（人教A版）高二数学下学期期中复习考点题型讲练 专题06离散型随机变量的数字特征（2个知识点1个拓展1个突破6种题型2个易错点）（原卷版）

专题06离散型随机变量的数字特征（2个知识点1个拓展1个突破6种题型2个易错点）【目录】倍速学习四种方法【方法一】脉络梳理法知识点1.离散型随机变量的均值知识点2.离散型随机变量的方差拓展：离散型随机变量均值与方差的定义与性质突破：均值与方差在决策中的应用【方法二】实例探索法题型1.求离散型随机变量的均值（数学期望）题型2.离散型随机变量均值的性质题型3.离散型随机变量均值的应用题型4离散型随机变量的方差题型5.离散型随机变量方差的性质题型6.离散型随机变量的方差的应用【方法三】差异对比法易错点1.求随机变量的均值时因分布列不准确致误易错点2.错用公式致误【方法四】成果评定法【知识导图】【倍速学习五种方法】【方法一】脉络梳理法知识点1.离散型随机变量的均值一离散型随机变量的均值1．离散型随机变量的均值的概念一般地，若离散型随机变量X的分布列为Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn＝为随机变量X的均值或数学期望．2．离散型随机变量的均值的意义均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的平均水平．3．离散型随机变量的均值的性质若Y＝aX＋b，其中a，b均是常数(X是随机变量)，则Y也是随机变量，且有E(aX＋b)＝aE(X)＋b.证明如下：如果Y＝aX＋b，其中a，b为常数，X是随机变量，那么Y也是随机变量．因此P(Y＝axi＋b)＝P(X＝xi)，i＝1,2,3，…，n，所以Y的分布列为Yax1＋bax2＋b…axi＋b…axn＋bPp1p2…pi…pn于是有E(Y)＝(ax1＋b)p1＋(ax2＋b)p2＋…＋(axi＋b)pi＋…＋(axn＋b)pn＝a(x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn)＋b(p1＋p2＋…＋pi＋…＋pn)＝aE(X)＋b，即E(aX＋b)＝aE(X)＋b.思考离散型随机变量的均值与样本平均值之间的关系如何？答案(1)区别：随机变量的均值是一个常数，它不依赖于样本的抽取，而样本平均值是一个随机变量，它随样本抽取的不同而变化．(2)联系：对于简单的随机样本，随着样本容量的增加，样本平均值越来越接近于总体的均值．二、两点分布的均值如果随机变量X服从两点分布，那么E(X)＝0×(1－p)＋1×p＝p.例1．（2023上·全国·高三专题练习）已知随机变量的分布列为X12345P0.10.30.40.10.1则；.知识点2.离散型随机变量的方差离散型随机变量的方差、标准差设离散型随机变量X的分布列如表所示．Xx1x2…xnPp1p2…pn我们用X所有可能取值xi与E(X)的偏差的平方(x1－E(X))2，(x2－E(X))2，…，(xn－E(X))2，关于取值概率的加权平均，来度量随机变量X取值与其均值E(X)的偏离程度．我们称D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝(xi－E(X))2pi为随机变量X的方差(variance)，有时也记为Var(X)，并称eq\r(DX)为随机变量X的标准差(standarddeviation)，记为σ(X)．二、离散型随机变量方差的性质1．设a，b为常数，则D(aX＋b)＝a2D(X)．2．D(c)＝0(其中c为常数)．例2.（2024上·辽宁辽阳·高二统考期末）小明参加某射击比赛，射中得1分，未射中扣1分，已知他每次能射中的概率为，记小明射击2次的得分为X，则（

）A． B． C． D．拓展：离散型随机变量均值与方差的定义与性质3．（2024·全国·高三专题练习）已知X的分布列为X01P则下列结论正确的是（

）．A． B． C． D．突破：均值与方差在决策中的应用4．（2021上·重庆黔江·高三重庆市黔江中学校校考阶段练习）为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对500位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额.(1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为45元，其余3个均为15元，求顾客所获的奖励额为60元的概率；(2)商场对奖励总额的预算是30000元，为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请从如下两种方案中选择一种，并说明理由.方案一：袋中的4个球由2个标有面值15元和2个标有面值45元的两种球组成；方案二：袋中的4个球由2个标有面值20元和2个标有面值40元的两种球组成.【方法二】实例探索法题型1.求离散型随机变量的均值（数学期望）1．（2023下·北京怀柔·高二校考期中）已知，且，记随机变量为x，y，z中的最大值，则.题型2.离散型随机变量均值的性质2．多选题（2023上·高二课时练习）随机变量和，其中，且，若的分布列如表：X1234Pmn则下列正确的是（

）A． B．C． D．题型3.离散型随机变量均值的应用3．（2024上·山东滨州·高三统考期末）杭州亚运会的三个吉祥物是琮琮、宸宸和莲莲，他们分别代表了世界遗产良渚古城遗址、京杭大运河和西湖，分别展现了不屈不挠、坚强刚毅的拼搏精神，海纳百川的时代精神和精致和谐的人文精神．某经销商提供如下两种方式购买吉祥物，方式一：以盲盒方式购买，每个盲盒20元，盲盒外观完全相同，内部随机放有琮琮、宸宸和莲莲三款中的一款或者为空盒，只有拆开才会知道购买情况，买到各种盲盒是等可能的；方式二：直接购买吉祥物，每个30元．(1)小明若以方式一购买吉祥物，每次购买一个盲盒并拆开．求小明第3次购买时恰好首次出现与已买到的吉祥物款式相同的概率；(2)为了集齐三款吉祥物，现有两套方案待选，方案一：先购买一个盲盒，再直接购买剩余的吉祥物；方案二：先购买两个盲盒，再直接购买剩余吉祥物．若以所需费用的期望值为决策依据，小明应选择哪套方案？题型4离散型随机变量的方差2．单选题（2024上·河南南阳·高二南阳市第五中学校校联考期末）已知随机变量，满足，且，则（

）A．16 B．8 C．4 D．题型5.离散型随机变量方差的性质5．（2024上·辽宁辽阳·高二统考期末）已知某人每次投篮的命中率为，投进一球得1分，投不进得0分，记投篮一次的得分为X，则的最大值为．题型6.离散型随机变量的方差的应用6．（2023上·安徽·高三安徽省怀远第一中学校联考阶段练习）投资甲，乙两种股票，每股收益的分布列分别如表1和表2所示．表1

股票甲收益的分布列收益X（元）02概率0.10.30.6表2

股票乙收益的分布列收益Y（元）012概率0.30.40.3关于两种股票，下列结论正确的是（

）A． B．C．投资股票甲的期望收益较大 D．投资股票甲比投资股票乙风险高【方法三】差异对比法易错点1.求随机变量的均值时因分布列不准确致误1．（2023上·四川雅安·高三校联考期中）为了促进消费，某商场针对会员客户推出会员积分兑换商品活动：每位会员客户可在价值80元，90元，100元的，，三种商品中选择一种使用积分进行兑换，每10积分可兑换1元.已知参加活动的甲、乙两位客户各有1000积分，且甲兑换，，三种商品的概率分别为，，，乙兑换，，三种商品的概率分别为，，，且他们兑换何种商品相互独立.(1)求甲、乙两人兑换同一种商品的概率；(2)记为两人兑换商品后的积分总余额，求的分布列与期望易错点2.错用公式致误2．多选题（2023·浙江台州·统考二模）已知,随机变量的分布列为:则(

)A． B．C． D．【方法四】成果评定法一、单选题1．（2023·高二课时练习）两点分布也叫分布，已知随机变量服从参数为的两点分布，则下列选项中不正确的是（

）A． B． C． D．2．（2022下·广东广州·高二统考期末）已知随机变量X的分布列如下表(其中a为常数)X0123P0.20.30.4a则下列计算结果正确的是（

）A． B． C． D．3．（2021下·全国·高三校联考阶段练习）已知随机变量的分布列是01随机变量的分布列是123以下错误的为（

）A． B．C． D．4．（2021·高二课时练习）已知随机变量X满足D(X)＝2，则D(3X＋2)＝（）A．6 B．8C．18 D．205．（2020下·全国·高二校联考阶段练习）已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有个红球和个篮球且，从乙盒中随机抽取个球放入甲盒中，放入个球后，甲盒中含有红球的个数记为，则下列结论错误的是（）A． B．C． D．6．（2021下·高二课时练习）设随机变量X的分布列为P(X=)=ak(k=1，2，3，4)，a为常数，则A．a= B．P(X>)= C．P(X<4a)= D．E(X)=7．（2021下·高二课时练习）设，，随机变量X的分布列如表：则当内增大时（

）Xa1bPA．增大 B．减小C．先增大后减小 D．先减小后增大8．（2020上·浙江温州·高三温州中学校考阶段练习）若随机变量X满足，N为正整数，则当时，的值最接近（

）A．0 B． C． D．1二、多选题9．（2023下·山东烟台·高二统考期中）在平面直角坐标系的第一象限内随机取一个整数点，若用随机变量表示从这个点中随机取出的一个点的横、纵坐标之和，表示，同时发生的概率，则（

）A．当时，B．当时，C．当时，的均值为D．当（且）时，10．（2020·全国·校联考模拟预测）新冠肺炎疫情发生后，我国加紧研发新型冠状病毒疫苗，某医药研究所成立疫苗研发项目，组建甲、乙两个疫苗研发小组，且两个小组独立开展研发工作.已知甲小组研发成功的概率为，乙小组研发成功的概率为.该研发项目的奖金为100万元，分配方案是：若只有某一小组研发成功，则该小组获得全部奖金；若两个小组都研发成功，则平分全部奖金；若两个小组均未研发成功，则均不获得奖金.则（

）A．该研究所疫苗研发成功的概率为B．乙小组获得全部奖金的概率为C．在疫苗研发成功的情况下，是由甲小组研发成功的概率为D．甲小组获得奖金的期望值为60万元11．（2023下·黑龙江哈尔滨·高二哈师大附中校考期末）一盒中有7个乒乓球，其中5个未使用过，2个已使用过，第一次从盒子中任取3个球来用，用完后再装回盒中，记此时盒子中已使用过的球的个数为，第二次从盒子中任取2个球，设其中新球的个数为随机变量，则（

）A．的所有可能取值是3，4，5 B．C． D．12．（2023·山东·山东省实验中学校考二模）在平面直角坐标系的第一象限内随机取一个整数点，若用随机变量表示从这个点中随机取出的一个点的横、纵坐标之和，表示，同时发生的概率，则（

）A．当时，B．当时，C．当时，的均值为D．当（且）时，三、填空题13．（2022上·高二课时练习）已知随机变量的分布列如表:X-10bPab若X的数学期望，则.14．（2022下·北京·高二首都师范大学附属中学校考期中）从3台甲型彩电和2台乙型彩电中不放回地抽3次，每次抽取1台，设抽取的乙型彩电台数为，则．15．随机变量的概率分布为，其中是常数，则．16．（2021·全国·高二专题练习）已知随机变量的分布列如下表：01其中，则的最大值是.四、解答题17．（2022下·重庆九龙坡·高二四川外国语大学附属外国语学校校考阶段练习）据调查，目前对于已经近视的小学生，有两种配戴眼镜的选择，一种是佩戴传统的框架眼镜；另一种是佩戴角膜塑形镜，这种眼镜是晚上睡觉时佩戴的一种特殊的隐形眼镜（因其在一定程度上可以减缓近视的发展速度，所以越来越多的小学生家长选择角膜塑形镜控制孩子的近视发展），A市从该地区小学生中随机抽取容量为100的样本，其中因近视佩戴眼镜的有24人（其中佩戴角膜塑形镜的有8人，其中2名是男生，6名是女生）(1)若从样本中选一位学生，已知这位小学生戴眼镜，那么，他戴的是角膜塑形镜的概率悬多大?(2)从这8名跟角膜塑形镜的学生中，选出3个人，求其中男生人数的期望与方差；(3)若将样本的频率当做估计总体的概率，请问，从市的小学生中，随机选出20位小学生，记其中佩戴角膜塑形镜的人数为Y，求恰好时的概率（不用化简）及Y的方差.18．（2024·吉林白山·统考一模）俗话说：“人配衣服，马配鞍”．合理的穿搭会让人舒适感十足，给人以赏心悦目的感觉．张老师准备参加某大型活动，他选择服装搭配的颜色规则如下：将一枚骰子连续投掷两次，两次的点数之和为3的倍数，则称为“完美投掷”，出现“完美投掷”，则记；若掷出的点数之和不是3的倍数，则称为“不完美投掷”，出现“不完美投掷”，则记；若，则当天穿深色，否则穿浅色．每种颜色的衣物包括西装和休闲装，若张老师选择了深色，再选西装的可能性为，而选择了浅色后，再选西装的可能性为．(1)求出随机变量的分布列，并求出期望及方差；(2)求张老师当天穿西装的概率．19．（2024上·辽宁辽阳·高二统考期末）为了推动足球运动的发展，某足球比赛允许不同俱乐部的运动员参加．现有来自甲俱乐部的运动员4名，其中知名选手2名；乙俱乐部的运动员5名，其中知名选手3名．从这9名运动员选择5名参加比赛．(1)求选出的5人中恰有2人是知名选手，且这2名知名选手来自同一俱乐部的概率；(2)设随机变量X为选出的5人中知名选手的人数，求X的分布列与数学期望．20．（2023上·山东日照·高二山东省日照实验高级中学校考阶段练习）甲乙两人进行定点投篮游戏，投篮者若投中，则继续投篮，否则由对方投篮，第一次由甲投；已知每次投篮甲、乙命中的概率分别为，.在前3次投篮中，乙投篮的次数为，求随机变量的概率分布、数学期望和方差．21．（2024上·吉