四道微分方程练习题详解A2

四道微分方程练习题详解1.解微分方程17x2+2x-4y'=0的通解主要步骤：解：根据题意，由不定积分分离变量法有：17x2+2x-4y'=0，17x2+2x=4y'，即：17x2+2x=4eq\f(dy,dx),对微分方程变形有：(17x2+2x)dx=4dy,两边同时对x积分有：eq\i(,,(17x2+2x))dx=4eq\i(,,dy),eq\f(17,3)x3+x2=4y+C1,所以：y=eq\f(17,12)x3+eq\f(1,4)x2+C.2.二阶常微分方程11y''+86y'=0的通解主要内容：本文通过一阶微分方程分离变量法、一阶齐次微分方程和二阶常系数微分方程通解计算，介绍二阶常微分方程11y''+86y'=0通解的计算步骤。主要步骤：※.分离变量法由11y''=-86y'有：11d(y')=-86y'dxeq\f(11d(y'),y')=-86dx,两边同时积分有：11eq\i(,,\f(d(y'),y'))=-86eq\s\up5(\i(,,))dx，即：11eq\s\up5(\i(,,))d(lny')=-86eq\s\up5(\i(,,))dx，11lny'=-86x+C00,对方程变形有：eq\f(dy,dx)=eeq\s\up12((-eq\f(86x,11)+eq\f(C00,11)))=C01eeq\s\up10(-eq\f(86x,11)),再次积分可有：eq\s\up5(\i(,,))dy=C01eq\s\up5(\i(,,eeq\s\up10(-eq\f(86x,11))dx))，即：y=-C01*eq\f(11,86)eq\s\up5(\i(,,eeq\s\up10(-eq\f(86x,11))deq-\f(86x,11)))=C1eeq\s\up10(-eq\f(86x,11))+C2。※.一阶齐次微分方程求解因为11(y')'+86y'=0，即：(y')'+eq\f(86,11)y'=0，按照一阶齐次微分方程公式有：y'=eeq\s\up12(-eq\s\up5(\i(,,eq\f(86,11)dx)))*(eq\s\up5(\i(,,0*eeq\s\up12(eq\s\up5(\i(,,eq\f(86,11)dx)))dx))+C0)，进一步化简有：y'=C0eeq\s\up10(-eq\f(86x,11))，继续对积分可有：eq\s\up5(\i(,,))dy=C0eq\s\up5(\i(,,eeq\s\up10(-eq\f(86x,11))dx))，即：y=-C0*eq\f(11,86)*eq\s\up5(\i(,,eeq\s\up10(-eq\f(86x,11))deq-\f(86x,11)))=C1eeq\s\up10(-eq\f(86x,11))+C2。※.二阶常系数微分方程求解该微分方程的特征方程为11r2+86r=0，即：r(11r+86)=0，所以r1=-eq\f(86,11)，r2=0。此时二阶常系数微分方程的通解为：y=C1er1x+C2er2x=C1eeq\s\up10(-eq\f(86x,11))+C2。3.微分方程y'=(x-16)y3的计算主要内容：本文通过分离变量微分方程计算法，介绍微分方程y'=(x-16)y3的主要计算步骤。主要步骤：因为y'=(x-16)y3，所以eq\f(dy,dx)=(x-16)y3,由微分方程分离变量计算有：eq\f(dy,y3)=(x-16)dx,两边同时取积分，有：eq\i(,,eq\f(dy,y3))=eq\i(,,(x-16)dx)eq\i(,,y-3dy)=eq\i(,,(x-16)dx)-eq\f(y(-2),2)=eq\i(,,x)dx-eq\i(,,16)dx-eq\f(y(-2),2)=eq\f(1,2)*x2-16x+C1，两边同时乘以4，则有：-2*y(-2)=2x2-32x+C将方程变形为：y2(2x2-32x+C)+2=0。4.求微分方程(16y+23)4y'+20x5=0的通解主要步骤：解：根据微分方程的分离变量法来求解，对微分方程变形得：(16y+23)4y'=-20x5，(16y+23)4*eq\f(dy,dx)=-20x5，(16y+23)4*dy=-20x5dx,两边同时对x进行积分，有：eq\i(,,(16y+23)4dy)=-20eq\i(,,x5dx),eq\f(1,16)eq\i(,,(16y+23)4d(16y+23))=