2025年安徽省高考数学调研试卷（3月份）（含解析）

第1页（共1页）2025年安徽省高考数学调研试卷（3月份）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）若集合A＝{x∈N|x＜4}，B＝{x∈R|x2﹣x﹣6＜0}，则A∩B＝（）A．∅ B．{﹣1，0，1，2} C．{1，2} D．{0，1，2}2．（5分）已知复数z满足（z+1）i＝1+i3，则z＝（）A．﹣2﹣i B．﹣2+i C．2﹣i D．2+i3．（5分）已知等差数列{an}的前8项和为48，a2+a3＝4，则{an}的公差为（）A．1 B．2 C．4 D．84．（5分）下列函数中，是奇函数的是（）A． B． C．f（x）＝xln|x| D．5．（5分）已知平面向量，满足||＝1+|＝2，且（+）⊥，则|（）A．2 B． C． D．16．（5分）把函数f（x）＝2cosx（sinx+cosx）﹣1的图象向左平移，得到函数g（x）的图象（x）的图象的一条对称轴方程为（）A． B． C． D．7．（5分）甲每个周末都跑步或游泳，每天进行且仅进行其中的一项运动．已知他周六跑步的概率为0.6，且如果周六跑步，如果周六游泳，则周日跑步的概率为0.9．若甲某个周日游泳了（）A． B． C． D．8．（5分）已知f（x）是定义域为R的非常值函数，且f（x+y）（x﹣y）＝2f（x）f（y），f（2）＝0（x）是f（x）的导函数（x）的定义域为R．若设f（7）＝a（1）＝b，则曲线y＝f（x），f（﹣5））处的切线方程为（）A．y＝﹣bx﹣5b﹣a B．y＝bx+5b+a C．y＝﹣bx﹣5b+a D．y＝bx+5b﹣a二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。（多选）9．（6分）记数列{an}的前n项和为Sn，则下列条件使{an}一定为等比数列的是（）A． B． C． D．（多选）10．（6分）已知F是抛物线E：x2＝2py（p＞0）的焦点，点在圆C：x2+（y+2）2＝R2（R＞0）上，圆C在点N处的切线与E只有一个公共点，动直线（）A． B．与E和圆C各恰有一个公共点的直线有6条 C．若圆C上仅有一个点到l的距离为2，则满足条件的t的值有4个 D．若t＝0，E上一点Q到l的距离为d，则|QF|+d的最小值为（多选）11．（6分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，点E，F，G分别在棱A1A，A1B1，A1D1上（与端点不重合），过点A1作A1H⊥平面EFG，垂足为H，则下列说法正确的是（）A．△EFG可能为直角三角形 B．若H为△EFG的外接圆的圆心，则三棱锥A1﹣EFG为正三棱锥 C．若A1E＝A1F＝A1G，则四面体A1EFG的棱与面所成角的正弦值的集合是 D．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．（5分）甲同学自进入高三以来，前四次数学考试的分数逐次递增，第一次的分数为116，且中位数为120，则甲同学这四次数学考试的平均分为．13．（5分）过双曲线E的右焦点F作直线的垂线l，l与E的右支交于点B，若，则E的离心率e＝．14．（5分）记，若，则实数a＝．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c2A+sinBsinC＝sin2B+sin2C．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）若D为AC的中点，且BD的长为2，求bc的最大值16．（15分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形，且，△BPC是正三角形，（Ⅰ）求证：PE⊥平面ABCD；（Ⅱ）求二面角D﹣PA﹣B的正弦值．17．（15分）口袋中有编号分别为1，2，3，…，10的10个小球，所有小球除了编号外无其他差别．（Ⅰ）从口袋中任取3个小球，求取到的小球编号既有奇数又有偶数的概率；（Ⅱ）从口袋中任取5个小球，设其中编号的最小值为X，求X的分布列及期望．18．（17分）已知椭圆的离心率为，点在E上与E交于A，B两点，O为坐标原点．（Ⅰ）求E的方程；（Ⅱ）证明：△BOC的面积为定值；（Ⅲ）若点B在直线AC的右侧，求直线BC在y轴上的截距的最小值．19．（17分）若函数f（x）的图象上存在三点A（a，f（a）），B（b，f（b）），f（m）），且a＜m＜b，使得直线AB与f（x），则称m为f（x）在区间[a（Ⅰ）若函数f（x）＝x2+3x+2在区间[a，b]上的中值点为m，证明：a，m（Ⅱ）已知函数g（x）＝2xlnx﹣x2+tx，存在b＞a＞0，使得g（a）（b）．（i）求实数t的取值范围；（ii）当t＝k（k∈N*）时，记g（x）在区间[ak，证明：S1+S2+…+Sn＞n．

2025年安徽省高考数学调研试卷（3月份）参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）题号12345678答案DABCACDD二．多选题（共3小题）题号91011答案ADABCBCD一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）若集合A＝{x∈N|x＜4}，B＝{x∈R|x2﹣x﹣6＜0}，则A∩B＝（）A．∅ B．{﹣1，0，1，2} C．{1，2} D．{0，1，2}【答案】D【解答】解：由题意可得，A＝{0，1，6，B＝{x|﹣2＜x＜3}，所以A∩B＝{4，1，2}．故选：D．2．（5分）已知复数z满足（z+1）i＝1+i3，则z＝（）A．﹣2﹣i B．﹣2+i C．2﹣i D．2+i【答案】A【解答】解：因为i3＝﹣i，由题可得：，所以z＝﹣2﹣i．故选：A．3．（5分）已知等差数列{an}的前8项和为48，a2+a3＝4，则{an}的公差为（）A．1 B．2 C．4 D．8【答案】B【解答】解：依题意，即a2+a8＝12，则，解得d＝2．故选：B．4．（5分）下列函数中，是奇函数的是（）A． B． C．f（x）＝xln|x| D．【答案】C【解答】解：A选项，且定义域为R，A选项错误；B选项，，且定义域为R，B选项错误；A选项，函数定义域为（﹣∞，+∞），函数f（x）是奇函数；D选项，函数定义域为（﹣∞，+∞），函数f（x）不是奇函数．故选：C．5．（5分）已知平面向量，满足||＝1+|＝2，且（+）⊥，则|（）A．2 B． C． D．1【答案】A【解答】解：因为平面向量，满足|，|2+，且（+，所以（+）•＝+•，可得•＝﹣6．所以（2+）2＝6+4•+，可得，故||＝2．故选：A．6．（5分）把函数f（x）＝2cosx（sinx+cosx）﹣1的图象向左平移，得到函数g（x）的图象（x）的图象的一条对称轴方程为（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：依题意，，因为的图象向左平移个单位长度后，所以，由，解得，因此函数g（x）的图象的对称轴方程为，取k＝﹣1，得，C正确．故选：C．7．（5分）甲每个周末都跑步或游泳，每天进行且仅进行其中的一项运动．已知他周六跑步的概率为0.6，且如果周六跑步，如果周六游泳，则周日跑步的概率为0.9．若甲某个周日游泳了（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：用事件A，B分别表示“周六跑步”，则分别表示“周六游泳”，周六跑步的概率为0.6，且如果周六跑步，如果周六游泳．则，，，所以．故选：D．8．（5分）已知f（x）是定义域为R的非常值函数，且f（x+y）（x﹣y）＝2f（x）f（y），f（2）＝0（x）是f（x）的导函数（x）的定义域为R．若设f（7）＝a（1）＝b，则曲线y＝f（x），f（﹣5））处的切线方程为（）A．y＝﹣bx﹣5b﹣a B．y＝bx+5b+a C．y＝﹣bx﹣5b+a D．y＝bx+5b﹣a【答案】D【解答】解：已知f（x+y）+f（x﹣y）＝2f（x）f（y），f（2）＝0，f′（x）是f（x）的导函数，且f′（x）的定义域为R，f′（1）＝b，令x＝2，则f（2+y）+f（2﹣y）＝4，0）中心对称，令x＝y＝0，则f（0）+f（0）＝3f（0）f（0），当f（0）＝0时，令y＝0，即f（x）＝6，舍去．故f（0）＝1，则令x＝0，即函数f（x）关于y轴对称，f（5+y）+f（2﹣y）＝0⇒f（7﹣y）＝﹣f（2+y），令y＝x+2，则f（﹣x）＝﹣f（x+6），∴f（x+4）＝﹣f（x），则f（x+8）＝f（x+7+4）＝﹣f（x+4）＝﹣（﹣f（x））＝f（x），即函数f（x）是周期为5的周期函数，∴f（﹣5）＝f（3）＝﹣f（1）＝﹣f（﹣1）＝﹣f（7）＝﹣a，∵函数f（x）关于点（2，0）中心对称和y轴对称，∴导数f′（x）关于x＝2对称和点（4，0）中心对称，同理可得f′（x+8）＝f′（x），∴f′（﹣7）＝f′（3）＝f′（1）＝b，∴切线方程为：y+a＝b（x+5），即y＝bx+5b﹣a．故选：D．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。（多选）9．（6分）记数列{an}的前n项和为Sn，则下列条件使{an}一定为等比数列的是（）A． B． C． D．【答案】AD【解答】解：对于选项A，由等比数列定义知n}一定为等比数列，故A正确；对于选项B，当an＝0时，成立n}不成等比数列，故B错误；对于选项C，由，得a1＝S1＝6，a2＝S2﹣S6＝6，a3＝S6﹣S2＝18，所以a1，a7，a3不成等比数列，故C错误；对于选项D，由，得a6≠0，an＝a1，所以{an}是公比为5的等比数列，故D正确．故选：AD．（多选）10．（6分）已知F是抛物线E：x2＝2py（p＞0）的焦点，点在圆C：x2+（y+2）2＝R2（R＞0）上，圆C在点N处的切线与E只有一个公共点，动直线（）A． B．与E和圆C各恰有一个公共点的直线有6条 C．若圆C上仅有一个点到l的距离为2，则满足条件的t的值有4个 D．若t＝0，E上一点Q到l的距离为d，则|QF|+d的最小值为【答案】ABC【解答】解：由于在圆C上，解得R＝1，因此圆C：x2+（y+4）2＝1，因此圆心C（5，因此，因此圆C在点N处的切线的斜率，因此切线方程为，即，代入抛物线E：x2＝2py（p＞8）中，可得，根据根的判别式Δ＝12p8﹣32p＝0，解得，所以A项正确；如图所示，在y轴右侧，有一条直线与E和圆C各恰有一个公共点，当斜率存在时，有两条这样的直线．根据对称，总共有6条直线与E和圆C各恰有一个公共点；若圆C上仅有一个点到l的距离为2，则圆心C到直线l的距离为2或1，当圆心C到直线l的距离为1时，，解得t＝0或t＝﹣4；当圆心C到直线l的距离为4时，，解得t＝4或t＝﹣7；由于d≥0，因此|QF|+d≥|QF|，此时|QF|取得最小值，所以选项D错误．故选：ABC．（多选）11．（6分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，点E，F，G分别在棱A1A，A1B1，A1D1上（与端点不重合），过点A1作A1H⊥平面EFG，垂足为H，则下列说法正确的是（）A．△EFG可能为直角三角形 B．若H为△EFG的外接圆的圆心，则三棱锥A1﹣EFG为正三棱锥 C．若A1E＝A1F＝A1G，则四面体A1EFG的棱与面所成角的正弦值的集合是 D．【答案】BCD【解答】解：设A1F＝b，A1G＝c，A7E＝a，a，b，c∈（0，因此EG2＝a3+c2，GF2＝c3+b2，EF2＝a3+b2，根据余弦定理得，因此∠EFG为锐角，同理其它两角也是锐角，所以选项A错误；对于选项B，由于H为三角形EFG的外心，因此HE＝HF＝HG1H⊥平面EFG，结合勾股定理易知A1E＝A5F＝A1G，又因为三个侧面都是直角三角形，因此EF＝EG＝GF，因此三棱锥A1﹣EFG为正三棱锥，所以选项B正确；对于选项C，如果棱在面内，正弦值为2；如果棱不在面内，考察侧棱与底面所成的角，以A1E为例，设A1E＝a，那么，那么三角形EFG的面积为，根据等体积，三棱锥A1﹣EFG的体积，因此，因此，所以以A1为顶点，三角形EFG为底面的三棱锥的侧棱与底面所成角的正弦值为，以E或F或G为顶点的三棱锥的侧棱与底面所成角，以E点为例，由于A1E⊥平面A1FG，因此A4E与平面A1FG所成角为90°，正弦值为1，根据线面角的定义可知：∠EFA4为EF与平面A1FG所成角，易知∠EFA1＝45°，正弦值为，因此四面体A1EFG的棱与面所成角的正弦值的集合是．故C正确；若a＝A7E，b＝A1F，c＝A1G，h＝A2H，又，即A6E•A1F•A1G＝A6H•GE•GFsin∠EGF，所以，则，即a7b2c2＝h2（a2b2+a2c2+b2c3），所以，即，D正确．故选：BCD．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．（5分）甲同学自进入高三以来，前四次数学考试的分数逐次递增，第一次的分数为116，且中位数为120，则甲同学这四次数学考试的平均分为122．【答案】122．【解答】解：设甲同学自进入高三以来，第二，y，∵前四次数学考试的分数逐次递增，且中位数为120，∴，∴甲同学这四次数学考试的平均分为．故答案为：122．13．（5分）过双曲线E的右焦点F作直线的垂线l，l与E的右支交于点B，若，则E的离心率e＝．【答案】．【解答】解：双曲线E的右焦点F作直线，设双曲线的半焦距为c，，，设B（m，由，得B是线段AF的中点，过B作BC⊥OF于C，则△BCF∽△OAF，，因此，解得，得，即，所以．故答案为：．14．（5分）记，若，则实数a＝8．【答案】8．【解答】解：由，得，所以，若，＝＝，即，所以a＝8．故答案为：8．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c2A+sinBsinC＝sin2B+sin2C．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）若D为AC的中点，且BD的长为2，求bc的最大值【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）bc的最大值为8，．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，内角A，B，b，c，已知sin2A+sinBsinC＝sin2B+sin7C，由正弦定理得a2＝b8+c2﹣bc，由余弦定理得，而0＜A＜π，所以；（Ⅱ）若D为AC的中点，且BD的长为2，在△ABD中，由余弦定理得，则，即bc≤8，当且仅当b＝2c＝7时取等号，此时，所以bc的最大值为4，．16．（15分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形，且，△BPC是正三角形，（Ⅰ）求证：PE⊥平面ABCD；（Ⅱ）求二面角D﹣PA﹣B的正弦值．【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）．【解答】解：（Ⅰ）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，连接AC，因为△BPC是正三角形，E为BC的中点．所以，因为四边形ABCD是边长为2的菱形，，所以△ABC是正三角形，，则PE2+AE2＝6＝PA2，PE⊥AE，又BC∩AE＝E，AE⊂平面ABCD，所以PE⊥平面ABCD；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，直线EC，EP两两垂直，以E为原点，直线EC，EP分别为x，y，则，，设平面PAD的法向量，则，取z＝1，得，设平面PAB的法向量，则，取c＝1，得，，所以二面角D﹣PA﹣B的正弦值为．17．（15分）口袋中有编号分别为1，2，3，…，10的10个小球，所有小球除了编号外无其他差别．（Ⅰ）从口袋中任取3个小球，求取到的小球编号既有奇数又有偶数的概率；（Ⅱ）从口袋中任取5个小球，设其中编号的最小值为X，求X的分布列及期望．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）X的分布列为：X123456PE（X）＝．【解答】解：（Ⅰ）从口袋中任取3个小球有种方法种，全为偶数的取法有种，因此编号既有奇数又有偶数的取法种数为＝100，所以取到的小球编号既有奇数又有偶数的概率为；（Ⅱ）依题意，X的所有可能值为1，7，3，4，6，6，从口袋中任取5个小球有种取法，，，，，，，所以X的分布列为：X173456P所以．18．（17分）已知椭圆的离心率为，点在E上与E交于A，B两点，O为坐标原点．（Ⅰ）求E的方程；（Ⅱ）证明：△BOC的面积为定值；（Ⅲ）若点B在直线AC的右侧，求直线BC在y轴上的截距的最小值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明过程见解析；（Ⅲ）．【解答】解：（Ⅰ）因为椭圆E的离心率为，所以，解得，①因为点在椭圆E上，所以，②联立①②，解得a2＝5，b2＝3，则椭圆E的方程为；（Ⅱ）证明：设A（x1，y2），B（x2，y2），可得C（x8，﹣y1），联立，消去y并整理得x7+mx+m2﹣3＝5，此时Δ＝m2﹣4（m3﹣3）＞0，解得m7＜3，由韦达定理得，则＝＝＝，故△BOC的面积为定值；（Ⅲ）因为点B在直线AC的右侧，所以x2＞x7，设直线BC与y轴的交点为T（0，t），当x1x2＝0时，点B，此时T即为E的上顶点，，当x5x2≠0时，因为B，C，T共线，所以，整理得，因为＝，当且仅当m＝2时，等号成立，此时．则直线BC在y轴上的截距的最小值为．19．（17分）若函数f（x）的图象上存在三点A（a，f（a）），B（b，f（b）），f（m）），且a＜m＜b，使得直线AB与f（x），则称m为f（x）在区间[a（Ⅰ）若函数f（x）＝x2+3x+2在区间[a，