题型07 6类数列小题解题技巧-高考数学答题技巧与模板构建（解析版）

题型076类数列小题解题技巧（等差等比基本量、等差数列前n项和、等比数列前n项和、数列中最值问题、构造常数列求通项、数列周期性的应用）技法01技法01求等差等比基本量的解题技巧技法02等差数列前n项和的解题技巧技法03等比数列前n项和的解题技巧技法04数列中最值问题的解题技巧技法05构造常数列求通项的解题技巧技法06数列周期性的应用及解题技巧本节导航技法01求等差等比基本量的解题技巧近年来，高考中常考查等差等比数列的基本量的求解，求解等差数列和等比数列的基本量的题型通常涉及通项公式和求和公式的使用，联立方程求解即可合理运用基本量替换中间量，联立方程组，求解方程即可求出基本量（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）记为等差数列的前n项和，若，，则思路详解：因为数列为等差数列，则由题意得，解得，则.故答案为：.1．（2024·全国·高考真题）记为等差数列的前项和，已知，，则（

）A． B． C． D．思路详解：由，则，则等差数列的公差，故.故选：B.2．（2023·全国甲卷·高考真题）设等比数列的各项均为正数，前n项和，若，，则（

）A． B． C．15 D．40思路详解：由题知,即,即,即.由题知,所以.所以.故选:C.3．（2022·全国·高考真题）已知等比数列的前3项和为168，，则（

）A．14 B．12 C．6 D．3思路详解：解：设等比数列的公比为，若，则，与题意矛盾，所以，则，解得，所以.故选：D.1．（2024·河南许昌·模拟预测）记等比数列的前项和为，若，则（

）A． B． C．32 D．64【答案】D【分析】根据给定条件，求出等比数列公比的平方，再结合项间关系求出.【详解】由，得，则，设等比数列公比为，则，解得，所以.故选：D2．（2024·重庆·模拟预测）已知等差数列满足，则前项和.【答案】【分析】应用等差数列通项公式基本量运算求出通项，再应用等差数列求和公式计算即可.【详解】等差数列满足，所以,计算得，所以，则前项和.故答案为：.3．（2024·江西景德镇·一模）已知公比不为1的等比数列且成等差，则.【答案】【分析】由等差中项求得等比数列公比，再结合等比数列通项公式即可求解.【详解】∵成等差，∴，又是公比不为1的等比数列，∴，∴，．故答案为：．4．（2024·吉林·三模）正项递增等比数列，前n项的和为，若，，则（

）A．3 B． C．4 D．【答案】A【分析】根据等比数列的性质，即可求解.【详解】由等比数列的性质可知，，且，所以或，因式数列是正项递增数列，所以，，则.故选：A技法02等差数列前n项和的解题技巧等差数列前n项和的性质是等差数列的重点知识，也是新高考的重要考点，常在小题中进行考查，需熟悉知识点强化复习.等差数列前n项和与函数关系令，，等差数列前项和公式是无常数项的二次函数等差数列前n项和的性质，，……仍成等差数列为等差数列推导过程：（一次函数）为等差数列（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则（

）A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件思路详解：方法1，甲：为等差数列，设其首项为，公差为，则，因此为等差数列，则甲是乙的充分条件；反之，乙：为等差数列，即为常数，设为，即，则，有，两式相减得：，即，对也成立，因此为等差数列，则甲是乙的必要条件，所以甲是乙的充要条件，C正确.方法2，甲：为等差数列，设数列的首项，公差为，即，则，因此为等差数列，即甲是乙的充分条件；反之，乙：为等差数列，即，即，，当时，上两式相减得：，当时，上式成立，于是，又为常数，因此为等差数列，则甲是乙的必要条件，所以甲是乙的充要条件.故选：C1．（2024·四川巴中·模拟预测）已知是等差数列的前n项和，若，则（

）A．44 B．56 C．68 D．84思路详解：由题意可得，，成等差数列，所以，因为，，则，解得.故选：D.2．（2024·广东深圳·模拟预测）已知等差数列和的前项和分别为、，若，则（）A． B． C． D．思路详解：因为等差数列和的前项和分别为、，满足，所以，又，故，故选：B1．（2024·陕西咸阳·二模）已知等差数列的前项和为，若，，则（

）A．30 B．58 C．60 D．90【答案】D【分析】借助等差数列片断和的性质计算即可得.【详解】由数列为等差数列，故、、、、亦为等差数列，由，，则，故，，，即有，，.故选：D.2．（2024·福建莆田·三模）设数列的前n项和为，则“是等差数列”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】利用等差数列求和性质及定义结合充分、必要条件的定义判定选项即可.【详解】由是等差数列，得，满足充分性；反之，，只需，得不到是等差数列，不满足必要性，则“是等差数列”是“”的充分不必要条件.故选：A3．（2024·河北衡水·三模）已知数列均为等差数列，其前项和分别为，满足，则（

）A．2 B．3 C．5 D．6【答案】A【分析】根据题意，利用得出数列的性质和得出数列的求和公式，准确计算，即可求解.【详解】因为数列均为等差数列，可得，且，又由，可得．因此.故选：A．技法03等比数列前n项和的解题技巧等比数列前n项和的性质是等比数列的重点知识，也是新高考的重要考点，常在小题中进行考查，需熟悉知识点强化复习.等比数列前n项和的性质（1），，……仍成等比数列（2）（2023·全国甲卷·高考真题）记为等比数列的前项和．若，则的公比为．思路详解：【详解1】令，则，由得，，即，解得.【详解2】若，则由得，则，不合题意.所以.当时，因为，所以，即，即，即，解得.故答案为：1．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）记为等比数列的前n项和，若，，则（

）．A．120 B．85 C． D．思路详解：【详解】方法一：设等比数列的公比为，首项为，若，则，与题意不符，所以；若，则，与题意不符，所以；由，可得，，①，由①可得，，解得：，所以．故选：C．方法二：设等比数列的公比为，因为，，所以，否则，从而，成等比数列，所以有，，解得：或，当时，，即为，易知，，即；当时，，与矛盾，舍去．故选：C．2．（2024·上海闵行·三模）设是等比数列的前项和，若，，则.思路详解：【详解】由题意得，，因为，，，，成等比数列，故，即，解得，则，所以，，故.故答案为：1．（2024·江苏·三模）设等比数列的前项和为，则（

）A．1 B．4 C．8 D．25【答案】A【分析】利用等比数列的性质建立方程求解即可.【详解】因为，，所以，因为是等比数列，所以成等比数列，所以，解得或（舍，若成立则不满足上面三项成等比数列），故A正确.故选：A.2．（2024·江苏扬州·模拟预测）在正项等比数列中，为其前n项和，若，，则的值为（

）A．10 B．20 C．30 D．40【答案】C【分析】由等比数列片段和依然成等比数列，结合等比中项的性质即可列式求解.【详解】设正项等比数列的公比为，则是首项为，公比为的等比数列，若，，则，所以，即，解得或（舍去）.故选：C.3．（2024·湖北襄阳·模拟预测）已知等比数列的前项和为，若，且，则（

）A．40 B．-30 C．30 D．-30或40【答案】A【分析】根据等比数列的性质可知片段和成等比数列，求出片段和等比数列公比即可得解.【详解】因为，且，所以，，故，所以，即，解得或（舍去），由等比数列性质可知，成等比数列，公比为所以，解得，故选：A技法04数列中最值问题的解题技巧数列中的最值是高考热点，常见题型有求数列的最大项或最小项、与有关的最值、求解满足特定条件的数列中n的最大值或最小值、求解满足条件的参数的最大值或最小值、解决实际问题中的最值问题以及新定义题型中的最值问题等。解决数列的单调性问题可用以下三种方法：①用作差比较法，根据的符号判断数列是递增数列、递减数列还是常数列.②用作商比较法根据或与1的大小关系进行判断③结合相应函数的图象直观判断.若，则最大，若，则最小求等差数列前项和的最值，常用的方法：①利用等差数列的单调性求出其正负转折项，或者利用性质求其正负转折项，便可求得和的最值利用等差数列的前项和为常数)为二次函数，通过二次函数的性质求最值另外，对于非等差数列常利用函数的单调性来求其通项或前项和的最值，已知等差数列的公差为,前项和为,①若有最小值，若,则最小，若,则最小；②若有最大值，若,则最大，若则最大（2024·辽宁葫芦岛·二模）等差数列中，，，则使得前n项的和最大的n值为（

）A．7 B．8 C．9 D．10思路详解：在等差数列中，，由，可得，，，且数列为递减数列，所以使得前n项的和最大的n值为8.故选：B.1．（2024·辽宁大连·一模）数列中，，若数列是等差数列，则最大项为（

）A． B．或 C． D．思路详解：若数列是等差数列，则数列的首项为，公差为，所以，则，所以，则当时，，则；当时，，故此时数列单调递减，则综上，最大项为.故选：D.2．（2024·山西吕梁·三模）（多选）已知等差数列的首项为，公差为，前项和为，若，则下列说法正确的是（

）A．当最大B．使得成立的最小自然数C．D．中最小项为思路详解：根据题意：，即，两式相加，解得：，当时，最大，故A错误由，可得到，所以，，所以，故C错误；由以上可得：，，而，当时，；当时，；所以使得成立的最小自然数，故B正确.当，或时，；当时，；由，所以中最小项为，故D正确.故选：BD.3．（2024·湖北·二模）（多选）无穷等比数列的首项为公比为q，下列条件能使既有最大值，又有最小值的有（

）A．， B．，C．， D．，思路详解：，时，等比数列单调递减，故只有最大值，没有最小值；，时，等比数列为摆动数列，此时为大值，为最小值；，时，奇数项都相等且小于零，偶数项都相等且大于零，所以等比数列有最大值，也有最小值；，时，因为，所以无最大值，奇数项为负无最小值，偶数项为正无最大值.故选：BC1．（2024·江西·二模）已知等差数列与等比数列的首项均为，且，则数列（

）A．既有最大项又有最小项 B．只有最大项没有最小项C．只有最小项没有最大项 D．没有最大项也没有最小项【答案】A【分析】由题意先求出、的通项公式，进而求出的通项公式，当时，显然奇数项都是负数，偶数项都是正数，构造数列（），研究数列的增减性得出结论即可.【详解】设的公差为d，的公比为q，则，；，，所以，，所以，当时，显然奇数项都是负数，偶数项都是正数，设（），则，当时，，；当时，，，即数列从到递增，从往后递减，又，，，所以中，最大；又，，即，所以是最小项.故选：A.2．（2024·山东济南·二模）已知是各项均为正整数的递增数列，前项和为，若，当取最大值时，的最大值为（

）A．63 B．64 C．71 D．72【答案】C【分析】因为是定值，要使当取最大值时也取得最大值，需满足前项是首相为，公差为的等差数列，通过计算的前项和与作比较，前项和与作比较即可得出的最大值.【详解】因为是定值，要使当取最大值时也取得最大值，需满足各项尽可能取到最小值，又因为是各项均为正整数的递增数列，所以，即是首相为，公差为的等差数列，其中；的前项和为；当时，；当时，；又因为，所以的最大值为，此时，取得最大值为.故选：C.3．（2024·四川成都·模拟预测）（多选）已知等差数列的前n项和为，且，则下列说法正确的是（

）A．当或10时，取得最大值 B．C．成立的n的最大值为20 D．【答案】AD【分析】根据题意结合等差数列性质分析的符号性，结合的符号性以及的性质逐项分析判断.【详解】因为，则，且数列为等差数列，则，可得，即，又因为，可知：当时，；当时，；对于选项A：由可知，所以当或10时，取得最大值，故A正确；对于选项B：因为，故B错误；对于选项C：由的符号性可知：①当时，单调递增，则；②当时，单调递减；且，可知：当时，；当时，；所以成立的n的最小值为20，故C错误；对于选项D：因为，所以，故D正确；故选：AD.4．（2024·广东·模拟预测）（多选）已知等差数列的首项为，公差为，前项和为，若，则下列说法正确的是（

）A．当最大B．使得成立的最小自然数C．D．中最小项为【答案】ABD【分析】根据条件，结合等差数列的性质，可得，，，由此可判断ABC的真假；再由和时，，时，，再结合，的单调性可判断D的真假.【详解】因为，所以，由，所以，所以，所以.所以，当时，最大，故A正确；由，，所以使得成立的最小自然数，故B正确；由，且，所以，即，故C错误；因为当时，，，所以；当时，，，所以；当时，，，所以.且，，所以中最小项为，故D正确.故选：ABD.技法05构造常数列求通项的解题技巧数列的递推关系呈现出多种多样的形式，求解数列通项的方法也各具特色，但求解通项的核心思想始终如一，即转化和化归。依据数列递推关系的特征，我们可以合理转化为常数列，即可快速求解。构造常数列的题在近年模拟题中越来越多，也是考向标的一种风向，能替代部分累加累乘，能做到快速求解.非零常数数列既是公比为1的等比数列也是公差为零的等差数列。在数列中，若对任意的正整数都有,则数列为常数数列，其通项公式为。在求某些递推数列的通项公式时，若能构造出一个新的常数数列，便能简捷地求出通项公式。数列的前项和为，且满足．求数列的通项公式思路详解：由，得当时，，两式相减得：，从而，即数列是常数列，因此，所以数列的通项公式是.1．已知数列满足：，求数列的通项公式；思路详解：【详解1】由得,两边都乘以,得,由此知数列是常数数列，又,所以,所以.【详解2】由题意：

，，，，将代入上式也成立，1．若数列满足，，则.【答案】【分析】由已知得，，由此利用累乘法能求出an．【详解】数列{an}满足，∴∴，，∴an＝，又时也满足；故答案为．【点睛】本题考查数列的通项公式的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意累乘法的合理运用．2．已知数列，且，则的通项公式．【答案】【分析】由递推关系可得为常数列，从而可求解.【详解】因为，所以数列为常数列，所以，即.故答案为:.3．设数列满足,且,求。【详解】当时，,即,两边都除以,得,由此知数列是常数数列，则,所以。技法06数列周期性的应用及解题技巧数列可以被视为一种特殊的函数。正如函数可能表现出周期性一样，数列同样可能展现出周期性的特征。在数列问题中，周期现象是常见的，许多学生对此感到困惑，仿佛是难以捉摸的谜题。然而，实际上，解决周期性数列问题是有规律的．本题型也是高考的重点，需重点掌握对于无穷数列如果存在一个正整数,对于任意正整数恒有成立，则称是周期为的周期数列。的最小值称为最小正周期，简称周期（2023·全国乙卷·高考真题）已知等差数列的公差为，集合，若，则（

）A．－1 B． C．0 D．思路详解：依题意，等差数列中，，显然函数的周期为3，而，即最多3个不同取值，又，则在中，或或于是有或，即有，解得；或者，解得；所以，或.故选：B1．已知数列满足，，则（

）A． B．C． D．思路详解：因为数列满足，，，，，，由上可知，对任意的，，.故选：B.2．（2024·甘肃兰州·一模）数列满足，，则（

）A．5 B．4 C．2 D．1思路详解：因为，，所以，，，，，，，，，又，所以.故选：B1．（2024·陕西安康·模拟预测）在数列中，，若对，则（

）A． B．1 C． D．【答案】A【分析】根据递推公式得出,进而即可．【详解】由与相减得：，即，又，故，所以.故选：A.2．（2024·辽宁·模拟预测）数列中，，，，则的值为（

）A． B． C．3 D．【答案】A【分析】根据递推公式代入检验可知数列是以6为周期的周期数列，结合周期性分析求解即可.【详解】因为，，，令，可得；令，可得；令，可得；令，可得；令，可得；令，可得；可知数列是以6为周期的周期数列，所以.故选：A.3．（2024·全国·模拟预测）已知数列满足，，，数列，满足，则数列的前2024项的和为．【答案】1【分析】利用数列的递推公式求出数列的项，再利用特殊角的三角函数值及数列的周期性，结合数列的求和公式即可求解.【详解】因为，，所以…，所以数列的各项依次为3，1，，，，2，3，1，，，，2，…，其周期为6．，，，，，，，，，，，，，，，…，所以数列是周期为12的周期数列，前12项依次为3，0，2，0，，0，，0，，0，1，0，其前项12的和为．又，所以数列的前2024项的和为等于前8项的和．故答案为：.一、单选/填空题1．（2024·山东·模拟预测）已知等比数列的前项和为，若，则．【答案】【分析】由等比数列求和公式求得，即可求解.【详解】设等比数列的公比为，显然．由题意，得，即，所以．故答案为：.2．（2024·安徽·模拟预测）设等差数列的前项和为，若，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先根据题意得到，再解方程组求解即可.【详解】由，得，解得，则．故选：C．3．（2024·四川内江·三模）在等比数列中，为其前项和，若，则的值为（

）A．25 B．30 C．35 D．40【答案】C【分析】根据题意，由等比数列前项和的性质，代入计算，即可得到结果.【详解】因为为等比数列，所以成等比数列，即成等比数列，可得，所以.故选：C4．（2024·山东青岛·一模）若正项等差数列的前项和为，则的最大值为（

）A．9 B．16 C．25 D．50【答案】C【分析】根据等差数列的求和公式可得，利用基本不等式可求最值.【详解】因为，所以，则又因为，所以，当且仅当时，等号成立；所以的最大值为25.故选：C5．（2024·河北石家庄·模拟预测）若数列为等差数列，为数列的前项和，，，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据等差数列的性质由得，由得，可求出数列前6项均为负值，可得结论.【详解】由等差数列性质可得，即；又，所以,因此数列的公差，且前6项均为负值，所以的最小值为前6项和，即为.故选：B.6．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）已知数列为等比数列，为数列的前n项和.若，，成等差数列，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据等差中项性质以及等比数列前n项和公式代入计算可得结果.【详解】设数列的公比为，由，，成等差数列可得，即，因为，所以，解得或（舍）；所以.故选：A7．（2024·贵州贵阳·三模）设数列的前项之积为，满足，则（

）A． B．4049 C． D．【答案】C【分析】根据条件先证明出为等差数列，然后求解出的通项公式，由此可求结果.【详解】因为，所以，所以，所以，所以是公差为的等差数列，因为，所以，所以，所以，故选：C.8．（2024·北京东城·一模）设等差数列的公差为，则“”是“为递增数列”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据数列的性质以及充分条件、必要条件的定义即可解出.【详解】因为，所以；当时，，此时显然单调递增，所以可以推出为递增数列；当为递增数列时，不妨取，此时为递增数列，但不满足，所以为递增数列不能推出，所以“”是“为递增数列”的充分不必要条件，故选：A.9．（2024·广东佛山·模拟预测）设等差数列，的前项和分别为，，若对任意正整数都有，则（

）A． B． C． D． E．均不是【答案】C【分析】运用等差数列的等和性及等差数列前项和公式求解即可.【详解】由等差数列的等和性可得，.故选：C.10．（2024·重庆·模拟预测）已知等差数列和的前项和分别为，若，则（

）A． B．149 C．28 D．【答案】D【分析】根据等差数列的性质来计算求得正确答案.【详解】依题意，和是等差数列，而，故可设，其中，所以，，.故选：D11．（2024·河南·模拟预测）已知等差数列满足，前8项和；公比为正数的等比数列满足，，设，为数列的前项和，则当时，的最大值是（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】D【分析】求出等差数列与等比数列的通项公式，求得数列的通项公式，利用数列的分组求和法可得数列的前项和，验证得答案．【详解】设的公差为，由得，解得，所以.设的公比为，由，得，解得（舍）或，所以.因为，所以，则，因为对任意的，，所以数列单调递增，又因为，，所以当时，，故的最大值是8.故选：D.二、多选题12．（2024·广东·二模）已知等差数列的前项和为，且，则（

）A．B．C．当时，取得最小值D．记，则数列的前项和为【答案】BCD【分析】运用等差数列的通项公式和求和公式，结合二次函数性质可解.【详解】由题意可设公差为，则有由有：，故A错误；故B正确；，由二次函数的性质可知：当时，取得最小值，故C正确；因为，所以所以为等差数列，公差为4，首项为，所以的前项和为：故D正确.故选：BCD.13．（2024·四川眉山·一模）已知数列满足，，且，则（

）A． B．C．当时， D．【答案】ACD【详解】根据三角恒等变换计算得，再利用累乘法求得数列的通项公式为判断AB；根据三角函数单调性判断C；由同角三角函数之间的基本关系，结合函数单调性推理D.【分析】对于B，由，得，即，整理得，当时，，满足上式，因此，B错误；对于A，，即，又，解得，A正确；对于C，当时，，又，因此，即，C正确；对于D，由，得，又，，因此，令函数，求导得，函数在上单调递增，，即，因此，即，D正确.故选：ACD【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用三角函数恒等变换以及累乘法得出数列满足，再根据三角函数单调性以及平方关系计算可得相应结论.14．（2024·河南·模拟预测）数列满足，记数列的前项和为，则（

）A． B．C．数列的前项和为 D．的最小值为【答案】AD【分析】根据的关系式可得，即A正确，再由分组并项求和计算可得B错误，利用等差数列前项和公式计算可得C错误，由判断出其符号即可得D正确.【详解】对于A，由，得①，当时，；当时，②，由①－②，得，解得，当时也成立，所以，故A正确；对于B，，故B错误；对于C，数列的前项和为，故C错误；对于D，因为，当时，，当时，，且，故当或9时，的前项和取最小值，最小值为，故D正确.故选：AD.15．（2024·安徽·模拟预测）已知是数列的前项和，，则下列结论正确的是（

）A．数列是等差数列 B．数列是递增数列C． D．【答案】BCD【分析】利用与的关系，结合数列增减性的判断、等比数列的通项公式与求和公式即可得解.【详解】因为，当时，，解得；当时，，则，整理得，则，所以是以1为首项，3为公比的等比数列，故A错误，则数列是递增数列，故B正确，且，，故CD正确.故选：BCD.16．（2024·安徽黄山·二模）已知数列满足：，其中，下列说法正确的有（

）A．当时，B．当时，数列是递增数列C．当时，若数列是递增数列，则D．当时，【答案】ACD【分析】根据可得，即可迭代求解A，根据，时，可得为常数列，即可判断B；根据二次函数的单调性，证出当时，从而判断出数列的单调性，建立关于的一元二次不等式，解出首项的取值范围，判断出C项的正误；当，时，根据递推关系证出，从而可得，由此推导出，进而利用等比数列的求和公式证出，从而判断出D项的正误．【详解】对于A，当时，，又，故，所以，故A项正确．对于B，因为且，所以，当，时，，此时数列是常数列，故B项错误；对于C,由于数列是递增数列,当时，故，，故，所以，即，解得或，故C项正确；对于D,当时，，结合，可知，，，结合，可知是递增数列，，则，即，所以，即，所以，当时，，所以，可得，故D项正确；故选：ACD．【点睛】方法点睛：递推关系式转化的常见形式（1）转化为常数，则数列是等差数列．（2）转化为常数，则数列是等差数列．（3）转化为常数，则数列是等差数列．（4）转化为常数，则数列是等差数列．（5）转化为常数，则数列是等差数列．（6）转化为常数，则数列是等差数列．17．（2024·江西宜春·模拟预测）已知数列满足：，，数列的前项和为，则（

）A．当时，若递增，则或B．当时，数列是递增数列C．当，时，D．当，时，【答案】BC【分析】根据建立关于的一元二次不等式，解出首项的取值范围，判断出A项的正误；根据二次函数的单调性，证出当时，从而判断出数列的单调性，得出B项的正误；当，时，根据递推关系证出，从而可得，由此推导出，进而利用等比数列的求和公式证出，判断出C项的正误；当，时，利用递推公式与不等式的性质，计算出，从而判断出D项的正误．【详解】对于A，若且数列是递增数列，当时，，由可得，又是单调递增数列，所以，即，解得或，故A项错误；对于B，因为且，所以，数列是递增数列，故B项正确；对于C，当时，