安徽省临泉2024-2025学年高二下学期开学考试 数学试题（含解析）

高二开学考数学试卷(120分钟150分)一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合和，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据交集的定义计算.【详解】由题意得，所以.故选：C.2.若，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由复数除法运算及共轭复数定义可求解.【详解】因为，所以.故选：B3.若双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（）A.B.C.D.根据的取值变化而变化【答案】B【解析】【分析】根据离心率列等式得到，然后求渐近线方程.【详解】双曲线方程可整理为，因为双曲线的离心率为，所以，得，渐近线方程为.故选：B.4.已知点，若点在轴上，且⊥，则点的坐标为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】设点的坐标，利用数量积为即可求解.【详解】因为在轴上，所以可设，所以因为，所以，解得，故，故选：D.5.函数的部分图象可能是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先判断函数的奇偶性，再由时，即可得到结果.【详解】因为函数的定义域为，所以，所以为偶函数，图像关于轴对称，故排除.当时，，，且时，，所以，故选：D6.已知A，B是圆O:上的两点，且A，B，O(O为坐标原点)三点共线，点，则·=（）A.1 B.3 C.21 D.25【答案】C【解析】【分析】设，则，，然后由数量积坐标表示可得答案.【详解】设，因A，B，O(O为坐标原点)三点共线，则，.又，则·，.故选：C7.若，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】首先构造函数，利用函数的单调性即可得到结果.【详解】构造函数，定义域为，求导得，当时，，函数单调递增；又因为，即，由函数的单调性得，故选：A8.在四棱锥S-ABCD中，，底面ABCD是正方形，若四棱锥S-ABCD的外接球的表面积为，则四棱锥S-ABCD的体积的最大值为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由题可得外接球半径为2，平面ABCD，设底面正方形边长为，，由图可得，然后由三次基本不等式可得答案.【详解】设外接球半径为r，则.因，底面ABCD是正方形，则，又，平面SBC，则平面SBC，又平面SBC，则.因，则，又，平面ABCD，则平面ABCD，即为四棱锥底面所对应的高.连接AC，BD，设交点为F，过F做平面ABCD垂线，则垂线上任意一点到A，B，C，D距离相同.因平面ABCD，平面ABCD，则，即O，F，S，C四点共面.取SC中点H，过H做SC中垂线，交过F平面ABCD垂线于O，则，故O为外接球球心.设底面正方形边长为，，则，又，则四边形为矩形，则.则由勾股定理，.四棱锥体积为：，则，由三次基本不等式，，当且仅当，即时取等号.则.故选：A二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.设函数，若，函数的图象关于对称，则θ的值可以为（）A. B.C. D.【答案】AB【解析】【分析】由题可得，，，据此可得答案.【详解】由题，，又图象关于对称，则，.若，则满足题意；，则满足题意；，则不合题意；，则不合题意.故AB正确，CD错误.故选：AB10.已知是空间内两条不同的直线，是空间内两个不同的平面，则下列说法不正确的有（）A.若，，则B.若，则C.若，则D.若，则【答案】ACD【解析】【分析】对于A，由线面平行定义可判断选项正误；对于B，由线面垂直性质可判断选项正误；对于CD，由线面平行判定定理可判断选项正误；【详解】对于A，因，则，又，则可能平行于，也有可能与异面，故A错误；对于B，因，则，又，是空间内两个不同的平面，则，故B正确；对于C，，则有可能在内，则不一定平行于，故C错误；对于D，因，则有可能在内，则不一定平行于，故D错误.故选：ACD11.已知且，则下列结论正确的有（）A.B.C.D.【答案】CD【解析】【分析】对于A、B，在已知条件下举出反例，即可判断；对于C，利用基本不等式及适当放缩，即可判断；对于D，利用立方和公式，再配方，即可判断.【详解】对于A，当时，，，而，故A错误；对于B，当时，，，而，故B错误；对于C，因为且，则，故C正确；对于D，因为且，则，故D正确故选：CD.三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知，则____.【答案】##【解析】【分析】利用诱导公式，即可求出答案.【详解】因为，所以.故答案为：.13.定义在R上的奇函数满足，且，则____.【答案】【解析】【分析】由题可得的一个周期为4，可将化为，然后由奇函数性质结合赋值法可得答案.【详解】因为定义在R上奇函数，则，，又，则，故的一个周期为4，则.因，结合为定义在R上奇函数，则；因，又一个周期为4，则，对于，令，则.综上可得.故答案为：14.若直线与相交于点P，点，则的最大值为____.【答案】##【解析】【分析】因为直线与分别恒过定点，又因为两条直线垂直，则点P在以为直径的圆上，再利用点到圆的距离最大值即点到圆心的距离加半径即可求得结果.【详解】因为直线与分别恒过定点，又因为两条直线垂直，则点P在以为直径的圆上，（如图）设中点为C；则，又故圆C：，，故答案：四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.（1）求A;（2）若，，求c的值.【答案】（1）（2）3【解析】【分析】（1）根据给定条件，利用和差角的余弦公式化简，再利用正弦定理边化角求解.（2）由已知结合正弦定理求出，进而求出即可得解.【小问1详解】在中，由，得，整理得，由正弦定理得，而，则，而，所以.【小问2详解】由，得，由正弦定理得，则，又，解得，因此，所以.16.如图，在直三棱柱中，，且，E为的中点，为线段上一点，设.（1）当时，求证：平面.（2）当平面与平面所成二面角的余弦值为时，求的值.【答案】（1）证明见解析（2）.【解析】【分析】（1）通过证明四边形为平行四边形可得，即可完成证明；（2）以点C为原点，分别以所在的直线为轴、轴和轴建立空间直角坐标系，由空间向量知识可得平面与平面所成二面角的余弦值关于的表达式，即可得答案.【小问1详解】当时，F为的中点，取的中点G，连接，则，且，在直三棱柱中，，所以.因为，所以且，所以四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面.【小问2详解】如图，以点C为原点，分别以所在的轴、轴和轴建立空间直角坐标系，则则设平面的法向量为，则，可取，同理可求出平面的法向量为，当平面与平面所成二面角的余弦值为时，，又因为，所以解得.17.阿基米德(公元前287年-公元前212年)不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率π等于椭圆的长半轴与短半轴的乘积.已知在平面直角坐标系中，椭圆C:的面积为，椭圆的焦距为.（1）求椭圆标准方程.（2）已知直线与椭圆C有两个不同的交点，，，分别为椭圆的上、下顶点，设为直线上一点，且直线，的斜率的积为，证明:点在轴上.【答案】（1）+y2=1（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意列方程，解方程即可得到椭圆方程；（2）设坐标，根据直线BD，BM的斜率的积得到直线BD的斜率，然后联立直线的方程得到，再结合得到即可证明.【小问1详解】依题意有，解得，所以椭圆C的标准方程是.【小问2详解】设，则，，，且，，所以直线BM的斜率为，因为直线BD，BM的斜率的积为，所以直线BD的斜率为，所以直线BD的方程为，又直线AN的方程为，联立方程组，解得，因为点M在椭圆C上，所以，则，所以点D在x轴上.18.抛物线，直线交抛物线C于P，Q两点，且，已知点，且☉M与l相切.（1）求☉M及抛物线C的方程.（2）已知，A，B为抛物线C上不同的三点，且，证明：无论点N的位置怎么变化，一定存在A，B两点，使得☉M为的内切圆.【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）首先求得圆的半径即可得到圆的方程，进一步根据得到点在抛物线上，由此求得即得抛物线方程；（2）设，则可得直线的方程为，根据与圆相切可得，由同理思想可得是关于x的方程的两根，由韦达定理可得，写成的方程，只需证明点到直线的距离等于半径2即可得证.【小问1详解】点，且☉M与相切，所以半径为2，所以☉M的方程为.依题意设抛物线，由可得，则点在抛物线上，代入抛物线方程，得，所以抛物线C的方程为.【小问2详解】题设证明可以转化为过点N作☉M的两条切线，分别与抛物线C交于异于点N的A，B两点，且直线AB与☉M相切.设，由（1）知，点，且，所以直线的方程为，即.因为直线与☉M相切，所以，整理得，同理可得，所以是关于x的方程的两根，所以，又因为直线的方程为，所以☉M的圆心到直线的距离为，与☉M的半径相等，直线AB与☉M相切，故无论点N的位置怎么变化，一定存在A，B两点使得☉M为的内切圆.19.已知函数.（1）若在区间上单调递增，求a取值范围;（2）.当时，恒成立，求实数a的取值范围【答案】（1）.（2）.【解析】【分析】（1）把在区间上单调递增，转化成在给定区间上恒成立，再通过分离参数，转化成求函数最值问题，再利用导数求解即可.（2）通过构造函数，把函数在给定区间上恒成立问题转化成函数最值问题，再利用导数求解，关键是要根据式子的正负分情况讨论.【小问1详解】若在区间上单调递增，则在上恒成立，即在上恒成立，令，，所以在(上恒成立，所以在上单调递减，所以，所以，即a的取值范围为.【小问2详解】令，所以在区间上恒成立，即函数在区间上恒成立.又，令，则.①当时，，所以函数在区间上单调递减，所以，所以函数在区间上单调递减，又，所以时，在区间上恒成立；②当时，令，则，因为，所以，故函数在