2025年山西省吕梁市交口县部分学校中考数学一模试卷（含解析）

第1页（共1页）2025年山西省吕梁市交口县部分学校中考数学一模试卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把正确答案的代号填在下表中）1．（3分）隰县的小西天景区国庆期间日接待游客最多达到9500人，最少6500人．若以7000为标准，9500记为+2500，则6500记为（）A．+6500 B．﹣6500 C．+500 D．﹣5002．（3分）下列各式中，计算结果是a6的是（）A．a3+a3 B．a2•a3 C．a12÷a2 D．（a2）33．（3分）如图，这是“国”字立体刻字摆件，该摆件的主视图是（）A． B． C． D．4．（3分）体育是一个锻炼身体，增强体质，培养道德和意志品质的教育过程，是培养人全面发展的一个重要方面，许多体育图标在设计上采用了大胆的对称美学，下列体育图标既是轴对称图形也是中心对称图形的是（）A． B． C． D．5．（3分）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从空气射入水中要发生折射．物理课上，小军手持一激光笔射入水中，如图，水面与水杯下沿平行，光线从空气射入水中，发生折射，若∠1＝60°，∠ABO＝140°，则∠2的度数是（）A．10° B．20° C．30° D．40°6．（3分）在学校举办的一场以“礼赞祖国感党恩，青春逐梦新时代”为主题的歌咏比赛中，为了避免评委因为主观因素而给出过高或者过低的分数，学校采用“去掉一个最高分，去掉一个最低分”后计算各个选手的平均得分的评分方法．如果去掉一个最高分和一个最低分，以下数据一定不会发生改变的是（）A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差7．（3分）杆秤是我国传统的计重工具，方便了人们的生活．如图，可以用秤砣到秤纽的水平距离，来得出秤钩上所挂物体的重量．经研究发现使用杆秤称重时，秤钩所挂物重y（单位：千克）是秤杆上秤砣所挂位置到秤纽所在位置的水平距离x（单位：厘米）的一次函数，部分数据如表：x/厘米123…y/千克0.751.001.25…3.50表中一个数据不慎被污染，被污染的数据是（）A．10 B．11 C．12 D．138．（3分）如图，CD是⊙O的切线，点C在直径AB的延长线上，过点B作AD的平行线，交⊙O于点E，若∠C＝28°，则∠ABE的度数为（）A．31° B．21° C．28° D．59°9．（3分）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点A，C为圆心，大于12AC的长为半径画弧，弧线分别相交于点M，N，画直线MN交AC于点O；②连接BO并延长，以点O为圆心，OB的长为半径画弧交BO的延长线于点D；③连接AD，CDA．四边形ABCD是平行四边形 B．若BD与MN重合，则四边形ABCD是菱形 C．若OD＝OC，则四边形ABCD是矩形 D．若∠ABD＝45°，则四边形ABCD是正方形10．（3分）如图，正十二边形的四个顶点分别落在正方形四条边的中点处，若正十二边形的面积等于3，则图中阴影部分的面积为（）A．14 B．3π-34二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）11．（3分）若a+3在实数范围内有意义，则实数a的取值范围是．12．（3分）根据物理学知识，在电压不变时，通过导体的电流I（单位：A）是这段导体的电阻R（单位：Ω）的反比例函数，其函数图象如图所示．当R＝10Ω时，通过该导体的电流I的值为A．13．（3分）某电商直播平台的山西专场开展了以“寻华夏之根，溯文明之源”为主题的直播，现场讲解山西的美食文化，其中山西老陈醋以色、香、醇、浓、酸五大特征，引得广大网友争相购买品尝，直播刚开始，就有1000人下单购买某款老陈醋，2小时后购买人数达到2890，求每小时购买山西老陈醋人数的平均增长率．若设每小时购买山西老陈醋人数的平均增长率为x，则可列方程．14．（3分）近年来扫地机器人逐渐进入人们的家庭，因大多建筑房间都是方形的，圆形的吸尘器很难把墙角的灰尘去除，因此人们设计出“勒洛三角形”形状的吸尘器，通过自动转动，能覆盖98%以上的房间面积．如图，分别以等边三角形的三个顶点为圆心，以三角形边长为半径画弧，得到的封闭图形是“勒洛三角形”，若等边三角形的边长AB＝2，则该“勒洛三角形”的面积为．15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，tanB=34，D是AB边上的中点，DE⊥AB交BC于点E，O是ED的中点，连接AO并延长交BC于点F．若AD＝4，则OF的长为三、解答题（本大题共8个小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．（10分）（1）计算：12-3（2）化简：(2m+n)(2m-n)-(2m-n)17．（7分）某商场计划购进A，B两种型号的饮水机共100台，其中A型每台进价540元，B型每台进价360元．因受到还需购进其他商品的影响，该商场购进这批饮水机的预算金额不能超过50000元；则最多可以购进A型饮水机多少台？18．（10分）山西是“戏曲之乡”，其中“蒲剧、晋剧、北路梆子、上党梆子”被称为“山西四大梆子”．为了坚持“立德树人、五育并举”，丰富课后校园生活，某校决定开展“山西梆子进校园”活动．为了解学生最喜爱哪一种梆子，随机抽取了部分学生进行调查，并绘制了不完整条形统计图和扇形统计图．数据整理：数据分析：（1）请直接补全条形统计图．（2）计算扇形统计图中晋剧所占的圆心角的度数．（3）学校从戏曲小组中挑选出了表现最好的两名男生和两名女生，计划从这四位同学中随机抽取两人参加市青少年戏曲知识大赛，请用画树状图或列表的方法求出恰好抽到一名男生一名女生的概率．19．（7分）中国快递越来越“科技范儿”，分拣机器人、大数据AI调度等智能装备系统让快递“跑”得更快．某分拣仓库自采用智能分拣系统后，仓库分拣快递的能力得到了很大提升．该仓库主要使用A，B两种不同型号的分拣机器人，已知A型机器人比B型机器人每小时多分拣快递200件，且A型机器人分拣9000件快递所用时间与B型机器人分拣8000件所用时间相等．问B型机器人每小时分拣快递多少件？20．（7分）膜结构车棚是近年来比较流行的一种棚型，它不仅具有功能性，而且具有观赏性，它以建筑造型美观、跨度空间大、抗震性强，透光性良好等特点赢得了良好的市场．图1是某小区新建的斜拉杆车棚，图2是其示意图，已知立柱AB与地面垂直，AD＝OD；测得立柱OB段的长为2.0m，横支撑杆OC＝0.7m，∠ACO＝∠AOD＝75°，∠AOC＝90°，求：（1）棚顶末端D到地面的距离DF的长．（2）车棚的最大停车长度FB的长．（结果精确到0.1m．参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73）21．（9分）阅读与思考下面是勤思小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务．勤思小组关于“中点四边形”的研究报告研究对象：中点四边形研究思路：按“概念一性质一应用”的路径进行研究．研究方法：观察一猜想一推理证明．研究过程：【概念呈现】顺次连接四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形．如图1，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，顺次连接E，F，G，H，得到的四边形EFGH是中点四边形．【性质探索】根据“中点四边形”的定义，探索其性质：（1）如图2，连接BD，∵E，H分别为AB，AD的中点，∴EH=12BD，EH∥同理可得FG=12BD，FG∥∴EH∥FG，EH＝FG，∴四边形EFGH是平行四边形（依据2）．同时可得EH+FG＝BD，连接AC，同理可得EF+HG＝AC，∴EH+FG+EF+HG＝BD+AC．性质1：中点四边形是平行四边形．性质2：中点四边形的周长等于原四边形对角线的和．（2）进一步研究发现：性质3：中点四边形的面积等于原四边形面积的一半．勤思小组证明过程如下：如图3，将△HQD沿BD向左平移，使得点H与点E重合，点Q与点P重合，得到△EPD1，则S四边形EPQH＝S四边形ED1DH，ED1＝HD，ED1∥HD，∴△EBD1∽△ABD，ED1=12……任务：（1）填空：材料中的依据1是指：．依据2是指：．（2）依照材料中提供的思路，完善勤思小组对性质3的证明过程．（3）如图4，在△ABC中，∠ABC＝30°，AB＝6，BC＝8，分别以AB，AC为边向外侧作等边△ABM和等边△ACN，连接MN，D，E，F，G分别是MB，BC，CN，MN的中点，则四边形DEFG的周长为．22．（12分）综合与实践驱动任务：跳绳，作为一项全民皆可参与的运动，只要一根绳子就能跳遍天下，是一项简单、有趣的运动．不仅可以锻炼身体，增强免疫力，还可以训练反应能力和协调能力．单人跳、多人跳、花样跳，简单易学，精彩纷呈．学校计划在运动会上增加跳绳比赛项目，数学应用研习小组协助跳绳筹备组对多人跳绳的战队方式进行了相关设计．研究步骤：数学建模：图1是甲，乙两人甩绳子的示意图，当绳子甩到最高处时，其形状可近似地看作一条抛物线（如图2所示）．实践操作：第一步：选两名身高基本相同的男同学为持绳手，量得两人拿绳子的手离地面的高度都为1m，并且两人相距6m；第二步：经过多次试跳发现：当绳子甩到最高处时，身高1.75米的小敏同学从乙持绳手的左侧距离乙1.5米处进入游戏，恰好通过；第三步：现以两人的站立点所在的直线为x轴，过甲拿绳子的手作x轴的垂线为y轴，建立如图2所示的平面直角坐标系．问题解决：（1）求绳子甩到最高处时所对应的抛物线表达式并求出其顶点坐标．（2）当绳子甩到最高处时，通过计算说明身高1.50m的小明，从甲持绳手的右侧距离甲1m处进入游戏能否通过跳绳．（3）现有9位同学身高统计如下表，计划采取一路纵队并排的方式同时起跳（如图1），为了保证安全，要求人与人之间距离至少0.5m，此时绳子能否顺利地甩过所有队员的头顶？若能，请写出队列安排方案；若不能，请说明理由．同学编号123456789身高/m1.501.611.771.531.681.751.701.681.7823．（13分）综合与探究问题背景：活动课上，同学们以矩形为背景，探究图形运动中的数学结论．在矩形ABCD中，AB＝3，P是对角线BD上的一个动点（不与点B，D重合），∠CBD＝30°，连接CP，过点P作CP的垂线交射线AB于点M，交射线CB于点N，连接CM．探索发现：（1）如图1，当P是对角线BD的中点时，此时线段PC的长为，∠PMC的度数为．（2）如图2，当∠PCD＝45°时，请你解答如下问题：①求线段PB的长；②判断线段PM与PC的数量关系，并说明理由．（3）如图3，当∠PCD＝15°时，直接写出PM2的值．

2025年山西省吕梁市交口县部分学校中考数学一模试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）题号12345678910答案DDBCBBCADA一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把正确答案的代号填在下表中）1．（3分）隰县的小西天景区国庆期间日接待游客最多达到9500人，最少6500人．若以7000为标准，9500记为+2500，则6500记为（）A．+6500 B．﹣6500 C．+500 D．﹣500【分析】根据正数和负数的实际意义即可求得答案．【解答】解：若以7000为标准，9500记为+2500，则6500记为﹣500，故选：D．【点评】本题考查正数和负数，理解具有相反意义的量是解题的关键．2．（3分）下列各式中，计算结果是a6的是（）A．a3+a3 B．a2•a3 C．a12÷a2 D．（a2）3【分析】利用合并同类项的法则，同底数幂的乘法的法则，同底数幂的除法的法则，幂的乘方的法则对各项进行运算即可．【解答】解：A、a3+a3＝2a3，故A不符合题意；B、a2•a3＝a5，故B不符合题意；C、a12÷a2＝a10，故C不符合题意；D、（a2）3＝a6，故D符合题意；故选：D．【点评】本题主要考查同底数幂的除法，合并同类项，幂的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．3．（3分）如图，这是“国”字立体刻字摆件，该摆件的主视图是（）A． B． C． D．【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．【解答】解：从正面看，可得选项B的图形．故选：B．【点评】本题考查了简单组合体的三视图，掌握从正面看得到的图形是主视图是解决此题关键．4．（3分）体育是一个锻炼身体，增强体质，培养道德和意志品质的教育过程，是培养人全面发展的一个重要方面，许多体育图标在设计上采用了大胆的对称美学，下列体育图标既是轴对称图形也是中心对称图形的是（）A． B． C． D．【分析】根据中心对称图形的定义和轴对称图形的定义进行逐项判断即可．【解答】解：A、该图不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；B、该图不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；C、该图既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；D、该图不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意．故选：C．【点评】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，熟知如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心是解题的关键．5．（3分）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从空气射入水中要发生折射．物理课上，小军手持一激光笔射入水中，如图，水面与水杯下沿平行，光线从空气射入水中，发生折射，若∠1＝60°，∠ABO＝140°，则∠2的度数是（）A．10° B．20° C．30° D．40°【分析】根据两直线平行，同旁内角互补得出∠1+∠DBO＝180°，即可求出∠DBO的度数，从而求出∠2的度数．【解答】解：如图，∵BD∥OC，∴∠1+∠DBO＝180°，∵∠1＝60°，∴∠DBO＝120°，∵∠ABO＝140°，∴∠2＝∠ABO﹣∠DBO＝20°，故选：B．【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．6．（3分）在学校举办的一场以“礼赞祖国感党恩，青春逐梦新时代”为主题的歌咏比赛中，为了避免评委因为主观因素而给出过高或者过低的分数，学校采用“去掉一个最高分，去掉一个最低分”后计算各个选手的平均得分的评分方法．如果去掉一个最高分和一个最低分，以下数据一定不会发生改变的是（）A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差【分析】根据中位数的定义解答即可．【解答】解：去掉一个最高分和一个最代分，位于中间位置或中间两数的平均数不改变，所以不影响中位数，故选：B．【点评】本题考查了方差、平均数、中位数、众数，解题的关键根据它们的定义解答．7．（3分）杆秤是我国传统的计重工具，方便了人们的生活．如图，可以用秤砣到秤纽的水平距离，来得出秤钩上所挂物体的重量．经研究发现使用杆秤称重时，秤钩所挂物重y（单位：千克）是秤杆上秤砣所挂位置到秤纽所在位置的水平距离x（单位：厘米）的一次函数，部分数据如表：x/厘米123…y/千克0.751.001.25…3.50表中一个数据不慎被污染，被污染的数据是（）A．10 B．11 C．12 D．13【分析】先用待定系数法求出函数解析式，再把y＝3.5代入解析式求出x的值即可．【解答】解：设y与x的函数解析式为y＝kx+b（k，b为常数，k≠0），把（1，0.75），（2，1）代入解析式得：k+b=0.752k+b=1解得k=0.25b=0.5∴y与x的函数解析式为y＝0.25x+0.5，当y＝3.5时，则0.25x+0.5＝3.5，解得x＝12，∴被污染的数据是12，故选：C．【点评】本题考查一次函数的应用，关键是用待定系数法求出函数解析式．8．（3分）如图，CD是⊙O的切线，点C在直径AB的延长线上，过点B作AD的平行线，交⊙O于点E，若∠C＝28°，则∠ABE的度数为（）A．31° B．21° C．28° D．59°【分析】连接OD，由切线的性质得∠ODC＝90°，因为∠C＝28°，所以∠COD＝90°﹣∠C＝62°，则∠A=12∠COD＝31°，由BE∥AD，得∠ABE＝∠【解答】解：连接OD，∵CD与⊙O相切于点D，∴CD⊥OD，∴∠ODC＝90°，∵∠C＝28°，∴∠COD＝90°﹣∠C＝62°，∴∠A=12∠∵BE∥AD，∴∠ABE＝∠A＝31°，故选：A．【点评】此题重点考查切线的性质、直角三角形的两个锐角互余、圆周角定理、平行线的性质等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．9．（3分）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点A，C为圆心，大于12AC的长为半径画弧，弧线分别相交于点M，N，画直线MN交AC于点O；②连接BO并延长，以点O为圆心，OB的长为半径画弧交BO的延长线于点D；③连接AD，CDA．四边形ABCD是平行四边形 B．若BD与MN重合，则四边形ABCD是菱形 C．若OD＝OC，则四边形ABCD是矩形 D．若∠ABD＝45°，则四边形ABCD是正方形【分析】根据特殊四边形的判定方法一一判断即可．【解答】解：由作图可知OA＝OC，OB＝OD，∴四边形ABCD是平行四边形，故选项A正确，不符合题意；当BD与MN重合时，BD垂直平分线段AC，∴BA＝BC，∴四边形ABCD是菱形，故选项B正确，不符合题意；若OD＝OC，则AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形，故选项C正确，不符合题意；若∠ABD＝45°，无法判断四边形ABCD是正方形，故选项D错误，符合题意．故选：D．【点评】本题考查作图﹣基本作图，平行四边形的判定，菱形的判定，矩形的判定，正方形的判定，10．（3分）如图，正十二边形的四个顶点分别落在正方形四条边的中点处，若正十二边形的面积等于3，则图中阴影部分的面积为（）A．14 B．3π-34【分析】设正十二边形的中心为点O，连接OA，OB，OC，作AD⊥OC于点D，则四边形AOBD是正方形，阴影部分的面积等于正方形的面积减去3个△AOC的面积，求得正十二边形的半径，把相关数值代入计算即可．【解答】解：如图，设正十二边形的中心为点O，连接OA，OB，OC，作AD⊥OC于点D，则四边形AOBD是正方形，∠ADO＝90°，∵正十二边形的面积等于3，∴S△AOC=312=1设OA＝OC＝x，则AD=12∴12OC•AD=12x•12x解得：x＝1（取正值），∴S阴影＝1×1﹣3×1故选：A．【点评】本题考查正多边形和圆的相关知识．把所求的阴影部分整理成规则图形的差是解决本题的关键．二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）11．（3分）若a+3在实数范围内有意义，则实数a的取值范围是a≥﹣3．．【分析】根据二次根式有意义的条件进行作答即可．【解答】解：∵a+3≥0，∴a≥﹣3．故答案为：a≥﹣3．【点评】本题主要考查二次根式，熟记二次根式有意义的条件是解题的关键．12．（3分）根据物理学知识，在电压不变时，通过导体的电流I（单位：A）是这段导体的电阻R（单位：Ω）的反比例函数，其函数图象如图所示．当R＝10Ω时，通过该导体的电流I的值为0.25A．【分析】利用待定系数法即可求出电流I关于电阻R的函数关系式，把R＝10Ω代入解出即可．【解答】解：∵通过导体的电流I（单位：A）与导体的电阻R（单位：Ω）满足反比例函数关系，∴可设I=U∵当R＝25Ω时，I＝0.1A．∴U＝2.5V，∴电流I关于电阻R的函数关系式为I=2.5当R＝10Ω时，I=2.510=故答案为：0.25．【点评】本题考查反比例函数的应用，根据待定系数法求出解析式是解题的关键．13．（3分）某电商直播平台的山西专场开展了以“寻华夏之根，溯文明之源”为主题的直播，现场讲解山西的美食文化，其中山西老陈醋以色、香、醇、浓、酸五大特征，引得广大网友争相购买品尝，直播刚开始，就有1000人下单购买某款老陈醋，2小时后购买人数达到2890，求每小时购买山西老陈醋人数的平均增长率．若设每小时购买山西老陈醋人数的平均增长率为x，则可列方程1000+1000（1+x）+1000（1+x）2＝2890．【分析】利用直播刚开始时购买人数及每小时购买山西老陈醋人数的平均增长率，可得出第1小时有1000（1+x）人购买，第2小时有1000（1+x）2人购买，结合2小时后购买人数达到2890，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解．【解答】解：∵直播刚开始，就有1000人下单购买某款老陈醋，且每小时购买山西老陈醋人数的平均增长率为x，∴第1小时有1000（1+x）人购买，第2小时有1000（1+x）2人购买．根据题意得：1000+1000（1+x）+1000（1+x）2＝2890．故答案为：1000+1000（1+x）+1000（1+x）2＝2890．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．14．（3分）近年来扫地机器人逐渐进入人们的家庭，因大多建筑房间都是方形的，圆形的吸尘器很难把墙角的灰尘去除，因此人们设计出“勒洛三角形”形状的吸尘器，通过自动转动，能覆盖98%以上的房间面积．如图，分别以等边三角形的三个顶点为圆心，以三角形边长为半径画弧，得到的封闭图形是“勒洛三角形”，若等边三角形的边长AB＝2，则该“勒洛三角形”的面积为2π﹣23．【分析】过A作AH⊥BC于H，由等边三角形的性质推出BH=12BC＝1，由勾股定理求出AH=3，求出△ABC的面积=12BC•AH=3，求出扇形CBA的面积【解答】解：过A作AH⊥BC于H，∵△ABC是等边三角形，∴BH=12BC=1∴AH=A∴△ABC的面积=12BC•AH∵扇形CBA的面积=60π∴弓形AMB的面积＝扇形CBA的面积﹣△ABC的面积=2π∴该“勒洛三角形”的面积＝△ABC的面积+弓形AMB的面积的3倍=3+3×（2π3-3故答案为：2π﹣23．【点评】本题考查扇形的面积，等边三角形的性质，关键是掌握扇形面积公式．15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，tanB=34，D是AB边上的中点，DE⊥AB交BC于点E，O是ED的中点，连接AO并延长交BC于点F．若AD＝4，则OF的长为73【分析】过D作DM∥BC交AF于M，由平行线等分线段定理推出AM＝FM，由tanB=EDDB=34，求出DE＝3，由勾股定理求出AO=732，判定△ODM≌△OEF（AAS），推出OM＝OF，求出【解答】解：过D作DM∥BC交AF于M，∵D是AB的中点，∴BD＝AD＝4，∴AM＝FM，∵DE⊥AB，∴∠BDE＝90°，∴tanB=ED∴DE＝3，∵O是DE的中点，∴OD＝OE=12DE∴AO=A∵DM∥BC，∴∠MDO＝∠OEF，∠OMD＝∠OFE，∵OD＝OE，∴△ODM≌△OEF（AAS），∴OM＝OF，∴OM=12MF=∴OM=13AO故答案为：736【点评】本题考查勾股定理，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，关键是判定△ODM≌△OEF（AAS），推出OM＝OF．三、解答题（本大题共8个小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．（10分）（1）计算：12-3（2）化简：(2m+n)(2m-n)-(2m-n)【分析】（1）利用二次根式的性质及运算法则，负整数指数幂计算即可；（2）利用完全平方公式，平方差公式，单项式乘多项式法则展开后再合并同类项即可．【解答】解：（1）原式＝23-33＝23-23＝3；（2）原式＝4m2﹣n2﹣（4m2﹣4mn+n2）+3m﹣4mn＝4m2﹣n2﹣4m2+4mn﹣n2+3m﹣4mn＝3m﹣2n2．【点评】本题考查二次根式的混合运算，整式的混合运算，负整数指数幂，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．17．（7分）某商场计划购进A，B两种型号的饮水机共100台，其中A型每台进价540元，B型每台进价360元．因受到还需购进其他商品的影响，该商场购进这批饮水机的预算金额不能超过50000元；则最多可以购进A型饮水机多少台？【分析】根据题意和题目中的数据，可以列出相应的不等式，然后求出购进A种饮水机数量的取值范围，从而可以得到最多可以购进A型饮水机多少台．【解答】解：设购进A型饮水机x台，则购进B型饮水机（100﹣x）台，由题意可得：540x+360（100﹣x）≤50000，解得x≤7779∵x为整数，∴x的最大值为77，答：最多可以购进A型饮水机77台．【点评】本题考查一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的不等式．18．（10分）山西是“戏曲之乡”，其中“蒲剧、晋剧、北路梆子、上党梆子”被称为“山西四大梆子”．为了坚持“立德树人、五育并举”，丰富课后校园生活，某校决定开展“山西梆子进校园”活动．为了解学生最喜爱哪一种梆子，随机抽取了部分学生进行调查，并绘制了不完整条形统计图和扇形统计图．数据整理：数据分析：（1）请直接补全条形统计图．（2）计算扇形统计图中晋剧所占的圆心角的度数．（3）学校从戏曲小组中挑选出了表现最好的两名男生和两名女生，计划从这四位同学中随机抽取两人参加市青少年戏曲知识大赛，请用画树状图或列表的方法求出恰好抽到一名男生一名女生的概率．【分析】（1）先求出样本容量，再乘以对应百分比即可得出答案；（2）用360°乘以晋剧人数所占比例即可；（3）列出图表得出所有等可能结果，再从图表中确定恰好抽到一名男生一名女生的结果数，继而利用概率公式求解即可得出答案．【解答】解：（1）样本容量为24÷30%＝80，则上党梆子人数为80×25%＝20（人），补全图形如下：（2）扇形统计图中晋剧所占的圆心角的度数为360°×30（3）列表如下：男男女女男（男，男）（男，女）（男，女）男（男，男）（男，女）（男，女）女（女，男）（女，男）（女，女）女（女，男）（女，男）（女，女）∴共有12种等可能的结果，其中一名男生和一名女生的结果数为8，所以恰好抽到一名男生一名女生的概率为812【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．19．（7分）中国快递越来越“科技范儿”，分拣机器人、大数据AI调度等智能装备系统让快递“跑”得更快．某分拣仓库自采用智能分拣系统后，仓库分拣快递的能力得到了很大提升．该仓库主要使用A，B两种不同型号的分拣机器人，已知A型机器人比B型机器人每小时多分拣快递200件，且A型机器人分拣9000件快递所用时间与B型机器人分拣8000件所用时间相等．问B型机器人每小时分拣快递多少件？【分析】设B型机器人每小时分拣快递x件，则A型机器人每小时分拣快递（x+200）件，根据A型机器人分拣9000件快递所用时间与B型机器人分拣8000件所用时间相等，列出分式方程，解方程即可．【解答】解：设B型机器人每小时分拣快递x件，则A型机器人每小时分拣快递（x+200）件，依题意得：9000x+200解得：x＝1600，经检验，x＝1600是原方程的解，且符合题意，答：B型号的机器人每小时分拣快递1600件．【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．20．（7分）膜结构车棚是近年来比较流行的一种棚型，它不仅具有功能性，而且具有观赏性，它以建筑造型美观、跨度空间大、抗震性强，透光性良好等特点赢得了良好的市场．图1是某小区新建的斜拉杆车棚，图2是其示意图，已知立柱AB与地面垂直，AD＝OD；测得立柱OB段的长为2.0m，横支撑杆OC＝0.7m，∠ACO＝∠AOD＝75°，∠AOC＝90°，求：（1）棚顶末端D到地面的距离DF的长．（2）车棚的最大停车长度FB的长．（结果精确到0.1m．参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73）【分析】（1）过点D作DG⊥AO于点G，根据AD＝OD求出AG＝OG，根据AB⊥BF，DF⊥BF可得四边形DFBG是矩形，进而得出DF＝BG，在Rt△AOC中求出AO即可解答；（2）在Rt△ODG中，根据OG和tan∠DOG=DGOG求出【解答】解：（1）过点D作DG⊥AO于点G，∵AD＝OD，∴AG＝OG，由题意知AB⊥BF，DF⊥BF，∴四边形DFBG是矩形，∴DF＝BG，在Rt△AOC中，tan∠ACO=AO∴AO＝tan75°•OC≈3.73×0.7≈2.6（米），∴AG＝OG＝1.3米，∴DF＝BG＝OB+OG＝2+1.3＝3.3（米），答：棚顶末端D到地面的距离DF的长为3.3米；（2）在Rt△ODG中，tan∠DOG=DG∴DG＝tan75°•OG≈3.73×1.3≈4.8（米），答：车棚的最大停车长度FB的长为4.8米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，正确作出辅助线是解题的关键．21．（9分）阅读与思考下面是勤思小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务．勤思小组关于“中点四边形”的研究报告研究对象：中点四边形研究思路：按“概念一性质一应用”的路径进行研究．研究方法：观察一猜想一推理证明．研究过程：【概念呈现】顺次连接四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形．如图1，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，顺次连接E，F，G，H，得到的四边形EFGH是中点四边形．【性质探索】根据“中点四边形”的定义，探索其性质：（1）如图2，连接BD，∵E，H分别为AB，AD的中点，∴EH=12BD，EH∥同理可得FG=12BD，FG∥∴EH∥FG，EH＝FG，∴四边形EFGH是平行四边形（依据2）．同时可得EH+FG＝BD，连接AC，同理可得EF+HG＝AC，∴EH+FG+EF+HG＝BD+AC．性质1：中点四边形是平行四边形．性质2：中点四边形的周长等于原四边形对角线的和．（2）进一步研究发现：性质3：中点四边形的面积等于原四边形面积的一半．勤思小组证明过程如下：如图3，将△HQD沿BD向左平移，使得点H与点E重合，点Q与点P重合，得到△EPD1，则S四边形EPQH＝S四边形ED1DH，ED1＝HD，ED1∥HD，∴△EBD1∽△ABD，ED1=12……任务：（1）填空：材料中的依据1是指：三角形的中位线定理．依据2是指：平行四边形的判定定理．（2）依照材料中提供的思路，完善勤思小组对性质3的证明过程．（3）如图4，在△ABC中，∠ABC＝30°，AB＝6，BC＝8，分别以AB，AC为边向外侧作等边△ABM和等边△ACN，连接MN，D，E，F，G分别是MB，BC，CN，MN的中点，则四边形DEFG的周长为20．【分析】（1）由三角形中位线定理和平行是四边形的判定定理可直接求解；（2）由相似三角形的性质可得S△BD1E=14S△ABD，S△AEH=14S△ABD，可得S四边形（3）由SAS可证△CAM≌△NAB，可得CM＝NB，可证四边形DEFG是菱形，可得DE＝DG＝EF＝FG=12MC，由勾股定理可求【解答】解：（1）材料中的依据1是指：三角形的中位线定理，依据2是指：平行四边形的判定定理．故答案为：三角形的中位线定理，平行四边形的判定定理；（2）∵将△HQD沿BD向左平移，使得点H与点E重合，点Q与点P重合，得到△EPD1，∴S四边形EPQH＝S四边形ED1DH，ED1＝HD，ED1∥HD，∴△EBD1∽△ABD，ED1=12∴S△BD1E=同理可得：S△AEH=14S△∴S四边形ED1DH=12S△∴S四边形EPQH＝S四边形ED1DH=12S△同理可得：S四边形PQGF=12S△∴S四边形EFGH=12S△ABD+12S△BCD=（3）连接BN、CM，如图所示：∵△ABM和△ACN是等边三角形，∴AB＝AM＝BM＝6，AN＝AC＝CN，∠BAM＝∠CAN＝∠ACN＝60°，∴∠BAM+∠BAC＝∠CAN+∠BAC，即∠CAM＝∠NAB，∴△CAM≌△NAB（SAS），∴CM＝NB，∵D，E，F，G分别是MB，BC，CN，MN的中点，∴DG是△BMN的中位线，EF是△BCN的中位线，DE是△BCM的中位线，∴DG∥BN，DG=12BN，EF∥BN，EF=12BN，∴DG∥EF，DG＝EF，DG＝DE，∴四边形DEFG是平行四边形，又∵DG＝DE，∴四边形DEFG是菱形，∴DE＝DG＝EF＝FG=12∵∠ABC＝30°，∠ABM＝60°，∴∠MBP＝90°，∴MC=MB∴DE＝5，∴菱形DEFG的周长＝4×5＝20．故答案为：20．【点评】本题考查了相似形综合题，考查了相似三角形的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的判定与性质，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理等知识；熟练掌握三角形中位线定理和全等三角形的判定与性质是解题的关键．22．（12分）综合与实践驱动任务：跳绳，作为一项全民皆可参与的运动，只要一根绳子就能跳遍天下，是一项简单、有趣的运动．不仅可以锻炼身体，增强免疫力，还可以训练反应能力和协调能力．单人跳、多人跳、花样跳，简单易学，精彩纷呈．学校计划在运动会上增加跳绳比赛项目，数学应用研习小组协助跳绳筹备组对多人跳绳的战队方式进行了相关设计．研究步骤：数学建模：图1是甲，乙两人甩绳子的示意图，当绳子甩到最高处时，其形状可近似地看作一条抛物线（如图2所示）．实践操作：第一步：选两名身高基本相同的男同学为持绳手，量得两人拿绳子的手离地面的高度都为1m，并且两人相距6m；第二步：经过多次试跳发现：当绳子甩到最高处时，身高1.75米的小敏同学从乙持绳手的左侧距离乙1.5米处进入游戏，恰好通过；第三步：现以两人的站立点所在的直线为x轴，过甲拿绳子的手作x轴的垂线为y轴，建立如图2所示的平面直角坐标系．问题解决：（1）求绳子甩到最高处时所对应的抛物线表达式并求出其顶点坐标．（2）当绳子甩到最高处时，通过计算说明身高1.50m的小明，从甲持绳手的右侧距离甲1m处进入游戏能否通过跳绳．（3）现有9位同学身高统计如下表，计划采取一路纵队并排的方式同时起跳（如图1），为了保证安全，要求人与人之间距离至少0.5m，此时绳子能否顺利地甩过所有队员的头顶？若能，请写出队列安排方案；若不能，请说明理由．同学编号123456789身高/m1.501.611.771.531.681.751.701.681.78【分析】（1）由题意可知，绳子过点（0，1）、（6，1）、（92，7（2）由x＝1时求出y的值，便可判定能否通过跳绳；（3）由自变量的值求出函数值，再比较便可．【解答】解：（1）设抛物线的解析式为：y＝ax2+bx+c，根据题意，抛物线经过点（0，1）、（6，1）、（92，7代入解析式得：c=1①解得：a=-1设抛物线的解析式为：y=-19x2+当x=-b2a=∴顶点坐标为（3，2）．答：抛物线的解析式为y=-19x2+（2）