中考数学专项复习：直线与圆的位置关系压轴题八种模型（含答案及解析）

直线与圆的位置关系压轴题八种模型全攻略

导?【考点导航】

目录

【典型例题】............................................................................1

【考点一判断直线和圆的位置关系】.........................................................1

【考点二已知直线和圆的位置关系求半径的取值】............................................2

【考点三已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离】......................................2

【考点四判断或补全使直线为切线的条件】...................................................3

【考点五证明某直线是圆的切线】...........................................................4

【考点六切线的性质定理】.................................................................5

【考点七切线的性质与判定的综合应用】.....................................................6

【考点八直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系】........................................7

【过关检测】..........................................................................9

【典型例题】

【考点一判断直线和圆的位置关系】

例题:例题：（2023上•浙江台州•九年级统考期中）已知口0的半径是5cm,若圆心。到直线A8的距离是8cm,

则直线AB与3O的位置关系是.

【变式训练】

1.（2022秋•湖南长沙•九年级校联考期末）在平面直角坐标系中，以点（-3,4）为圆心，3为半径的圆（）

A.与x轴相交，与〉轴相切B.与x轴相离，与y轴相切

C.与x轴相离，与y轴相交D.与x轴相切，与y轴相离

2.（2023上•福建厦门•九年级校考期中）如图NO=30。，C为OB上一点，且0c=4,以点C为圆心,

半径为2的圆与OA的位置关系是

A

D

B

3.（2023上•河北唐山•九年级统考期中）如图，在矩形ABCD中，BC=5,AB=2,是以3c为直径的

圆，则直线AD与口。的位置关系是.

彳1----------------------------1。

【考点二已知直线和圆的位置关系求半径的取值】

例题：（2022秋•江苏连云港•九年级统考期中）直线/与口O相离，且口。的半径等于3,圆心。到直线/的

距离为4,则d的取值范围是.

【变式训练】

1.（2023•全国•九年级专题练习）已知直线/与半径长为R的口。相离，且点。到直线/的距离为5,那么R

的取值范围是.

2.（2023•湖南常德•统考模拟预测）如图，已知NACB=3O。，CM=2,AM^5,以“为圆心，「为半径作

QM,口/与线段AC有交点时，则厂的取值范围是.

【考点三已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离】

例题：（2022秋.九年级单元测试）设口。的半径为R,圆心。到直线/的距离为d,若d、R是方程

尤2-6龙+根=0的两根，则直线/与口。相切时，根的值为.

【变式训练】

1.（2022春•九年级课时练习）在直角坐标系中，OM的圆心坐标为（租,0）,半径是2.如果与了轴相切,

那么机=_；如果与y轴相交，那么加的取值范围是_；如果与y轴相离，那么〃?的取值范围是

2.（2023•陕西•模拟预测）如图，在直角梯形ABCD中，AD//BC,ZA=90°,£是AD上一定点，

48=3,8。=6,4。=8,4石=2.点P是3。上一个动点，以尸为圆心，PC为半径作G）P.若。P与以£为圆

心，1为半径的OE有公共点，且0P与线段只有一个交点，则PC长度的取值范围是

【考点四判断或补全使直线为切线的条件】

例题：（2023・江苏•九年级假期作业）如图，已知NAO8=30。，〃为边上任意一点，以/为圆心，2cm

为半径作口M，当OM=c加时，口加与CM相切.

【变式训练】

1.（2022春•九年级课时练习）如图，AB为口。的直径，当AC=cm时，直

线AC与口。相切.

2.（2022春•九年级课时练习）如图，A、3是。。上的两点，NC是过/点的一条直线，如果4105=120。,

那么当NC4B的度数等于度时，/C才能成为。。的切线.

【考点五证明某直线是圆的切线】

例题：（2023秋•云南昭通•九年级校联考阶段练习）如图，已知A8是口。的直径，直线8c与口。相切于点

B,过点/作AD〃OC交口。于点。，连接。.

⑴求证：8是口。的切线.

（2）若/BCD=60。，直径AB=10,求线段8c的长.

【变式训练】

1.（2023秋•云南昭通•九年级统考期末）如图，□。的半径为2,点N是nO的直径8。延长线上的一点，C

为口。上的一点，AD^CD,ZA=30°.

r

（2）求二ABC的面积.

2.（2023秋•辽宁葫芦岛•九年级统考期末）如图，四边形ABCD内接于圆O,AD是圆。的直径，AD,BC

的延长线交于点E,延长CB交AF于点尸，ZBAF+ZDCE=90°.

⑴求证：A尸是圆。的切线;

(2)点G在CE上，且3C=CD=CG,连接DG,Z)G=2,AB=5,求AO的长.

【考点六切线的性质定理】

例题：（2023•浙江衢州・统考二模）如图，口O的切线PC交直径AB的延长线于点尸，C为切点，若/尸=30。,

【变式训练】

1.（2022秋•福建福州•九年级统考期中）如图，AB是口。的直径，点C是口。外的一点，且BC是口。的切

线，AC交口。于点。，若/C=60。，则NA=°.

2.（2023•湖南永州•校考二模）如图，A8是口。的直径，PA与口。相切于点AZABC=32。，OC的延长线

交尸A于点P,则/P的度数是.

A

【考点七切线的性质与判定的综合应用】

例题：(2023秋,江苏•九年级专题练习)如图，中，NACB=90°,点O在边AC上，以点。为圆心,

OC为半径的圆交边AC于点O,交边A3于点E,且BC=BE.

⑴求证：AB是口。的切线.

(2)若AE=24,BE=15,求口。的半径.

【变式训练】

1.(2023.河南周口•校联考三模)如图，点E是以为直径的nO外一点，点C是口。上一点，硬是口。的

切线，EC±OC,连接AC并延长交BE的延长线于点

⑴求证：点E是8尸的中点；

(2)若EC=OC,口O的半径为3,求CF的长.

2.（2023•云南昆明,统考二模）如图，在口45。中，。为AB上一点，以点。为圆心，为半径作半圆，与

3c相切于点B,过点4作40,CO交CO的延长线于点。，^.ZAOD=ZCAD.

（1）求证：AC是半口O的切线；

（2）若CO=47,BC=4,求半口。的半径.

3.（2023・全国•九年级专题练习）如图，A8是口。的直径，E为口。上的一点，NABE的平分线交口。于点

C,过点C的直线交54的延长线于点P,交2E的延长线于点Z）.且/PC4=/CB£>.

⑴求证：PC为口。的切线；

（2）若PC=26BO,PB=n,直接写出半径的长.

【考点八直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系】

例题：（2023•甘肃陇南•校考一模）如图，□。与NA=90。的的三边AB、BC、AC分别相切于点。、

E、F,若BE=10,CF=3,贝仃O的半径为（）

A

F

/

BEC

A.5B.4C.3D.2

【变式训练】

1.（2022秋•山东淄博・九年级统考期末）如图，：］ABC中，NC=90。，圆。是nABC的内切圆，D,E,F

是切点.若AB=5,AC=3,则OD=.

2.（2023秋•陕西延安•九年级统考期末）如图，在Rt^ABC中，ZC=90°,BC=3,AC=4,口。是口相。

的内切圆，分别切边BC,AC,AB于点。，E,F.

⑴求nO的半径.

（2）若。是的外心，连接。Q,求。。的长度.

【过关检测】

一、单选题

1.（2023上•福建厦门•九年级厦门市第十一中学校考期中）已知平面内有□O和点N,若口。半径为2cm,

线段OM=3cm,ON=2cm,则直线MN与口。的位置关系为（）

A.相离B.相交C.相切D.相交或相切

2.（2023上,河北张家口•九年级张北县第三中学校考期中）如图，已知口。的直径A8与弦AC的夹角为35。,

过C点的切线PC与AB的延长线交于点P,则/尸等于（）

3.（2023上•河北唐山•九年级统考期中）如图，PA,PB分别与口。相切于A、B两点，点C为口。上一点,

连接AC、BC,若々=80。，则/AC3的度数为（）

4.（2023上•广西南宁•九年级南宁十四中校考期中）如图，口ABC的内切圆口。与AB,BC,AC分别相切于

点DE,F,DB=90°,AB=6,BC=8,贝bABC的内切圆半径r为（）

5.（2023下•山东烟台•九年级统考期中）如图，在口48。中，/8=6,以点/为圆心与边8c相切于点D,与

/C、分别相交于点£和点G,点尸是优弧GE上一点，ZCDE=18°,则/GEE的度数是（）

C.45°D.36°

二、填空题

6.（2023上•江苏泰州•九年级校联考阶段练习）设口O的直径为12cm，点A在直线/上，若AO=6cm,则

直线/与口。的位置关系是—.

7.（2023上•江苏常州•九年级统考期中）在nOAB中，04=03=2,口。的半径为班，当ZAOB=。时，

直线AB与口O相切.

8.（2023上•福建福州•九年级福建省福州第八中学校考阶段练习）在Rt^ABC中，NC=90。，AC=3cm,

BC^4cm,以C为圆心，厂为半径作圆，若圆C与直线AB相切，则r的值为.

9.（2023上•云南红河•九年级统考期末）为了测量一个圆形铁环的半径，小华采用了如下方法：将铁环平放

在水平桌面上，用一个锐角为30。的直角三角板和一个刻度尺，按如图所示的方法得到有关数据，进而求得

铁环的半径，若测得M=10cm,则铁环的半径是.

BA

10.（2023上•九年级课时练习）如图，与工。相切于点歹，AC与口。交于C,。两点，ZBAC=45°,

BELCD于点、E,且8E经过圆心，连接00,若OD=5,CD=8,则BE的长为.

三、解答题

11.（2023上•江苏盐城,九年级校考阶段练习）阅读下面的材料，回答问题:

⑴在单位长度为1的正方形网格中标出该圆弧所在圆的圆心0；

（2）请在⑴的基础上，完成下面问题：

①Ho的半径为」

②判断直线co与口。的位置关系，并说明理由.

12.（2023上•江苏盐城•九年级校考阶段练习）如图，己知口。是nABC的外接圆，A8是口O的直径，。是A8

延长线的一点，AE_LCD交。C的延长线于E,CFJ.AB于F,且CE=CF.

⑴求证：DE是口。的切线；

⑵若AB=10,BO=3,求AE的长.

13.（2023上•福建福州•九年级福建省福州第十九中学校联考期中）如图，AB是口。的直径，AC是弦，点

。为BC的中点，DE1AC交AC的延长线于点E,OE交AD于点F.

E

⑴求证：是口O的切线;

DE1EF

⑵若AE5'求标的值;

⑶在（2）的条件下，若ZJO直径为15,求CE的长.

14.（2022上,江苏泰州•九年级校联考阶段练习）探究问题:

⑴如图1,PM、PN、口分别切口。于点/、B、C,猜想nPER的周长与切线长物的数量关系，并证明你

的结论.

（2）如果图1的条件不变，且尸O=10cm,1]PE尸的周长为16cg求口。的半径.

（3）如图2,点E是/MPN的边上的点，EFLPN于点、F,口O与边砂及射线PM、射线PN都相切.若

EF=3,PF=4,求口。的半径.

15.（2023上•江苏苏州•九年级校考阶段练习）【观察思考工

某种在同一平面进行传动的机械装置如图1,图2是它的示意图.其工作原理是：滑块。在平直滑道/上可

以左右滑动，在。滑动的过程中，连杆尸。也随之运动，并且PQ带动连杆。尸绕固定点O摆动.在摆动过程

中，两连杆的接点P在以0P为半径的口。上运动.数学兴趣小组为进一步研究其中所蕴含的数学知识，过

点。作于点H,并测得。"=8分米，PQ=6分米，OP=4分米.

⑴点。在/上滑到最左端的位置与滑到最右端位置间的距离是.分米;

(2)如图3,小明同学说："当点。滑动到点H的位置时，PQ与口。是相切的."你认为他的判断对吗？为什

么？

⑶小丽同学发现："当点P运动到上时，点P至卜的距离最小."事实上，还存在着点尸至IJ/距离最大的位

置，此时，点P至卜的距离是分米;

16.(2023上,江苏扬州•九年级校考阶段练习)RtZXABC和口。如图放置，其中,

口。的半径为6，圆心。与直线的距离为5.

⑴若［ABC以每秒2个单位的速度向右移动，口O不动，则经过时间口相。的边与圆第一次相切？

⑵若两个图形同时向右移动，1ABe的速度为每秒2个单位，的速度为每秒1个单位，则经过多少时间

口"C的边与圆第一次相切？

⑶若两个图形同时向右移动，口ABC的速度为每秒2个单位，口。的速度为每秒1个单位，同时nABC的边

长AB、BC分别以每秒走」个单位沿343c方向增大.求当口46。的边与圆第一次相切时，点B运动了

22

多少距离？

直线与圆的位置关系压轴题八种模型全攻略

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目录

【典型例题】............................................................................1

【考点一判断直线和圆的位置关系】.........................................................1

【考点二已知直线和圆的位置关系求半径的取值】............................................3

【考点三已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离】......................................5

【考点四判断或补全使直线为切线的条件】...................................................7

【考点五证明某直线是圆的切线】...........................................................9

【考点六切线的性质定理】................................................................14

【考点七切线的性质与判定的综合应用】....................................................16

【考点八直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系】.......................................23

——11【过关检测】.........................................................................27

【典型例题】

【考点一判断直线和圆的位置关系】

例题:例题：（2023上•浙江台州•九年级统考期中）已知口O的半径是5cm,若圆心。到直线的距离是8cm,

则直线AB与3O的位置关系是.

【答案】相离

【分析】本题考查直线与圆的位置关系，根据直线A8与口。的位置关系即可解答，掌握判断直线与圆的位

置关系的方法是解题关键.

【详解】解：已知口。的半径为5cm,圆心0到直线AB的距离是8cm,

即半径小于圆心0到直线A8的距离，

故直线A8与口。的位置关系为相离，

故答案为：相离.

【变式训练】

1.（2022秋•湖南长沙•九年级校联考期末）在平面直角坐标系中，以点（-3,4）为圆心，3为半径的圆（）

A.与x轴相交，与y轴相切B.与x轴相离，与y轴相切

C.与x轴相离，与了轴相交D.与x轴相切，与y轴相离

【答案】B

【分析】由已知点（一3,4）可求该点到X轴，y轴的距离，再与半径比较，确定圆与坐标轴的位置关系.设d

为直线与圆的距离，r为圆的半径，则有若d<J则直线与圆相交：若d=J则直线于圆相切；若d>r,

则直线与圆相离.

【详解】解：点（一二可到*轴的距离为％大于半径3,

点（一二4）到丫轴的距离为3,等于半径3,

故该圆与x轴相离，与y轴相切，

故选：B.

【点睛】本题考查的是直线与圆的位置关系以及点到坐标轴的距离，解决此类问题可通过比较圆心到直线

距离d与圆半径大小关系完成判定.

2.（2023上•福建厦门•九年级校考期中）如图NO=30。，C为OB上一点，且OC=4,以点C为圆心,

半径为2的圆与OA的位置关系是

【答案】相切

【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，直角三角形中3。°角所对的边是斜边的一半；利用直角三角形中

3。°角所对的边是斜边的一半，求出。的长；根据CD的长与圆的半径的大小关系，可判断圆0与。4的位

置关系.

【详解】过点°作CD,AO于点。.

VZO=30°,OC=4,

:.DC=2,

•:以点C为圆心，半径为2的圆与OA的位置关系是相切.

故答案为：相切.

3.（2023上•河北唐山•九年级统考期中）如图，在矩形ABCD中，BC=5,AB=2,口。是以3C为直径的

圆，则直线AD与口。的位置关系是.

彳1----------------------------1。

【答案】相交

【分析】此题主要考查了直线与圆的位置关系，本题先求解圆心到直线4。的距离与圆的半径，再根据“<厂

可得答案；熟记直线和圆的位置关系的判定方法是解题关键.

-BC=2.5

【详解】解：根据题意，得圆心°到直线的距离等于48=2,圆的半径是2,

••・圆心到直线的距离小于半径，得直线和圆相交.

故答案为：相交.

【考点二已知直线和圆的位置关系求半径的取值】

例题：（2022秋•江苏连云港•九年级统考期中）直线/与口O相离，且口。的半径等于3,圆心。到直线/的

距离为乩则d的取值范围是.

【答案】1>3

【分析】根据直线与圆的位置关系判断即可.

【详解】解：•••直线I与n°相离，且□°的半径等于3,圆心。到直线I的距离为d,

・•.d的取值范围是d>3；

故答案为：d>3

【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，设口°的半径等于r,圆心0到直线I的距离为d,则当d>「时，

直线与圆相离，当"=厂时，直线与圆相切，当“<厂时，直线与圆相交；反之也成立.

【变式训练】

1.（2023•全国•九年级专题练习）已知直线/与半径长为R的口O相离，且点。到直线/的距离为5,那么火

的取值范围是.

【答案】0<7?<5

【分析】若直线和圆相离，则应满足即可.

【详解】解：•.•直线和圆相离，且点。到直线/的距离为5,

.-.0<7?<5,

故答案为：0<我<5.

【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系，掌握直线和圆的位置关系与数量之间的等价关系.直线和圆相

离，则应满足是解题的关键.

2.（2023•湖南常德・统考模拟预测）如图，已知NACB=3O。，CM=2,AM^5,以M为圆心，厂为半径作

UM,口/与线段AC有交点时，则厂的取值范围是.

【答案】卬《5

HM=-CM=1

【分析】过M作MHLAC于H,根据直角三角形的性质得到2,然后根据直线与圆的位置

关系即可得到结论.

【详解】解：过M作MHLAC于H,如图所示:

HM=-CM=\

2

・•・AM=5,口加与线段AC有交点,

・•.r的取值范围是r«5,

故答案为：1WY5.

【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系：设口°的半径为r,圆心0到直线I的距离为d,若直线I和口°

相交od<J直线I和口°相切od=j直线|和口°相离od>r.

【考点三已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离】

例题：（2022秋•九年级单元测试）设的半径为K,圆心。到直线/的距离为d,若d、R是方程

+加=0的两根，则直线/与口。相切时，机的值为.

【答案】9

【分析】先根据直线与圆的位置关系得出方程有两个相等的根，再根据公=0即可求出m的值.

【详解】解：•"、R是方程V-6x+机=°的两个根，且直线|与相切，

.-.d=R,

•••方程有两个相等的实根，

A=b2-4ac=（-6）~-4m=36-4m=0

,,，

解得，加=9,

故答案为：9.

【点睛】本题考查的是直线与圆的位置关系及一元二次方程根的判别式，熟知以上知识是解答此题的关键.

【变式训练】

1.（2022春•九年级课时练习）在直角坐标系中，的圆心坐标为（孙0）,半径是2.如果OM与y轴相切，

那么机=_；如果O”与V轴相交，那么m的取值范围是_；如果O"与y轴相离，那么m的取值范围是

【答案】±2-2<m<2m<-2m>2

【分析】根据》轴与圆的位置关系，推出圆心到丁轴的距离和半径之间的关系即可得解.

【详解】解：与y轴相切,

,.,\m\=r=2»

即力=d2；

・•・如果OM与y轴相交，那么m的取值范围是-2<加<2；

如果OM与y轴相离，那么m的取值范围是根<-2或〃z>2.

故答案为：±2；-2<m<2.m<-2或m>2.

【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，熟练掌握圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系与直线与圆的

位置关系之间的联系，是解题的关键.

2.（2023•陕西•模拟预测）如图，在直角梯形ABCD中，AD//BC,ZA=90°,E是AD上一定点，

A8=3,BC=6,AD=8,AE=2.点尸是3c上一个动点，以尸为圆心，PC为半径作。P.若。P与以E为圆

心，1为半径的OE有公共点，且。尸与线段/。只有一个交点，则PC长度的取值范围是

【答案】4或尸C=3

【分析】根据题意可得PC的最小值为圆p与AD相切，切点为M；PC最大值为圆P与圆E内切，切点为

Q,由直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系即可解决问题.

【详解】解：根据题意可知：PC的最小值为圆P与A。相切，切点为M,如图所示:

...PMLAD,

在直角梯形中，

-AD//BC

•.,ZABC=ZA=90°9

・•・四边形是矩形,

•PM=AB=PC=3,

PC最大值为圆尸'与圆E内切，切点为Q,

,.,P'C=PQ=P'E+EQ=3+T=4，

当尸C=P4时，此时圆P与线段开始有2个交点，不符合题意，

^PC=PA=xf则BP=BC—PC=6—x,AB=3,

.（6-x）2+9=x2

,,，

15

x=一

4,

—<PC<4

则尸C长度的取值范围是4或尸C=3.

—<PC<4

故答案为：4或PC=3.

【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系，直角梯形，解决本题的关键是掌握直线与

圆的位置关系，圆与圆的位置关系.

【考点四判断或补全使直线为切线的条件】

例题：（2023・江苏•九年级假期作业）如图，已知4408=30。，”为05边上任意一点，以/为圆心，2cm

为半径作口当31=cm时，口加与CM相切.

【答案】4

【分析】过M作MN10A于点N,此时以MN为半径的圆口V与OA相切，根据30。角所对直角边为斜边的

一半可得0M的长.

【详解】解：如图，过M作MN_LOA于点N,

,.•MN=2cm,NA03=30。，

.,.OM=4cm,

则当OM=4cm时，口M与OA相切.

故答案为4.

【点睛】本题主要考查切线判定，直角三角形中30。角所对直角边为斜边的一半，解此题的关键在于熟练掌

握其知识点.

【变式训练】

1.（2022春.九年级课时练习）如图，为口。的直径，AB=lcm,BC=V2cm,当AC=cm时，直

线AC与口。相切.

【分析】直线AC与口。相切时，N8AC=90。，根据勾股定理即可求出AC.

【详解】解：当N8AC=90。时，直线AC与□°相切,

...ACNBG+AB?=1（5）,

故答案为：1.

【点睛】本题考查了切线的判定，掌握切线的判定和性质是解题关键.

2.（2022春•九年级课时练习）如图，4、3是O。上的两点，/C是过/点的一条直线，如果405=120。,

那么当的度数等于度时，/C才能成为。。的切线.

【答案】60

【分析】由已知可求得NOAB的度数，因为OA1AC,AC才能成为。。的切线，从而可求得NCAB的度数.

【详解】解：•••△AOB中，OA=OB,NAOB=120°,

NOAB=AOBA=1(180°-NA08)=30°

•••当0A1AC即NOAC=90。时，AC才能成为。。的切线,

・••当NCAB的度数等于60°,即OA1AC时，AC才能成为。0的切线.

故答案为：60.

【点睛】本题考查了切线的判定，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，掌握切线的判定定理是解答此

题的关键.

【考点五证明某直线是圆的切线】

例题：（2023秋•云南昭通•九年级校联考阶段练习）如图，已知A8是口。的直径，直线2C与口。相切于点

B,过点工作AD〃OC交口O于点。，连接。.

⑴求证：8是口。的切线.

⑵若/BCD=60。，直径AB=10,求线段8c的长.

【答案】（1）见解析

（2）5否

【分析】（]）连接根据平行线的性质可得==,通过证明

]ODC^]OBC（SAS）得出NODC=NOBC,即可求证；

（2）易得08=8=5,根据△COD=△CO8,得出NOCE>=NOCB=30。，则OC=208=10,根据勾股

定理求解即可.

【详解】（1）证明：连接如图所示:

...OA=OD,

...ZODA=ZOAD^

.：AD〃OC,

•.•/COD=ZODA,/COB=ZOAD，

.../COD=/COB.

..OD=OB,OC=OC

.□ODCWOBC(SAS)

.,.NODC=NOBC,

・•・CB是圆o的切线且。3为半径，

...NCBO=90。.

/CDO=90。.

,OD_LCD.

又...°D是口°半径，

・・.8为圆。的切线.

(2)解：・・・AB是直径，且钻=10

.3=00=5

据(1)知，4COD沿ACOB,

又48=60。，

..."CD=/OCB=30。,

...在RtZkQBC中：00=203=10,

BC=-IOC2-OB1=V102-52=5A/3.

【点睛】本题考查了圆周角定理、圆的切线的判定与性质、三角形全等的判定定理与性质，勾股定理等知

识点，解题的关键通过正确作辅助线，构造全等三角形，熟练掌握相关知识点并灵活运用.

【变式训练】

1.（2023秋•云南昭通•九年级统考期末）如图，方。的半径为2,点/是nO的直径2。延长线上的一点，C

为nO上的一点，AD=CD,ZA=3O°.

A

⑴求证：直线AC是口。的切线;

（2）求口相。的面积.

【答案】（1）见解析

⑵3百

【分析】（1）首先根据仞=8,4=30。得到NCD5=6O。，进而得到/OCD=60。，然后求出

ZACO=ZACD+ZOCD=90°,即可证明；

（2）首先得到口OCO是等边三角形，然后作W3D于点H,利用等腰三角形三线合一性质得到。a=1,

进而利用勾股定理求出C”=JCC>2-=,2?-产=上,得到/R=AO+O3=4+2=6,最后利用三角形

面积公式求解即可.

【详解】（1）证明：如图所示，连接℃

AD\

.AD=CD,ZA=30°

.ZACD=30°

...ZCDB=6Q0

-；OD=OC

,NOCD=60。

...ZACO=ZACD+ZOCD=90°

vOC是半径

...直线AC是口。的切线；

(2)由(1)得口。。。是等边三角形，CD=AD=OD=2

C

作CH,即于点H,则。"=1

...CH=yJcif-DH2=722-12=6

在△ACO中，NACO=90。，ZA=30°

...AO=2OC=4

.."=AO+O5=4+2=6

S=—AB-CH=—x6xA/3=3y/3

△AARoCc22

,••

【点睛】此题考查了圆和三角形综合题，圆切线的判定，勾股定理，等边三角形的性质和判定等知识，解

题的关键是熟练掌握以上知识点.

2.（2023秋,辽宁葫芦岛•九年级统考期末）如图，四边形ABCD内接于圆O,AO是圆。的直径，AD,BC

的延长线交于点E,延长CB交4尸于点尸，NBAF+NDCE=90°.

⑴求证：A尸是圆。的切线;

(2)点G在CE上，S.BC=CD=CG,连接OG,DG=2,AB=5,求AD的长.

【答案】⑴见解析

(2)7

【分析】(1)根据四边形ABCD内接于圆。和NDCE+N3CD=18O。得出N3AD=NOCE,再根据

ZBAF+ZDCE=90°得出NFAD=90°即可证明；

(2)连接OC,BD,记0c与5。相交于点N,根据5C=C。用垂径定理得出5N=QN,再根据

BC=CG,Q4=O。运用三角形中位线得出CN,0N即可解答；

【详解】(1)证明一•四边形内接于圆O

,,ZJ3Ar>+ZBCD=180°

o

vZZ)CE+ZBCD=180

：,ZBAD=ZDCE

.；ZBAF+ZDCE=90。

...ZBAF+/BAD=90°,即NFAD=90°

又•••AD是圆°的直径

二”是圆0的切线

(2)如图，连接°8,OC,BD,记0c与8。相交于点N

...BC=CD

...ZBOC=ZCOD,又OB=OD

...BN=DN

••.BC=CG,

CN=-DG=-x2=l

.22

又...Q4=OD,

ON=-AB=-x5=2.5

...22

OC=ON+CN^3.5

,AZ）=2OC=7.

【点睛】该题主要考查了圆切线证明，圆心角定理，垂径定理，三角形中位线等知识点，解题的关键是熟

练掌握圆部分的这些知识点.

【考点六切线的性质定理】

例题：（2023・浙江衢州•统考二模）如图，:O的切线PC交直径AB的延长线于点P,C为切点，若/尸=30。，

【分析】连接℃,根据切线的性质得到NOCP=90。，再根据30。所对的直角边是斜边的一半计算即可;

・••PC是nO的切线，

.'.OCLCP,即/OCP=90。，

又/尸=3。°,口。的半径为3,

,.,OP=2CO=6，

...PB=6—3=3.

故答案是3.

【点睛】本题主要考查了切线的性质，直角三角形的性质，准确计算是解题的关键.

【变式训练】

1.（2022秋•福建福州•九年级统考期中）如图，是nO的直径，点C是口。外的一点，且5c是口。的切

线，AC交口。于点O,若NC=60。，则/A=

【答案】30

【分析】根据切线的性质得到根据直角三角形的性质计算，得到答案.

【详解】解：是口。的切线,

.-.AB1BC,

ZC=60°,

,-.ZA=90°-60°=30°,

故答案为：3。.

【点睛】本题考查的是切线的性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键.

2.（2023•湖南永州•校考二模）如图，A8是口。的直径，PA与口。相切于点AZABC=32°,OC的延长线

交P4于点P,则NP的度数是.

【答案】26。〃6度

【分析】利用圆周角定理，切线的性质定理和三角形的内角和定理解答即可.

【详解】解：「AB是口。的直径，PA与口。相切于点A,

:.OALPA,

ZPAB=90°,

ZB=-ZAOC

2,ZABC^32°,

:.ZAOC=64°

NP=1800-NPAB-ZAOC=26°

故答案为：26。.

【点睛】本题主要考查了圆周角定理，圆的切线的性质定理，熟练掌握上述定理是解题的关键.

【考点七切线的性质与判定的综合应用】

例题：（2023秋,江苏•九年级专题练习）如图，RtZXABC中，NACB=90。，点。在边AC上，以点。为圆心,

OC为半径的圆交边AC于点交边A8于点E,且3。=3后.

（2）若AE=24,BE=15,求口O的半径.

【答案】（1）见解析

⑵口。的半径为10.

【分析】（1）连接OE,连接30,通过证明四△3℃（SSS）即可进行求证;

（2）连接OE,则BC=BE=15,钻=郎+钻=39根据勾股定理求出40=,•2—302=36,设口O的

半径为小根据％2=°/+4炉，列出方程求解即可.

【详解】（1）证明：如图，连接OE,连接8°,

在△03C和中,

OE=OC

,BE=BC

BO=BO

.ABOE丝△BOC(SSS)

；.NBEO=NBCO,

-ZBCO=90°,

...ZBEO=9Q°,

•••OE是半径，

・•.A8是□。的切线；

（2）解：如图，连接。£,

•.BE=15,AE=24,

.,BC=BE=15,AB=BE+AE=15+24=39,

...AC=ylAB2-BC2=7392-152=36,

设Zl°的半径为r,则OE=OC=r,Q4=36—r,

22

...OA=OE+AE\

.（36-r）2=r2+242

,,，

解得：〃=1°,

.•.□0的半径为10.

【点睛】本题主要考查了切线的判定和性质，勾股定理，解题的关键是掌握经过半径外端且垂直于半径的

直线是圆的切线.

【变式训练】

1.（2023•河南周口•校联考三模）如图，点£是以AB为直径的口。外一点，点C是口。上一点，硬是口。的

切线，ECLOC,连接AC并延长交3E的延长线于点F.

O

A

⑴求证：点E是8尸的中点；

(2)若EC=OC,口O的半径为3,求CV的长.

【答案】⑴见解析

(2)3五

【分析】(1)连接BC,证明EC是口。的切线.根据EB是口。的切线，可得EC=EB,进而证明跖=EC,

等量代换可得即=即，即可得证；

(2)根据EC=℃,可得四边形OCEB是正方形，则△丽是等腰直角三角形.勾股定理，即可求解.

【详解】(1)证明：连接BC.

•.•AB为口。的直径，

；,ZACB=90°.

•*-EC±OC，

・・.因是口。的切线.

・「SB是口。的切线，

:.EC=EB,

:.ZECB=NEBC.

ZECB+ZFCE=90°fZEBC+ZF=90°f

:.ZFCE=ZFf

:.EF=ECf

EF=EB,

.••点E是8尸的中点.

(2)解：若EC=℃,由(1)得，四边形OCE3是正方形,

■■■△河是等腰直角三角形.

7口°半径为3,

:.AB=6,

AF=V2AB=6V2,

BC±AF

CF=-AF=3^/2

2.

【点睛】本题考查了切线的性质与判定，切线长定理，勾股定理，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，

熟练掌握以上知识是解题的关键.

2.(2023•云南昆明•统考二模)如图，在DABC中，。为A8上一点，以点。为圆心，为半径作半圆，与

3c相切于点B,过点/作ADLCO交CO的延长线于点。，且NAOD=/。⑦.

(1)求证：AC是半口O的切线；

(2)若CO=AO,BC=4,求半口。的半径.

【答案】(1)见解析

4>/3

⑵3

【分析】(1)过点O作OFVAC于点F,由切线的性质知NB=90。，ZBOC+ZBCO=90^,又

ZCAD+ZACO=90°,AOD=ACAD,AAOD=ZBOC,推证NBCO=NACO,由角平分线性质定理得

OF=OB,结论得证；

(2)由切线长定理知CF=8C=4,由等腰三角形性质知”=b=4,ZOCA=ZOAC,进一步推证

c口AF46

flri-------___

NO4c=30。，由直角三角形性质，求解圆半径为^33.

【详解】（1）证明：过点O作OFA.AC于点F.

VBC为半口。切线，

:.OB±BC,

NB=90\

...ZBOC+ZBCO=90°

C

-AD±CD9

NO=90°

:.ZCAD+ZACO=90\

VZAOD=ZCADfZAOD=ZBOC

:.ZBOC=ZCAD?

:.ZBCO=ZACO,

/.CO平分NAC8

\-OB±BC,OF±AC,

:.OF=OBf

••OF是半口0的半径.

VOF1AC,

二•AC是半口。的切线.

(2)・・・BC,AC是半口。的切线，5C=4,

，CF=BC=4

-CO=AO,OFLAC

.•.AF=CF=4,ZOCA=ZOAC.

ZBCO=ZOCA,

ZOCA=ZOAC=ZBCO,

ZB=90°,

ZBCA+ZOAC=90",

SPZOCA+ZOAC+ZBCO=90°

ZOAC=30°

在RQOFA中，OA=2OF,

AF=V(9A2-OF2=43OF

【点睛】本题考查圆切线的判定和性质，切线长定理，等腰三角形性质，角平分线性质，直角三角形的性

质，勾股定理，利用已知的角之间的数量关系结合直角三角形性质求解角度是解题的关键.

3.（2023•全国•九年级专题练习）如图，AB是口。的直径，E为口0上的一点,NABE的平分线交口。于点

C,过点C的直线交的延长线于点P,交BE的延长线于点£>.且=

⑴求证：尸C为口。的切线；

（2）若PC=2030，尸8=12,直接写出半径的长.

【答案】⑴见解析

(2)3

【分析】（1）连接℃,根据角平分线求得NABC=/CBD,由等边对等角可得/PC4=/OCB,由A8是

直径和等量代换可得NPC0=90°,即可得证；

（2）连接℃,设=℃=J证明OP=3r,可得4r=12,推出r=3,即可求解.

【详解】（1）证明：连接℃,

・・・3C平分,

，ZABC=NCBD,

QOC=OB,

:.ZABC=NOCB,

・.・NPCA=/CBD,

:"PCA=NOCB,

〈AB是直径，

:.ZACB=90°9

.•.ZACO+/OCB=90。,

ZPCA+ZACO=90°f

ZPCO=90°f

.\OC±PCf

Voc是半径，

・••PC是oo的切线；

设OB=OC=r,

・・・PC=2桓OB,

:.PC=2垃r,

OP=yloC2+PC2=J产+(2&e=3r

;PB=12,

:.4r=12,

/.r=3,

【点睛】本题考查了切线的判定，勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构

造平行线解决问题.

【考点八直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系】

例题：（2023•甘肃陇南•校考一模）如图，口O与44=90。的Rt^ABC的三边Afi、BC、AC分别相切于点。、

E、F,若2E=10,CF=3,则口。的半径为（

4C.3D.2

【答案】D

【分析】连接OF,首先根据切线长定理得