解答题05 7类圆锥曲线答题模板-高考数学答题技巧与模板构建

解答题057类圆锥曲线答题模板（定点、定值、定直线、最值与范围、动点轨迹、存在性问题、杂糅问题）模板模板01定点问题的答题模板模板02定值问题的答题模板模板03定直线问题的答题模板模板04最值与范围问题的答题模板模板05动点轨迹的答题模板模板06存在性问题的答题模板模板07圆锥曲线杂糅问题的答题模板本节导航模板01定点问题的答题模板圆锥曲线定点问题是指在某些含有参数的直线或曲线方程中，不论参数如何变化，其都过某一定点。圆锥曲线的定点问题及其相关计算是新高考卷的常考内容，需强化训练复习.解决定点问题的基本思路是首先确定方程，即用一个参数来表达直线（或曲线）的方程。通过证明方程的成立与参数的具体值无关，我们可以得到一个关于x和y的方程组。这个方程组的解所对应的点，即为直线（或曲线）所固定的通过点。过定点问题常用方法如下：（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；（3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明.（2022·全国·高考真题）已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过两点．(1)求E的方程；(2)设过点的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足．证明：直线HN过定点．1．（2023·全国·高考真题）已知椭圆的离心率是，点在上．(1)求的方程；(2)过点的直线交于两点，直线与轴的交点分别为，证明：线段的中点为定点．2．（2024·广东深圳·模拟预测）已知椭圆：的离心率为，右顶点与的上，下顶点所围成的三角形面积为．(1)求的方程；(2)不过点的动直线与交于，两点，直线与的斜率之积恒为，证明直线过定点，并求出这个定点．3．（2024·河南周口·模拟预测）已知椭圆的焦距为2，不经过坐标原点且斜率为1的直线与交于P，Q两点，为线段PQ的中点，直线的斜率为.(1)求椭圆的方程；(2)设，直线PB与的另一个交点为，直线QB与的另一个交点为，其中，均不为椭圆的顶点，证明：直线MN过定点.1．（2024·贵州贵阳·二模）已知椭圆的一个焦点是.直线与直线关于直线对称，且相交于椭圆的上顶点.(1)求椭圆的标准方程；(2)求的值；(3)设直线分别与椭圆另交于两点，证明：直线过定点.2．（2024·浙江·模拟预测）已知椭圆：与直线相切于点.(1)求椭圆的方程；(2)设，为椭圆上异于点的点，直线，与轴分别交于点，，若，证明：直线恒过定点.3．（2024·江西宜春·模拟预测）已知椭圆的左右顶点分别为和，离心率为，且经过点，过点作垂直轴于点．在轴上存在一点（异于），使得．

(1)求椭圆的标准方程；(2)过点作一条垂直于轴的直线，在上任取一点，直线和直线分别交椭圆于两点，证明：直线经过定点．模板02定值问题的答题模板定值问题涉及的是几何量（如线段长度、图形面积、角度、直线斜率等）或代数表达式的值，这些值与题目中的参数无关，不会随着参数的变化而改变，始终保持着一个固定的数值。圆锥曲线的定值问题及其相关计算是新高考卷的常考内容，需强化训练复习.求解定值问题的三个步骤（1）由特例得出一个值，此值一般就是定值；（2）证明定值，有时可直接证明定值，有时将问题转化为代数式，可证明该代数式与参数(某些变量)无关；也可令系数等于零，得出定值；（3）得出结论．（2024·江苏苏州·模拟预测）已知椭圆与圆在第一、第四象限分别交于Q、P两点，且满足(1)求椭圆γ的标准方程；(2)A是椭圆上的一点，若存在椭圆的弦BC使得，求证:四边形OABC的面积为定值.1．（2024·湖南常德·一模）已知椭圆的短轴长为，分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的一点，且的周长为.(1)求椭圆的方程；(2)过作垂直于轴的直线与椭圆交于两点（点在第一象限），是椭圆上位于直线两侧的动点，始终保持，求证：直线的斜率为定值.2．（2024·四川内江·三模）已知抛物线E的准线方程为：，过焦点F的直线与抛物线E交于A、B两点，分别过A、B两点作抛物线E的切线，两条切线分别与y轴交于C、D两点，直线CF与抛物线E交于M、N两点，直线DF与抛物线E交于P、Q两点.(1)求抛物线E的标准方程；(2)证明：为定值.3．（2024·河北衡水·三模）已知抛物线的焦点为，过且倾斜角为的直线与交于，两点．直线，与相切，切点分别为，，，与轴的交点分别为，两点，且．(1)求的方程；(2)若点为上一动点（与，及坐标原点均不重合），直线与相切，切点为，与，的交点分别为，．记，的面积分别为，．①请问：以，为直径的圆是否过定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由；②证明：为定值．1．（2024·四川乐山·三模）已知椭圆的左､右焦点分别为分别是椭圆的上下顶点，分别是椭圆的左右顶点，点在椭圆上，且的面积为.(1)求椭圆的方程；(2)点是椭圆上的动点（不与重合），是在点处的切线，直线交于点，直线交于点，求证：直线的斜率为定值.2．（2024·重庆沙坪坝·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，双曲线的上下焦点分别为，.已知点和都在双曲线上，其中e为双曲线的离心率.(1)求双曲线的方程;(2)设是双曲线上位于轴右方的两点，且直线与直线平行，与交于点.(i)若，求直线的斜率；(ii)求证：是定值.3．（2024·湖南衡阳·一模）如图，已知点、分别是椭圆的左、右焦点，点是负半轴上的一点，，过点的直线与交于点与点.

(1)求面积的最大值；(2)设直线的斜率为和直线的斜率为，椭圆上是否存在点，使得为定值，若存在，求出点与值，若不存在，请说明理由.4．（2024·全国·模拟预测）已知双曲线C的中心是坐标原点，对称轴为坐标轴，且过A−2,0，两点．(1)求C的方程；(2)设P，M，N三点在C的右支上，，，证明：（ⅰ）存在常数，满足；（ⅱ）的面积为定值．模板03定直线问题的答题模板定直线问题是指因图形变化或点的移动而产生的动点在定直线上的问题，其核心在于确定这些动点的轨迹。(1)设定点法：通过设定特定点的轨迹，利用已知的点轨迹信息，消去其中的参数，进而导出轨迹方程。(2)待定系数法：首先设定包含未知参数的直线方程，然后运用待定系数法来求解这些系数。(3)验证法：选取特殊点的位置来求解直线方程，随后对一般情况下的位置进行验证。（2023·全国·高考真题）已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为．(1)求C的方程；(2)记C的左、右顶点分别为，，过点的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线与交于点P．证明:点在定直线上.1．（2024·河北保定·二模）已知抛物线的焦点为，过作互相垂直的直线，分别与交于和两点（A，D在第一象限），当直线的倾斜角等于时，四边形的面积为．(1)求C的方程；(2)设直线AD与BE交于点Q，证明：点在定直线上．2．（2024·陕西铜川·模拟预测）已知椭圆C：的右顶点为，离心率为，过点的直线l与C交于M，N两点．(1)若C的上顶点为B，直线BM，BN的斜率分别为，，求的值；(2)过点M且垂直于x轴的直线交直线AN于点Q，证明：线段MQ的中点在定直线上．3．（2024·山东·模拟预测）已知椭圆的两个顶点分别为、，焦点在轴上，离心率为，直线与椭圆交于、两点.(1)求椭圆的方程；(2)当变化时，是否存在过点的定直线，使直线平分？若存在，求出该定直线的方程；若不存在，请说明理由.1．（2024·贵州毕节·三模）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，，动点P满足，设点P的轨迹为曲线．(1)求曲线的方程；(2)过点的直线l与曲线在y轴右侧交于不同的两点M，N，在线段MN上取异于点M，N的点D，满足．证明：点D在定直线上．2．（2024·湖南长沙·三模）已知抛物线，过点的直线与交于不同的两点.当直线的倾斜角为时，.(1)求的方程；(2)在线段上取异于点的点，且满足，试问是否存在一条定直线，使得点恒在这条定直线上？若存在，求出该直线；若不存在，请说明理由.3．（2024·吉林长春·一模）已知为抛物线的焦点，为坐标原点，过焦点作一条直线交于A，B两点，点在的准线上，且直线MF的斜率为的面积为1.(1)求抛物线的方程；(2)试问在上是否存在定点，使得直线NA与NB的斜率之和等于直线NF斜率的平方？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由；(3)过焦点且与轴垂直的直线与抛物线交于P，Q两点，求证：直线AP与BQ的交点在一条定直线上.模板04最值与范围问题的答题模板圆锥曲线中的最值与取值范围问题，一直是历年高考数学试卷中的常见热点综合应用题型之一，此类问题常考常新，创新新颖，形式各样，变化多样，对考生的代数恒等变形能力，数学运算能力，推理论证能力等都有较高的要求，同时突出对数学基础知识、数学思想方法、数学关键能力以及数学核心素养等的全面考查，具有较好的选拔性与区分度，备受命题者青睐圆锥曲线中的范围与最值问题，展现了圆锥曲线与三角函数、不等式、方程、平面向量等代数知识之间的紧密联系。几何转化代数法:如果题目的条件和结论明显地展现了几何特征和意义，那么可以考虑利用圆、圆锥曲线的定义、图形、几何性质来解决问题。代数法:当题目给出的条件和结论的几何特征不明显时，可以建立目标函数，进而求解这个函数的最值（或值域）。常用方法包括：(1)配方法；(2)基本不等式法；(3)单调性法；(4)三角换元法；(5)导数法等。在应用这些方法时，特别需要注意自变量的取值范围。（2022·新Ⅰ卷·高考真题）如图，已知椭圆．设A，B是椭圆上异于的两点，且点在线段上，直线分别交直线于C，D两点．(1)求点P到椭圆上点的距离的最大值；(2)求的最小值．1．（2020·新Ⅱ卷·高考真题）已知椭圆C：过点M（2，3）,点A为其左顶点，且AM的斜率为，（1）求C的方程；（2）点N为椭圆上任意一点，求△AMN的面积的最大值.2．（2021·新Ⅰ卷·高考真题）如图，已知F是抛物线的焦点，M是抛物线的准线与x轴的交点，且，（1）求抛物线的方程；（2）设过点F的直线交抛物线与A､B两点，斜率为2的直线l与直线，x轴依次交于点P，Q，R，N，且，求直线l在x轴上截距的范围.3．（2021·全国·高考真题）已知抛物线的焦点F到准线的距离为2．（1）求C的方程;（2）已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足，求直线斜率的最大值.1．（2024·河北·模拟预测）椭圆：左右顶点分别为，，且，离心率.(1)求椭圆的方程；(2)直线与抛物线相切，且与相交于、两点，求面积的最大值.2．（2024·福建泉州·模拟预测）已知椭圆的左右焦点分别是，双曲线的顶点恰好是、，且一条渐近线是．(1)求的方程：(2)若上任意一点（异于顶点），作直线交于，作直线交于，求的最小值．3．（2024·新疆·三模）已知椭圆：的左右焦点分别为，，离心率为，过抛物线：焦点的直线交抛物线于M，N两点，的最小值为4.连接，并延长分别交于A，B两点，且点A与点M，点B与点N均不在同一象限，与的面积分别记为，.(1)求和的方程；(2)记，求的最小值.模板05动点轨迹的答题模板轨迹是由动点按照特定规律或轨迹条件运动所形成的路径。一旦这些轨迹条件通过动点坐标的数学表达式来表示，我们便得到了所求的轨迹方程。求解轨迹方程的本质在于将几何形态（“形”）转换为数值表达（“数”），将曲线转换为方程形式。通过研究这些方程，我们能够深入理解曲线的性质。求轨迹方程培养了学生数形结合的思想、函数与方程的思想以及化归与转化的思想.求轨迹方程的5种常用方法

1直接法:直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法通常叫做直接法。

2定义法:如果能够确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程，这种求轨迹方程的方法叫做定义法。

3相关点法:用动点M的坐标x，y表示相关点P的坐标x0、y0，然后代入点P的坐标x0、y0所满足的曲线方程，整理化简便得到动点Q轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做相关点法。（用未知表示已知，带入已知求未知)

4参数法:当动点坐标（2023·全国·高考真题）在直角坐标系中，点到轴的距离等于点到点的距离，记动点的轨迹为．(1)求的方程；(2)已知矩形有三个顶点在上，证明：矩形的周长大于．1．（2024·四川宜宾·三模）已知椭圆E：的左右焦点分别为，，过焦点斜率为的直线与椭圆E交于A，B两点，过焦点斜率为的直线与椭圆E交于C，D两点，且．(1)求直线与的交点N的轨迹M的方程；(2)若直线OA，OB，OC，OD的斜率分别为，，，，问在（1）的轨迹M上是否存在点P，满足，若存在，求出点P坐标；若不存在，说明理由．2．（2024·安徽合肥·三模）已知动点与定点的距离和到定直线的距离的比为常数，其中，且，记点的轨迹为曲线．(1)求的方程，并说明轨迹的形状；(2)设点，若曲线上两动点均在轴上方，，且与相交于点．当时，（ⅰ）求证：为定值（ⅱ）求动点的轨迹方程．3．（2024·山东菏泽·模拟预测）已知在平面直角坐标系中，一直线与从原点出发的两条象限角平分线（一、四象限或二、三象限的角平分线）分别交于，两点，且满足，线段的中点为，记点的轨迹为．(1)求轨迹的方程；(2)点，，，过点的一条直线与交于、两点，直线，分别交直线于点，，且满足，，证明：为定值.1．（2024·河北石家庄·二模）已知为平面上一个动点，到定直线的距离与到定点距离的比等于，记动点的轨迹为曲线．(1)求曲线的方程；(2)过点的直线与曲线交于，两点，在轴上是否存在点，使得为定值？若存在，求出该定值；若不存在，请说明理由．2．（2024·河北衡水·模拟预测）已知圆，过的直线与圆交于两点，过作的平行线交直线于点.(1)求点的轨迹的方程；(2)过作两条互相垂直的直线交曲线于交曲线于，连接弦的中点和的中点交曲线于，若，求的斜率.3．（2024·辽宁·二模）平面直角坐标系xOy中，面积为9的正方形的顶点分别在x轴和y轴上滑动，且，记动点P的轨迹为曲线．(1)求的方程；(2)过点的动直线l与曲线交于不同的两点时，在线段上取点Q，满足．试探究点Q是否在某条定直线上？若是，求出定直线方程；若不是，说明理由．4．（2024·全国·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知是轴上的动点，是平面内的动点，线段的垂直平分线交轴于点，交于点，且恰好在轴上，记动点的轨迹为曲线．(1)求曲线的方程(2)过点的直线与曲线交于两点，直线与直线分别交于点，设线段的中点为，求证：点在曲线上．模板06存在性问题的答题模板圆锥曲线作为高考的核心内容和热门考点，这类问题通常在解答题中出现，难度较大。因此，在复习过程中，应加强对这类问题的练习，以提高灵活求解的能力。解决存在性问题的技巧:(1)特殊值(点)法：对于一些复杂的数学问题，可以通过分析其中的特殊情况，推导出所求要素的必要条件，然后再证明这些条件对于所有情况均成立。(2)假设法：首先假设所求要素存在，然后推导并验证满足条件的结论，如果结论正确，则证明了要素的存在性；如果结论不成立，则说明所求要素不存在。（2024·天津·高考真题）已知椭圆的离心率为12．左顶点为，下顶点为是线段的中点（O为原点），的面积为．(1)求椭圆的方程．(2)过点C的动直线与椭圆相交于两点．在轴上是否存在点，使得恒成立．若存在，求出点纵坐标的取值范围；若不存在，请说明理由．1．（2024·山东·模拟预测）已知椭圆的两个顶点分别为、，焦点在轴上，离心率为，直线与椭圆交于、两点.(1)求椭圆的方程；(2)当变化时，是否存在过点的定直线，使直线平分？若存在，求出该定直线的方程；若不存在，请说明理由.2．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）在圆上任取一点，过点作轴的垂线，垂足为，点满足，当点在圆上运动时，点的轨迹为曲线，过点且斜率不为的直线与曲线交于，两点.(1)求曲线的方程；(2)求面积的最大值；(3)已知点，设直线，的斜率分别为，，是否存在实数，使得为定值？若存在，求出值，若不存在，请说明理由.1．（2024·重庆·一模）已知点为圆上任意一点，，线段的垂直平分线交直线于点．(1)求点的轨迹方程；(2)设过点的直线与点的轨迹交于点，且点在第一象限内．已知，请问是否存在常数，使得恒成立？若存在，求的值，若不存在，请说明理由．2．（2024·全国·一模）动圆P过定点，且在y轴上截得的弦GH的长为4.(1)若动圆圆心P的轨迹为曲线C，求曲线C的方程；(2)在曲线C的对称轴上是否存在点Q，使过点Q的直线与曲线C的交点S，T满足为定值？若存在，求出点Q的坐标及定值；若不存在，请说明理由．模板07圆锥曲线杂糅问题的答题模板圆锥曲线通常与三角函数、数列、导数等知识点杂糅在一起综合考查学生解题能力，需强化练习运用不同的分块知识点求解即可（2024·广东·模拟预测）在平面直角坐标系中，等轴双曲线和的中心均为O，焦点分别在x轴和y轴上，焦距之比为2，的右焦点F到的渐近线的距离为2．(1)求，的方程；(2)过F的直线交于A，B两点，交于D，E两点，与的方向相同．（ⅰ）证明：；（ⅱ）求面积的最小值．1．已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0经过点，，为C的左、右顶点，M，N为C上不同于，的两动点，若直线的斜率与直线的斜率的比值恒为常数，按下面方法构造数列：C的短半轴长为时，直线MN与x轴交于点.(1)求椭圆C的离心率；(2)证明：数列是等比数列；(3)设顶点到直线MN的最大距离为d，证明.1．（2024·江苏苏州·模拟预测）已知平面直角坐标系中，椭圆与双曲线．(1)若的长轴长为8，短轴长为4，直线与有唯一的公共点，过且与垂直的直线分别交轴，轴于点两点，当运动时，求点的轨迹方程；(2)若的长轴长为4，短轴长为2，过的左焦点作直线与相交于两点（在轴上方），分别过作的切线，两切线交于点，求面积的最小值．2．（2024·辽宁·模拟预测）已知椭圆C：过点，且C与双曲线有相同的焦点.(1)求C的方程；(2)直线：不过第四象限，且与C交于A，B两点，P为C上异于A，B的动点，求面积的最大值，并求的最大值.3．如图，已知椭圆经过点，离心率．(1)求椭圆的标准方程；(2)椭圆上任意点轴上一点，若的最小值为，求实数的取值范围；(3)设是经过右焦点的任一弦（不经过点），直线与直线相交于点，记的斜率分别为，求证:成等差数列.1．（2024·山东·二模）已知椭圆的右焦点为，过点且不垂直于坐标轴的直线交于两点，在两点处的切线交于点．(1)求证：点在定直线上，并求出该直线方程；(2)设点为直线上一点，且，求的最小值．2．（2024·河北邯郸·模拟预测）已知抛物线的焦点，直线与C交于A，B两点，且，线段AB的垂直平分线与x轴交于点．(1)求的值；(2)求面积的最大值．3．（2024·四川宜宾·一模）已知O为坐标原点，双曲线的离心率为，且过点.(1)求C的标准方程；(2)过C的右焦点F的直线与双曲线C的左、右两支分别交于两点A、B，点Q是线段的中点，过点F且与垂直的直线交直线于M点，点N满足；①证明：点M在一条定直线上；②求四边形面积的最小值.4．（2024·江苏徐州·一模）将上各点的纵坐标变为原来的倍（横坐标不变），所得曲线为E．记，，过点p的直线与E交于不同的两点A，B，直线QA，QB与E分别交于点C，D．(1)求E的方程：(2)设直线AB，CD的倾斜角分别为，．当时，（i）求的值：（ii）若有最大值，求的取值范围．5．（2024·浙江绍兴·三模）设双曲线C：（，）的一条渐近线为，焦点到渐近线的距离为1．，分别为双曲线的左、右顶点，直线过点交双曲线于点，，记直线，的斜率为，．(1)求双曲线的方程；(2)求证为定值．6．（2024·安徽池州·模拟预测）如图，已知双曲线的离心率为2，点在C上，A，B为双曲线的左、右顶点，为右支上的动点，直线AP和直线x＝1交于点N，直线NB交C的右支于点Q．(1)求C的方程；(2)探究直线PQ是否过定点，若过定点，求出该定点坐标，请说明理由；(3)设S1，S2分别为△ABN和△NPQ的外接圆面积，求的取值范围．7．（2024·青海海西·模拟预测）过直线上一个动点作抛物线的两条切线，分别为切点，直线与轴分别交于两点．(1)证明：直线过定点，并求点的坐标；(2)在（1）的条件下，为坐标