3.1.1 椭圆的标准方程（分层作业）（解析版）

3.1.1椭圆的标准方程分层作业基础巩固基础巩固1．已知，焦点在轴上的椭圆的标准方程为．【答案】【分析】依题意直接写出椭圆方程即可.【详解】解：因为椭圆的焦点在轴上且，，所以椭圆方程为；故答案为：2．若椭圆上一点到椭圆一个焦点的距离为7，则到另一个焦点的距离为（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【分析】利用椭圆的定义列式计算得解.【详解】椭圆的长轴长，而点到椭圆一个焦点的距离为7，所以到另一个焦点的距离为.故选：A3．设P是椭圆eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1上的任意一点，若F1、F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|＋|PF2|等于(A)A．4 B．2C．2eq\r(3) D．eq\r(3)[解析]∵|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，∴选A．4．已知椭圆的两个焦点的坐标分别是和，且椭圆经过点，则该椭圆的标准方程是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据椭圆的焦点可求，根据经过点，可得，进而可求解，即可得椭圆方程.【详解】因为焦点坐标为和，所以.椭圆经过点，且焦点在x轴上，所以，所以，则椭圆的标准方程为.故选:A.5．已知椭圆的两个焦点的坐标分别是(0，－3)和(0，3)，且椭圆经过点(0，4)，则该椭圆的标准方程是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据题意设出椭圆的标准方程，由已知可得，由椭圆定义求得，由b2＝a2－c2，求得，即可得出结果.【详解】解：∵椭圆的焦点在y轴上，∴可设它的标准方程为．∵∴a＝4，又c＝3，∴b2＝a2－c2＝16－9＝7，故所求的椭圆的标准方程为．故选：B．6．如果椭圆的焦点在轴上，且，则此椭圆的标准方程为【答案】【分析】直接由题意求出椭圆的标准方程．【详解】椭圆的焦点在轴上，且，则此椭圆的标准方程为：．故答案为：．能力进阶能力进阶1．经过点和的椭圆的标准方程为．【答案】【分析】设椭圆方程为，代入两点坐标和即可得解.【详解】设椭圆方程为，代入和点坐标为：，所以，所以椭圆的标准方程为.故答案为：2．已知点为椭圆上一点，椭圆的两个焦点分别为，，则的周长是（

）A．20 B．36 C．64 D．100【答案】B【分析】根据给定的椭圆方程，求出长短半轴长、半焦距即可作答.【详解】椭圆的长半轴长，短半轴知，半焦距，依题意，的周长为.故选：B3．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点椭圆上，且，则.【答案】4【分析】根据椭圆的定义即可求解.【详解】因为椭圆，则椭圆的长轴长，又，，所以，故答案为：4.4．，，焦点在y轴上的椭圆的标准方程.【详解】因为，，所以，因为椭圆焦点在y轴上，所以其标准方程为：5．，的椭圆的标准方程.【详解】因为，，所以，因为椭圆焦点位置不确定，所以其标准方程为：或.6．已知椭圆的两个焦点分别是，，椭圆上一点P到两个焦点的距离之和为10，求椭圆的标准方程．【答案】【分析】根据焦点坐标设椭圆方程，结合椭圆定义及焦点坐标确定椭圆参数，即可得标准方程.【详解】椭圆的焦点在x轴上，设椭圆的标准方程为．由已知得，即，又椭圆的两个焦点为，，所以，

从而，因此，所求椭圆的标准方程为．素养提升素养提升1．若椭圆eq\f(x2,49)＋eq\f(y2,32)＝1上的一点M到其左焦点的距离是6，则点M到其右焦点的距离是(D)A．5 B．6C．7 D．8[解析]由椭圆的方程可知a＝7，点M到两个焦点的距离之和为2a＝14.因为点M到其左焦点的距离是6，所以点M到其右焦点的距离是14－6＝8.故选D．2．已知椭圆的中心在原点，且经过点P(3,0)，a＝3b，求椭圆的标准方程．[解析]当焦点在x轴上时，设其方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)．由椭圆过点P(3,0)，知eq\f(9,a2)＋eq\f(0,b2)＝1，又a＝3b，解得b2＝1，a2＝9，故椭圆的方程为eq\f(x2,9)＋y2＝1.当焦点在y轴上时，设其方程为eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)．由椭圆过点P(3,0)，知eq\f(0,a2)＋eq\f(9,b2)＝1，又a＝3b，联立解得a2＝81，b2＝9，故椭圆的方程为eq\f(y2,81)＋eq\f(x2,9)＝1.故椭圆的标准方程为eq\f(y2,81)＋eq\f(x2,9)＝1或eq\f(x2,9)＋y2＝1.3．已知△ABC的周长是8，且B(－1,0)、C(1,0)，则顶点A的轨迹方程是(A)A．eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,8)＝1(x≠±3)B．eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,8)＝1(x≠0)C．eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1(y≠0)D．eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,4)＝1(y≠0)[解析]∵|AB|＋|AC|＝8－|BC|＝6>|BC|＝2，∴顶点A的轨迹是以B、C为焦点的椭圆，设其方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，则a＝3，b＝2eq\r(2).又∵A、B、C三点不共线，∴顶点A的轨迹方程为eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,8)＝1(x≠±3)．4．已知椭圆两个焦点的坐标分别是，，并且经过点，则它的标准方程为．【答案】【分析】根据条件设出椭圆的标准方程，再代点求系数即可，结合椭圆的定义求出，进而可求出，从而可得到椭圆的标准方程.【详解】因为椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为，由椭圆的定义知，所以．又因为，所以，所以椭圆的标准方程为.故答案为：.5．以，为焦点，且经过点的椭圆的标准方程为.【答案】【分析】采用待定系数法，根据所过点和椭圆之间关系可构造方程组求得结果.【详解】椭圆焦点在轴上，可设椭圆标准方程为：，椭圆过点，，