分段计费及方案决策问题经典例题含答案七上

分段计费及方案决策问题经典例题含答案七上在七年级数学中，分段计费及方案决策问题是一类重要的实际应用题型。这类问题通常涉及到不同阶段的费用计算方式不同，需要我们根据给定的条件，分析各种情况下的费用情况，并做出合理的决策。（一）分段计费问题1.定义：根据不同的数量范围或时间段，制定不同的计费标准来计算费用。2.常见类型水电费计费：例如，每月用水量不超过一定度数时，按一个单价计费；超过该度数后，超出部分按另一个较高的单价计费。出租车计费：起步价包含一定的里程数，里程数超出起步里程后，每增加一定里程增加相应费用。通信套餐计费：如每月固定费用包含一定的通话时长和流量，超出部分分别按不同标准计费。（二）方案决策问题1.定义：面对多种可行的方案，通过分析各方案在不同情况下的费用或收益等，选择最优方案。2.解题步骤明确问题：确定题目所要求解的目标，是选择费用最低的方案、收益最大的方案还是其他。分析方案：详细列出各种可行方案的具体内容，包括其收费标准、计算方式等。建立模型：根据方案内容，设出合适的变量，建立费用或收益与变量之间的函数关系式。求解比较：通过计算不同方案在各种情况下的费用或收益，进行比较，得出最优方案。二、经典例题（一）水电费分段计费问题1.为鼓励居民节约用水，某市对居民用水实行"阶梯水价"，按每月用水量计算，将居民家庭用水分为三个阶梯，水价按阶梯递增。第一阶梯：月用水量不超过24立方米，水价为2元/立方米；第二阶梯：月用水量超过24立方米但不超过36立方米，超出部分水价为3元/立方米；第三阶梯：月用水量超过36立方米，超出部分水价为4元/立方米。（1）若小明家某月用水量为30立方米，则该月应交水费多少元？（2）若小明家某月交水费108元，则该月用水量是多少立方米？答案：（1）小明家用水量为30立方米，其中24立方米按2元/立方米收费，超出24立方米的部分为\(3024=6\)立方米，这6立方米按3元/立方米收费。则应交水费为\(24×2+6×3=48+18=66\)元。（2）设小明家该月用水量为\(x\)立方米。当\(x\leq24\)时，水费最多为\(24×2=48\)元，\(48\lt108\)，所以\(x\gt24\)。当\(24\ltx\leq36\)时，水费为\(24×2+(x24)×3=48+3x72=3x24\)。令\(3x24=108\)，解得\(3x=132\)，\(x=44\)，但\(44\gt36\)，不符合\(24\ltx\leq36\)的条件。当\(x\gt36\)时，水费为\(24×2+(3624)×3+(x36)×4=48+36+4x144=4x60\)。令\(4x60=108\)，解得\(4x=168\)，\(x=42\)立方米。2.某城市按以下规定收取每月的水费：用水量如果不超过6吨，按每吨1.2元收费；如果超过6吨，未超过的部分仍按每吨1.2元收取，而超过部分则按每吨2元收费。如果某用户5月份水费平均为每吨1.4元，那么该用户5月份应交水费多少元？答案：设该用户5月份用水\(x\)吨。因为水费平均为每吨1.4元，\(1.4\gt1.2\)，所以\(x\gt6\)。根据题意可列方程：\(6×1.2+(x6)×2=1.4x\)。\(7.2+2x12=1.4x\)。\(2x1.4x=127.2\)。\(0.6x=4.8\)。解得\(x=8\)吨。则应交水费为\(1.4×8=11.2\)元。（二）出租车分段计费问题1.某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3千米（不超过3千米按起步价付费）；超过3千米但不超过8千米时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8千米时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元。现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了多少千米？答案：设出租车行驶了\(x\)千米。当\(x\leq3\)时，费用最多为\(8+1=9\)元，\(9\lt22.6\)，所以\(x\gt3\)。当\(3\ltx\leq8\)时，费用为\(8+(x3)×2.15+1=8+2.15x6.45+1=2.55+2.15x\)。令\(2.55+2.15x=22.6\)，\(2.15x=20.05\)，解得\(x\approx9.33\)，但\(9.33\gt8\)，不符合\(3\ltx\leq8\)的条件。当\(x\gt8\)时，费用为\(8+(83)×2.15+(x8)×2.85+1=8+10.75+2.85x22.8+1=2.85x3.05\)。令\(2.85x3.05=22.6\)，\(2.85x=25.65\)，解得\(x=9\)千米。2.某地的出租车收费标准如下：2.5千米以内（含2.5千米）收费6元；超过2.5千米，每千米收费1.6元（不足1千米按1千米计算）。王叔叔从家乘出租车去火车站，共付车费15.6元。王叔叔家到火车站的距离最远是多少千米？答案：设王叔叔家到火车站的距离是\(x\)千米。因为\(15.6\gt6\)，所以\(x\gt2.5\)。\(6+(x2.5)×1.6=15.6\)。\((x2.5)×1.6=9.6\)。\(x2.5=6\)。解得\(x=8.5\)千米。因为不足1千米按1千米计算，所以王叔叔家到火车站的距离最远是8.5千米（此时行驶距离为8千米多一点按9千米算）。（三）通信套餐计费问题1.某移动公司推出两种手机卡，采用的收费标准如下表所示：|卡的类型|月固定费用/元|每分钟通话费/元||::|::|::||A卡|15|0.12||B卡|0|0.3|李叔叔每月的通话时间累计一般在200分钟左右，请你帮李叔叔选择一种比较合算的手机卡，并通过计算说明理由。答案：对于A卡，费用为\(15+0.12×200=15+24=39\)元。对于B卡，费用为\(0.3×200=60\)元。因为\(39\lt60\)，所以李叔叔选择A卡比较合算。2.某电信公司有甲、乙两种手机收费业务。甲种业务规定月租费10元，每通话1分钟收费0.3元；乙种业务不收月租费，但每通话1分钟收费0.4元。（1）分别写出甲、乙两种收费标准下每月应交费用\(y\)（元）与通话时间\(x\)（分钟）之间的关系式。（2）什么情况下选择甲种业务更合算？什么情况下选择乙种业务更合算？答案：（1）甲种业务：\(y_甲=10+0.3x\)。乙种业务：\(y_乙=0.4x\)。（2）当\(y_甲\lty_乙\)时，\(10+0.3x\lt0.4x\)，\(10\lt0.4x0.3x\)，\(x\gt100\)分钟，即通话时间超过100分钟时选择甲种业务更合算。当\(y_甲\gty_乙\)时，\(10+0.3x\gt0.4x\)，\(10\gt0.4x0.3x\)，\(x\lt100\)分钟，即通话时间小于100分钟时选择乙种业务更合算。（四）方案决策问题1.某班将买一些乒乓球和乒乓球拍，现了解情况如下：甲、乙两家商店出售两种同样品牌的乒乓球和乒乓球拍。乒乓球拍每副定价30元，乒乓球每盒定价5元，经洽谈后，甲店每买一副球拍赠一盒乒乓球，乙店全部按定价的9折优惠。该班需球拍5副，乒乓球若干盒（不小于5盒）。（1）当购买乒乓球多少盒时，两种优惠办法付款一样？（2）当购买15盒、30盒乒乓球时，请你去办这件事，你打算去哪家商店购买？为什么？答案：设购买乒乓球\(x\)盒。（1）在甲店购买的费用为：\(5×30+5(x5)=150+5x25=125+5x\)。在乙店购买的费用为：\((5×30+5x)×0.9=135+4.5x\)。令\(125+5x=135+4.5x\)，\(5x4.5x=135125\)，\(0.5x=10\)，解得\(x=20\)盒。（2）当\(x=15\)时，甲店费用：\(125+5×15=125+75=200\)元。乙店费用：\(135+4.5×15=135+67.5=202.5\)元。因为\(200\lt202.5\)，所以去甲店购买。当\(x=30\)时，甲店费用：\(125+5×30=125+150=275\)元。乙店费用：\(135+4.5×30=135+135=270\)元。因为\(270\lt275\)，所以去乙店购买。2.某学校计划购买若干台电脑，现从两家商场了解到同一型号电脑每台报价均为6000元，并且多买都有一定的优惠。甲商场的优惠条件是：第一台按原报价收费，其余每台优惠25%；乙商场的优惠条件是：每台优惠20%。（1）分别写出两家商场的收费\(y\)（元）与所买电脑台数\(x\)（台）之间的关系式。（2）什么情况下到甲商场购买更优惠？（3）什么情况下到乙商场购买更优惠？答案：（1）甲商场：\(y_甲=6000+(x1)×6000×(125\%)=6000+4500(x1)=1500+4500x\)。乙商场：\(y_乙=6000x×(120\%)=4800x\)。（2）当\(y_甲\lty_乙\)时，\(1500+4500x\lt4800x\)，\(1500\lt4800x4500x\)，\(300x\gt1500\)，解得\(x\gt5\)，即购买电脑台数大于5台时到甲商场购买更优惠。（3）当\(y_甲\gty_乙\)时，\(1500+4500x\gt4800x\)，\(1500\gt4800x4