八年级上册《直角三角形的性质和判定》课件与练习

第十一章

三角形11.2

与三角形有关的角

11.2.1三角形的内角第2课时

直角三角形的性质和判定1.了解直角三角形两个锐角的关系.2.掌握直角三角形的判定.3.会运用直角三角形的性质和判定进行相关计算.学习重点：了解直角三角形两个锐角的关系.学习难点：1.掌握直角三角形的判定.

2.会运用直角三角形的性质和判定进行相关计算.在一个直角三角形里住着三个内角，平时，它们三兄弟非常团结.可是有一天，老二突然不高兴，发起脾气来，它指着老大说：“你凭什么度数最大，我也要和你一样大！”“不行啊！”老大说：“这是不可能的，否则，我们这个家就再也围不起来了……”“为什么？”老二很纳闷.你知道其中的道理吗？内角三兄弟之争在这个家里，我是永远的老大.

老大的度数为90°，老二若是比老大的度数大，那么老二的度数要大于90°，而三角形的内角和为180°，相互矛盾，因而是不可能的.如下图所示是我们常用的三角板，两锐角的度数之和为多少度?30°+60°=90°45°+45°=90°直角三角形的两个锐角互余知识点1问题1：学生活动一

【一起探究】如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，两锐角的和等于多少呢？

在直角三角形ABC中，因为

∠C=90°，由三角形内角和定理，得∠A+∠B+∠C=180°，

即

∠A+∠B=90°.由此，你可以得到直角三角形有什么性质呢？问题2：ABC直角三角形的两个锐角互余．(直角三角形的性质定理）应用格式：

在Rt△ABC

中，∵∠C=90°，∴∠A+∠B=90°．直角三角形的表示：直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角三角形ABC可以写成Rt△ABC．归纳总结例1（1）如图

，∠B=∠C=90°，AD交BC于点O，∠A与∠D有什么关系？图利用直角三角形的性质证明角相等或求角的度数素养考点1方法一（利用平行的判定和性质）：∵∠B=∠C=90°，∴AB∥CD，

∴∠A=∠D.方法二（利用直角三角形的性质）：

∵∠B=∠C=90°，∴∠A+∠AOB=90°，∠D+∠COD=90°.∵∠AOB=∠COD，

∴∠A=∠D.图解：∠A=∠C.理由如下：∵∠B=∠D=90°，∴∠A+∠AOB=90°，∠C+∠COD=90°.∵∠AOB=∠COD，

∴∠A=∠C.（2）如图

，∠B=∠D=90°，AD交BC于点O，∠A与∠C有什么关系？请说明理由.图与图有哪些共同点与不同点？

在一个直角三角形中，有一个锐角等于60°，则另一个锐角的度数是(

)A．120°B．90°

C．60°

D．30°

D如图，AB∥CD，EF与AB，CD分别相交于点E，F，EP⊥EF，与∠EFD的平分线FP相交于点P，且∠BEP＝50°，则∠EPF＝(

)度A．70B．65C．60D．55A例2如图，∠C=∠D=90°，

AD，

BC相交于点E.∠CAE与∠DBE有什么关系？为什么？ABCDE解：在Rt△ACE中，∠CAE=90°–∠AEC.

在Rt△BDE中，∠DBE=90°–∠BED.

∵∠AEC=∠BED，∴∠CAE=∠DBE.如图，在△ABC中，已知∠ACB＝67°，BE是AC上的高，CD是AB上的高，F是BE和CD的交点，∠DCB＝45°.求∠ABE的度数．解：∵CD是AB上的高，∴∠DBC＝90°–∠DCB＝90°–45°＝45°.∵BE是AC上的高，∴∠EBC＝90°–∠ECB＝90°–67°＝23°.∴∠ABE＝∠ABC–∠EBC＝45°–23°＝22°.【思考】通过前面的例题，你能画出这些题型的基本图形吗？基本图形∠A=∠C∠A=∠D归纳总结有两个角互余的三角形是直角三角形吗？如图，在△ABC中，∠A+∠B=90°，那么△ABC是直角三角形吗？有两个角互余的三角形是直角三角形知识点2ABC学生活动二

【一起探究】

在△ABC中，

因为∠A+∠B+∠C=180°，

又∠A+∠B=90°，

所以∠C=90°.

即△ABC是直角三角形.ABCABC应用格式：在△ABC中，∵∠A+∠B=90°，∴△ABC是直角三角形．有两个角互余的三角形是直角三角形.

(直角三角形的判定定理）归纳总结例1如图，∠C=90°，∠1=∠2，△ADE是直角三角形吗？为什么？ACBDE((12解：在Rt△ABC中，

∠2+∠A=90°.∵∠1=∠2，

∴∠1+∠A=90°.即△ADE是直角三角形.利用直角三角形的判定定理识别直角三角形素养考点2已知∠A＝37°，∠B＝53°，则△ABC为(

)A．锐角三角形

B．钝角三角形C．直角三角形

D．以上都有可能

C具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是(

)A．∠A＋∠B＝∠CB．∠A＝∠B＝∠CC．∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3D．∠A＝2∠B＝3∠CD例2如图，CE⊥AD，垂足为E，∠A=∠C，△ABD是直角三角形吗？为什么？解：△ABD是直角三角形.理由如下：∵CE⊥AD，∴∠CED=90°，∴∠C+∠D=90°，∵∠A=∠C，∴∠A+∠D=90°，∴△ABD是直角三角形.如图，BD平分∠ABC，∠ADB＝60°，∠BDC＝80°，∠C＝70°.试判断△ABD的形状．解：在△DBC中，∠DBC＝180°–∠BDC–∠C

＝180°–80°–70°＝30°.∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC＝30°.

在△ABD中，∵∠ADB＋∠ABD＝60°＋30°＝90°，∴△ABD是直角三角形．1.在一个直角三角形中，有一个锐角等于40°，则另一个锐角的度数是（）A．40°B．50°C．60°D．70°2.具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（）A．∠A+∠B=∠C

B．∠A-∠B=∠C

C．∠A：∠B：∠C=1：2：3D．∠A=∠B=3∠CBD3.如图所示，△ABC为直角三角形，∠ACB=90°，

CD⊥AB，与∠1互余的角有（）A．∠BB．∠AC．∠BCD和∠AD．∠BCDC4.将一副直角三角尺如图放置，若∠AOD＝20°，则∠BOC的大小为（）A．140°B．160°C．170°D．150°B5.如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，D是AB上一点，且∠ACD=∠B．求证：△ACD是直角三角形．证明：∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°.∵∠ACD=∠B，∴∠A+∠ACD=90°，∴△ACD是直角三角形.直角三角形的性质与判定性质直角三角形的两个锐角互余判定有两个角互余的三角形是直角三角形

1.

直角三角形的两个锐角

，直角三角形可以用符号“

”表示，直角三角形

ABC

可以写成

⁠.2.

有两个角

的三角形是直角三角形.互余Rt△

Rt△

ABC

互余课后作业

1.

若直角三角形的一个锐角是30°，则另一个锐角的度数是(

B

)A.

50°B.

60°C.

70°D.

90°B2.

如图，若∠1＝40°，则∠

C

的度数为(

C

)A.

30°B.

40°C.

50°D.

60°第2题图C3.

如图，在△

ABC

中，若∠

BAC

＝90°，

AC

≠

AB

，

AD

是斜边

BC

上的高，

DE

⊥

AC

，

DF

⊥

AB

，垂足分别为

E

，

F

，则图中与∠

C

(∠

C

除外)相等的角的个数是(

A

)A.

3个B.

4个C.

5个D.

6个第3题图A4.

如图，在Rt△

ABC

中，∠

BAC

＝90°，

BD

平分∠

ABC

，且∠

CAD

＝∠

CBD

，△

ABD

是直角三角形吗？为什么？解：△

ABD

是直角三角形.理由：在Rt△

ABC

中，∵∠

BAC

＝90°，∴∠

BAD

＋∠

CAD

＝90°.∵

BD

平分∠

ABC

，∴∠

ABD

＝∠

CBD

.

∵∠

CAD

＝∠

CBD

，∴∠

ABD

＝∠

CAD

.

∴∠

BAD

＋∠

ABD

＝90°.∴△

ABD

是直角三角形.5.

如图，在△

ABC

中，

CD

，

CE

分别是△

ABC

的高和角平分线，∠

BAC

＝α，∠

B

＝β(α＞β).(1)若α＝70°，β＝40°，求∠

DCE

的度数；

(2)试用含α，β的代数式表示∠

DCE

的度数：

⁠.

第十一章三角形11.2与三角形有关的角11.2.1三角形的内角《第2课时直角三角形的性质及判定》同步练习

直角三角形的两个锐角互余1.

在Rt△

ABC

中，∠

C

＝90°，∠

B

＝40°，则∠

A

＝(

C

)A.

60°B.

30°C.

50°D.

40°【解析】∵∠

C

＝90°，∴∠

A

＋∠

B

＝90°.∵∠

B

＝40°，∴∠

A

＝50°.C2.

如图，在△

ABC

中，∠

ACB

＝90°，沿

CD

折叠△

CBD

，使点

B

恰好落在

AC

边上的点

E

处，∠

A

＝22°，则∠

DEC

等于(

C

)A.

44°B.

60°C.

68°D.

58°C【解析】在△

ABC

中，∠

ACB

＝90°，∠

A

＝22°，∴∠

B

＝90°－∠

A

＝68°.由折叠的性质，得∠

DEC

＝∠

B

＝68°.3.

将一副透明三角尺如图放置，若∠

AOD

＝20°，则∠

BOC

的度数为

(

B

)A.

140°B.

160°C.

170°D.

150°B【解析】∵∠

COD

＝90°，∠

AOD

＝20°，∴∠

COA

＝∠

COD

－∠

AOD

＝90°－20°＝70°.又∵∠

AOB

＝90°，∴∠

BOC

＝∠

AOB

＋∠

AOC

＝90°＋70°＝160°.4.

【教材第14页练习第1题改编】如图，∠

ACB

＝90°，

CD

⊥

AB

，垂足为

D

.

下列结论中，不一定成立的是(

D

)A.

∠

A

与∠1互余B.

∠

B

与∠2互余C.

∠

A

＝∠2D.

∠1＝∠2D【解析】A.在Rt△

ACD

中，∠

ADC

＝90°，∴∠

A

与∠1互余，正确；B.在Rt△

BCD

中，∠

BDC

＝90°，∴∠

B

与∠2互余，正确；C.∵∠

A

＋∠1＝90°，∠1＋∠2＝90°，∴∠

A

＝∠2，正确；D.当∠

A

＝∠

B

时，

AC

＝

BC

，

CD

既是∠

ACB

的平分线，也是斜边上的高与中线，∴∠1＝∠2；当∠

A

≠∠

B

时，∠1≠∠2.5.

如图，在Rt△

ABC

中，∠

ACB

＝90°，

DE

过点

C

且平行于

AB

，若∠

BCE

＝35°，求∠

A

的度数.解：∵

DE

∥

AB

，∴∠

B

＝∠

BCE

＝35°.∴∠

A

＝90°－35°＝55°.

两锐角互余的三角形是直角三角形6.

若三角形三个内角的度数之比为2∶4∶6，则这个三角形一定是

(

B

)A.

锐角三角形B.

直角三角形C.

钝角三角形D.

不能确定B7.

有下列说法：①三角形的三个内角中至少有一个钝角；②三角形的三个内角中至少有两个锐角；③一个三角形中，至少有一个角不小于60°；④钝角三角形中，任意两个内角的和必大于90°；⑤直角三角形中两锐角互余.其中正确的说法有

(填序号).②③⑤

【解析】锐角三角形中三个角都是锐角，∴①错误；三角形的三个内角

中至少有两个角是锐角，∴②正确；一个三角形的三个内角中至少有一

个角不小于60°，∴③正确；钝角三角形中两个锐角的和小于90°，∴④

错误；直角三角形中两锐角互余，∴⑤正确.8.

如图，∠

C

＝90°，∠1＝∠2，△

ADE

是直角三角形吗？为什么？解：△

ADE

是直角三角形.理由：∵∠

C

＝90°，∴∠

A

＋∠2＝90°.∵∠1＝∠2，∴∠

A

＋∠1＝90°.∴∠

ADE

＝90°.∴△

ADE

是直角三角形.

9.

如图，在Rt△

ABC

中，∠

CAB

＝90°，∠

ABC

＝70°，

AD

是∠

CAB

的平分线，交

BC

于点

D

，则∠

ADC

的度数为(

B

)A.

120°B.

115°C.

110°D.

105°B

10.

如图，

AD

是△

ABC

的高，

CE

是△

ADC

的角平分线.若∠

BAD

＝

∠

ECD

，∠

B

＝70°，则∠

CAD

＝

⁠°.50

【解析】∵

AD

是△

ABC

的高，∴∠

ADB

＝∠

ADC

＝90°.∵∠

B

＝70°，∴∠

BAD

＝20°.∵

CE

是△

ADC

的角平分线，∴∠

ACD

＝2∠

ECD

.

∵∠

BAD

＝∠

ECD

.

∴∠

ECD

＝20°，∴∠

ACD

＝40°.在△

ACD

中，∠

CAD

＝180°－90°－40°＝50°.11.

如图，在△

ABC

中，∠

A

＝30°，∠

B

＝60°，

CE

平分∠

ACB

交

AB

于点

E

.

(1)求∠

ACE

的度数；

(2)若

CD

⊥

AB

于点

D

，∠

CDF

＝75°，求证：△

CFD

是直角三角形.(2)证明：∵

CD

⊥

AB

，∠

B

＝60°，∴∠

BCD

＝90°－60°＝30°.又∵∠

BCE

＝∠

ACE

＝45°，∴∠

DCF

＝∠

BCE

－∠

BCD

＝15°.又∵∠

CDF

＝75°，∴∠

CFD

＝180°－75°－15°＝90°.∴△

CFD