广西壮族自治区2025届高三下学期3月第二次高考适应性测试数学试题（解析版）

第页，共页第18页，共18页广西2025年3月高三毕业班第二次高考适应性测试数学试题2025.3（考试用时120分钟，满分150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．2．请在答题卡上答题（在本试卷上答题无效）．第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出集合A，再利用交集的定义即可求出.【详解】由得：，所以集合，故故选：A2.已知复数满足，则复数的虚部为（）A B.1 C. D.【答案】B【解析】【分析】根据复数的除法先计算出，得虚部为.【详解】由，则复数的虚部为1.故选：B.3.已知向量，若，则（）A.2 B.3 C.6 D.15【答案】B【解析】【分析】根据向量垂直的判断条件列方程，求解即得.【详解】由，可得，解得.故选：B.4.双曲线的焦点到渐近线的距离为（）A.1 B. C.2 D.3【答案】C【解析】【分析】由双曲线的焦点，渐近线方程和点到直线的距离公式可解.【详解】由双曲线方程可得焦点坐标为，渐近线方程为，由对称性不妨求右焦点到的距离，由点到直线的距离公式可得.故选：C5.已知某圆锥的侧面积为，轴截面面积为，则该圆锥的母线与底面所成的角为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用圆锥侧面积公式和轴截面面积列方程再联立即可得到结果.【详解】设圆锥的母线长为，底面半径为，高为，由题意，得，解得，设该圆锥的母线与底面所成的角为，则，可得，所以该圆锥的母线与底面所成的角为．故选：D．6.曲线与直线的交点个数为（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】构造函数，利用导数探讨在区间上的单调性，再利用零点存在性定理确定零点个数即可.【详解】函数在R上单调递减，当时，；当时，，由，得，因此曲线与直线的交点横坐标必在上，令，，求导得，由，得，存在，使得，当或时，；当时，，函数在上单调递增，在上单调递减，又，，因此函数在上各有一个零点，所以曲线与直线的交点个数为3.故选：C7.现使用一架两臂不等长的天平称中药，操作方法如下：先将100g的砝码放在天平左盘中，取出一些中药放在天平右盘中，使得天平平衡；再将100g的砝码放在天平右盘中，再取出一些中药放在天平左盘中，使得天平平衡.则两次实际称得的药品总重量（）A.等于200g B.大于200g C.小于200g D.以上都有可能【答案】B【解析】【分析】用平衡条件得出的表达式，结合基本不等式可得答案.【详解】设天平左臂长为，右臂长为，且，左盘放的药品为克，右盘放的药品为克，则，解得，，当且仅当时，取到等号，而，所以.故选：B8.已知函数满足：（1）对任意，都有；（2）对任意，都有．则的值是（）．A.324 B.336 C.348 D.360【答案】C【解析】【分析】先由条件（1）得到在上为单调增函数，再由条件（2）得到，再根据逐个递推可得.【详解】对任意的，由（1）得，即.故在上为单调增函数.对任意，由（2）得.显然.否则，.矛盾.若，则，矛盾.所以，.

故，.由，得，.则，.故.故选：C【点睛】关键点点睛：本题的关键是能够确定在上为单调增函数和，然后利用求解.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.记数列的前项和为，且，则（）A. B.数列是公差为1的等差数列C.数列是公比为4的等比数列 D.数列的前2025项和为【答案】ACD【解析】【分析】利用给定的前项和求出，再结合等差数列、等比数列定义及并项求和法逐项判断.【详解】由，，得，而满足上式，因此数列的通项公式为，对于A，，A正确；对于B，，，数列是公差为的等差数列，B错误；对于C，，，数列是公比为4的等比数列，C正确；对于D，令，，数列前2025项和为，D正确.故选：ACD10.设函数，则（）A.是的极大值点B.当时，C.当时，D.曲线有且只有一个对称中心，且该对称中心坐标为【答案】ACD【解析】【分析】求出函数的导数，求出函数的单调区间，再结合极值、对称性逐项判断得解.【详解】函数的定义域为R，求导得，当或时，；当时，，函数在上单调递增，在上单调递减，对于A，是的极大值点，A正确；对于B，上单调递减，，则，B错误；对于C，当时，，，，C正确；对于D，令，，函数是奇函数，函数的图象关于原点对称，则函数的图象关于点对称，若函数的图象还有一个对称中心，则，而不为常数，因此点不是函数图象的对称中心，即函数的图象有且只有一个对称中心，则曲线有且只有一个对称中心，且该对称中心坐标为，D正确.故选：ACD11.在平面直角坐标系中，已知曲线上的动点到点的距离与其到直线的距离相等，点与点关于原点对称，过点的直线与曲线交于、两点，则下列命题正确的是（）A.曲线的轨迹方程为B.若点的坐标为，则的最小值为6C.存在直线使得D.对于任意直线，都有【答案】ABD【解析】【分析】根据给定条件，利用抛物线定义求出曲线的轨迹方程，再结合各选项条件逐一求解判断.【详解】对于A，由曲线上的动点到点的距离与其到直线的距离相等，得曲线是以为焦点，直线为准线的抛物线，方程为，A正确；对于B，令点到直线的距离为，则，过作垂直于直线于，于是，当且仅当是线段与抛物线的交点时取等号，B正确；对于C，过作垂直于直线于，，若，则，，，直线方程为，由得，而此方程有相等实根，直线与抛物线相切，同直线与抛物线相交矛盾，C错误；对于D，令直线方程为，由得，，解得，设，则，，，D正确.故选：ABD【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：①设直线方程，设交点坐标为；②联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断；③列出韦达定理；④将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；⑤代入韦达定理求解.第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分12.若正项等比数列满足，则____________．【答案】5【解析】【分析】根据等比数列项的性质计算化简结合对数运算求解.【详解】正项等比数列满足，则．故答案为：5.13.在平面直角坐标系中，若圆的圆心在轴上，且与轴相切，则圆的标准方程可以为____________．（写出满足条件的一个答案即可）【答案】(答案不唯一)【解析】【分析】利用标准方程确定圆心和半径即可【详解】设圆的标准方程为，因圆的圆心在轴上，且与轴相切，则，则圆的方程为，故任取实数即可，现取，故答案为：(答案不唯一).14.如图，在的点阵中，依次随机地选出、、三个点，则选出的三点满足的概率是______．【答案】【解析】【分析】先将个点标号，对点的位置进行分类讨论，结合古典概型的概率公式可求得结果.【详解】由题意可知、、三个点是有序的，讨论点为主元，对点分三种情况讨论，如下图所示：（1）第一类为号点.①若，三点共线有条直线，此时有种；②若，如点在号位，则点在号位或号位，即确定第二号点有种方法，确定第三号点有种方法，此时有种；（2）第二类为、、、号点，此时，不存在这样的点；（3）第三类为、、、号点，以号点为例，有三种情况如下图所示：故有种.综上所述，满足共有种.因此，所求概率为.故答案：.【点睛】方法点睛：求解古典概型概率的方法如下：（1）列举法；（2）列表法；（3）数状图法；（4）排列组合数的应用.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.记内角的对边分别为，已知，（1）求；（2）若，求的面积．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据给定条件，利用余弦定理求出角，进而求出.（2）利用和角的正弦及正弦定理、三角形面积公式计算得解.【小问1详解】在中，由及余弦定理，得，解得，而，则，由，得，又，所以.【小问2详解】由（1），得，由正弦定理得，所以的面积为16.如图，在四棱锥中，，为棱的中点．（1）证明：平面；（2）若平面，求平面和平面所成的角的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）取线段中点，连接，易证四边形是平行四边形，再由线面平行判定证结论；（2）构建空间直角坐标系，应用向量法求面面角的余弦值，从而求得正弦值.【小问1详解】取线段中点，连接，因为是线段中点，为棱的中点，所以，，因为，所以,所以四边形是平行四边形，所以,又因为平面，平面,所以平面.【小问2详解】因为，所以，所以，因为平面，平面，所以.如图以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，则,所以，，显然平面的一个法向量为，设平面的一个法向量为，则，即，令，则，所以，所以平面和平面所成的角的余弦值为：，则，故平面和平面所成角的正弦值为.17.已知直线与椭圆交于、两点，为坐标原点．（1）证明：；（2）已知，证明：点到直线的距离为定值．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）联立直线与椭圆方程，利用判别式列出不等式推理即得.（2）利用韦达定理，结合数量积的坐标表示及点到直线距离公式推理即得.【小问1详解】由消去，得，由直线与椭圆交于两点，得，所以.【小问2详解】设，由（1）知，，，由，得，整理得，因此点到直线的距离为定值，所以点到直线的距离为定值．18.已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）当时，恒成立，求实数的取值范围；（3）证明：．【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）求出导数，再利用导数的几何意义求出切线方程.（2）不等式对恒成立可得对恒成立，再构造函数并利用导数探讨单调性推理得证.（3）由（2）取可得不等式，再取，并借助裂项相消法求得证.【小问1详解】函数，求导得，则，而，所以曲线在点处的切线方程为.【小问2详解】不等式，由时，恒成立，得，令，由当时，恒成立，得，，求导得，令，求导得，而，则当，即时，，函数在上单调递增，，函数在上单调递增，则，符合题意，因此；当时，由，得，函数在上单调递减，当时，，函数在上单调递减，则当时，，不符合题意，所以实数的取值范围是.【小问3详解】由（2）知，当时，，取，则，而，因此，所以.19.在某校举办的学科文化节系列活动中，数学组老师设计了一个答题挑战活动供全校数学爱好者挑战．挑战题目由逻辑推理题和运算求解题两部分构成，用于考查学生的逻辑推理能力和运算求解能力．现有名同学报名依次发起挑战，每位同学成功解答出逻辑推理题和运算求解题的概率均为，两题能否解出相互独立，每位同学解题过程相互独立，挑战规则如下：①每位同学均先答逻辑推理题，逻辑推理题答对才能答运算求解题；②记第位同学挑战为本次挑战活动的第轮，若第位同学在规定时间内未完成逻辑推理题，则认为本次活动的第轮挑战失败，该同学退出由第位同学挑战；③若第位同学在规定时间内完成逻辑推理题，则该同学继续答运算求解题，若该同学在规定时间内未完成运算求解题，则也认为本次活动的第轮挑战失败，该同学退出，由第位同学挑战；若该同学在规定时间内完成了运算求解题，则挑战成功，本次答题挑战活动结束，后续同学不再进行答题挑战．④挑战进行到第轮，则不管第位同学是否完成两题的解答，答题挑战活动结束．令随机变量表示这名同学在进行第轮挑战后结束挑战活动．（1）求随机变量的分布列；（2）若把挑战规则①去掉，换成规则⑤：挑战的同学先挑战逻辑推理题，若有同学在规定时间内完成逻辑推理题，以后挑战的同学不再挑战逻辑推理题，直接挑战运算求解题．令随机变量表示这名同学在第轮挑战后结束挑战活动．（i）求随机变量的分布列；（ii）证明：．【答案】（1）分布列见解析；（2）（i）分布列见解析；（ii）证明见解析.【解析】【分析】（1）分析出的所有可能取值为1，2，3，4，5，再根据独立性事件乘法公式即可得到答案；（2）（i）首先计算出，则，再写出的分布列即可；（ii）计算得，再累加得，最后再利用错