第2节　万有引力定律-物理人教版必修第二册

第2节万有引力定律学习目标要求核心素养和关键能力1.理解太阳与行星间引力的存在，掌握万有引力定律的内容及其表达式。2.根据开普勒行星运动定律和牛顿第三定律推导出太阳与行星间的引力公式，通过月—地检验等将太阳与行星间的引力推广为万有引力定律，掌握万有引力表达式的适用条件及应用。1.物理观念：了解万有引力定律的内涵，具有与万有引力定律相关的运动与相互作用的观念。2.科学态度与责任：能认识发现万有引力定律的过程及重要意义。3.科学思维：微量放大法。一、行星与太阳间的引力1.推导过程如图所示，设行星的质量为m，速度为v，行星与太阳间的距离为r，则行星绕太阳做匀速圆周运动的向心力为F＝meq\f(v2,r)①天文观测可以测得行星公转的周期T，并据此可求出行星的速度v＝eq\f(2πr,T)②联立①②整理后得F＝eq\f(4π2mr,T2)③根据开普勒第三定律得eq\f(r3,T2)＝k④联立③④得F＝4π2keq\f(m,r2)上式除m、r以外，其余都是常量，所以F∝eq\f(m,r2)力的作用是相互的，行星与太阳的引力也应与太阳的质量m太成正比，即F∝eq\f(m太m,r2)。2.表达式：F＝Geq\f(m太m,r2)式中量G与太阳、行星都没有关系。太阳与行星间引力的方向沿着二者的连线。二、月—地检验1.假设(1)假设地球与月球间的作用力和太阳与行星间的作用力是同一种力，它们的表达式也应该满足F＝Geq\f(m月m地,r2)。根据牛顿第二定律，月球绕地球做圆周运动的向心加速度a月＝eq\f(F,m月)＝Geq\f(m地,r2)。(2)假设地球对苹果的吸引力也是同一种力，同理可知，苹果的自由落体加速度a苹＝eq\f(F,m苹)＝Geq\f(m地,R2)。上述公式中m地为地球质量，m月为月球质量，r为地球中心与月球中心的距离，R是地球中心与苹果间的距离。由以上两式可得eq\f(a月,a苹)＝eq\f(R2,r2)。由于月球与地球中心的距离r约为地球半径R的60倍，所以eq\f(a月,a苹)＝eq\f(1,602)。2.结论：月球绕地球运动的向心加速度与我们的预期符合得很好。这表明：地面物体所受地球的引力、月球所受地球的引力，与太阳、行星间的引力遵从相同的规律。【想一想】如图地球对卫星的引力与月球对“嫦娥二号”的引力性质是否相同？遵守的规律是否相同？答案引力性质相同，遵守规律相同三、万有引力定律1.内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比，与它们之间距离r的二次方成反比。2.表达式：F＝Geq\f(m1m2,r2)。比例系数G叫作引力常量，适用于任何两个物体。【判一判】(1)由于天体间距离很远，在研究天体间的引力时可以将它们视为质点。(√)(2)两个学生的质量都是50kg，相距1m时我们可以直接应用公式F＝Geq\f(m1m2,r2)计算两人间的万有引力的大小。(×)四、引力常量1.引力常量的测定英国物理学家卡文迪什在实验室里通过扭秤装置，比较准确地得出了G值，通常取G＝6.67×10－11N·m2/kg2。2.引力常量测定的意义(1)卡文迪什利用扭秤装置通过改变小球的质量和距离，证实了万有引力的存在及万有引力定律的正确性。(2)引力常量的普适性成了万有引力定律正确性的有力证据。探究1万有引力定律的理解■情境导入太阳与行星之间、地球与月球之间以及任何两个物体之间都存在万有引力。(1)公式F＝Geq\f(m1m2,r2)中r的含义是什么？(2)任何两个物体之间的万有引力都能利用公式F＝Geq\f(m1m2,r2)计算出来吗？答案(1)r指的是两个质点间的距离。(2)不能。万有引力定律的表达式F＝Geq\f(m1m2,r2)只适用于质点之间、质量分布均匀的球体之间万有引力的计算，形状不规则、质量分布不均匀的物体间r不易确定。■归纳拓展1.表达式F＝Geq\f(m1m2,r2)的说明(1)引力常量G：G＝6.67×10－11N·m2/kg2，其物理意义为：引力常量在数值上等于两个质量都是1kg的质点相距1m时的相互吸引力。(2)万有引力常量的测定：卡文迪什采用“微量放大法”。(3)距离r：公式中的r是两个质点间的距离，对于质量均匀分布的球体，就是两球心间的距离。2.适用条件(1)万有引力定律公式适用于计算质点间的相互作用，当两个物体间的距离比物体本身的尺度大得多时，可用此公式近似计算两物体间的万有引力。(2)质量分布均匀的球体间的相互作用，可用此公式计算，式中r是两个球体球心间的距离。(3)一个均匀球体与球外一个质点间的万有引力也可用此公式计算，式中的r是球体球心到质点的距离。【例1】(多选)下列说法中正确的是()A.牛顿发现了万有引力定律，卡文迪什测得了引力常量B.根据表达式F＝eq\f(Gm1m2,r2)可知，当r趋近于零时，万有引力趋近于无穷大C.在由开普勒第三定律得出的表达式eq\f(R3,T2)＝k中，k是一个与中心天体有关的常量D.两物体间的万有引力总是大小相等、方向相反，是一对平衡力答案AC解析根据物理学史可知，牛顿发现了万有引力定律，卡文迪什测得了引力常量，故A正确；万有引力定律适用于两质点间引力计算，当r趋近于零时，物体不能看成质点，万有引力定律公式不再适用，所以不能得到“万有引力趋近于无穷大”的结论，故B错误；由万有引力提供行星做匀速圆周运动的向心力得eq\f(GMm,R2)＝eq\f(m4π2R,T2)，可得eq\f(R3,T2)＝eq\f(GM,4π2)，可知在由开普勒第三定律得出的表达式eq\f(R3,T2)＝k中，k是一个与中心天体质量有关的常量，故C正确；两物体间的万有引力总是大小相等、方向相反，是一对作用力与反作用力，故D错误。【针对训练1】(2021·福建师大二附中高一期中)图甲是演示桌面在压力作用下发生形变的装置；图乙是演示玻璃瓶在压力作用下发生形变的装置；图丙是卡文迪什测定引力常数的装置。这三个实验共同体现了()A.控制变量的办法 B.放大的思想C.比较的方法 D.等效的方法答案B解析三个实验都是将微小的形变通过不同的方式放大了现象，即这三个实验共同体现了放大的思想，故选项B正确。探究2万有引力定律的简单应用1.任何两个物体间都存在着万有引力，但F＝Geq\f(m1m2,r2)有其适用范围，在计算万有引力的大小时注意判断是否符合适用条件。2.在应用万有引力定律表达式F＝Geq\f(m1m2,r2)进行有关计算时，r是指两质点(或两匀质球球心，或质点与球心)之间的距离，而不是两物体(球)之间的距离。【例2】(2021·北京市八中高一期中)如图所示，两个半径分别为r1＝0.60m、r2＝0.40m，质量分别为m1＝4.0kg、m2＝1.0kg的质量分布均匀的实心球，两球间距离为r＝2.0m，则两球间万有引力的大小为()A.6.67×10－11N B.大于6.67×10－11NC.小于6.67×10－11N D.不能确定答案C解析运用万有引力定律公式F＝Geq\f(m1m2,r2)进行计算时，首先要明确公式中各物理量的含义，对于质量分布均匀的球体，r指的是两个球心间的距离，显然题目所给的距离是不符合要求的，两球心间的距离应为r′＝r＋r1＋r2＝3.0m。两球间的万有引力为F＝Geq\f(m1m2,r′2)＝2.96×10－11N，C正确，A、B、D错误。【针对训练2】(2021·河北高一学业考试)质量为m的卫星在离地面高度为h的轨道上绕地球做匀速圆周运动。已知引力常量为G，地球质量为M、半径为R，则地球对该卫星的万有引力大小为()A.Geq\f(Mm,R2) B.Geq\f(Mm,h2)C.Geq\f(Mm,（R＋h）2) D.Geq\f(Mm,（R＋h）3)答案C解析根据万有引力定律公式可知地球对该卫星的万有引力大小为F＝Geq\f(Mm,（R＋h）2)，故C正确。探究3物体受到的万有引力和重力的关系■情境导入假如某个人做环球旅行，可能到达地球的任何地点，如果将地球看成标准的球体，那么该人分别位于赤道上某点、北半球的某点、南半球的某点、北极点、南极点等不同地点。(1)该人在各地点所受的万有引力有什么关系？(2)该人在各地点所受的重力有什么关系？答案(1)该人在各地点所受的万有引力大小相等，方向沿对应的地球半径指向地心。(2)由于地球自转的影响，该人在各地点所受的重力大小不一定相等，方向也不一定指向地心。■归纳拓展1.物体在地球表面上所受引力与重力的关系：除两极以外，地面上其他点的物体，都围绕地轴做圆周运动，这就需要一个垂直于地轴的向心力。地球对物体引力的一个分力F′提供向心力，另一个分力为重力G，如图所示。(1)当物体在两极时：G＝F引，重力达到最大值Gmax＝Geq\f(Mm,R2)。(2)当物体在赤道上时F′＝mω2R最大，此时重力最小Gmin＝Geq\f(Mm,R2)－mω2R(3)从赤道到两极：随着纬度增加，向心力F′＝mω2R′减小，F′与F引夹角增大，所以重力G在增大，重力加速度增大。因为F′、F引、G不在一条直线上，重力G与万有引力F引方向有偏差，重力大小mg<Geq\f(Mm,R2)。2.重力加速度与高度的关系若距离地面的高度为h，则mg′＝Geq\f(Mm,（R＋h）2)(R为地球半径，g′为离地面h高度处的重力加速度)。在同一纬度，距地面越高，重力加速度越小。3.特别说明(1)重力是物体由于地球吸引产生的，但重力并不是地球对物体的引力。(2)在忽略地球自转的情况下，认为mg＝Geq\f(Mm,R2)。【例3】(多选)(2021·湖北黄冈市高一期中)有科学家正在研究架设从地面到太空的“太空梯”，若“太空梯”建在赤道上，人沿“太空梯”上升到高度h处时，恰好会感觉到自己“漂浮”起来，若人的质量为m，地球的半径为R，地球表面的重力加速度为g，地球自转周期为T，则人在高度h处受到的万有引力的大小为()A.0 B.eq\f(mR2g,（R＋h）2)C.mg D.eq\f(4π2m（R＋h）,T2)答案BD解析在地球表面时有Geq\f(Mm,R2)＝mg，则GM＝gR2，人在高度h处受到的万有引力的大小为Geq\f(Mm,（R＋h）2)＝eq\f(mgR2,（R＋h）2)，B正确；由题意可知人在高度h处受到的万有引力提供向心力，人处于完全失重状态，则有万有引力大小F＝m(R＋h)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))eq\s\up12(2)＝eq\f(4π2m（R＋h）,T2)，A、C错误，D正确。【针对训练3】一物体在地球表面重16N，它在以5m/s2的加速度加速上升的火箭中的视重(即物体对火箭竖直向下的压力)为9N，则此火箭离地球表面的距离为地球半径的(地球表面重力加速度取10m/s2)()A.2倍 B.3倍C.4倍 D.0.5倍答案B解析设此时火箭离地球表面高度为h。由牛顿第二定律得FN－mg′＝ma①由①可得g′＝eq\f(5,8)m/s2②在地球表面处mg＝Geq\f(Mm,R2)③在高度h处mg′＝Geq\f(Mm,（R＋h）2)④由③④得eq\f(g′,g)＝eq\f(R2,（R＋h）2)。代入数据解得h＝3R，故选项B正确。【方法简述】万有引力定律适用于质点间、质点与均匀球体间、两均匀球体间的相互作用力，若出现大球内某个区域被挖去一个小球，无法直接应用公式求残缺球与另外质点或另外球体的万有引力，此时可以采用“先补后挖”的方法，应用万有引力定律间接求万有引力。【思维建构】把完整的大球看作残缺的空心球与被挖去的小球的组合，质量为m的质点受到的引力变成整个球体对质点的引力与挖去的小球体对质点的引力之差。【题目示例】如图所示，在一个半径为R、质量为M的均匀球体中，紧贴球的边缘挖去一个半径为eq\f(R,2)的小球体后，剩余部分对位于球心和空穴中心连线上、与球心相距d、质量为m的质点的引力是多大？【规范解析】答案GMmeq\f(7d2－8dR＋2R2,8d2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(d－\f(R,2)))\s\up12(2))解析完整的均匀球体对球外质量为m的质点的引力为F＝Geq\f(Mm,d2)，设挖去小球体后的剩余部分对质点的引力为F1，半径为eq\f(R,2)的小球体对质点的引力为F2，则F＝F1＋F2，半径为eq\f(R,2)的小球体质量M′＝eq\f(4,3)πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(R,2)))eq\s\up12(3)ρ＝eq\f(M,8)，F2＝Geq\f(M′m,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(d－\f(R,2)))\s\up12(2))＝Geq\f(Mm,8\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(d－\f(R,2)))\s\up12(2))，所以F1＝F－F2＝Geq\f(Mm,d2)－Geq\f(Mm,8\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(d－\f(R,2)))\s\up12(2))＝GMmeq\f(7d2－8dR＋2R2,8d2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(d－\f(R,2)))\s\up12(2))。【建构感悟】此方法适用的条件比较苛刻：1.形状的要求：大球内挖掉小球，挖掉其他形状的物体时不可用此法，如挖掉的是立方体或其他不规则形状的物体，非球形物体挖掉小球等情况均不适合用此法。2.三心的位置关系：大球球心、小球球心、第三个球的球心(或质点)，若三心共线，则三力共线，遵循代数运算法则；若三心不共线，则三力不共线，遵循矢量运算法则。1.(万有引力定律的理解)(多选)关于万有引力和万有引力定律的理解正确的是()A.不能看作质点的两物体间不存在相互作用的引力B.只有能看作质点的两物体间的引力才能用F＝eq\f(Gm1m2,r2)计算C.由F＝eq\f(Gm1m2,r2)知，两物体间距离r减小时，它们之间的引力增大D.引力常量G的测出，证明了万有引力定律的正确性答案CD解析任何有质量的物体间都存在相互作用的引力，故称万有引力，A错误；两个质量分布均匀的球体间的万有引力也能用F＝eq\f(Gm1m2,r2)来计算，B错误；物体间的万有引力与它们之间的距离r的二次方成反比，故r减小，它们间的引力增大，C正确；引力常量的测出，证明了万有引力定律的正确性，D正确。2.(万有引力定律的基本应用)(2021·江苏盐城市高一学业考试)2020年11月24日4时30分，我国成功发射嫦娥五号探测器，开启我国首次“月球挖土”之旅。在嫦娥五号飞向月球的过程中，月球对它的万有引力大小()A.一直增大 B.一直减小C.先增大后减小 D.先减小后增大答案A解析由万有引力定律F＝Geq\f(Mm,r2)知，在嫦娥五号飞向月球的过程中，r减小，F增大。故选项A正确。3.(万有引力定律的基本应用)一名宇航员来到一个星球上，如果该星球的质量是地球质量的一半，它的直径也是地球直径的一半，那么这名宇航员在该星球上所受的万有引力大小是他在地球上所受万有引力的()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,2)C.2倍 D.4倍答案C解析F地＝eq\f(GM0m,req\o\al(2,0))，F星＝eq\f(GMm,r2)＝eq\f(\f(1,2)GM0m,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)r0))\s\up12(2))＝2eq\f(GM0m,req\o\al(2,0))＝2F地，选项C正确。4.(万有引力定律与重力的关系)(2021·河南安阳一中高一期中)已知地球半径为R，将一物体从地面发射至离地面高度为h处时，物体所受万有引力减小到原来的一半，则h为()A.R B.2RC.eq\r(2)R D.(eq\r(2)－1)R答案D解析地面上F＝Geq\f(Mm,R2)，高度为h处F′＝Geq\f(Mm,（R＋h）2)，因为F′＝eq\f(1,2)F，所以eq\f(（R＋h）2,R2)＝eq\f(2,1)，所以h＝(eq\r(2)－1)R，故D正确，A、B、C错误。课时定时训练(限时25分钟)题组一万有引力定律的理解1.(2021·镇江崇实女子中学高一月考)我国于2010年3月5日成功发射了“遥感卫星九号”，在绕地球运行的过程中，该卫星受到地球引力的大小()A.只与地球的质量有关B.只与卫星的质量有关C.与地球和卫星的质量均有关D.与地球和卫星的质量均无关答案C解析根据万有引力定律表达式得F＝eq\f(GMm,r2)，其中M为地球质量，m为卫星的质量。故选项C正确。2.(2021·卢龙县中学高一月考)关于万有引力定律，下列说法中正确的是()A.牛顿最早测出G值，使万有引力定律有了真正的实用价值B.牛顿通过“月地检验”发现地面物体、月球所受地球引力都遵从同样的规律C.由F＝Geq\f(m1m2,r2)可知，距离r趋于零时，万有引力无限大D.引力常量G值大小与中心天体选择有关答案B解析最早测出G值的是卡文迪什，不是牛顿，故A错误；牛顿通过“月地检验”发现地面物体、月球所受地球引力都遵从同样的规律，故B正确；公式F＝Geq\f(m1m2,r2)适用于质点之间的万有引力，当距离r趋于零时，万有引力公式不再适用，故C错误；引力常量G是一个定值，它的大小与中心天体选择无关，故D错误。题组二万有引力定律的基本应用3.(2021·山东寿光一中高一检测)地球的质量是月球质量的81倍，若地球吸引月球的力的大小为F，则月球吸引地球的力的大小为()A.eq\f(F,81) B.FC.9F D.81F答案B解析根据牛顿第三定律，力的作用是相互的，且作用力与反作用力总是大小相等、方向相反。故B正确。4.(2021·河北张家口一中开学检测)宇航员王亚平在“天宫1号”飞船内进行了我国首次太空授课，演示了一些完全失重状态下的物理现象。若飞船质量为m，距地面高度为h，地球质量为M，半径为R，引力常量为G，则飞船所在处的重力加速度大小为()A.0 B.eq\f(GM,（R＋h）2)C.eq\f(GMm,（R＋h）2) D.eq\f(GM,h2)答案B解析飞船在距地面高度为h处，由牛顿第二定律得eq\f(GMm,（R＋h）2)＝mg，解得g＝eq\f(GM,（R＋h）2)，故选项B正确。5.(2020·江苏盐城学业考试)2020年，我国发射了一颗火星探测卫星。在探测卫星离开地球的过程中，用R表示卫星到地心的距离，用F表示卫星受到地球的引力。下列图像中正确的是()答案D解析F表示卫星受到地球的引力，根据万有引力定律公式，有F＝Geq\f(Mm,R2)，故F－eq\f(1,R2)图像是直线，故选项A、B、C错误，D正确。题组三万有引力与重力的关系6.(多选)地球绕地轴自转时，对静止在地面上的某一个物体，下列说法正确的是()A.物体的重力并不等于它随地球自转所需要的向心力B.在地面上的任何位置，物体向心加速度的大小都相等，方向都指向地心C.在地面上的任何位置，物体向心加速度的方向都垂直指向地球的自转轴D.物体随地球自转的向心加速度随着地球纬度的减小而增大答案ACD解析地面上的物体随地球自转做圆周运动时的向心力远小于万有引力(重力近似等于万有引力)，选项A正确；考虑地球自转的作用效果时，地面上的物体随着地球的自转而做圆周运动，其运动平面与地轴垂直，向心力加速度方向垂直地轴指向圆心，由于在不同位置的轨道半径各不相同，故向心加速度大小不一样，在赤道时向心加速度最大，选项B错误，C、D正确。7.万有引力定律首次揭示了自然界中物体间一种基本相互作用的规律。以下说法正确的是()A.物体的重力不是地球对物体的万有引力引起的B.人造地球卫星离地球越远，受到地球的万有引力越大C.人造地球卫星绕地球运动的向心力由地球对它的万有引力提供D.宇宙飞船内的航天员处于失重状态是由于没有受到万有引力的作用答案C解析物体的重力是由地球的吸引产生的，万有引力的大小与物体和地球质量的乘积成正比，与两者距离的二次方成反比，选项A、B错误；人造地球卫星绕地球运动的向心力是由万有引力提供的，选项C正确；宇宙飞船内的航天员处于失重状态，是因为航天员受到的万有引力全部提供了航天员做圆周运动所需的向心力，选项D错误。8.(2021·湖南长沙一中高一期中)已知地球质量为月球质量的81倍，地球半径约为月球半径的4倍。若在月球和地球表面同样高度处，以相同的初速度水平抛出物体，抛出点