九年级数学上学期期中押题卷【深圳专用】（北师大版测试范围：第1-3章）

2026—2027学年九年级数学上学期期中押题卷【深圳专用】（测试范围：九年级上册北师大版，第1-3章）（全卷满分100分，考试时间90分钟）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题（每题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．下列选项中属于位似图形的是（）A． B．C． D．2．某国产芯片企业2024年研发投入30亿元，2026年研发投入达到50亿元，为计算这两年研发投入的平均年增长率，设研发投入的平均年增长率为，则下列方程正确的是（

）A． B．C． D．3．如图是小明设计用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．在地面上点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙的顶端C处，已知，且测得，那么该古城墙的高度是（

）A． B． C． D．4．如图，已知四边形是平行四边形，下列结论中错误的是（

）A．当时，它是菱形 B．当时，它是矩形C．当时，它是菱形 D．当时，它是矩形5．如图，菱形的对角线与相交于点．若于点，，则的长为（

）A． B． C． D．6．若关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（

）A． B．且 C． D．且7．若关于x的一元二次方程的两个实数根都是正整数，则整数m的值有（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个8．如图，如果，那么添加下列一个条件后，仍不能确定与相似的是（

）A． B．C． D．填空题(本大题有5个小题，每小题5分，共15分)9．一元二次方程的一个根为a，则的值是________10．已知，是关于的方程的两实数根，且，，则的值是_______．11．如图，是的高，点P，Q在边上，点R在边上，点S在边上，，，四边形是由两个并排放置的正方形所组成的矩形，则矩形的面积为________．12．如图，在正方形内部以为边作等边，连接交于点F，则的度数为_________．13．如图所示，在菱形中，以点为圆心，一定长为半径画弧分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内交于点，连接并延长交于点．若，则________．三、解答题（第14，15，每题7分，第16，17题每题8分，第18，19题10分，第20题，11分，共61分）14．解方程：(1)；(2)；(3)；(4)．15．为弘扬地方文化，让更多游客了解沈阳，我市某文旅公司推出多款文创产品，已知某款文创产品的成本价为30元，当售价为40元时，每天可以售出60件；经调查发现，售价每降价1元，每天可多售出10件，设该款文创产品降价元．(1)降价销售后，每件该款文创产品的利润为__________元，每天售出该款文创产品的数量为__________件（用含的代数式表示）；(2)为让利于游客，当该款文创产品应该定价多少元时，这个文旅公司每天的利润为630元？16．我们定义：若关于的一元二次方程（）满足，则称该方程为友好方程．请根据此定义，回答下列问题：(1)请写出一个你认为正确的友好方程，并求出它的根；(2)若关于的一元二次方程是友好方程，求的值，并判断方程根的情况；(3)若友好方程有两个相等的实数根，求，的值．17．如图，在矩形中，对角线、相交于点，过点作，过点作，、相交于点．(1)求证：四边形是菱形；(2)若，，直接写出菱形的面积．18．如图，点在一条直线上，交于点，，且．求证：．19．如图，直线，且分别交于A、B、C，交于D、E、F，已知，，．(1)求的长；(2)若与交于点O，且，，求的长．20．解答下列各题：(1)（原题重现）课本22面第4题：如图1，在正方形中，四边形为矩形，且，求证：矩形为正方形(2)（追本溯源）小明受此启发，提出类似图1中的角叫“斜直角”，可以构造一线三直角，从而解决下面的问题：如图2、图3，在正方形中，，点为对角线上一动点，连接，作EF．交射线于点F，以为邻边作矩形，连接．请你在图2与图3中选一个，①求证；矩形是正方形；②（拓展迁移）探究：的值是否为定值？如果不是请说明理由，如果是定值，请求出此定值．参考答案题号12345678答案BDCBBCAC1．B解：A、不属于位似图形，故本选项不符合题意；B、属于位似图形，故本选项符合题意；C、不属于位似图形，故本选项不符合题意；D、不属于位似图形，故本选项不符合题意．2．D抓住2024到2026年共经历2次增长的特点，用含x的式子表示2026年研发投入，建立等量关系．解：设研发投入的平均年增长率为x，2025年研发投入为亿元，2026年研发投入为亿元，∵2026年研发投入为50亿元，∴．3．C根据题意得出及，判定，利用对应边成比例求解．解：由题意知：，，∴，∴，∵，，，∴，∴．4．B根据平行四边形的性质和矩形、菱形的判定方法进行判断即可.解：∵当时，是菱形；当时，是菱形；当时，是矩形；∴正确，错误，故选：.5．B先根据菱形的性质和勾股定理求得的长，再由面积公式求得的长．解：菱形中，有，，，．，，，，，．6．C需按二次项系数是否为0分类讨论，结合方程有实数根的条件求解．解：当时，原方程为，有实数根；当时，原方程为一元二次方程，方程有实数根，，即，解得，即且，综上，的取值范围是．7．A由根与系数的关系得两根之和为4，结合两根为正整数列举所有可能的根的组合，计算对应m的取值个数．解：设方程的两个正整数根为，，由根与系数的关系得，，，均为正整数，满足和为4的正整数对为，，对应的值分别为，，整数的值有2个．8．C根据三角形相似的判定定理逐一判断即可．解：∵，∴，∴，选项，添加，结合，根据两组对应角相等，可以确定，不符合题意．选项，添加，结合，根据两组对应角相等，可以确定，不符合题意．选项，添加，对应边成比例，但是不是夹角相等，不能确定，符合题意．选项，添加，对应边成比例，且，两边夹角也相等，确定，不符合题意．9．4根据方程根的定义得到a满足的等式，将所求代数式变形为可整体代入的结构，无需计算方程的具体根即可完成求值．解：∵a是一元二次方程的根，∴把代入方程可得，移项整理得，∴．10．9先根据一元二次方程根与系数的关系求出参数、的值，再代入代数式运用有理数乘方运算法则计算即可．解：∵对于一元二次方程，二次项系数为1，一次项系数为，常数项为．∴根据根与系数的关系，两根满足，．∵已知，．∴，，解得．∴．11．1152设正方形边长为x，则，，证明，利用相似三角形的性质求出，得到，然后利用矩形面积公式求解．解：设正方形边长为x，则，，∵∴，∴∴，解得，∴，∴矩形面积．12．先得出，，再根据三角形的外角性质求解即可．解：∵四边形是正方形，∴，∵是等边三角形，∴，∴．13．/36度由作图步骤可得平分，由菱形的性质结合角平分线的定义，求出，进而求出，最后根据三角形的外角求即可．解：菱形，，，由作图步骤可得平分，，，，，，．14．(1)，(2)，(3)，(4)（1）利用配方法解一元二次方程即可；（2）利用因式分解法解一元二次方程即可；（3）利用公式法解一元二次方程即可；（4）将方程整理可得，再求解即可．（1）解：∵，∴，∴，∴，∴，∴，；（2）解：∵，∴，∴或，∴，；（3）解：∵，∴，，，∴，∴，∴，；（4）解：∵，∴，∴，∴∴，∴．15．(1)；(2)该款文创产品应该定价37元（1）根据单件利润=现售价−成本，销售量=原销量+增加销量，列出代数式；（2）根据总利润=单件利润×销售量列一元二次方程，结合“让利于游客”，选择售价更低的解．（1）解：每件利润为元，每天销售量为件．（2）解：根据题意，得整理，得因式分解，得要让利于游客，定价尽可能低，取．（元）答：该款文创产品应该定价37元．16．(1)友好方程为，它的根为．（答案不唯一）(2)的值为或，方程有两个不相等的实数根．(3)，．（1）根据友好方程定义，自主选取满足条件的构造一元二次方程，再解方程求出根．（2）利用友好方程的条件，把方程各项系数代入，列方程求出；再将代回原方程，计算判别式，根据判别式符号判断根的情况．（3）先由友好方程定义得到，列出第一个等式；再结合方程有两个相等实数根，得到判别式，列出第二个等式，联立两个等式求解，同时注意一元二次方程二次项系数不为0．（1）解：取方程，∵，∴是友好方程，，，∴．（2）解：，，当时，，此时方程有两个不相等的实数根；当时，，此时方程有两个不相等的实数根；综上，的值为1或2，方程有两个不相等的实数根．（3）解：∵友好方程有两个相等的实数根，，解得，∴把代入上式得，，∴，∴，当时，，符合题意．17．(1)证明：∵，，∴四边形是平行四边形，∵四边形是矩形，∴，∴，∴四边形是菱形；(2)16（1）由题意得四边形是平行四边形，再由矩形的性质即可证明四边形是菱形；（2）易得菱形的面积等于的面积，由此即可求解．（1）证明：略；（2）解：∵菱形是轴对称图形，∴，∵四边形是矩形，∴，∴，即．18．证明：，，即，又，．根据可得，结合可证．略19．(1)(2)（1）利用平行线分线段成比例定理，得到对应线段比例，代入已知数值即可求出；（2）先算出、长度，再由得到，根据相似三角形对应边成比例列式，代入的长求出．（1）解：直线，，，，，，；（2）解：，，，，，直线，，，，，．20．(1)证明：∵四边形是正方形∴∵四边形为矩形，∴∴∵，矩形为正方形；(2)①证明：选择图2或图3，过作于点，过作于点，∵四边形为正方形，∴，∵，，∴，∴四边形是矩形，∴，∵是正方形对角线