大学物理：量子物理

第15章量子物理作业15-2315-27“Thereisnothingnewtobediscoveredinphysicsnow.Allthatremainsismoreandmoreprecisemeasurement.”“Thebeautyandclearnessofthedynamicaltheoryisatpresentobscuredbytwosmallpuzzlingcloudsremainedonthehorizon.”

Kelvin相对论量子论麦克尔孙－莫雷实验黑体辐射实验背景Outlinea.黑体辐射普朗克的能量子假说b.原子结构和原子光谱波尔的量子理论c.康普顿效应光的波粒二象性d.德布罗意波实物粒子的波粒二象性e.不确定关系f.薛定谔方程一维系统的求解a.

黑体辐射和普朗克能量子假设a-1

黑体辐射

热辐射：物体内的分子、原子受到热激发而产生电磁辐射的现象。任何物体在任何温度下都会产生热辐射单色辐出度（Mλ

）：从物体表面单位面积上发射出的波长介于

与

之间的辐射功率与的比值。辐出度（M

）：物体表面单位面积发射的包含各种波长在内的辐射功率。

吸收率：吸收能量与入射总能量的比值。单色吸收率：

波长在范围内的吸收率。单位：单位：黑体：能够完全吸收外来辐射而没有反射的物体。基尔霍夫定律：在相同温度下，单色辐出度与单色吸收率的比值对于所有物体都相同，是一个只取决于温度T和波长λ的函数。在热平衡条件下，黑体辐射的实验能谱曲线：斯忒藩-玻耳兹曼定律：斯忒藩-玻耳兹曼常量：维恩位移定律：能谱分布曲线的峰值对应的波长

m与温度T的乘积为一常数。维恩常量:例

（1）温度为20℃的物体，它的辐射能中辐出度的峰值所对应的波长是多少？（2）若使一物体单色辐出度的峰值所对应的波长在红色谱线范围内，其温度应为多少？（3）上两小题中，总辐射能的比值为多少？解（1）（2）取

=650nm

（3）维恩公式：

瑞利-金斯公式：

4012356789维恩线瑞利-金斯线普朗克公式：4012356789普朗克在德国物理学会上报告了与全波段实验结果极为符合的普朗克公式。1900.12.14.--量子论诞生日普朗克常量：讨论：（1）在长波段情况下（瑞利-金斯公式）（2）在短波段情况下（维恩公式）普朗克的能量子假设：对于频率为

的谐振子，其辐射能量是不连续的，只能取某一最小能量的整数倍。n称为量子数

称为能量子

爱因斯坦评价：“这一发现成为20世纪整个物理研究的基础，从那时起，几乎完全决定了物理学的发展。”

玻尔对普朗克量子论的评价：“在科学史上很难找到其它发现能象普朗克的如此非凡的结果…基本作用量子一样在仅仅一代人的短时间里产生这个发现将人类的观念——不仅是有关经典科学的观念，而且是有关通常思维方式的观念——的基础砸得粉碎，知识如此神奇的进展，应归功于人们从传统的思想束缚下获得的这一解放。

爱因斯坦在1918年4月普朗克六十岁生日庆祝会上的一段讲话：“在科学的殿堂里有各种各样的人：有人爱科学是为了满足智力上的快感；有人是为了纯粹功利的目的，而普朗克热爱科学是为了得到现象世界那些普遍的基本规律，……他成了一个

以伟大的创造性观念造福于世界的人。普朗克获得1918年诺贝尔物理学奖。普朗克本人也有很多的困惑和彷徨····

能量不连续的概念与经典物理学是完全不相容的！

为什么在宏观世界中,

观察不到能量分离的现象?例：设想一质量为m=1g

的小珠子悬挂在一个小轻弹簧下面作振幅A=1mm的谐振动。弹簧的劲度系数k=0.1N/m。按量子理论计算，此弹簧振子的能级间隔多大？减少一个能量子时,振动能量的相对变化是多少？量子论是不附属于经典物理的全新的理论，适用范围更广。能量经典光量子

=h

能量子能量a-3

量子假说的含义及其与宏观现象的关系能级间隔振子现有能量相对能量变化【解】弹簧振子的频率这样小的相对能量变化在现在的技术条件下还不可能测量出来。所以宏观的能量变化看起来都是连续的。一、经典原子模型放射性和电子的发现，使人们确信原子是可以分割的，原子也存在结构，从而开始了对原子结构的研究。物质是由分子组成的，而分子又是由原子组成的1895年，伦琴发现X射线1896年，贝可勒尔发现铀盐的天然放射性1898年，居里夫妇发现放射性元素钋和镭1897年，汤姆孙发现了电子b.原子结构和原子光谱波尔的量子理论1904年汤姆孙提出，原子是一个带正电荷的实心小球，正电荷均匀分布于其中，其总电量与其中电子的总电量相等，电子则嵌在小球之中，犹如“葡萄干蛋糕”一般。

这些电子能在它们的平衡位置上作简谐振动，观察到的原子所发光谱的各种频率就相当于这些振动的频率。Plumpuddingmodel1.汤姆孙原子结构模型

粒子镭放射源

荧光屏显微镜金箔

后来卢瑟福和他的学生所作的

粒子散射实验否定了汤姆孙的这种模型。

粒子为氦核以~c/15轰击金箔，

在原子中带电物质的电场力作用下，使它偏离原来的入射方向，从而发生散射现象。实验结果表明：绝大部分粒子经金箔散射后，散射角很小（2

~3

），但有1/8000的粒子偏转角大于902.α粒子散射实验

汤姆孙的原子结构模型无法解释这种现象。

这种大角度散射不可能解释为都是偶然的小角度的累积—这种可能性要比1/8000小得多，绝大多数是一次碰撞的结果。但这不可能在汤姆孙模型那样的原子中发生。①.原子的中心是原子核，几乎占有原子的全部质量，集中了原子中全部的正电荷。②.电子绕原子核旋转。③.原子核的体积比原子的体积小得多。原子半径~10-10m，原子核半径10-14

~10-15m3.卢瑟福原子有核模型卢瑟福的原子有核模型可以解释

粒子的散射实验：绝大多数的

粒子会穿透原子按原方向进行，只有极少数的

粒子进到核处而产生大角度散射。

原子核式结构模型的建立，只肯定了原子核的存在，但还不知道原子核外电子的情况（比如电子的轨道分布、轨道速度）。研究原子结构的两种方法：②.利用原子发光谱线规律。①.用高能粒子轰击物质中的原子，使高能粒子穿到原子内部发生作用，从观察到的现象解释原子内部结构。氢原子巴尔末线系1.巴尔末光谱线系

很早，人们就发现氢原子的线光谱在可见光部分的四条谱线。二、氢原子光谱的实验规律常数巴尔末公式当n=3，4，5，6,为四条可见光谱线H

、H

、H

、H

氢原子是最简单的原子，其光谱也最简单。1896年里德伯用波数来表示谱线，波数：单位长度中所包含的波形数目。里德伯常数令

氢原子光谱的其它谱线，也先后被发现，一个在紫外区，由莱曼发现，还有三个在红外区，分别由帕邢、布拉开、普丰德发现。巴尔末公式光谱在紫外区域的谱线----莱曼线系。在红外区还有三个线系帕邢系布拉开系普丰德系3.其它线系2.莱曼线系莱曼系巴尔末系帕邢系布拉开系普丰德系

氢原子光谱不是不相关的，而是有内在联系的。表现在其波数可用一普遍公式来表示：式中：n取从(m+1)开始的正整数,即对应一个m就构成一个谱线系。每一谱线的波数都等于两项的差数。广义巴尔末公式令有：称为光谱项。氢原子光谱的规律：1）光谱是线状的，谱线有一定位置。这就是说，谱线有确定的波长值，而且彼此是分立的。2）谱线间有一定的关系，例如谱线构成一个谱线系，它们的波长可以用一个公式表达出来，不同系的谱线有些也有关系，例如有共同的光谱项。3）每一谱线的波数都可以表达为二光谱项之差：

按经典理论电子绕核旋转，作加速运动，电子将不断向四周辐射电磁波，它的能量不断减小，从而将逐渐靠近原子核，最后落入原子核中。

轨道及转动频率不断变化，辐射电磁波频率也是连续的，原子光谱应是连续的光谱。但实验表明原子相当稳定，测得原子光谱也是不连续的谱线。

卢瑟福有核原子模型的困难卢瑟福有核原子模型无法解释氢原子光谱的规律。1913年，玻尔在卢瑟福的有核模型的基础上，推广了普朗克和爱因斯坦的量子概念，并引用到原子中来。提出了关于原子模型的三个假设。(2)频率法则：当原子中的电子从一个能量为Ei的定态跃迁到另一个能量为Ef的定态时，原子会发射（当Ei>Ef

）或吸收（当Ei<Ef

）光子，其频率满足频率跃迁公式：

三、玻尔理论(1913)(1)定态假设：电子在原子中，可以在一些特定的、彼此分隔的一系列轨道上运动而不辐射电磁波，这时原子处于稳定状态（简称定态），并具有一定的能量。1.玻尔的基本假设(3)角动量量子化假设:电子以速度v在半径为r的圆周上绕核运动时，只有电子的角动量L等于h/2

的整数倍的那些轨道才是稳定的，即n为主量子数，上式叫量子化条件。玻尔量子化条件的驻波解释：

氢原子中电子绕核作圆周运动，受核的库仑力充当向心力。由玻尔的假设3①②2.原子能级(1)原子半径解①②得：这表明,轨道半径是不连续的，也就是说，电子只能在一些分立的圆周轨道上运动，轨道是量子化的。n=1，称为氢原子的第一玻尔轨道半径，离原子核最近。第n级轨道半径电子轨道半径可能值为r1，

4r1，

9r1，

16r1，...n2r1动能势能原子能量可求得：

选无穷远为零电势点，半径为rn

的电子与原子核系统能量:(2)氢原子能量由和我们把n>1的状态称为激发态。结果表明：氢原子能量也只能取一些分立值，这种现象称为能量量子化。这种与轨道对应的能量称为能级。n=1，称为基态，其能量为：一般情形，有：莱曼系巴尔末系帕邢系布拉开系(3)氢原子的电离能当时，原子被电离----自由态，电子不受原子核束缚。电离能：把电子从氢原子第一玻尔轨道移到无穷远所需能量。例

计算氢原子基态电子的轨道角动量、线速度。解：基态n=1例

用12.6eV的电子轰击基态原子，这些原子所能达到最高态。解：如果氢原子吸收电子全部能量，它所具有能量轨道能量取原子辐射单色光波数由与比较3.氢原子光谱由玻尔第二假设电子从高能态跳到低能态时，有：这一数值与实验测得结果符合很好。

夫兰克-赫兹实验证明了玻尔第一假设的正确性。充有低压水银蒸汽的玻璃管，电子与汞原子碰撞，使汞原子吸收电子能量而激发。原子吸收的能量是不连续的。灯丝栅极板极4、夫兰克-赫兹实验实验原理K、G之间加正向电压，电子在E作用下向G运动。G、P之间加反向电压，电子穿过G达到P形成电流,作IP~U0图。1.电子动能Ek<E2-E1

电子不能使Hg原子激发到第一激发态，电子与Hg原子碰撞无能量损失，速率不变。2.Hg原子从Ek>E2-E1

E1

E2电子EkvIP第一个波峰汞原子基态为E1，第一激发态E2灯丝栅极板极3.Hg原子第二次从电子Ek

E1

E2vIP第二个波峰电子第一次使Hg激发后，在U0的加速下又Ek>E2-E14.Hg原子第一激发态与基态能量之差5.实验中可观察到光环，受激Hg原子从高能态跳回低能态放出光子。从而验证了原子能级的存在。灯丝栅极板极5、玻尔理论的成就与局限性成功地解释了氢原子光谱，和类氢原子光谱，为人们认识微观世界和建立近代量子理论打下了基础。玻尔理论是经典与量子的混合物，不是一个自洽的理论体系。它一方面保留了经典的确定性轨道，另一方面又假定量子化条件来限制电子的运动。并且它不能解释稍微复杂的问题。正是这些困难，催生了量子力学，迎来了物理学的大革命。玻尔还提出对应原理：当量子数n趋于无限大时，量子理论得出的结果与经典理论的结果相一致。例如，氢原子各轨道的能量表明随着轨道量子数n增加，能量分布趋于连续，与经典力学一致。卢瑟福的学生，在其影响下具有严谨的科学态度，勤奋好学，平易近人，很多科学家纷纷来到他身边工作。当有人问他，为什么能吸引那么多科学家到他身边工作时，他回答说：“因为我不怕在青年面前暴露自已的愚蠢”。这种坦率和实事求是的态度是使当时他领导的哥本哈根理论研究所充满活力，兴旺发达的原因。1922年获诺贝尔物理学奖“作为一个科学的思想家，玻尔具有那么惊人的吸引力，在于他具有大胆和谦逊两种品德难得的结合”玻尔：爱因斯坦评价说：爱因斯坦认为辐射场由光子组成，每个光子的能量——普朗克－爱因斯坦关系式根据狭义相对论，光子的动量

1922~1923年间，康普顿研究了X射线经物质散射的实验,进一步证实了爱因斯坦的光子概念。c.康普顿效应光的波粒二象性X光管光阑散射物质康普顿实验装置示意图X光检测器晶体一、康普顿效应的实验规律1.实验装置

康普顿发现,在散射光中除了有与入射光波长λ0

相同的射线之外，同时还出现一种波长λ大于λ0

的射线。这种改变波长的散射称为康普顿效应。

我国物理学家吴有训参与康普顿的研究。2.实验规律康普顿吴有训(1)波长的偏移随散射角而异;当散射角增大时,波长的偏移也随之增加。(2)在同一散射角下，对于所有散射物质,波长的偏移都相同,但原波长的谱线强度随散射物质的原子序数的增大而增加,新波长的谱线强度随之减小。2.实验规律康普顿散射与角度的关系(a)(b)(c)(d)相对强度........................................................................................0.7000.750波长(Å)....钼谱线散射物质—石墨二、光量子理论对康普顿效应的解释

根据经典电磁波理论，X射线仅是一种电磁波，当电磁波通过物质时，物质中带电粒子将作受迫振动，其频率等于入射X射线频率，所以它所发射的散射X射线频率应等于入射X射线频率。波动理论无法解释康普顿效应。2.1光子理论对康普顿效应的解释

光子理论认为康普顿效应是光子和自由电子作弹性碰撞的结果，具体解释如下：因为碰撞中交换的能量和碰撞的角度有关，所以波长改变和散射角有关。若光子和外层电子相碰撞，光子有一部分能量传给电子,散射光子的能量减少，于是散射光的波长大于入射光的波长。若光子和束缚很紧的内层电子相碰撞，光子将与整个原子交换能量,由于光子质量远小于原子质量，根据碰撞理论，碰撞前后光子能量几乎不变，波长不变。随着原子序数的增大，外层未满壳层电子占总电子数的比例减小，所以新波长的强度随之减小，原波长强度增加。2.2康普顿效应的定量分析由能量守恒:由动量守恒:θXXeφXφθ最后得到：此式说明：波长改变与散射物质无关,仅决定于散射角；波长改变随散射角增大而增加。电子的康普顿波长。计算的理论值与实验值符合得很好。

X射线的散射现象，理论与实验的符合，不仅使人们彻底接受了光具有粒子性的观念，而且也证实了能量守恒和动量守恒两条定律，在微观粒子相互作用的基本过程中，也同样严格地遵守。

康普顿效应有逆效应，即在电子与光子的碰撞中，光子从高能电子获得能量，频率增大。如当宇宙微波背景辐射穿过星系团中的热气体时，宇宙微波背景辐射的光子被气体中的高能电子散射到更高能量去，这被称为森亚耶夫——泽尔多维奇效应。光子的能量：光子的质量：光子的动量：------光有波粒二象性描写光的粒子性的

、p，与描写光的波动性的

、

通过

=h

；相联系

=h

在有些情况下，光突出显示出波动性；而在另一些情况下，则突出显示出粒子性。

1924年，德布罗意在论文中进一步推测实物粒子（电子、中子、质子等）也具有波粒二象性。物质波假设：一切物质客体（无论是“场”还是“实物”）均具有波粒二象性。它的波长和频率由下式决定：——德布罗意关系式d.德布罗意波微观粒子的波粒二象性

公式中E

和ν，P和

k

通过常数h

联系，称为德布罗意波或物质波。在答辩会上有人问：

“这种波怎样用实验来证实呢？”德布罗意答：“可以从电子在晶体上散射这样的实验中检查到这样的波。”1927年，戴维孙、革末以及汤姆孙等人实验证实。实物粒子的德布罗意波长由相对论原理又得20cmEEk+=所以

例试比较1eV

电子和一颗质量为50克，速度为的子弹的波长。解：对动能为1eV

的电子对子弹来说对地球而言：其绕太阳公转的速度为

在宏观世界几乎显示不出物体的波动性。电子干涉现象电子双缝干涉杨氏双缝干涉物质波统计解释电子逐个穿过双缝的干涉实验结果物质波不是经典的波电子双缝干涉实验示意图（a）两缝同时打开；（b）依次打开一个缝微观粒子不是经典的粒子

物质波的统计解释（M.Born,1926）：单个电子具有粒子性和波动性，单个粒子在哪一处出现是偶然事件；大量粒子的分布有确定的统计规律.物质波是“概率波”.

∴N

E02

波动性：某处明亮，则某处光强大，即I大.粒子性：某处明亮，则某处光子多，即N大.

N

I

I

E02

光子在某处出现的概率和该处光波振幅的平方成正比.光的波粒二象性：它无直接的物理意义，不同于经典波的波函数，有意义的是，表示粒子的概率分布.

物质波的波函数

是描述粒子在空间概率分布的“概率振幅”,其模的平方：

代表

t时刻，在端点处单位体积中发现一个粒子的概率，称为“概率密度”.一级衍射角

电子经过缝时的位置不确定量.

用电子衍射说明不确定关系

微观粒子的运动由概率波描述，粒子的位置具有一定的不确定性；与此相联系，粒子的动量也具有不确定性.e.不确定关系（测不准原理）Uncertaintyrelation

电子经过缝后x方向动量不确定量考虑衍射次级有

由不确定关系知，电子在缝宽方向位置不确定量越小，则在同一方向上衍射电子的动量不确定性量越大，这与缝宽越小，衍射条纹铺展越宽的波动特征完全一致.

不确定关系x表示粒子在x方向上的位置的不确定范围，

px表示在x方向上动量的不确定范围，其乘积不小于一个常量。

1927年海森堡提出了不确定关系，它是自然界的客观规律，而不是测量技术能力的问题。例小球质量m=10-3千克，速度V=10-1米/秒

x=10-6米，求它的速度不确定度。因为普朗克常数在宏观尺度上很小，因此宏观物理量的不确定度远在实验的测量精度之内。例电子质量me=9.1

10-31千克，在原子中电子的

x10-10米，求它的速度不确定度。结果表明：原子中电子速度的不确定度与速度本身的大小可比。因此，不能用“轨道”来描述电子在原子中的运动。例在示波管中电子的

x10-4米，V107米/秒，求它的速度不确定度。可见这时可认为电子的位置和动量能同时确定，可用经典的“轨道”概念来描述电子运动。

不确定关系的应用

在原子尺度内，是个良好的近似。

估算氢原子可能具有的最低能量电子束缚在半径为r

的球内，所以按不确定关系当不计核的运动，氢原子的能量就是电子的能量：代入上式得：基态能应满足：由此得出基态氢原子半径：基态氢原子的能量：与波尔理论结果一致。本例还说明：量子体系有所谓的零点能。因为若束缚态动能为零，即速度的不确定范围为零，则粒子在空间范围趋于无穷大，即不被束缚。这与事实相左。

解释谱线的自然宽度原子中某激发态的平均寿命为量子物理德布罗意公式不确定关系式自由粒子一维波函数自由粒子平面波函数平面波波动方程

经典波为实函数2.量子力学波函数（复函数）描述微观粒子运动的波函数微观粒子的波粒二象性1.波函数3.波函数的标准条件4.归一化条件即粒子某时刻在整个空间出现的概率为1.表示粒子在某处单位体积内出现的概率，一定时刻在给定点粒子出现的概率应有唯一确定的值，且概率分布应该连续，因此，波函数必须是单值、有限、连续的函数.质量m

的粒子在保守力场中运动，势能函数V(r,t)

，薛定谔方程为薛定谔方程薛定谔方程用于求取粒子运动的波函数，是反映微观粒子运动规律的基本方程.一维空间中自由粒子平面波函数三维空间中自由粒子平面波函数对时间t求偏导考虑到引入拉普拉斯算子对空间x求偏导注意到对非相对论粒子和用代入上式，得用波函数乘以方程两边，得薛定谔方程：

定态：粒子在势场中运动，而势场只是坐标x的函数，与时间

t无关，则系统能量E是与t无关的常量，粒子在空间稳定分布，即处于定态.1.