第八章 向量的数量积与三角恒等变换 章末题型大总结（原题版）

第八章向量的数量积与三角恒等变换章末题型大总结题型01求向量的数量积解题锦囊解题锦囊求数列最大(小)项的方法（1）定义法：根据向量的模与夹角计算求解；（2）基向量法：将求数量积的向量用已知模或夹角的向量线性表示，再根据数量积的运算律求解；（3）坐标法：根据图像特点，建立直角坐标系，结合数量积的坐标运算求解.【典例1】（2025高一·全国·专题练习）已知正方形的边长是4，是的中点，满足，则（

）A．10 B．20 C．22 D．25【变式1】（24-25高三上·河南·阶段练习）如图，在中，已知为中点，则（

）A． B． C． D．7【变式2】（24-25高一下·甘肃临夏·阶段练习）如图所示，两个边长为2的等边三角形有一条边在同一条直线上，则.【变式3】（24-25高一下·江苏南京·阶段练习）正方形的边长为为边的中点，为边上一点，且，则.【变式4】（24-25高一下·湖南常德·阶段练习）如图，在中，点在线段上，且．若，则的值为（

）A． B． C． D．1题型02求向量的投影向量解题锦囊解题锦囊已知非零平面向量，向量是与同向的单位向量，则向量在上的投影向量：【典例2】（2025·安徽滁州·一模）已知单位向量，满足，则在上的投影向量为（）A． B． C． D．【变式1】（24-25高一下·全国·课后作业）已知向量，，则向量在向量方向上的投影向量为（

）A． B．C． D．【变式2】（24-25高三上·山东枣庄·阶段练习）已知非零向量，，若向量在方向上的投影向量为，则（

）A． B． C．2 D．4【变式3】（24-25高三上·湖南长沙·期中）已知为单位向量，向量在向量上的投影向量是，且，则的值为（

）A．2 B．0 C． D．【变式4】（24-25高三上·山东青岛·阶段练习）已知平面向量满足，且，则在方向上的投影向量为（

）A． B． C． D．【变式5】（2024·新疆喀什·二模）在直角梯形中，且与交于点，则向量在向量上的投影向量为（

）A． B． C． D．题型03向量的夹角问题解题锦囊解题锦囊（1）向量的夹角：利用公式cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)求出夹角的余弦值，从而求得夹角.可以直接求出a·b的值及|a|，|b|的值，然后代入求解，也可以寻找|a|，|b|，a·b三者之间的关系，然后代入求解.（2）两个向量a，b的夹角为锐角⇔a·b>0且a，b不共线；两个向量a，b的夹角为钝角⇔a·b<0且a，b不共线；【典例3】（24-25高三上·山西太原·期末）已知向量，，满足，，则（

）A．30° B．60° C．120° D．150°【变式1】（24-25高三上·湖南衡阳·阶段练习）设向量，，则与夹角的余弦值为（）A．0 B． C． D．1【变式2】（24-25高一下·江苏宿迁·阶段练习）“”是“向量与向量的夹角为钝角”的（

）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【变式3】（2025·湖南邵阳·一模）已知向量，，与的夹角为，则（

）A． B． C． D．【变式4】（2024·全国·模拟预测）如图所示，在正方形中，是的中点，在上且，与交于点，则．题型04向量模的计算解题锦囊解题锦囊向量的模的求解方法：①公式法：利用及，把向量的模的运算转化为数量积运算；②坐标法：求出平面向量的坐标求解.【典例4】（2025·广东·一模）已知平面向量的夹角为，且，，则（

）A．1 B．2 C． D．4【变式1】（24-25高三上·山东临沂·阶段练习）已知，，，则等于（

）.A． B． C． D．【变式2】（24-25高三上·江苏·期末）已知向量，，若，则（

）A．3 B． C．4 D．0【变式3】（24-25高三上·福建泉州·阶段练习）两个单位向量、满足，则.【变式4】（24-25高一下·全国·课后作业）在中，，则．【变式5】（24-25高三上·云南昆明·阶段练习）已知的夹角为，是的中点，则．题型05平行与垂直问题【典例5】（2025高一·全国·专题练习）已知向量，，则下列关系正确的是（

）A． B．C． D．【变式1】（24-25高一下·山东威海·月考）已知非零向量满足，则（

）A． B．C． D．【变式2】（2024·广西·模拟预测）已知向量，的模相等且夹角为，若向量与向量垂直，则实数（

）.A． B． C． D．2【变式3】（24-25高三下·湖北·开学考试）已知向量，且，则的面积为（

）A． B． C． D．【变式4】（多选）（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知点、、，其中，则（

）A．若、、三点共线，则 B．若，则C．若，则 D．当时，题型06最值与范围问题【典例6】（24-25高一下·江苏宿迁·阶段练习）如图，“六芒星”是由两个边长为正三角形组成，中心重合于点且三组对边分别平行，点，是“六芒星”（如图）的两个顶点，动点在“六芒星”上（内部以及边界），则的取值范围是（

）A． B． C． D．【变式1】（24-25高一上·湖南衡阳·期末）是边长为2的正三角形，为所在平面内任意一点，则的最小值为（

）A． B． C． D．-2【变式2】（24-25高一上·河北保定·期末）已知平面向量，满足，，则的最大值为（

）A．8 B． C．10 D．【变式3】（2025·江西新余·模拟预测）已知在正方形中，，为中点，为正方形内部或边界上一点，则的最大值为（

）.A． B． C． D．2【变式4】（2025高三·全国·专题练习）窗花是贴在窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一．图1是一个正八边形窗花，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．在正八边形中，若，则的值为；若正八边形的边长为2，是正八边形八条边上的动点，则的取值范围是．

【变式5】（2025高一·全国·专题练习）已知正方形的边长为4，，分别为，的中点，如果对于常数，在正方形的四条边上，有且只有8个不同的点，使得成立，那么的取值范围是题型07两角和与差的三角函数解题锦囊解题锦囊公式的应用技巧：①角的变换：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，15°＝45°－30°＝60°－45°＝eq\f(30°,2)，β＝eq\f(α＋β,2)－eq\f(α－β,2)＝(α＋2β)－(α＋β)；②名的变换：明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角关系、诱导公式，把正弦、余弦化为正切，或者把正切化为正弦、余弦．【典例7】（24-25高一下·江苏南通·阶段练习）已知，，则（

）A． B． C． D．【变式1】（24-25高一下·甘肃临夏·阶段练习）已知，则（

）A． B． C． D．【变式2】（24-25高一上·云南曲靖·期末）已知，且，则A． B．C． D．【变式3】（2025·广东·一模）已知，则（

）A． B． C．2 D．3【变式4】（24-25高一上·云南德宏·期末）已知，且，则（

）A． B． C． D．【变式5】（24-25高一上·陕西西安·期末）已知，则（

）A． B． C．3 D．题型08二倍角公式解题锦囊解题锦囊（1）直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化，一般可以化为特殊角．（2）若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式．【典例8】（24-25高一下·湖北·阶段练习）已知角为的一个内角，且，则（

）A． B． C． D．【变式1】（2025高三下·全国·专题练习）若，则的值是（）A． B． C． D．【变式2】（24-25高三上·安徽芜湖·阶段练习）已知是第二象限角，且，则（

）A． B． C． D．【变式3】（24-25高一下·河北石家庄·阶段练习）已知，则（

）A． B． C． D．【变式4】（24-25高一下·广西来宾·开学考试）已知，则（

）A． B． C． D．题型09积化和差与和差化积公式解题锦囊解题锦囊一、积化和差公式应用时的注意事项：（1）功能：①把三角函数的一种形式积的形式转化为另一种形式和差的形式；②将角度化为特殊角求值或化简，将函数式变形以研究其性质；（2）关键是正确地选用公式，以便把非特殊角的三角函数相约或相消，从而化为特殊角的三角函数.二、和差化积公式应用时的注意事项：（1）在应用和差化积公式时，必须是一次同名三角函数方可施行，若是异名，必须用诱导公式化为同名，若是高次函数，必须用降幂公式降为一次；（2）根据实际问题选用公式时，应从以下几个方面考虑：①运用公式之后，能否出现特殊角；②运用公式之后，能否提取公因式，能否约分，能否合并或消项；（3）为了能够把三角函数式化为积的形式，有时需要把某些常数当作三角函数值才能应用公式，如eq\f(1,2)－cosα＝coseq\f(π,3)－cosα.【典例9】（24-25高一上·江苏无锡·期末）已知角满足，则的值为（

）A． B． C． D．【变式1】（24-25高一下·全国·课堂例题）等于（

）A． B． C． D．【变式2】．（24-25高一·江苏·课后作业）若，，则（

）A． B．C． D．【变式3】（23-24高一下·上海·课后作业）求值：.【变式4】（24-25高一·全国·课后作业）．题型10三角变换的综合应用【典例10】（24-25高一上·山东菏泽·阶段练习）已知函数在区间有且仅有2个零点，则的取值范围是（

）A． B． C． D