上海市宝山区上海大学附属中学2024-2025学年高二下学期3月月考 数学试卷（含解析）

2025.3高二第二学期数学第一次诊断测试一、填空题（1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1.抛物线的准线方程为______．【答案】【解析】【分析】根据抛物线方程求出准线方程．【详解】由抛物线，可得，抛物线的准线方程为，故答案为：．2.在的二项展开式中，若各项系数和为729，则正整数的值为______．【答案】6【解析】【分析】利用在的二项展开式中，令，可得各项系数和即可求解.【详解】在的二项展开式中，令，可得各项系数和为，解得.故答案为：63.若直线与垂直，则________．【答案】1【解析】【分析】根据两条直线垂直，得到关于的方程，即可求解.【详解】直线与垂直，则，解得.故答案为：1.4.在5名男生和4名女生中选出3人，至少有一名男生的选法有________种（填写数值）.【答案】80【解析】【分析】先由题意，分别确定从5名男生和4名女生中选出3人，和选出的3人全部都是女生对应的选法种数，进而可求出结果.【详解】从5名男生和4名女生中选出3人，共有种选法；选出的3人全部都是女生，共有种选法；因此，至少有一名男生的选法有种.故答案为【点睛】本题主要考查组合问题，熟记组合的概念，以及组合数的计算公式即可，属于常考题型.5.椭圆，椭圆的离心率为，则与更扁平的是_____．（填or）【答案】【解析】【分析】计算出椭圆得离心率，然后与的离心率进行比较，谁的离心率越大且越接近于1，谁越扁.【详解】在椭圆中，，所以，所以，因为椭圆的离心率为，且，所以椭圆的图形更为扁平一些.故答案为：.6.已知双曲线的一条渐近线方程是，则__________．【答案】【解析】【分析】求出双曲线的渐近线方程，结合已知条件可求得正数的值.【详解】双曲线的渐近线方程为，直线的方程可化为，所以，.故答案为：.7.已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是______．【答案】【解析】【分析】根据向量在向量上的投影向量计算公式进行计算即可.【详解】空间向量，得，，则向量在向量上的投影向量是：.故答案为：.8.已知，其中，若，，则实数的最大值为______．【答案】23【解析】【分析】为的系数，由二项式定理求得的系数，由，可得的不等关系，从而求得实数的最大值.【详解】因为展开式中的系数为，展开式中的系数为，所以展开式中的系数为.要使，则为奇数，且，所以，则，则的最大值为.故答案为：.9.如图，在三棱柱中，、分别为和的中点，设，，，则___________（用表示）．【答案】【解析】【分析】利用向量加法的三角形法则与向量减法的三角形法则即可求得结果.【详解】,故答案为：10.甲、乙两人组成“星队”参加投篮比赛，每轮比赛由甲、乙在罚球区各投一次，已知甲、乙每轮投中的概率分别为、，在每轮比察中，甲和乙是否投中互不影响，各轮之间也互不影响，则“星队”在两轮比赛中共投中3球的概率为________．【答案】【解析】【分析】应用互斥、对立事件的概率求法及独立事件乘法公式求目标事件的概率即可.【详解】由“星队”在两轮比赛中共投中3球，即其中有一轮甲、乙有一人未投中，所以其概率为.故答案为：.11.若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是________．【答案】【解析】【分析】根据直线和圆的位置关系，结合图象来求得正确答案.【详解】直线，即，过定点，曲线（），可化为（），即以为圆心，半径为的圆的上半部分，画出直线和半圆的图象如下图所示，设，则的最小值为.当直线与半圆相切于点时，圆心到直线的距离：，解得或（舍去），所以.故答案为：12.将3个的正方形沿邻边的中点剪开分成两部分（如图左）；将这六个部分接于一个边长为的正六边形边上（如图），若拼接后的图形是一个多面体的表面展开图，则该多面体的体积是_______．【答案】256【解析】【分析】折成多面体以后，将其补形为正方体，其体积是正方体的一半，计算即可.【详解】折成的多面体如图①所示，将其补形为正方体，如图②，所求多面体体积为正方体的一半，又由已知可得正方体的棱长为8，故.故答案为：256.二、选择题：（每题4分，共16分）13.设直线的方向向量为，平面的法向量为，则是的（）条件A.充分非必要 B.必要非充分 C.充要 D.既非充分也非必要【答案】B【解析】【分析】利用空间向量与立体几何的关系即可得到答案.【详解】已知直线的方向向量为，平面的法向量为，则由得到或,故是的非充分条件；由可得，故是的必要条件；故选：B14.若椭圆（）和双曲线（）有相同的焦点和，而P是这两条曲线的一个交点，则的值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用椭圆与双曲线的定义得出与的和与差，变形求得积．【详解】设为半焦距，由题意知不妨设点是两曲线在第一象限内的交点，可得：，解得：，则，故A项正确.故选：A.15.如图，一个高为2的长方体形状的容器内装有水，若保持容器底面的一条棱不动，将该容器的另一端抬起至水恰好不能流出容器，发现此时容器的底面中不被水浸到的面积为底面积的，则容器在原来位置时的水深为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据几何体的体积关系，化归转化，即可求解.【详解】设该长方体的底面矩形的长为，宽为，又高为2，所以根据题意可得水体积为：，解得：.故选：D.16.在等腰直角中，，点是边上异于端点的一点，光线从点出发经、边反射后又回到点，若光线经过的重心，则的面积等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】建立直角坐标系，设点P的坐标，可得P关于直线BC的对称点的坐标，和P关于y轴的对称点的坐标，由四点共线可得直线的方程，由于过三角形的重心，代入可得关于a的方程，解得P的坐标，即可求得PB的长和直线方程，进而求得面积.【详解】建立直角坐标系，可得,故直线BC的方程为，则三角形的重心为，即，设,其中，则点P关于直线BC的对称点，满足，解得，即，易得P关于y轴的对称点，由光的反射原理可知四点共线，直线的斜率为，故直线的方程为，由于直线过三角形的重心，代入得，化简得或（舍去），故,,,直线的方程为,联立,解得,即点Q的坐标为,则三角形的面积，故选：A【点睛】关键点点睛：根据题干设出点P的坐标，根据对称性和光的反射原理可知四点共线，进而求出点的坐标，和直线的方程，进而求出点Q的坐标，即可求得结果.三、解答题：（第17、18题每题14分，第19题16分，第20、21题每题18分，共80分）17.男女排成一排，设事件个男生不相邻，事件个女生都相邻，（1）分别求事件与事件发生的概率；（2）判断事件与事件是否是独立事件，并说明理由．【答案】（1），（2）不独立事件，理由见解析【解析】【分析】（1）利用插空法、捆绑法结合古典概型的概率公式可求得、的值；（2）求出，结合独立事件的定义判断即可.【小问1详解】由古典概型的概率公式可得，.【小问2详解】事件为“个男生站两端，个女生相邻且站在中间”，则，因此，事件与事件不独立.18.如图是用个圆构成“卡通鼠”的形象，点是圆的圆心，圆过坐标原点；点、均在轴上，圆与圆的半径都等于，圆、圆均与圆外切．（1）求圆心与圆心的坐标；（2）已知直线过点若直线截圆、圆、圆所得弦长均等于，求出的值.【答案】（1）、（2）【解析】【分析】（1）设圆心，其中，根据圆与圆的位置关系可得出，可求出的值，即可得出点的坐标，同理可得出点的坐标；（2）分析可知，直线的斜率存在，设直线的方程为，利用几何法求出直线截三个圆所得的弦长，可得出关于的方程，解出的值，即可求出的值.小问1详解】圆的半径为，设圆心，其中，由于圆和圆外切，且圆的半径为，则，解得，即点，同理可得点.【小问2详解】若直线的斜率不存在，则直线与轴重合，此时，直线与圆、圆都相离，不合乎题意，设直线的方程为，即，圆心到直线的距离为，圆心到直线的距离为，且圆、圆的半径均为，所以，直线截圆、圆的弦长为，圆心到直线的距离为，则直线截圆的弦长为，由题意可得，解得，所以，19.已知抛物线过点，其焦点为，若且（1）求的值以及抛物线的方程；（2）过点且斜率为1的直线被抛物线截得的弦为，若在以为直径的圆内，求实数的取值范围．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）根据抛物线的定义及点在抛物线上建立方程，解方程即可得解；（2）由题意得直线方程为，联立方程组，由根与系数的关系及数量积的运算，建立不等式求解即可得解.【小问1详解】由拋物线定义知：，又点在抛物线上，所以，，可得m=4−p2>p⇒p<所以抛物线的方程为.【小问2详解】设，过点，且斜率为的直线方程为，联立，消去得：Δ=易知抛物线的，点在以为直径的圆内等价于，解得：，符合.综上：的范围是.20.如图所示，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，，是的中点，是的中点，点在直线上，且满足．（1）证明：；（2）当取何值时，直线与平面所成的角最大？并求该角取得最大值时的正切值；（3）若平面与平面所成的锐二面角为，试确定点的位置．【答案】（1）证明见解析（2），2（3）位于的延长线上，且到的距离为1【解析】【分析】（1）由已知，以为原点，建立空间直角坐标系，可得，，得，证得；（2）取平面的法向量，由则，即可得到当时，直线与平面所成的角最大，此时的正切值为2；（3）由平面与平面所成的锐二面角为，利用坐标运算求出，即可确定点的位置．【小问1详解】因为三棱柱的侧棱与底面垂直，底面，则，由，如图，以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，又，是的中点，是的中点，点在直线上，且满足，则，，，，，，．【小问2详解】取平面的法向量，，则，当时，，此时，．【小问3详解】设平面的一个法向量，，，则，，令，则，，解得，位于的延长线上，且到的距离为1．21.已知椭圆长轴长为4，C的短轴的两个顶点与左焦点构成等边三角形．（1）求C的标准方程；（2）F是椭圆的右焦点，点Q是椭圆上一动点，，求周长的最大值．（3）直线l与椭圆相交于A、B两点，且，点P满足，O为坐标原点，求的最大值．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根据题意可得，，再根据，解得，即可得出答案；（2）根据，当且仅当为的延长线与椭圆相交时取等号，即可求周长的最大值；（3）当直线的斜率不存在时，直线恰好是短轴，由，得；当直线的斜率存在时，设，,将直线与椭圆方程联立结合韦达定理可得