2023-2024学年上海市嘉定区安亭高级中学高一（下）期中数学试卷 （含解析）

2023-2024学年上海市嘉定区安亭高级中学高一（下）期中数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分48分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置填写结果。1．已知向量，则．2．计算：．3．设向量，若，则．4．若，则．5．已知、，则的单位向量坐标为．6．若，且满足，则的最小值为．7．在△中，．记，用表示．8．始边与轴的正半轴重合的角的终边过点，则．9．已知向量在上的投影向量为，且，则．10．“南昌之星”摩天轮半径为80米，建成时为世界第一高摩天轮，成为南昌地标建筑之一．已知摩天轮转一圈的时间为30分钟，甲坐上摩天轮6分钟后，乙也坐上了摩天轮，又过了分钟后，甲乙两人离底面高度相等，则．11．已知、是圆的直径上的两点，且，、是圆上的两个动点，且，则的最大值为．12．设函数，若对于任意，在区间，上总存在唯一确定的，使得，则的取值范围为．二、选择题（本大题共有4题，满分16分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑。13．已知向量，则A． B．2 C．3 D．014．函数是由得到的．A．向右平移 B．向右平移 C．向右平移 D．向右平移15．已知是平面上两个不平行的向量，则以下可以作为平面向量的一个基的一组向量是A． B． C． D．16．下列定义在上的函数是奇函数的是A． B． C． D．三、解答题（本大题共有5题，满分40分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤。17．在中，，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若边的长为11，求的面积．18．已知函数．（1）求的最小正周期；（2）求在区间上的最大值和最小值．19．已知向量，．（1）若，求的值；（2）若，求的值．20．如图，有一块半径为2的半圆形钢板，计划裁剪成等腰梯形的形状，它的下底是半圆的直径，上底的端点在圆周上．记．（提示：直径所对的圆周角是直角，即图中（1）用表示的长；（2）若，求如图中阴影部分的面积；（3）记梯形的周长为，将表示成的函数，并求出的最大值．21．已知△中，，令，且．过边上一点（异于端点）作边的垂线，垂足为，再由作边的垂线，垂足为，又由作边的垂线，垂足为．设．（1）求的长度；（2）若，求的值；（3）若存在实数，使得为常数，求的值，并写出该常数．

参考答案一．选择题（共4小题）题号13141516答案DBDA一、填空题（本大题共有12题，满分48分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置填写结果。1．已知向量，则．解：向量，所以．故答案为：．2．计算：．解：设，则，且为锐角，所以．故答案为：．3．设向量，若，则．解：，，，．故答案为：．4．若，则．解：已知，则．故答案为：．5．已知、，则的单位向量坐标为．解：由、，可得，则的单位向量为．故答案为：．6．若，且满足，则的最小值为．解：周期为，且在区间上为单调增函数，，故，．且，故的最小值为．故答案为：．7．在△中，．记，用表示．解：．故答案为：．8．始边与轴的正半轴重合的角的终边过点，则．解：始边与轴的正半轴重合的角的终边过点，则，故．故答案为：．9．已知向量在上的投影向量为，且，则1．解：在上的投影向量为，得，，，．故答案为：1．10．“南昌之星”摩天轮半径为80米，建成时为世界第一高摩天轮，成为南昌地标建筑之一．已知摩天轮转一圈的时间为30分钟，甲坐上摩天轮6分钟后，乙也坐上了摩天轮，又过了分钟后，甲乙两人离底面高度相等，则12．解：根据题意，摩天轮转一圈的时间为30分钟，则甲与乙的角度相差，设甲乙二人之间的劣弧的中点为，则当乙坐上摩天轮时，点与摩天轮最低点之间劣弧所对的圆心角为，所以点与摩天轮最高点之间劣弧所对的圆心角为，经过了分钟，点到达最高点，甲乙二人离地面高度相等，所以．故答案为：12．11．已知、是圆的直径上的两点，且，、是圆上的两个动点，且，则的最大值为．解：由题意可得，，则，由可得：，所以，当时，取得最大值为．故答案为：．12．设函数，若对于任意，在区间，上总存在唯一确定的，使得，则的取值范围为．解：因为函数，，所以，又因为在区间，上总存在唯一确定的，使得，即在区间，上总存在唯一确定的，使得，因为，，结合三角函数的性质，可得．故答案为：．二、选择题（本大题共有4题，满分16分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑。13．已知向量，则A． B．2 C．3 D．0解：由题意可知：．故选：．14．函数是由得到的．A．向右平移 B．向右平移 C．向右平移 D．向右平移解：因为，所以函数是由向右平移得到的．故选：．15．已知是平面上两个不平行的向量，则以下可以作为平面向量的一个基的一组向量是A． B． C． D．解：项，，故共线，故项错误；项，，故共线，故项错误；项，，故共线，故项错误；项，设，，则，所以，无解，故不共线，故项正确．故选：．16．下列定义在上的函数是奇函数的是A． B． C． D．解：根据题意，依次分析选项：对于，，其定义域为，，所以为奇函数，故对；对于，，其定义域为，，所以为偶函数，故错；对于，，其定义域为，，所以为偶函数，故错；对于，，其定义域为，，所以为偶函数，故错．故选：．三、解答题（本大题共有5题，满分40分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤。17．在中，，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若边的长为11，求的面积．解：，，，，，．．由正弦定理可得：，可得：，．．18．已知函数．（1）求的最小正周期；（2）求在区间上的最大值和最小值．解：（1），，则的最小正周期为．（2），则，，．所以在上的最大值为，最小值为．19．已知向量，．（1）若，求的值；（2）若，求的值．解：（1）即（2）由即化简得故有又，，或或20．如图，有一块半径为2的半圆形钢板，计划裁剪成等腰梯形的形状，它的下底是半圆的直径，上底的端点在圆周上．记．（提示：直径所对的圆周角是直角，即图中（1）用表示的长；（2）若，求如图中阴影部分的面积；（3）记梯形的周长为，将表示成的函数，并求出的最大值．解：（1）连接，过作，则，，所以，可得；（2）由题意，可得，，所以；（3），则，令，则，则，当时，．21．已知△中，，令，且．过边上一点（异于端点）作边的垂线，垂足为，再由作边的垂线，垂足为，又