1.3 圆柱的体积（学霸课堂笔记）-2023-2024学年数学六年级下册同步培优讲义（北师大版）

1.3圆柱的体积第一部分第一部分知识清单1.已知圆柱的底面积求体积：圆柱的体积=底面积×高V=Sh2.已知圆柱的底面半径求体积：圆柱的体积=圆周率×半径²×高V=πr2h3.已知圆柱的底面直径求体积：圆柱的体积=圆周率×（直径÷2）²×高V=π(d÷2)2h4.已知圆柱的底面周长和高，求圆柱的体积:先根据周长求出半径：r=C÷π÷2再求出底面积：S=π(C÷π÷2)²最后再求出体积：V=π(C÷π÷2)²h5.高相等的长方体和圆柱体的体积关系：底面积大的体积就大。6.解决圆柱体积的实际问题：我们常常把一个体积转化成另一个体积：如正方体溶铸成圆柱体；小石子放入水中水面升高等等。第二部分第二部分典型例题例1：一个长6米的圆柱体状的木头，把它平均截成相等的三段，表面积增加了20平方分米，则这个圆柱体木头的体积是（

）。A．30立方米 B．300立方分米 C．600立方分米 D．60立方米答案：B分析：沿着与底面平行的方向截成相等的三段，增加了4个底面积，增加的面积÷4＝圆柱的底面积，圆柱的底面积×圆柱的高＝圆柱的体积，代入数值即可解答。详解：20÷4＝5（平方分米）6米＝60分米5×60＝300（立方分米）这个圆柱体木头的体积是300立方分米。故答案为：B例2：一个圆柱形蓄水池的底面直径是6米，深是3米，这个蓄水池的容积是（

）立方米。A．56.52 B．84.78 C．113.04 D．169.56答案：B分析：根据圆柱的容积公式：容积＝底面积×高，代入数据，即可解答。详解：3.14×（6÷2）2×3＝3.14×32×3＝3.14×9×3＝28.26×3＝84.78（立方米）一个圆柱形蓄水池的底面直径是6米，深是3米，这个蓄水池的容积是84.78立方米。故答案为：B例3：把一根3米长的圆柱形木头平均截成3个小圆柱，表面积增加了12.56平方分米，这根木头的体积是()立方分米。答案：94.2分析：把一根圆柱形木头平均截成3个小圆柱，要截2次，表面积比原来增加（2×2）个横截面的面积，据此用（12.56÷4）即可求出横截面的面积，就是圆柱的底面积，再根据“圆柱的体积公式V＝sh”进行计算即可。详解：（3－1）×2＝2×2＝4（个）3米＝30分米12.56÷4×30＝3.14×30＝94.2（立方分米）即这根木头的体积是94.2立方分米。例4：一根圆柱形铁桶，底面周长是62.8cm，高是100cm，它的体积是()cm3。答案：31400分析：根据圆的周长公式：周长＝π×半径×2，半径＝周长÷π÷2，代入数据，求出圆柱形铁桶的底面半径，再根据圆柱的体积公式：体积＝底面积×高，代入数据，即可解答。详解：62.8÷3.14÷2＝20÷2＝10（cm）3.14×102×100＝3.14×100×100＝314×100＝31400（cm3）一根圆柱形铁桶，底面周长是62.8cm，高是100cm，它的体积是31400cm3。：基础过关练一、选择题1．把一个棱长是6分米的实心正方体木块削成一个最大的圆柱，削去部分的体积是（

）立方分米。A．46.44 B．100.48 C．102.96 D．169.562．把一根长3米的圆柱形木料截成3段小圆柱后，表面积比原来增加了0.6平方米，原来这根木料的体积是（

）立方米。A．0.3 B．0.4 C．0.45 D．0.63．下面运用了“转化”思想方法的有（

）。

A．①② B．③④ C．①③④ D．①②③④4．一个圆柱形汽油桶，从内部量得它的底面半径是5分米，深12分米，如果每升汽油重0.75千克，这个汽油桶最多可装汽油（

）千克。A．753.6 B．502.4 C．628 D．706.55．把一铁块完全浸没在一个底面半径是20厘米的圆柱形水槽中，水面上升了3厘米但没溢出，这块铁块的体积是（

）立方分米。（取3.14）A．3768 B．3.768 C．0.3768 D．376.8二、填空题6．把圆柱的底面分成许多相同的扇形、然后按下图的方式把圆柱切开，再拼成一个近似的长方体。已知长方体的长是12.56，高是2，这个圆柱的侧面积是()，体积是()，长方体的表面积比圆柱增加了()。

7．一个底面积是14平方分米，高是2.5分米的圆柱，它的体积是()立方分米。8．一个直径12米的半圆形鱼池的周长是()米，占地面积是()平方米。向鱼池中注入0.8米深的水，再放一些石头和小鱼，水面上升了5厘米，鱼池注入了()升水，石头和小鱼的总体积是()立方米。9．一个圆柱的底面半径是10cm，高是30cm，它的底面周长是()cm，底面积是()cm2，侧面积是()cm2，体积是()cm3。10．一个圆柱的底面半径是4cm，高是10cm，它的底面周长是()cm，侧面积是()，体积是()。三、判断题11．体积相等的两个圆柱，一定是等底等高的。()12．求正方体、长方体、圆柱体的体积都可以用公式：体积＝底面积×高。()13．如左图，用两张这样的纸可分别卷成高8厘米的圆柱或高6厘米的圆柱，两个圆柱的体积相等。()14．圆柱的半径扩大2倍，高扩大3倍，底面积就扩大2倍，体积扩大6倍。()15．底面积和高都相等的长方体和圆柱，它们的体积也一定相等。()：基础过关练四、计算题16．求如图图形的表面积和体积。（单位∶cm）五、解答题17．一个圆柱形玻璃容器，从里面量，底面半径是5厘米，高是19厘米，容器内水深为13厘米，把一块鹅卵石完全浸没在水中，水面上升到16厘米（水未溢出），这块鹅卵石的体积是多少？18．重阳节这天，妙妙亲自动手做一个美味的蜂蜜蛋糕准备送给奶奶。这个蛋糕的形状近似圆柱体，直径是10厘米，高是12厘米，这个蛋糕的体积是多少立方厘米？19．张师傅用白铁皮做了一个圆柱形无盖水桶，底面直径是6分米，高是5分米。

（1）做一个这样的水桶（提手不计）至少需要多少平方分米的白铁皮？（2）这个水桶能装多少升的水？20．小亮家来了3位客人，用一种长方体盒子包装的果汁招待（如图），如果给每位客人都倒满一杯，够吗？请你用计算的方法说明理由。（数据是从容器里面测量得到的）

21．一种无盖的垃圾桶是圆柱形，现在要在桶的外面和外底面涂上油漆，涂油漆的面积是多少平方厘米？（桶的厚度忽略不计）22．这个杯子能否装下450毫升的牛奶？

1．A分析：根据题意可知，削成一个最大的圆柱体，圆柱的底面直径等于正方体的棱长，圆柱的高等于正方体的棱长，求削去部分的体积，用正方体的体积－圆柱的体积；根据正方体体积公式：体积＝棱长×棱长×棱长；圆柱的体积公式：体积＝底面积×高，代入数据，即可解答。详解：6×6×6－3.14×（6÷2）2×6＝36×6－3.14×32×6＝216－3.14×9×6＝216－28.26×6＝216－169.56＝46.44（立方分米）把一个棱长是6分米的实心正方体木块削成一个最大的圆柱，削去部分的体积是46.44立方分米。故答案为：A点睛：解答本题的关键明确正方体削成一个最大的圆柱，圆柱的底面直径和高等于正方体的棱长。2．C分析：根据题意可知，把这根圆柱形木料横截成3段，表面积比原来增加4个截面的面积，据此可以求出一个截面的面积，然后根据圆柱的体积公式：V＝Sh，把数据代入公式解答。详解：0.6÷4×3＝0.15×3＝0.45（立方米）原来这根木料的体积是0.45立方米。故答案为：C点睛：此题主要考查圆柱的表面积公式、体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。3．D分析：转化是数学的一种思想方法，是把新知识转化为学过的旧知识解决新问题的方法，根据分数除法的计算方法、圆周长公式的推导过程、圆面积公式的推导过程逐个进行分析得出结论。详解：①一个数除以分数：一个数除以分数，等于这个数乘分数的倒数，再利用分数乘法的计算法则计算，利用了转化思想；②计算小数乘法，根据小数的基本性质，先把小数化成整数，运用了转化的思想；③探索平行四边形的面积时，利用割补法，将平行四边形剪切成长方形，运用了转化的思想；④求圆柱的体积，利用割补法，将圆柱沿着底面半径和高切拼成小长方体，运用了转化的思想。①②③④都运用了转化的思想。故答案为：D点睛：本题是考查分数除法、小数乘法的计算方法，平行四边形面积公式的推导，圆柱的体积公式的推导，关键是利用“转化”思想解决问题。4．D分析：根据圆柱的体积公式：V＝πr2h，用3.14×52×12即可求出内部的体积，然后把单位换算成升，然后再乘0.75即可求出这个汽油桶最多可装汽油多少千克。据此解答。详解：3.14×52×12＝3.14×25×12＝942（立方分米）942立方分米＝942升942×0.75＝706.5（千克）这个汽油桶最多可装汽油706.5千克。故答案为：D点睛：本题主要考查了圆柱的体积公式的灵活应用，要熟练掌握公式。5．B分析：根据题意，可得这块铁块的体积等于底面半径是20厘米、高是3厘米的圆柱的体积，然后根据圆柱的体积＝底面积×高，求出这块铁块的体积是多少即可。详解：3.14×202×3＝3.14×400×3＝1256×3＝3768（立方厘米）＝3.768（立方分米）这块铁块的体积是3.768立方分米。故答案为：B点睛：此题主要考查了探索某些实物体积的测量方法，解答此题的关键是熟练掌握圆柱的体积的求法。6．50.24100.4816分析：根据题意，把圆柱切开，再拼成一个近似的长方体，这个长方体的长等于圆柱体的底面周长的一半，长方体的高等于圆柱的高，长方体的宽等于圆柱体的半径，这个圆柱的侧面积相当于长方体的前后两个面的面积和，根据长方形的面积公式：S＝ab，据此进行计算即可；根据圆的周长公式：C＝2πr，则圆的周长的一半就是πr，也就是12.56cm，据此求出圆柱的底面半径，再根据圆柱的体积公式：V＝πr2h，据此进行计算即可；长方体的表面积比圆柱的表面积增加了两个长为圆柱的底面半径，宽为圆柱的高的两个长方形的面积，据此解答即可。详解：12.56×2×2＝25.12×2＝50.24（cm2）12.56÷3.14＝4（cm）3.14×42×2＝3.14×16×2＝50.24×2＝100.48（cm3）4×2×2＝8×2＝16（cm2）则这个圆柱的侧面积是50.24，体积是100.48，长方体的表面积比圆柱增加了16。点睛：本题考查圆柱的体积和侧面积，明确圆柱和长方体各部分之间的关系是解题的关键。7．35分析：已知圆柱的底面积和高，根据圆柱的体积公式V＝Sh，代入数据计算即可求出它的体积。详解：14×2.5＝35（立方分米）它的体积是35立方分米。点睛：本题考查圆柱体积公式的运用。8．30.8456.5245.2162.826分析：根据半圆的周长公式：C＝d÷2＋d，半圆的面积公式：S＝r2÷2，半圆柱的体积公式：V＝Sh，石头和小鱼放入鱼池中，上升部分水的体积就等于石头和小鱼的体积。据此解答即可。详解：5厘米＝0.05米3.14×12÷2＋12＝18.84＋12＝30.84（米）3.14×（12÷2）2÷2＝3.14×36÷2＝113.04÷2＝56.52（平方米）56.52×0.8＝45.216（立方米）56.52×0.05＝2.826（立方米）半圆形鱼池的周长是30.84米，面积是56.52平方米，鱼池注入了45.216立方米水，石头和小鱼的总体积是2.826立方米。点睛：此题主要考查半圆的周长公式、半圆的面积公式、半圆柱的体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。9．62.831418849420分析：底面周长＝2×3.14×底面半径，底面积＝3.14×底面半径2，侧面积＝底面周长×高，圆柱体积＝底面积×高。将数据代入公式，求出这个圆柱的底面周长、底面积、侧面积以及体积。详解：2×3.14×10＝62.8（cm）3.14×102＝314（cm2）62.8×30＝1884（cm2）314×30＝9420（cm3）所以，它的底面周长是62.8cm，底面积是314cm2，侧面积是1884cm2，体积是9420cm3。点睛：本题考查了圆柱的底面周长和面积、圆柱的侧面积和体积，熟记公式是关键。10．25.12251.2502.4分析：圆柱的底面是圆形，，据此可求出圆柱的底面周长，，据此可求出圆柱的侧面积，，据此可求出圆柱的体积。详解：由分析可知：＝2×3.14×4＝25.12（cm）＝25.12×10＝251.2（）＝3.14××10＝50.24×10＝502.4（）所以一个圆柱的底面半径是4cm，高是10cm，它的底面周长是25.12cm，侧面积是251.2，体积是502.4。点睛：本题考查圆柱侧面积和体积公式的灵活运用，记住公式是关键。11．×分析：根据圆柱的体积公式：体积＝底面积×高；由此可知，等底等高的两个圆柱的体积相等；两个圆柱体积相等，底面和高不一定相等，据此举例说明。详解：如一个圆柱的底面积是6，高是3；体积：6×3＝18另一个圆柱的底面积是9，高是2；体积：9×2＝186≠9；3≠2。体积相等的两个圆柱，不一定是等底等高。原题干说法错误。故答案为：×点睛：熟练掌握圆柱的体积公式是解答本题的关键。12．√分析：分别依据正方体、长方体、圆柱体的体积公式即可进行推导，得出结论，于是就可以判断题干的正误。详解：因为长方体的体积＝长×宽×高，而长×宽＝底面积正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，而棱长×棱长＝底面积圆柱体积公式的推导是通过长方体来实现的，所以三者都可以用底面积×高来计算体积；故答案为：√点睛：此题主要考查正方体、长方体、圆柱体的体积公式的灵活应用。13．×分析：根据题意可知，这张纸可以卷成一个底面周长是6厘米、高是8厘米的圆柱，也可以卷成一个底面周长是8厘米、高是6厘米的圆柱。根据底面周长公式和体积公式，分别用π×（6÷2÷π）2×8和π×（8÷2÷π）2×6求出两个圆柱的体积，再比较即可。详解：π×（6÷2÷π）2×8＝π×（）2×8＝π××8＝（立方厘米）π×（8÷2÷π）2×6＝π×（）2×6＝π××6＝（立方厘米）≠根据分析可知，用两张这样的纸可分别卷成高8厘米的圆柱或高6厘米的圆柱，两个圆柱的体积并不相等。原题干说法错误。故答案为：×点睛：本题主要考查了圆柱的体积公式的灵活应用，要熟练掌握公式。14．×分析：根据题意，可设圆柱原来的底面半径为r，高为h，那么变化以后的半径是2r，高为3h，根据圆的面积公式：面积＝π×半径2，求出扩大前圆柱的底面积和扩大后圆的面积，即可求出底面积扩大多少倍；再根据圆柱的体积公式：体积＝底面积×高，求出扩大前圆柱的体积和扩大后圆柱的体积，即可求出体积扩大多少倍，据此解答。详解：设圆柱原来的底面半径为r，高为h，那么变化以后的半径是2r，高为3h。π×（2r）2÷πr2＝4πr2÷πr2＝4（4πr2×3h）÷（πr2h）＝（12πr2h）÷（πr2h）＝12圆柱的半径扩大2倍，高扩大3倍，底面积就扩大4倍，体积扩大12倍。原题干说法错误。故答案为：×点睛：本题主要考查了圆柱的体积公式及圆的面积公式的灵活应用，以及体积与半径和高的变化关系。15．√详解：长方体和圆柱的的体积公式都为：，所以底面积和高都相等的长方体和圆柱，它们的体积也一定相等。如：长方体和圆柱的底面积为：12cm²，高为：3cm，长方体体积：12×3＝36（立方厘米）圆柱体积：12×3＝36（立方厘米）长方体和圆柱的体积相等；所以底面积和高都相等的长方体和圆柱，它们的体积也一定相等。所以答案正确。故答案为：√16．表面积：3700平方厘米，体积：15000立方厘米；表面积：1099平方厘米，体积：2355立方厘米；表面积：1570平方厘米，体积：4710立方厘米分析：根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，长方体的体积＝长×宽×高；圆柱的表面积＝底面积×2＋侧面积，圆柱的表面积＝底面积×高；代入数据计算即可。详解：表面积（25×20＋25×30＋20×30）×2＝（500＋750＋600）×2＝1850×2＝3700（平方厘米）体积25×20×30＝500×30＝15000（立方厘米）；表面积3.14×10×30＋3.14×（10÷2）2×2＝942＋157＝1099（平方厘米）体积3.14×（10÷2）2×30＝78.5×30＝2355（立方厘米）；表面积3.14×10×2×15＋3.14×102×2＝942＋628＝1570（平方厘米）体积3.14×102×15＝314×15＝4710（立方厘米）17．235.5立方厘米分析：水面上升的体积就是鹅卵石的体积，圆柱底面积×水面上升的高度＝鹅卵石体积，据此列式解答。详解：16－13＝3（厘米）3.14×52×3＝3.14×25×3＝235.5（立方厘米）答：这块鹅卵石的体积是235.5立方厘米。点睛：关键是利用转化思想，将不规则物体的体积转化为规则的圆柱进行计算。18．942立方厘米分析：根据圆柱的体积公式：V＝πr2h，把数据代入公式解答。详解：3.14×（10÷2）2×12＝3.14×25×12＝78.5×12＝942（立方厘米）答：这个蛋糕的体积是942立方厘米。点睛：此题主要考查圆柱体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。19．（1）122.46平方分米（2）141.3升分析：（1）求做一个这样的水桶至少需要多少平方分米的白铁皮，就是求圆柱的表面积。这个水桶无盖，则它的表面积＝侧面积＋底面积＝πdh＋πr2，据此解答。（2）求这个水桶能装多少升的水，就是求圆柱的容积。圆柱的容积＝底面积×高＝πr2h，据此解答。详解：（1）3.14×6×5＋3.14×（6÷2）2＝94.2＋3.14×9＝9