R+400R+400

即此时汤洪波回望地球时所能看到的地球的表面积为黑（W）.

故选：D

19.若正四面体P-ABC的棱长为26，M为棱上4上的动点，则当三棱锥M-ABC的外接

球的体积最小时，三棱锥M-A3C的体积为（）

A.乎B.472C.46D.8也

【答案】A

【分析】首先根据几何性质分析外接球的球心位置，再构造长度的等量关系，即可求解三棱

锥的体积.

【详解】如图,

在正四面体尸-A5C中，假设尸〃，底面ABC,则点H为VABC外心.

在上取一点O，满足OA=OM,则O为三棱锥〃-ABC的外接球球心.

当。4取得最小值时，最小，三棱锥A1-ABC的外接球体积最小，此时点。与点H

重合.

作垂足为N,:.MN//PH,

为三棱锥M-ABC的高.

由正四面体尸-ABC的棱长为2TL易知AH=2=MH,

所以尸H==2四,PA=273,AH=2.

由■^■=^^=后，设AZV=x,则AW=&x，HN=2-x.

AHAN

由HM?=MN?+HN?，得2?=（2-才+（缶y,解得了=：.

…4A/2”\6Jr\24724A/6

•[MN=—^~.，咚棱锥“-ABC=§x彳X（2石）=

故选：A

20.四棱锥P-ABCD各顶点都在球心。为的球面上，且上4,平面ABC。，底面ABC。为

矩形，PA=AD=2,AB=2啦,设M,N分别是尸£>,。的中点，则平面AMN截球。所得截

面的面积为（）

A.兀B.3兀C.47cD.2兀

【答案】B

【分析】根据线面垂直关系可得四棱锥P-ABCD外接球与以ARAB，/⑦为棱长的长方体的

外接球相同，确定外接球半径R,根据线面关系求解三棱锥A-MVC的体积，利用等体积法

确定球心。到平面AMV的距离为1,从而得截面面积.

【详解】因为丛_L平面ABCD,底面ABCD为矩形，

如下图所示，

易知四棱锥尸-ABC。外接球与以为棱长的长方体的外接球相同；

由题意可知球心。为PC中点，

故球0的直径2R=《2?+2?+(2用=4,解得R=2

由分别是的中点可得MV〃尸C,因为尸C.平面4VW,可得「C〃平面AW；

所以球心0到平面AMN的距离等于点C到平面AMN的距离，

设球心。到平面的距离为d,截面圆的半径为，，

因为PA=AO=2,A8=2后，M分别是PD的中点，所以且

又MN=LpC=—4PD2+DC2=2,AN=>]AD2+DN2=血,

22

所以AN?=4屈2+”解，故又MDcPD=D,MD,PDu平面MNC,所以AM_L

平面MNC,

=x

且SMNCT也xA/2=1,所以VA_MNC=—xSMNCxAM=——，

NJJ

而％-AMN=gxSAMN-d=^x^xy/2x2d=^~,由等体积法得d=l,

所以r=R2一储=3,故截面面积为初2=3兀.

故选：B.

题型三：求算正方体截面的周长及其它

21.正方体ABC。-ABCQI的棱长为1,E,F,G分别为3C,CG，B瓦的中点，下列结论中

正确的是（）

A.DD,1AF

B.CjG//平面4£万

3

C.直线C£与直线AE所成角的余弦值为；

9

D.平面凡所截正方体所得的截面面积为g

8

【答案】D

【分析】利用空间中直线、平面的位置关系及异面直线夹角的求法、平面的性质结合正方体

的特征计算即可.

【详解】易知。R〃CC],而eq，底面ABC£>,ACu底面ABCD,即,

所以AF与CG不垂直，故A错误；

在平面BCGB]中，易知2F//GG，且BFu平面ABF,3弓<2平面48尸，

故CQ〃平面Afi尸，显然平面ABB平面他产二井^但两平面不重合，故B错误;

取C尸的中点H,易得BFIIGCJIEH,

则异面直线GG与AE所成角为NAEH（或其补角）,

由正方体棱长为1可知AE=好,EH=好,AH=叵，

244

।Arn—p/rr/AFTrAE^+EH^-2

由余弦定T理可知cosNAEH=----------------=——，

2AEEH5

2

所以异面直线GG与AE所成角的余弦值为：，故C错误;

连接AR,易得EF//BC\〃AD\,则平面AE歹截正方体所得图形即梯形成叫A,

易知2EF=&=AD、,AE=DF=与,

\2

、V2

所以梯形吵A的面积Sf3夜[994右门七语

+V2x2=------x-1—，故D正确.

2488

77

7

故选:D

22.如图，正方体ABC。-A耳C2的棱长为2,E,尸分别为BC,CQ的中点，则平面出

截正方体所得的截面面积为（）

39

A.-B.-C.9D.18

22

【答案】B

【分析】根据E,尸分别是BC,CG的中点，得至IJ所BQ,利用正方体的结构特征，有

A，BQ,从而有斯AD,,由平面的基本性质得到42,E/在同一平面内，截面

是等腰梯形，再利用梯形面积公式求解.

【详解】由题知连接BG，A，，D,F,如图所示

因为分别是BC,CG的中点，所以匹BC、,

在正方体中A2BC],所以EFADt,

所以A,瓦尸在同一平面内,

所以平面A跖截该正方体所得的截面为平面瓦,因为正方体的棱长为2,

所以EF=夜，AD、=2®,DF=AE=1*+f=B

则E到期的距离为等腰梯形E叫A的高为

所以截面面积为S=g（20+0）x半=|,故B正确.

故选：B.

23.如图，在棱长为2的正方体48。-中，E为棱BC的中点，用过点A，E,C

的平面截正方体，则截面周长为（）

A.3A/2+2A/5B.9c.2V2+275D.3V2+2V3

【答案】A

【分析】作出正方体的截面图形，求出周长即可.

【详解】

如图，取AB的中点G,连接GE,AG,AC.

因为E为BC的中点，所以GE〃AC,GE=^AC,

又招〃"[,A4]=CG，

所以四边形ACGA为平行四边形,

所以AC//AG，AC=AiCi,

所以AG〃GE,AG=2GE,

所以用过点A，E,G的平面截正方体，所得截面为梯形ACEG,

其周长为20+«+应+6=3忘+2右.

故选：A.

24.如图,正方体ABCD-ABG2的棱长为3,点P是平面ACg内的动点,M,N分别为CtDt,

8。的中点，若直线8尸与所成的角为6,且sinO=咚，则动点尸的轨迹所围成的图形

的面积为（）

【答案】A

【分析】连接BA，BG，得到MN/AB2,把BP与MN所成的角就是直线BP与22所成

的角，在正方体A2CD-A4GQ中，证得平面ACB」得到NP3R=e,设BA与平面

AC4的交点为G,连接PG,结合题意，得到点P的轨迹是以G为圆心，!为半径的圆，根

据圆的面积公式，即可求解.

【详解】如图所示，连接82,8G，则N为8G的中点，又M为G2的中点，所以MN//8。，

因此直线BP与MN所成的角就是直线BP与BD1所成的角，

在正方体ABC。一A4GR中，可得ACJLBD,

因为。R_L平面ABC£>,ACu平面ABCD,可得AC_LDR,

又因为BO。。1=。且32。，匚平面2。£）声，所以AC,平面,

因为BRu平面BZ»R4，所以AC，同理可得A耳，BR,

因为ACcA4=A,且AC,AB|u平面AC4，所以B"_L平面AC4，则/尸斑\=6.

设BR与平面ACB,的交点为G,连接PG,所以BRLPG,

在直角△PGB中，tan0—...,因为sin6=9^,所以tan。=---=—,

BG5BG2

又由86=^32=所以PG=立，

332

所以点P的轨迹是以G为圆心，乎为半径的圆，其面积为兀x（#）2=中.

故选：A.

25.如图，在棱长为1的正方体ABCO-AAGD中，P,M,N分别为棱CG，C民C。上的动

点（点P不与点C，G重合）.若CP=CM=CN,则下列说法正确的个数是（）

7T

②直线MN与A2所成角为g；

③BD[//平面PMV；

④用平行于平面丽的平面a去截正方体，得到的截面为六边形时，该六边形周长一定为

372.

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【分析】根据已知得出4到平面9V的距离的范围，即可得出①；平移即可得出②正确；

根据①可知平面MAP//平面BG。，进而说明82与平面BCQ相交即可判断③；根据已知

作出截面，即可求出周长.

【详解】对于①，连接4£,26,4民2,6。，4。,环7,如图I所示：

图1

因为CP=CM=QV,所以易用MNUBD,NP//C\D,MPUBG，

且平面MNP//平面BCQ,

又已知三棱锥A-2G。各条棱长均为近，所以三棱锥A为正四面体,

所以A到平面2CQ的距离为:

因为44,平面BCC4,所以A4LBG，又与c,且A瓦瓦c=瓦，

AA，与Cu平面44C,所以BC]_L平面A4C,又ACu平面A4C,所以8GAAC,

同理可得G。，AC