中考数学专项复习：圆与射影定理结合型压轴题（含答案及解析）

圆与射影定理结合型压轴题专题

知识剖析

射影定理模型：

射影定理，又称“欧几里德定理”:在直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比例中项，每

一条直角边又是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。射影定理是数学图形计算的重要定理，在初

三各名校的数学和各地中考试题中都多次考查了这一模型的应用。

图形推导过程结论

①AC2=AD-AB-,

口为t/ABC=NACD

②BC?=BD•BA;

・・・AABC-AACD③亦=AD-BD

T--------------B.AC_AB

经典例题

题目①（长沙中考）如图，点P在以上W为直径的半圆上运动（点P不与",双重合），平分

2MNP,交PM于点、E,交PQ于点、F.

⑴理+包=

PQPM---------'

（2）若PN2=PA介脑V,则烁=.

00

•••

题目⑨（北雅）如图，点P在以AW为直径的半圆上运动（不与N重合），PH，AW于〃点，过N点作

NQ与PH平行交MP的延长线于Q点.

（1）求/QPN的度数；

（2）求证：QN与。。相切；

（3）若PN2=PM-MN,求的值.

NH

MHON

意目国］（长沙中考）如图，点力，8,。在OO上运动,满足AB2=BC2+AC2，延长AC至点O,使得ADBC=

/CAB,点E是弦AC上一动点（不与点A,。重合）,过点E作弦AB的垂线，交AB于点F,交BC的延长

线于点N,交。。于点M■（点〃■在劣弧衣上）.

（1）BD是。O的切线吗？请作出你的判断并给出证明；

⑵记ABDC,^ABC,AADB的面积分别为Si，S2,S,若S/S=⑸/,求（tan。）?的值；

⑶若。。的半径为1,设FM=①，FE•网・+,试求“关于7的函数解析式,并

V±50,JD1NAHJ,A。

写出自变量。的取值范围.

N

题目@（长沙中考）如图，四边形ABCD内接于。O,对角线AC为。。的直径，过点。作AC的垂线交AO

的延长线于点瓦点F为。E的中点,连接DB,DC,DF.

⑴求/CDE的度数；

（2）求证：DF是©。的切线；

（3）若AC=2遥DE,求tan/ABD的值.

题目回（青竹湖三模）如图，在Rt/\ABC中，/ABC=90°，。是AC的中点，。O经过A、B、D三点,

CB的延长线交OO于点E.

（1）求证：AE=CE；

⑵EF与（DO相切于点E,交AC的延长线于点F,若CD=CF=2cm,求⑷。的直径;

⑶在⑵的条件下,若CF-.CD=n（n>0）,求sinZCAB.

题目包（长郡）如图，AB为。。的直径，弦CD与AB相交于=过点B的切线与AD的延长线

交于F,过E作EG_LBC于G,延长GE交40于H.

（1）求证：AH=HD；

⑵若黑=5,。尸=9,求③。的半径.

B卜5

题目⑦如图，AB是。。的直径，点。是。。上一点，AD与过点。的切线垂直，垂足为。，直线。。与

的延长线交于点P,弦CE平分NACB，交于点F,连接BE,BE=572.

（1）求证：AC平分/DAB；

（2）若BC=5,求阴影部分的面积；

（3）若CD=3,求PC的长度（射影定理）.

题目曳〕（雅礼）如图，已知J_AC,圆心。在AC上，点/■与点。分别是AC与。。的交点，点。是

与。。的交点，点P是40延长线与BC的交点，且AD-49=⑷AP.

（1）连接OP,证明：4ADM〜△APO；

（2）证明：PD是。。的切线；

⑶若AD=24,4A1=MC,求华的值.

题目国（广益）如图，已知PB与。。相切于点B,A是。。上的一点，满足PA=PB,连接P。,交AB于

E,交。。于C,。两点，E在线段QD上，连接A。，OB.

⑴求证:直线PA是。。的切线；

⑵①求证:点。是APAB的内心

②若PA=13,sinZAPE=磊，求。E的长;

JLJ

⑶已知第=■，求tanC

AE3

5

题目叵（长郡）如图，4ABC中，以AB为直径的。。分别与AC、BC交于点F、。,过点。作。E，AC于

点、E,且CE=FE.

（1）求证：DE是OO的切线；

（2）连OE.若OE=Vii,AB=10,求CE的长.

题目RTI如图，已知。。的半径为2,AB为直径，CD为弦，AB与CD交于点M,将弧CD沿着CD翻折后,

点A与圆心。重合，延长。4至P,使4P=O4连接PC.

（1）求证：PC是。。的切线；

（2）点G为弧ADB的中点，在P。延长线上有一动点Q,连接QG交AB于点E,交弧BC于点F（F与6、

。不重合）.问GE・GF是否为定值？如果是，求出该定值;如果不是,请说明理由.

•M

题目J2j如图，已知AB是半圆。直径，点。为半圆上一动点，连接AC,过点。作CD，AB于点。，将

△ACD沿AC翻折,得到△ACE,AE交半。O于点F.

(1)求证:直线CE与③。相切；

(2)若/OCA=/ECF,人。=8,七。=6,求。尸的长.

题目远在平面直角坐标系中，已知4一4,O),B(1,0),且以AB为直径的圆交y轴的正半轴于点。(0,2),

过点。作圆的切线交立轴于点D.

⑴求过4三点的抛物线的解析式；

(2)求点。的坐标；

(3)设平行于n轴的直线交抛物线于两点，问：是否存在以线段ER为直径的圆，恰好与力轴相切？若

存在，求出该圆的半径;若不存在,请说明理由.

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圆与射影定理结合型压轴题专题

知识剖析

射影定理模型：

射影定理，又称“欧几里德定理”:在直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比例中项，每

一条直角边又是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。射影定理是数学图形计算的重要定理，在初

三各名校的数学和各地中考试题中都多次考查了这一模型的应用。

图形推导过程结论

（ZA=ZA①AC2=AD-AB-,

口为t/ABC=NACD

②BC?=BD•BA;

・・・AABC-AACD③亦=AD-BD

T--------------B.AC_AB

经典例题

题目①（长沙中考）如图，点P在以上W为直径的半圆上运动（点P不与",双重合），平分

2MNP,交PM于点、E,交PQ于点、F.

⑴理+包=

PQPM---------'

（2）若PN2=PA介■V,则嚓=.

P

【解答】解：（1）ACV为©O的直径，,4MpN=90°,VPQ±MN,：.2PQN=4MPN=90°,

,:NE平分NPNM,：.AMNE=APNE,:ZEN〜4QFN,牖=黑，即票=寨，①,

xa^LVJ-d.VV

•/APNQ+NNPQ=APNQ+APMQ=90°,/LNPQ=APMQ,VZPQN=APQM=90°,

•••△NPQ〜中的.••需=修②，，①x②得普=黑,••@=PQ-耽.•.孺=黑=1-

PF

~PQ9

•旦1+工^_=1故答案为•1-

"PQPMJ1

（2）・・•APNQ=AMNPfANQP=ANPM,：.由射影是理得：PN?=QN・MN,PN》=PM,MN,工PM=

NQ

CN.MQ_=MQ_..MQPM.MQ_=PM_.MQ_：.NQ2=MQ2+MQ・NQ,1

用…NQ—PM，*PM—MNNQMNNQMQ+NQ，

器+■'设器=*'则解得V5-1V5+1

1=°''X,或xVO（舍去）.

22

题目团（北雅）如图，点P在以AW为直径的半圆上运动（不与M、N重合），PHI.MN于H点，过N点作

NQ与PH平行交MP的延长线于Q点.

（1）求/QPN的度数；

（2）求证：QN与。。相切；

（3）若PN2=PM-MN,求的值.

NH

MHON

【解答】(1)解：・・・7W是直径，，ZMPN=90°,：./QPN=90°;

(2)证明：.・.APHM=90°,VQN//PHf：.AQNM=APHM=90°,ONI.QN,

・・・ON是半径，・・・ON与。O相切；

(3)解：•・・4MNP+/PNQ=90°,ZF7VQ+ZQ=90°,A4MNP=4Q,•:4MPN=4QPN,

：.ANPM八QPN,.PN=PM,：.PN2=PM-QP,-：PN2=PM-MN,：.QP=MN,-：PH//QN,

，9~QP~^N

MH.MHMP.MP=MH

=，同理得，\MHP八MPN,:・HN=MP,设PQ=MN=a,MP

~NH…HN—MN'*MN~MP

舍)或&二

•色二1b_(1V5)(V5+1);.MHa-bV5-1

…HNPQ-ba

：题目CO（长沙中考）如图，点在。。上运动,满足AB2=BC2+AC2，延长AC至点。，使得ADBC=

/CAB,点E是弦AC上一动点（不与点A,。重合），过点E作弦AB的垂线，交AB于点F,交BG的延长

线于点N,交。。于点M■（点M■在劣弧20上）.

（1）2。是。O的切线吗？请作出你的判断并给出证明；

⑵记ABDC,^ABC,A4DB的面积分别为Si，S2,S,若S「S=网＞,求（tan。）?的值；

（3）若。。的半径为1,设FM=x,FE-FN-+,试求y关于，的函数解析式,并

V-DO,JD1NAB,AC

写出自变量，的取值范围.

N

【解答】解：(1)BD是©。的切线.证明：如图，在XABC中，AB2=BC2+AC2,

AACB=90°.又点A,B,。在OO上，.•.AB是0O的直径.VAACB=90°,/.ACAB+AABC=

90°.

又ADBC=4CAB,：.ADBC+NABC=90°.ZABD=90".，BD是。。的切线.

2

⑵由题意得，S产-BC-CD,$2=^BC-AC,S^^AD-BC.•：S/S=(S2),

：.^BC-CD-^AD-BC=(yBC-AC1)2.：.CD-AD=AC2.：.CD(CD+AC)=AC2.又：ND+

^DBC=90°,/ABC+/A=90°,NDBC=/A,：.ND=/ABC....tan/。=第=tan/ABC=

AC._BC2

~BC--CrnD-^C-

又CD(CD+AC)=AC2,+B(f=AC2.：.B^+AC2-BC?=AC\：.l+

.rlO

由题意，设(tarLD)2=m,,・二=?7i.1+m=rrt.:'m=】m>0,：.m=-

\BC>，22

.•.(tanO)2=l^<.

⑶设/A=a,•••ZA+AABC+ADBC=AABC+/N=90°,ZA=NDBC=2N=a.

如图，连接CW.

■■在RtAOFM中，OF=dOMZ—FM?=Jl—a?.BF^BO+OF=1+^1-x2,AF^OA-OF^

1—V1—cc2.

2

•'•在RtAAFE中，EF=AF-tana=(1-Vl-rc)-tana,AE=1一6一工".在Rt/\ABC

coscucosa

中，BC=AB-sina=2sina.(Vr=1,.\AB=T).AC—AB•cos^z=2cosa.在Rt/\BFN中，BN—"

sin。

22

1+A/1—x口zBF1+V1—x

=----；------,FN=-------=---------------.

sinatanatana

22

y—FE•FN•、/CCA)+〃」.——x■/-------:、H---------:。—x■

vBC-BNAE-ACV2+271^1?2-271^1?

/2—2"1-/+2+2J1二/

V4-4(1-®2)

=X2-P^=X2--=X.即y=;r.；FA工LAB,.•.EM■最大值为F与O重合时，即为1..-.0<a;<l.

Vxx

综上，y—xf0<T<1.

题目@（长沙中考）如图，四边形ABCD内接于0O,对角线AC为。O的直径，过点。作AC的垂线交AD

的延长线于点E,点F为CE的中点,连接DB,DC,DF.

（1）求/CDE的度数；

（2）求证：DF是。。的切线；

（3）若AC=2函。£；,求tan/ABD的值.

解：（1）对角线AC为OO的直径，/.ZADC=90°,ZEDC=90°;

（2）证明：连接。O,•••/EDC=90°,F是EC的中点，：.DF=FC,；.ZFDC=AFCD,•：OD=OC,：.

AOCD=ZODC,'：ZOCF=90°,AODF=ZODC+ZFDC=AOCD+4DCF=90°,。?是OO的

切线；

（3）设DE=1,则2/，由射影定理得：AC2=ADxAE,：.20=4D（AD+1）,

AD=4或一5（舍去）,•/DC?：AC2-AD2：.DC=2,：.tan/ABD=tan/ACD=需=2;

JLZO

题目区（青竹湖三模）如图，在7?必48。中，乙43。=90°,。是入。的中点，。。经过4、3、。三点，

CB的延长线交O。于点E.

（1）求证：AE=CE；

（2）EF与（DO相切于点E,交AC的延长线于点F,若CD=CF=2cm,求。。的直径；

（3）在（2）的条件下,若CF-.CD="（">0）,求sinZCAB.

解：（1）证明：连接DE,90°AABE=90°二AE是。O直径，

2ADE=90°ADE_LAC叉；。是AC的中点二DE是AC的垂直平分线AAE=CE;

⑵解：在4ADE和AEFA中，：NADE=AAEF=90°,由射影定理得：4^=ADxAF,二人炉=2x6,:.

AE—2V3cm;

(3)解：•••AE是。O直径，EF是＜30的切线，,••CF:CD=%令。。=1,则CF=n,VNADE=NAEF=

90°,由射影定理得：.•.AB2=IX(TZ+2),/.AE=Vn+2=CE,1/ACAB=ADEC,

：.sinZCAB=sinADEC=孕=1Yn+2

CEVn+2n+2

题目回（长郡）如图，AB为（DO的直径，弦CD与AB相交于=过点B的切线与AD的延长线

交于F,过E作EG_LBC于G,延长GE交AD于X.

（1）求证：AH=HD-,

⑵若第=”,。尸=9,求。。的半径.

5

F

2

T

【解答】（1）证明：•••AB为。。的直径，=.•.AB_LCD,，2C+ZCBE=90°J；EG上BC,

：.ZC+4CEG=90°,：.2CBE=4CEG,；4CBE=ACDA,ZCEG=NDEH,：.ACDA=NDEH,

：.HD^EH,•/ZA+AADC=90°,NAEH+NDEH=90°,：.AH=EH,：.AH=HD;

（2）解：：ABDF=90°,吗=3,令B。=4a;,BF=5c,则（4力2+92=（5s）2,：.x=2,BD=12,

BF5

由射影定理得：BD?=DF-DA,：.144=9xDA,/.DA=16,又由射影定理得：AB2^AF-DA,：.AB2^

25x16,：.AB=20,即半径为10.

题目可如图，AB是。。的直径，点。是。。上一点，AO与过点。的切线垂直，垂足为D,直线。。与AB

的延长线交于点P,弦CE平分乙4CB,交AB于点F,连接BE,BE=52.

（1）求证：AC平分/DAB；

（2）若BC=5,求阴影部分的面积；

（3）若CD=3,求PC的长度（射影定理）.

【解答】⑴证明：连接OC.VOA^OC,AOAC^AOCA.•rPC是OO的切线，AD_LCD,

zocp=zn=90°,ocnAD.：.ZCAD=AOCA=ZOAC.即AC平分NDAB.

（2）解：连接AE.ZACE=ABCE,：.AE=BE,：.AE=BE.又；4B是直径，=90°.

AB=，^BE=，^X52=10,•••OB=5,.•.BC=OB=OC=5,即△OBC是等边三角形，

A/BOC=60°,.♦.OH=；OC=£,砥=四0〃=,7^,.•.$谢0=］乂5*.g=岑0，

ZZ乙ZZ4

S扇彩BOC=及］x兀x52=票兀，，阴影部分的面积为空无一-^-A/3;

360664

（3）解:过点。作SLAB垂足为点H,如图：由（2）得：OC=OB=5,

（1）平分/DAB,S_L4B,CD_L4D,.•.S=CD=3,♦.•乙4cB=/B8C=90°,由射影定理得:

CH2—BH•AH,iSiBH—x,AH—10—a:,3?=a?（10—x）,解得：a;=1或9（舍），又由射影定理得：

CH2=OH^HP,/.32=4HF,解得：门=号.

题目回（雅礼）如图，已知AC,圆心。在4。上，点/■与点。分别是AC与0O的交点，点D是MB

与。。的交点，点P是AD延长线与BC的交点，且AD・AO=4W-AP.

（1）连接OP,证明：AADM〜AAPO；

（2）证明：PD是。。的切线；

（3）若AD=24,,求端的值.

BB

解：（1）证明：连接O。、OP、CD.vAD^AO=AM-AP,

：.用=用",ZA=ZA,/.△ADM-/\APO.

APAO

（2）V&ADM〜/\APO,/ADA1=AAPO,：.MD//PO,

Z1=Z4,Z2=Z3,OD=OM,：.Z3=Z4,Z1=Z2,

OP=OP,OD=OC,：./XODP空/\OCP,：.AODP=/.OCP,VBC±AC,：.AOCP=90°,

：.OD±AP,.•.「£>是（DO的切线.

（2）连接CD.由⑴可知：PC=PD,♦.•AW=_MC,.•.4Vf=2A/O=2R,

在Rt/XAOD中,。。2+4。2=OA2,R2+242=9R2,：.R=672,OD=6^/2,MC=1272,

V=乎=2,DP=12,•.•。是MC的中点，.•.修=嘉=J,.•.点P是BC的中点，

.•.BP=CP=DP=12,是。。的直径，ZBDC=NCDM=90°,

在RtABCM中，：BC=2DP=24,MC=1272,/.BM=1276,

由射影定理得：MC2=MDxMB,：.12V22=1276xMD,：.MD=476,贫^=乎.

题目9（广益）如图，已知PB与（DO相切于点B,人是。。上的一点，满足P4=PB,连接PO,交AB于

E,交OO于C,。两点，E在线段OD上，连接AD,OBo

⑴求证:直线PA是。。的切线；

⑵①求证:点。是4PAB的内心

②若P4=13,sin/APE=磊■，求DE的长；

⑶已知噌■=*&，求tan。.

AHo

【解答】（1）证明：连接。4,•••PB与OO相切于点B,.•./OBP=90°,

OA^OB

在△OAP和AOBF中，｛OP=OP,AOAF岂△OBP（SSS），,AOAP=zLOBP=

PA=PB

90°,：.OA±PA,

r.直线P力是。。的切线；

（2）①由（1）得△OAPWaOBP,/.AAPO=ABPO,AAPB,•：PA=PB,：.PE±AB,

：.NDAE+ZADE=90°,/AOAP=90°,NDAP+AOAD=90°，:OA=OD,：.NADE=ZOAD,

：./DAE=/D4P,AD平分/P4B,同理可得出BD平分/PR4,.•.点。是△PAB的内心；

②解：作DF_LAP于F,在Rt/\APE中，AB=PA•sinAAPE=13x2=5,PE=^AP2-AE2=

22

V13-5=12,；AD平分APAB,PE±AB,DF±AP,：.DE=DFj：SAAPE^SAAPD+SAAED,Ayx5

X12=9X13XDE+：X5XDE,解得：DE=

（1）解：AB,.•.才力=曲，ADAE^ZOCA,V/DEA=/ABC=90",由射影定理得：4^=

CE'DE,'：设CD=4\后2，AE=3x,DE=y,：.（3z）2=（4A/32：—y）・y,解得:y—V3x或

A.E3

y=（不合题意，舍去），DE=V3x,CE=,在_Rt△力CE中，tanC==—笔==

GB3v3ic3

题目,（长郡）如图，△ABC中，以AB为直径的。。分别与力。、BC交于点F、过点。作DE，AC于

点、E,且CE=FE.

（1）求证：DE是③。的切线；

（2）连OE.若OE=@,AB=10,求CE的长.

【解答】证明：⑴连接OF,OD,过点。作于X,•.•DELAC,CE=FE,：.DF=DC,

：.ZC=/LDFC,■：四边形4BDF是圆内接四边形，/.AOBD+NAFD=180°,VNAFD+ACFD=180°,

AOBD=NCFD,•：OD=OB,：.2ODB=ZOBD,/.ZODB=ZC,/.OD//AC，;DE±AC,：.OD

_1。瓦又；。。为半径，.•._DE是。。的切线；

（1）­：OH±AC,DE±AC,OD±DE,：.四边形ODEH是矩形，：.DE=OH,OD=EH,vAB=10,

AO=OB=OD=EH=5,：.DE=-JOE2-EH2=V41-25=4,由射影定理得：DE2=CExAE,：.16

=CE（10-CE）,r.CE=2或8（舍去），.,.无=2.

题目叵j如图，已知。。的半径为2,AB为直径，CD为弦，AB与CD交于点M,将弧CD沿着CD翻折后,

点A与圆心。重合，延长。4至P,使AP=O4连接PC.

（1）求证：PC是。。的切线；

（2）点G为弧4DB的中点，在PC延长线上有一动点Q,连接QG交4B于点E,交弧BC于点F（F与B、

。不重合）.问GE・GF是否为定值？如果是，求出该定值;如果不是,请说明理由.

•M

O

解:(1)•••PA=04=2,AM^OM=1,CM=4l,又1/ACMP=4OMC=90°,二PC^y/M(f+PM2

24，；OC=2,P。=4,APC2+OC2^PO1,：.APCO=90°,PC与。O相切；

⑵GE・GF为定值，理由如下：如图2,

连接GH、AF、GB,•点G为弧ADB的中点，.•.念=怎，/.Z.BAG=AAFG，,:NAGE=AFGA,

.•.△AGE〜△FG4.•.券=怨，.•.GE・GF=4G2,•••为直径，AB=4,/.ZBAG=ZABG=45°,

GEAG

：.AG=2V2,：.GE-GF=AG2=8.

〔题目