江西省南昌市雷式厚一实验中学2024-2025学年高二下学期第二次测试 数学试题（含解析）

南昌雷式厚一实验中学2024-2025学年高二下学期数学第二次测试一、单选题（共40分）1.在数列中，，，则（）A. B. C.0 D.【答案】D【解析】【分析】根据递推公式求得数列的前几项，可得数列的周期，利用周期可得答案.【详解】因为，，所以，，，所以数列是以3为周期的周期数列，由，则．故选：D.2.已知等差数列的项数为，若该数列前3项的和为3，最后三项的和为63，所有项的和为110，则n的值为（）A.10 B.11 C.12 D.13【答案】A【解析】【分析】根据等差数列的性质及求和公式得解.【详解】设这个数列有n项，则，，因此，即，则，解得故选：A3.设等差数列的前n项和为，若，，，则m的值为（）A.4 B.5 C.6 D.7【答案】B【解析】【分析】先利用与的关系求出和，进而得到公差，再结合求出，最后根据通项公式求出.【详解】根据与的关系，（）.已知，，那么.又因为，，所以.所以公差.已知，将其代入前项和公式，因为，所以.又已知，那么.已知，，，代入通项公式可得：,得.故选：B.4.已知正项数列满足，，则的值为（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】A【解析】【分析】首先对已知等式进行变形，得到数列的性质，判断出它是等差数列，然后根据等差数列的通项公式以及已知的来逐步求出的值.【详解】已知，等式两边同时除以（因为是正项数列，），可得.这表明数列是公差为的等差数列.已知，那么.对于等差数列，其通项公式为（为公差），这里.当时，.把代入上式，可得，解得.故选：A.5.“中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”.原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？现有一个相关的问题：被3除余1且被4除余2的正整数，按照从小到大的顺序排成一列，构成数列，则的值为（）A.24294 B.24296 C.24298 D.24300【答案】C【解析】【分析】由题意可得数列为等差数列，则得到其通项公式，代入计算即可.【详解】被除余且被除余的正整数按照从小到大的顺序排成一列，构成首项为，公差为的等差数列，所以，则.故选：C.6.已知与分别是等差数列与等差数列的前n项和，且，则（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】利用等差数列的性质，即可求解.【详解】由等差数列的性质可知，所以故选：C7.已知数列满足，，则数列的通项公式为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】当时，代入得.将两边同时除以可得，即数列是首项为，公差为1的等差数列.利用等差数列通项公式可得，化简即可求解.【详解】，∴当时，，即.，∴数列是首项为，公差为1的等差数列，，即.故选：D.8.设数列满足，，，若表示大于的最小整数，如，，记，则数列的前2024项之和为（）A.4050 B.4049 C.4048 D.4047【答案】B【解析】【分析】变形得到，从而为等差数列，得到，累加法得到，从而，得到，当时，，故，从而求出答案.【详解】，故为公差为2的等差数列，首项为，所以，则，故，故，当时，，故，所以数列的前2024项之和为.故选：B二、多选题（共18分）9.已知正项数列满足，的前n项和为，则下列结论一定正确的是（

）A.若，则B.若，则C若，D.，则的值有2种情况【答案】AC【解析】【分析】通过对数列递推公式的分析，根据的奇偶来确定数列的项，进而对各选项进行判断.【详解】若，则，，，，，，，，，所以从第4项开始呈现周期为3的规律.对于A，，故A正确；对于B，因为没有余数，所以，故B错误；对于C，因为，所以，故C正确；对于D，若，则或，若，则或；若，则，所以的值有3种情况，故D错误.故选：AC10.设，分别为等差数列的公差与前项和，若，则下列论断中正确的有（）A.时，取最大值 B.C.若， D.若时，【答案】BC【解析】【分析】首先根据得到，再依次判断选项即可得到答案.【详解】等差数列中，∵，∴，解得，对选项A，因为，所以，因为无法确定的正负性，所以无法确定是否有最大值，故A错误，对选项B，，故B正确，对选项C，因为，所以，故C正确，对选项D，，，∵，∴、，，故D错误，故选：BC.11.设等差数列的公差为，前项和为．已知，，，，则（）A. B.的取值范围是C.的最大值为 D.的最小值为【答案】AD【解析】【分析】利用等差数列的求和公式推导出、，结合不等式的基本性质可判断A选项；根据A选项可得出关于的不等式组，解出的范围，可判断B选项；利用数列的单调性可判断C选项；分析数列的单调性，可判断D选项.【详解】等差数列的公差为，前项和为，，，，对于A选项，，可得，，可得，则，A对；对于B选项，，解得，，解得，因此，的取值范围是，B错；对于C选项，因为，所以，数列为单调递减数列，且，当且时，，当且时，，所以，的最大值为，C错；对于D选项，因为数列为单调递减数列，且当且时，，此时，，则，当且时，，此时，数列单调递减，当且时，，此时，，当且时，，此时，，所以，要考虑的最小值，只需考虑即可，当时，，即，此时数列单调递增，所以，的最小值为，D对.故选：AD.【点睛】关键点点睛：本题D选项要考查的最小值，最好是确定的符号，锁定取负值时的取值，再结合数列的单调性分析即可.三、填空题（共15分）12.已知、分别为等差数列、的前项和，，则_____．【答案】##0.5【解析】【分析】运用等差数列前n项和的函数特征求解.【详解】根据等差数列前n项和的函数特征，可设则.故答案为：.13.已知等差数列前项和为，且，，则______，______.【答案】①.②.【解析】【分析】先确定公差，再利用等差数列性质求，最后得到.详解】由于，.故的公差满足从而，得，所以，得.这意味着，所以.从而，代入得.故答案为：；14.已知数列满足．若为递减数列，则实数a的取值范围为______．【答案】【解析】【分析】根据数列为递减数列，列出不等式组，即可求解.【详解】因为数列为递减数列，则满足，即，解得，即实数a的取值范围为.故答案为：.四、解答题（共77分）15.设数列为等差数列，其公差为d，前n项和为．（1）已知，，求及d；（2）已知，，求．【答案】（1）（2）【解析】【分析】利用等差数列的通项公式和求和公式求解.【小问1详解】解得：【小问2详解】解得：16.已知数列为等差数列，．（1）求数列的通项公式．（2）若，求数列的前n项和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）结合已知条件，由等差数列通项公式求得公差即可求解；（2）结合（1）得到，再分和两种情况即可．小问1详解】设等差数列的公差为d，因为，所以．又因为，则，所以数列的通项公式．【小问2详解】由（1）知，．当时，，；当时，，．综上，.17.已知等差数列满足，正项数列满足.（1）求的通项公式；（2）求的前项积.【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)利用等差数列将已知条件化为用表示的方程组，求出，即可求解的通项公式；(2)利用与的关系，写出数列的通项公式，即可求得的前项积.【小问1详解】设等差数列的公差为，，，即，解得，；【小问2详解】由(1)可知，，当时，，又，所以，所以，则.18.已知数列的首项为，且满足（1）求证为等差数列，并求出数列的通项公式；（2）设数列的前项和为，求.【答案】（1）证明见详解；（2）【解析】【分析】（1）根据等差数列的定义分析怎么，再根据等差数列通项公式求；（2）分类讨论n的奇偶性，利用并项求和法运算求解.【小问1详解】因为，且，可知，可得，即，可知数列是以首项为，公差为4等差数列，可得，所以.【小问2详解】由（1）可知：，若n为偶数，则；若n为奇数，则；综上所述：.19.数列中，，，且，（1）证明数列为等差数列；（2）求数列的通项公式；（3）数列的前n项和为，且满足，，求．【答案】（1）证明见解析（2）（3）答案见解析【解析】【分析】（1）依题意可得，即可得到为等差数列；（2）由（1）利用累加法计算可得数列的通项公式；（3）由（2）可得，由，得到与同号，