2024年高考复习数学第2章第5节指数与指数函数

第五节指数与指数函数

考试要求：1.了解指数靠的拓展过程，掌握指数幕的运算性质.

2.了解指数函数的实际意义，了解指数函数的概念.

3.能画具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点.

—、必备知识-回顾教材重“四基”/-----

一、教材概念-结论-性质重现

1.〃次方根

(1)根式的概念

一般地，如果广=。,那么x叫做”的〃次方根，其中心1,且〃WN”.当该有意

义时，VH叫做根式，区叫做根指数，生叫做被开方数.

(2)〃的〃次方根的性质

①(,)〃=%

②当〃为奇数时，”而=分

当〃为偶数时，府=间=卜a-0,

—a,a<0.

2.有理数指数塞

m___

正数的正分数指数慕：an=(Va)='VS沆(a>0,m,nE

幕的N*,n>l)

m

有关正数的负分数指数幕：0—^=6)*=患3>0,〃?，〃£N*,

概念

n>l)

0的正分数指数累等于。，0的负分数指数事没有意义

指数

aras=ar+s(a>0,r,s£Q)；

幕的

⑺、=贮(。>0,r,s£Q)；

运算

(abY=arbr(a>0,b>0,rEQ)

性质

3.指数函数的概念

一般地，函数(曲>0,且叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域

是R.形如y=ka\k^\),且ZWO,a>0且a#l)的函数叫做指数型

函数，不是指数函数.

4.指数函数的图象与性质

0<«<1a>\

图象

定义域R

值域(0,+8)

过定点(0,1),即工=0时，y=1

当x<0时，当Q0时，

y>1；v>l;

性质

当x>0时，当XV0时，

0vy<l0<v<l

减函数增函数

二、基本技能-思想-活动经验

1.判断下列说法的正误，对的画“J”，错的画“X”.

⑴怖=(VH)〃=a.(X)

21

(2)(-1>=(_1炉=产I.(X)

(3)函数)，一々1是R上的增函数.(X)

(4)函数》=2工是指数函数.(J)

(5)若"且aWl),贝lj阳〈儿(X)

2.计算［(一2)61一(一1)。的结果为()

A.一9B.7

C.-10D.9

B解析：原式=26x9-1=23-1=7.故选B.

3.函数y=(a2—4〃+4)不是指数函数，则。的值是()

A.4B.3

C.2D.1

B解析：由指数函数的定义知4a+4=l且在1,解得。=3.

4.若函数儿t）=优（〃＞（）,且〃W1）的图象经过点｛2,1）,则大-1）=.

V2解析：由题意知：=*所以所以yw=g）,所以八一i）=O

=&.

5.若函数＞=（/—1》在R上为增函数，则实数。的取值范围是________.

心企或4＜一/解析：由），=（/-1尸在R上为增函数，得/一]＞1,解得心企

或a＜—42.

-、关键能力-研析考点强“四翼——

考点1指数暴的化简与求值——基础性

多维训练」

1.若实数＞0,则下列等式成立的是（）

A.（-2产=4B.2/=士

'2a3

C.（一2）。=-1D.（a4）4=l

D解析：对于A,（一2尸=工故A错误；对于B,2/=三，故B错误；对于

4

C,（-2）°=1,故C错误；对于。，（a-4）4=l,故D正确.

2.（多选题）已知〃+/=3,在下列各选项中，其中正确的是（）

A./+。-2=7B./+/=]8

C.az+a-2=±V5D.ay[a+—

aT\]=a=2V5

ABD解析：在选项A中，因为a+〃=3,所以〃2+/2=（。+"1）2一2=9—2=

7,故A正确；在选项B中，因为。+小=3,所以a3+a-3=m+/）（a2—1+。2）

=（〃+/）・[（。+〃）2—3]=3义6=18,故B正确；在选项C中，因为a+a"=3,

所以（万+a另）=a4-a-1+2=5,且a＞0,所以+。一另=而，故C错误：在

选项D中，因为/+〃-3=]8,且公＞0,所以焉）2=/+1+2=20,所

以尸=2遥，故D正确.

aVa

3.已知a>0,b>0,化简：Q)

(O.l)f(a3bT"

23a23D-23

I解析：原式=23

X—r--X10-'=-.

2

lOaz-b

4.计算：(一芟)-5+(0.002)4一10(麻一2尸+兀。=.

-V解析：原式=(-J2+5。油-(嵩溜2)+1三+1电-1函-20+】

=一叱

9•

解题通法

1.解决这类问题要优先考虑将根式、分数指数幕统一为分数指数幕，以便利用

法则计算.在运算过程中要先乘除后加减，负指数寐化成正指数幕的倒数，如果

底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成

假分数.

2.这类问题的运算结果不能同时■含有根号和分数指数，也不能既有分球又含有

负指数，形式要力求统一.

考点2指数函数的图象及应用——综合性

「典例引领」

例。*(1)已知函数«¥)=4+2优」(4>1且。中1)的图象恒过点P,则点P的坐标是

()

A.(1,6)B.(1,5)

C.(0,5)D.(5,0)

A解析：当x=l时，火1)=6,与〃无关，所以函数兀0=4+2"川的图象恒过

点P(l,6).故选A.

⑵若函数)，=|2、一1|的图象与直线y=b有两个公共点，则b的取值范围为

(0,1)解析：作出曲线)，=|2丫一1|的图象与直线)，=〃如图所示.由图象可得人

的取值范围是(0,1).

">=|2-1|

同源异考/

在本例⑵中，若将条件中的“有两个公共点”，改为“有一个公共点”，则结果

如何？

或〃=0解析：作出曲线y=|2'—1|的图象与直线），=〃如图所示.由图象

可得人的取值范围是力21或〃=0.

解题通法

指数函数图象的应用问题的求解方法

（1）有关指数方程、不等式问题的求解，往往是利用相应的指数型函数图象，数形

结合求解.

（2）根据指数函数图象判断底数大小的问题，可以通过直线x=l与图象的交点进

行判断.

「多维训练」

1.（多选题）在同一坐标系中，关于函数y=3,与），=6广的图象的说法正确的是

（）

A.关于），轴对称B.关于x轴对称

C.都在x轴的上方D.都过点（0,1）

ACD角帛析：在同一坐标系中，作出y=3,与），=（3的图象（略），知两函数的图

象关于y轴对称，A项正确.

由指数函数的性质，知选项CD正确.

2.若曲线|），|=2，+1与直线y=〃没有公共点，则b的取值范围是.

[-1,1]解析：作出曲线国=2'+1的图象，如图所示，要使该曲线与直线），=

没有公共点，只需一iWbWl.

3.已知实数4,〃满足等式C)"=G)b，下列五个关系式:

①OVZ?Va；®a<b<0；③OVaVb；®b<a<0^®a=b.

其中可能成立的有.(填序号)

①②⑤解析：函数yi=(J与户=(9的图象如图所示.

由G)"=G)”得，aVbVO或OVbVa或a=b=O.

故①②⑤可能成立，③④不可能成立.

考点3指数函数的性质及应用一应用性

典例引领

考向1比较大小

例以，(1)已知a=2"6=拆，。=25,，贝U()

A.b<a<cB.a<b<c

C.b<c<aD.c<a<b

A解析：因为。=2W=4^>4E=〃，C=253=53>4^=a,所以

(2)若2x-2v<3-t-3->',则()

A.In(y—x+1)>OB.In(y—x+1)<O

C.In|x-y|>0D.In|x->1<0

A解析：因为2、-2「<3r—3?所以21—3一“<2'一3一工

因为),=2》一3七=2'—(3'在R上单调递增，

所以xVy,所以y—x+l>l,所以In。，一4+])>皿1=0.

解题通法

比较鬲的大小的方法

(I)能化成同底数的先化成同底数森，再利用单调性比较大小.

(2)不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小.

考向2解指数不等式

例❸，若偶函数兀0满足人工)=2]-4。20),则不等式—2)>0的解集为

“卜>4或xVO｝解析：当A<0时，J(x)=J(-x)=2~x-4.

2*-4,x>0,

所以/U)=

2r—4,x<0.

,x—2之0,x-2<0,

当/(X—2)>0时，有｛r或

12"-2-4>02-x+2-4>0,

解得x>4或x<0.

所以不等式的解集为{x|x>4或xVO}.

解题通法

解简单指数不等式的方法

先利用幕的运算性质化为同底数幕，再利用单调性转化为一般不等式求解，要注

意底数a的取值范围，并在必要时进行分类讨论.

考向了指数型函数的单册性

\_%2+2X+1

例0，函数的单调递减区间为.

(—8,I]解析：设〃u—r+Zi+l,因为y=Q)在R上为减函数，所以函数

yw=G)的单调递减区间即为函数〃=一/+2丫+1的单调递增区间.又

〃=-f+2t+l的单调递增区间为(一8,1],所以贝X)的单调递减区间为(一00,

U.

同源异考/

z^'-X2+2X+1?.

在本例中，若将“/W=G)”改为"以)=2一炉+2工+1，，，则结果如何？

[1,+°°)解析：设"=一『+2丫+1,因为)，=2"在R上为增函数，所以函数7U)

=2-/+2%+1的单调递减区间即为函数〃=一/+2、+1的单调递减区间.又〃=

(——)+2i+l的单调递减区间为［I,+oo),所以/U)的单调递减区间为［1,+00).

解题通法

求函数.八处=型*单调性的方法

(1)先将fix)=〃小)视为是由y=au与u=g(x)复合而成的.

(2)分别讨论函数y=a“与〃=g(x)的单调性，利用“同增异减”的方法得出函数

凡¥)=房(箝的单调性.

考向4指数型函数的最值

例@*(1)已知函数段)=^+伙。>0,且。知)的定义域和值域都是［—1，0］,则。

+8=.

~|解析：当时，易知凡T)在［-1,0］上单调递增，

W(T)=T即=f无解.

当04<1时,易知外)在［-1,0J上单调递减,

则f即解得卜/所以叶仁三.

1/(-1)=0,U1+b=0,{b=-2.2

ax2—4x4-3

(2)若函数yu)=Q/l)X有最大值3,则。=.

I解析：令万")=〃/一4］+3,.因为J(x)有最大值3,所以/z(jv)应有最

小值一1,

a>0,

{I2a-16y解程。=1.

解题通法

1.研究指数函数的性质与研究一般函数的定义域、单调性(区间)、奇偶性、最值

(值域)等性质的方法一致.

2.研究复合函数的单调性，要明确复合函数的构成，借助“同增异减”，将问

题归结为内层函数相关的问题加以解决.

「多维训练」

121

1.已知a=(&)3,b=2s,C=93,则()

A.b<a<cB.a<b<c

C.b<c<aD.c<a<b

A解析：〃=(鱼>=2=2羡h=2i,c、=9、35.由2<3,得a<c.由白日得

35

a>b,所以c>ci>b.故选A.

2.已知函数y=7U)的定义域为R,y=/(x+l)为偶函数，对任意xi,X2,当总>口21

时，ZU)单调递增，则关于。的不等式火3+1)勺(3。-5)的解集为()

A.(一8,1)B.(-OO,10g32)

C.(Iog32,1)D.(1,+oo)

B解析：因为函数)，=/U)的定义域为R,)，=/*+l)为偶函数，所以人一工+1)=

yU+l),所以函数y=/(x)关于x=1对称.

因为函数>=/")在[1,+8)为增函数，所以函数>=/&)在(-8,1]为减函数.不

等式大9。+1)勺(3。-5)等价于俨+1-1|<|3"一5一1|,

即|3"一6|>9"=3“一6>%或3“一6<—9“，令3“=f(〉0)得到：产一/+6<0或尸+，一

6<0.

当尸一[+6<()时，无解.

当A+1—6<0时，(r+3)(r-2)<0,解得<2,即3y2,a<log32.

3.已知7U)=3xP(2WxW4,b为常数)的图象经过点(2,I),则共幻的值域为()

A.[9,81]B.[3,9J

C.[1,9|D.[1,+8)

C解析：由/U)的图象过定点(2,1)可知。=2.因为人;)=3"在[2,4]上单调递

增，所以_/U)min=*2)=3纭=1,y(X)max=/4)=34-2=9.故选C.

4.若函数yw=(2a—1严—2,则y=/(x)的图象恒过定点；又於)在R

上是减函数，则实数。的取值范围是.

(3,-1)(1,1)解析：对于函数./(#=(24—1广3—2,令x-3=0,得x=3,

则/U)=(2。-1)°-2=1—2=—1,可得y=兀0的图象恒过定点(3,-1).

又•・•函数/U)=(2〃一1尸.一2在R上是减函数，故有0<2“一1<1,求得

故答案为(3,-1);Q,1).

---------、一题N解-深化综合提“素养”/----------

「试题呈现」

设4=(或b=(|)iC=(|)i则小b,C的大小关系是()

A.a>c>bB.a>b>c

C.c>a>bD.b>c>a

［四字程序］

读想算思

比较大小的方法

比较大小式子变换转化与化归

是什么

1.利用函数单调

性.1.构造函数.注意分数指数累

a,b,c均为第值

2.通过中间量比2.统一统指数.的等价变形以及

的形式

较大小.3.化为根式形式运算法则

3.作差或商比较

「一题多解」

解法

思路参考：构造指数函数，利用单调性求解.

A解析：先比较/?与c的大小，构造函数y=(|).因为所以函数)，=

32

G)为减函数.又因为|>版所以力=(丁<(丁=仁再比较a与°,因为，

20

(2)5>(1)=1'且a，C均大于0，所以公C,所以G>C汕.故选A.

解法

思路参考：统一簌指数，利用幕函数单调性比较大小.

A解析：因为4,力，C为正实数，且/=()=总户=(|)3=2，/=(|)2

=—,所以er'〉/〉/,即故选A.

法

思路参考：将三个数转化为同次根式的形式比较大小.

A解析：因为a=s叵c=$区,所以故选A.

「思维升华」

1.本题给出了三种比较指数某大小的方法，解法1是构造函数法，利用指数困

数性质比较大小，利用这种方法应注意底数是否大于1；解法2与解法3比较类

似，都是对小〃，c进行简单变形，转化为同次根式的形式，由被开方数的大小

可得出小儿c的大小.特别是解法3,结构较为简洁，转化为同次根式迅速求

解.

2.基于新课程标准，解法比较大小的问题，要熟练掌握基本初等函数的性质，

尤其是单调性，同时也要熟练掌握指数式与对数式的互化，指数累的运算法则等

知识.解决比较大小问题体现了逻辑推理、数学运算的数学素养.

「类题试练」

函数），=网幻的图象如图所示，该图象由指数函数犬x）=〃与塞函数g（x）=«“拼

接”而成.

（1）求尸（工）的解析式；

⑵比较M与〃的大小；

（3）若（加+4）力〈（3—2〃7）"，求m的取值范围.

-1

*=彳，

\

（G）bW

解得1；6

成但，

所以尸（幻=,]

IX2,

\X>4

⑵因为公仁）岂筋心辞，

指数函数y=Q）在R上直调递减，

所以G）2VG）正，即MVM

（3）由（m+4）”V（3-2m）-5,得

m+4>0,

3-2m>0,

{m+4>3—2m,

解得一

所以〃？的取值范围是（一1，|）.

课时质量评价（十）

A组全考点巩固练

1.函数y=V16-2%的值域是（）

A.[0,+8）B.[0,4]

C.[0,4）D.（0,4）

C解析：函数），=，16-2”中,因为16—2。0,所以2W16.因此2工在（0,16],

所以16—2戈£[0,16）.故尸〃6—2」£[0,4）.

2.（2022•北京卷）已知函数次x）=\,则对任意实数人有（）

1+2人

A./（-x）+y（x）=o

B./-x）-Av）=0

C.<一刈+危）=1

D.八一a—7U）=g

«5

C解析：八一》）十危:）=高+念=总+含=1,故A错误，C正确；

大一'）一3一士=高一念=会=1—岛，不是常数，故BD错

误.故选C.

3.若b>0,且M+（"=2或，则小一。一，等于（）

A.瓜B.一2或2

C.-2D.2

C解析：因为或，所以户+43=8—2=6,

所以（/'一。与2=户+4乃一2=4.

因为0<。<1,b>0,所以从而。〃一/〃=一2.

4.函数>=@)2*一"的值域为()

A•b+8)B.(-00,1］

C.(0,1］D.(0,2J

A解析：设/=2x—x2,zWl,所以)，=G),Wl,所以,+8).故选A.

5.已知函数应¥)=9(。•2"一2一)是偶函数，则。=.

1解析：因为«¥)=炉(。*2'—2-v),故人一x)=—.好(。•2r-2').

因为危)为偶函数，故X.v)=A-X),

即•2x-2~x)=-^(a・2r—2'),整理得到(。-1)⑵+2一、)=0,故a=\.

6.(2022•保定模拟)函数/U)=JC)”一2的定义域是.

(—8,-1］解析：要使函数人工)=Jg)'-2有意义,自变量x须满足：G)'一

210,解得xW-l,故函数—2的定义域为(-8,-1］.

7.已知函数J(x)=a^(a>0,且aHl)的值域为［1,+8),则。的取值范围为

，火一4)与火1)的大小关系是.

(1,+8)1一4)次1)解析：因为|工+16()，函数人力=小田13>0,且启1)的值

域为［1,+8),所以公>1.由于函数凡T)=/■”在(-1,+oo)上单调递增，且它的图

象关于直线1=-1对称，则函数人外在(-8,—1)上单调递减，故犬］)=/(一3),

八一4)MD.

B组新高考培优练

8.若函数人幻=言是奇函数，则使/U)>3成立的x的取值范围为()

A.(-8,-1)B.(-1,0)

C.(0,1)D.(1,4-oo)

C解析：因为/U)为奇函数，所以八一幻=-/(工)，即^^二一等1，整理得3一

22人一Q

1)(2工+2'+2)=0,所以。=1,所以«r)>3,即为磬>3,当x>0时，2A-l>0,

所以2V+1>3・2r-3,解得O〈E1;当x<0时，2r-l<0,所以2叶1<3・2、-3,

无解.所