陕西省石泉县高中数学 第二章 函数 2.4 二次函数性质的再研究 2.4.3 二次函数在闭区间上的最值教学实录 北师大版必修1

陕西省石泉县高中数学第二章函数2.4二次函数性质的再研究2.4.3二次函数在闭区间上的最值教学实录北师大版必修1课题：科目：班级：课时：计划1课时教师：单位：一、设计思路本节课以二次函数在闭区间上的最值问题为核心，通过引导学生回顾二次函数的基本性质，结合实际案例，引导学生运用导数法研究函数在闭区间上的最值。通过实例分析和课堂讨论，使学生掌握二次函数在闭区间上求最值的方法，提高学生的数学思维能力和解决问题的能力。二、核心素养目标分析培养学生数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析等核心素养。通过探究二次函数在闭区间上的最值问题，提升学生运用数学语言表达现实世界的能力，增强逻辑推理和问题解决能力，培养学生数学建模意识，提高数学思维品质。三、学情分析本节课针对陕西省石泉县高中一年级学生，他们已经具备了一定的数学基础，对二次函数的基本性质有一定的了解。在知识层面上，学生对二次函数的标准形式、图像特点及简单应用有较好的掌握。然而，学生在运用导数法研究函数最值问题时，可能存在以下问题：

1.学生对导数的概念理解不够深入，对导数与函数单调性的关系认识模糊。

2.学生在分析函数在闭区间上的最值时，可能难以把握导数与函数最值之间的关系。

3.学生在解决实际问题时，缺乏将数学知识应用于具体情境的能力。

在能力方面，学生在逻辑推理、抽象思维和问题解决能力上存在一定差异。部分学生可能对复杂问题的分析处理能力较弱，难以将所学知识灵活运用。此外，学生在课堂参与度、合作学习等方面表现不一，影响课堂氛围和教学效果。

在素质方面，学生在自主学习、合作探究等方面有待提高。部分学生可能存在依赖心理，对独立思考和创新意识培养不够重视。此外，学生在时间管理和自我监控方面存在不足，影响学习效率。四、教学资源1.软硬件资源：多媒体教学设备（电脑、投影仪）、数学教学软件、白板或黑板。

2.课程平台：北师大版高中数学教材配套教学资源平台。

3.信息化资源：二次函数图像生成软件、在线教育平台相关视频和资料。

4.教学手段：实物教具（如二次函数图像模型）、多媒体课件、课堂练习题。五、教学过程一、导入新课

（老师）同学们，我们已经学习了二次函数的基本性质，今天我们要进一步探讨二次函数在闭区间上的最值问题。请同学们回顾一下二次函数的图像特点，以及如何利用导数判断函数的单调性。

（学生）老师，二次函数的图像是一个开口向上或向下的抛物线，顶点坐标可以通过公式求出，导数可以帮助我们判断函数的单调性。

（老师）很好，回顾得很到位。今天我们就从函数的单调性入手，探究二次函数在闭区间上的最值。

二、新课导入

1.提出问题：已知二次函数$f(x)=ax^2+bx+c$，其中$a>0$，求$f(x)$在闭区间$[m,n]$上的最大值或最小值。

2.引导学生思考：如何运用导数法来解决这个问题？

3.学生尝试解答，老师给予适当引导。

（学生）老师，我们可以先求出$f'(x)$，然后找出$f'(x)=0$的点，这个点就是函数的极值点。

（老师）非常好，那我们接下来需要判断这个极值点是不是闭区间$[m,n]$上的最值点。

三、探究二次函数在闭区间上的最值

1.分析闭区间$[m,n]$内的情况：

a.若极值点在闭区间$[m,n]$内，则比较$f(m)$、$f(n)$和$f(x_0)$（$x_0$为极值点）的大小，确定最大值或最小值。

b.若极值点在闭区间$[m,n]$外，则比较$f(m)$和$f(n)$的大小，确定最大值或最小值。

2.分析闭区间$[m,n]$外的情况：

a.若极值点在区间$[m,n]$的左侧，则比较$f(m)$和$f(x_0)$的大小，确定最大值或最小值。

b.若极值点在区间$[m,n]$的右侧，则比较$f(n)$和$f(x_0)$的大小，确定最大值或最小值。

3.总结规律：二次函数在闭区间上的最值问题可以通过比较区间端点值和极值点值来确定。

四、实例分析

1.举例说明二次函数在闭区间上的最值问题，如$f(x)=x^2-4x+3$在闭区间$[1,3]$上的最大值。

2.学生尝试解答实例，老师给予指导和点评。

（学生）老师，$f(x)=x^2-4x+3$的导数为$f'(x)=2x-4$，令$f'(x)=0$，得到$x=2$。在闭区间$[1,3]$上，$f(1)=0$，$f(2)=-1$，$f(3)=0$。因此，$f(x)$在闭区间$[1,3]$上的最大值为$0$。

（老师）很好，同学们已经掌握了二次函数在闭区间上求最值的方法。接下来，请大家尝试解答以下题目。

五、课堂练习

1.题目一：求二次函数$f(x)=x^2-2x-3$在闭区间$[-2,4]$上的最大值和最小值。

2.题目二：已知二次函数$f(x)=2x^2-3x-1$，求$f(x)$在闭区间$[0,2]$上的最大值和最小值。

3.题目三：已知二次函数$f(x)=x^2-4x+3$，求$f(x)$在闭区间$[m,n]$上的最大值和最小值，其中$m=-1$，$n=3$。

六、课堂小结

1.回顾本节课所学内容，强调二次函数在闭区间上求最值的方法。

2.总结二次函数最值问题的常见类型及解决策略。

3.鼓励学生在课后进行巩固练习，提高数学思维能力。

七、布置作业

1.完成课堂练习中的题目。

2.预习下一节课的内容，了解二次函数在实际问题中的应用。

八、课后反思

1.反思本节课的教学效果，总结教学过程中的优点和不足。

2.分析学生的学习情况，针对不同层次的学生提出改进措施。

3.结合教学实践，不断完善教学方法，提高教学质量。六、学生学习效果学生学习效果主要体现在以下几个方面：

1.**知识掌握情况**：

-学生能够熟练掌握二次函数在闭区间上求最值的基本方法，包括导数法以及端点值比较法。

-学生能够识别和应用二次函数的标准形式，正确求解函数的极值点。

-学生能够通过导数分析函数的单调性，并利用单调性判断函数在闭区间上的最值。

2.**能力提升**：

-学生在逻辑推理能力上得到提升，能够通过逻辑推理过程解决问题。

-学生在数学建模能力上有所增强，能够将实际问题转化为数学问题，并运用数学模型进行求解。

-学生在问题解决能力上得到锻炼，能够面对新的问题时，能够灵活运用所学知识进行思考和分析。

3.**思维发展**：

-学生的抽象思维能力得到加强，能够从具体实例中提炼出一般规律。

-学生的空间想象能力得到提升，能够通过函数图像直观理解函数性质。

-学生的批判性思维能力得到锻炼，能够对不同的解题方法进行比较和评价。

4.**学习习惯**：

-学生养成了课前预习、课后复习的良好习惯，能够主动学习新知识。

-学生在课堂上积极参与讨论，提高了课堂参与度和互动性。

-学生学会了自我监控学习进度，能够根据自己的学习情况调整学习策略。

5.**情感态度**：

-学生对数学学科的兴趣和信心得到提升，认识到数学在解决实际问题中的重要性。

-学生在面对困难时，能够坚持不懈，培养了克服困难的意志力。

-学生在合作学习中，学会了尊重他人，增强了团队合作意识。

总体来说，学生在学习二次函数在闭区间上的最值问题后，不仅在数学知识上有了显著提升，而且在能力、思维、习惯和情感态度等方面都取得了良好的学习效果。这些效果将有助于学生未来在更高层次的数学学习中取得更好的成绩。七、反思改进措施反思改进措施（一）教学特色创新

1.案例教学：在讲解二次函数在闭区间上的最值问题时，我尝试引入实际生活中的案例，如建筑设计的屋顶设计、抛物线运动的最高点等，让学生在实际情境中理解数学知识的应用。

2.小组合作：在课堂上，我鼓励学生分组讨论，通过合作学习的方式，共同解决二次函数最值问题，这样不仅提高了学生的合作能力，也增强了他们的团队精神。

反思改进措施（二）存在主要问题

1.学生基础差异：我发现学生在数学基础和接受能力上存在较大差异，部分学生在理解二次函数的导数概念和最值求解方法上存在困难。

2.教学方法单一：在教学中，我主要依赖讲授法，虽然能够系统讲解知识，但学生的主动性和参与度相对较低。

3.评价方式局限：目前的教学评价主要依赖于课堂练习和考试成绩，缺乏对学生学习过程的全面评价。

反思改进措施（三）

1.个性化教学：针对学生基础差异，我将尝试分层教学，为不同层次的学生提供个性化的学习材料和方法，确保每个学生都能跟上教学进度。

2.丰富教学方法：除了讲授法，我将引入更多互动式教学方法，如小组讨论、问题解决、角色扮演等，以提高学生的参与度和学习兴趣。

3.多元化评价：为了更全面地评价学生的学习效果，我将结合形成性评价和总结性评价，关注学生的学习过程，包括课堂表现、作业完成情况、小组合作表现等。同时，鼓励学生进行自我评价和同伴评价，提高学生的反思能力。八、课后拓展1.拓展内容：

-阅读材料：《数学与生活》中的“抛物线与建筑设计”一文，探讨二次函数在实际工程中的应用。

-视频资源：《二次函数在物理中的应用》视频，介绍二次函数在抛体运动、光学等领域的应用实例。

-在线互动平台：登录“数学在线”平台，参与二次函数最值问题的在线讨论和挑战。

2.拓展要求：

-学生在课后可以利