2024-2025学年下学期初中数学北师大新版九年级同步经典题精练之利用三角函数测高

第22页（共22页）2024-2025学年下学期初中数学北师大新版九年级同步经典题精练之利用三角函数测高一．选择题（共5小题）1．（2024秋•义乌市期末）如图小明在点C处测得树顶端A的仰角为α，且BC＝20米，则树高度AB为（）米．A．20tanα B．20tanα C．20sinα D．2．（2024秋•甘井子区期末）如图，飞机于空中A处探测到目标C，此时AC⊥BC，AC＝1200m，从飞机上看地平面指挥台B的俯角为α．则飞机与指挥台的距离AB为（）A．1200sinαm B．1200cosαm C．1200sinαm D3．（2024秋•莱阳市期末）某校组织一次定向越野拉练活动．如图，点A为出发点，途中设置两个检查点分别为点B和点C，行进路线为A→B→C→A．点B在点A的南偏东25°方向32km处，点C在点A的北偏东80°方向，∠ABC＝45°．则检查点B和A．(6+63)千米 B．(3+3C．(3+3)千米 D．4．（2025•杨浦区一模）小海在距离地面高60米的热气球中测得地面上的着落点P的俯角为37°，那么此时热气球离着落点P的距离约是（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）（）A．75米 B．80米 C．100米 D．40035．（2024秋•崂山区期末）如图，某地修建高速公路，要从B地向C地修一座隧道（B，C在同一水平面上），某工程师操纵无人机从B地出发，垂直上升200m到达A处，在A处观察C地的俯角为30°，则BC两地之间的距离为（）A．1002m B．1003m C．200二．填空题（共5小题）6．（2024秋•江阴市期末）如图，某校数学兴趣小组为了测量塔AB的高度，将无人机飞升至距水平地面64.5米的C处，测得塔顶端A的俯角为45°，底端B的俯角为72°，则该塔的高度是米．（参考数据：tan72°≈3）7．（2024秋•莱阳市期末）如图，某数学实践小组测量一棵垂直于地面的树CD的高度．在点A处测得树顶C的仰角为45°，在点B处测得树顶C的仰角为60°，且A、D、B三点在同一直线上，若AB=(83+8)米，则这棵树CD的高度是8．（2025•徐汇区一模）如图，热气球探测器显示，从热气球A处测得一栋楼顶部C处的仰角是37°，测得这栋楼的底部B处的俯角是60°，热气球与这栋楼的水平距离是30米，那么这栋楼的高度是米（精确到0.1米）．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，3≈1.79．（2025•杨浦区一模）如图，小岛A在港口P的西南方向，一艘船从港口P沿正南方向航行12海里后到达B处，在B处测得小岛A在它的南偏西60°方向，那么小岛A离港口P有海里．（结果保留根号）10．（2025•徐汇区一模）如图，货船A在灯塔P的北偏西60°方向，客船B在灯塔P的东北方向，客船B在货船A的正东方向，如果货船A与客船B相距50千米，那么客船B与灯塔P的距离约是千米（结果保留根号）．三．解答题（共5小题）11．（2024秋•金东区期末）某班的同学想测量教学楼AB的高度，如图，点A、B、C、D在同一平面内，大楼前有一段斜坡BC，已知BC的长为8米，它的坡度i=1：3（坡度＝垂直高度h：水平宽度l），在离C点30米的D处，测得教学楼顶端A（1）求点C到AB的水平距离．（2）教学楼AB的高度约为多少米．（结果精确到0.1米）（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，3≈1.7312．（2024秋•靖江市期末）如图，三角形花园ABC紧邻湖泊，四边形ABDE是沿湖泊修建的人行步道．经测量，点C在点A的正东方向，AC＝400m，点E在点A的正北方向，点B，D在点C的正北方向，BD＝200m．点B在点A的北偏东30°，点D在点E的北偏东45°．求步道AE的长．（精确到1m，参考数据：313．（2024秋•泉港区期末）小明利用“无人机”测量涂岭镇下炉村的下炉石佛（泉港打卡景点：玉笏朝天）的高度．无人机的探测器显示，观测“玉笏朝天”最高点A的仰角是30°，观测“玉笏朝天”底部B的俯角为60°．若AB与水平面垂直，无人机的观测点P与AB的水平距离PE为523米．请求出“玉笏朝天”的高度14．（2025•崇明区一模）九年级数学活动小组用航拍无人机进行测高实践．如图，无人机从地面AB的中点C处竖直上升20米到达D处，测得实验楼顶部E的俯角为55°，综合楼顶部F的俯角为37°，已知实验楼BE高度为8米，且图中点A、B、C、D、E、F在同一平面内，求综合楼AF的高度．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，cot55°≈0.70，精确到0.1米．）15．（2024秋•高州市期末）在我市乡村振兴活动中，村委会办公楼外墙上有一幅电子显示屏DC每天上午在播放乡村宣传片，小丽同学在点A处，测得显示屏顶端D的仰角为30°，再向显示屏方向前进10米后，又在点B处测得显示屏顶端D的仰角为45°，已知观测点A、B和C离地面高度都为1.5米，求显示屏顶端D点距离地面的高度．（计算结果保留根号）

2024-2025学年下学期初中数学北师大新版九年级同步经典题精练之利用三角函数测高参考答案与试题解析题号12345答案ACCCC一．选择题（共5小题）1．（2024秋•义乌市期末）如图小明在点C处测得树顶端A的仰角为α，且BC＝20米，则树高度AB为（）米．A．20tanα B．20tanα C．20sinα D．【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．【专题】解直角三角形及其应用；应用意识．【答案】A【分析】根据题意可得：∠ABC＝90°，∠ACB＝α，然后在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．【解答】解：∵∠ABC＝90°，在点C处测得树顶端A的仰角为α，且BC＝20米，∴∠ACB＝α，在Rt△ABC中，AB＝BC•tanα＝20tanα（米），故选：A．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．2．（2024秋•甘井子区期末）如图，飞机于空中A处探测到目标C，此时AC⊥BC，AC＝1200m，从飞机上看地平面指挥台B的俯角为α．则飞机与指挥台的距离AB为（）A．1200sinαm B．1200cosαm C．1200sinαm D【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．【答案】C【分析】根据题意可得：AC⊥BC，AD∥BC，从而可得∠DAB＝∠ABC＝α，然后在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．【解答】解：如图：由题意得：AC⊥BC，AD∥BC，∴∠DAB＝∠ABC＝α，在Rt△ABC中，AC＝1200m，∴AB=ACsinα=∴机与指挥台的距离AB为1200sinαm故选：C．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．3．（2024秋•莱阳市期末）某校组织一次定向越野拉练活动．如图，点A为出发点，途中设置两个检查点分别为点B和点C，行进路线为A→B→C→A．点B在点A的南偏东25°方向32km处，点C在点A的北偏东80°方向，∠ABC＝45°．则检查点B和A．(6+63)千米 B．(3+3C．(3+3)千米 D．【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题；勾股定理的应用．【专题】解直角三角形及其应用；应用意识．【答案】C【分析】过A点作AH⊥BC于H点，如图，根据方向角的定义和平角的定义可计算出∠BAC＝75°，再计算出∠CAH＝30°，接着在Rt△ABH中利用等腰直角三角形的性质计算出AH＝BH＝3km，然后在Rt△ACH中利用∠CAH＝30°计算出CH=3km，最后计算BH+CH【解答】解：过A点作AH⊥BC于H点，如图，∵点B在点A的南偏东25°方向处，点C在点A的北偏东80°方向，∴∠BAC＝180°﹣80°﹣25°＝75°，∵∠ABC＝90°，∠AHB＝90°，∴∠BAH＝45°，∴∠CAH＝∠BAC﹣∠BAH＝75°﹣45°＝30°，在Rt△ABH中，∵∠B＝45°，∴AH＝BH=22AB=22×3在Rt△ACH中，∵∠CAH＝30°，∴CH=33AH=33×∴BC＝BH+CH＝（3+3）km故选：C．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，在解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角，然后运用解直角三角形解决问题．4．（2025•杨浦区一模）小海在距离地面高60米的热气球中测得地面上的着落点P的俯角为37°，那么此时热气球离着落点P的距离约是（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）（）A．75米 B．80米 C．100米 D．4003【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．【答案】C【分析】根据题意可得：AC⊥AP，AE∥CP，从而可得∠EAP＝∠APC＝37°，然后在Rt△ACP中，利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答．【解答】解：如图：由题意得：AC⊥AP，AE∥CP，∴∠EAP＝∠APC＝37°，在Rt△ACP中，AC＝60m，∴AP=ACsin37°≈∴此时热气球离着落点P的距离约是100m，故选：C．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．5．（2024秋•崂山区期末）如图，某地修建高速公路，要从B地向C地修一座隧道（B，C在同一水平面上），某工程师操纵无人机从B地出发，垂直上升200m到达A处，在A处观察C地的俯角为30°，则BC两地之间的距离为（）A．1002m B．1003m C．200【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．【答案】C【分析】根据题意可得：AB⊥BC，AE∥BC，从而可得∠EAC＝∠ACB＝30°，然后在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答．【解答】解：如图：由题意得：AB⊥BC，AE∥BC，∴∠EAC＝∠ACB＝30°，在Rt△ABC中，AB＝200m，∴BC=ABtan30°=200∴BC两地之间的距离为2003m，故选：C．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．二．填空题（共5小题）6．（2024秋•江阴市期末）如图，某校数学兴趣小组为了测量塔AB的高度，将无人机飞升至距水平地面64.5米的C处，测得塔顶端A的俯角为45°，底端B的俯角为72°，则该塔的高度是43米．（参考数据：tan72°≈3）【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．【专题】解直角三角形及其应用；应用意识．【答案】43．【分析】延长BA交距水平地面64.5米的水平线于点D，根据tan72°≈3，求出DC＝AD＝21.5米，即可求解．【解答】解：延长BA交距水平地面64.5米的水平线于点D，如图，由题可知，BD＝64.5米，设AD＝x米，∵∠DCA＝45°，∴DC＝AD＝x米，∴tan72°=BDCD∴DC＝AD＝21.5（米），∴AB＝BD﹣AD＝64.5﹣21.5＝43（米），故答案为：43．【点评】本题主要考查解直角三角形的应用﹣仰角与俯角问题，理解题意，作出辅助线是解题关键．7．（2024秋•莱阳市期末）如图，某数学实践小组测量一棵垂直于地面的树CD的高度．在点A处测得树顶C的仰角为45°，在点B处测得树顶C的仰角为60°，且A、D、B三点在同一直线上，若AB=(83+8)米，则这棵树CD的高度是8【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．【答案】83．【分析】根据题意可得：CD⊥AB，从而可得∠CDA＝∠CDB＝90°，然后设AD＝x米，则BD＝（83+8﹣x）米，分别在Rt△ACD和Rt△BCD中，利用锐角三角函数的定义求出CD的长，从而列出关于x【解答】解：由题意得：CD⊥AB，∴∠CDA＝∠CDB＝90°，设AD＝x米，∵AB=(8∴BD＝AB﹣AD＝（83+8﹣x在Rt△ACD中，∠CAD＝45°，∴CD＝AD•tan45°＝x（米），在Rt△BCD中，∠CBD＝60°，∴CD＝BD•tan60°=3（83+8﹣∴x=3（83+8﹣解得：x＝83，∴CD＝83米，∴这棵树CD的高度是83米，故答案为：83．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．8．（2025•徐汇区一模）如图，热气球探测器显示，从热气球A处测得一栋楼顶部C处的仰角是37°，测得这栋楼的底部B处的俯角是60°，热气球与这栋楼的水平距离是30米，那么这栋楼的高度是73.5米（精确到0.1米）．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，3≈1.7【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．【专题】解直角三角形及其应用；应用意识．【答案】73.5．【分析】过点A作AD⊥BC于点D，则AD＝30米，在Rt△ADB中和Rt△ACD中，根据锐角三角函数中的正切可以分别求得BD和CD的长，从而可以求得BC的长，本题得以解决．【解答】解：过点A作AD⊥BC于点D，由题意可得，∠CAD＝37°，∠BAD＝60°，AD＝30米，∠ADC＝∠ADB＝90°，在Rt△ADC中，tan∠CAD=CD∴CD＝AD•tan37°≈30×0.75＝22.5（米），在Rt△ADB中，tan∠BAD=BD∴BD＝AD•tan60°＝30×3=30∴BC＝BD+CD＝22.5+303≈73.5即这栋楼的高度BC是73.5米．故答案为：73.5．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题、锐角三角函数，解答此类问题的关键是明确题意，利用锐角三角函数解答．9．（2025•杨浦区一模）如图，小岛A在港口P的西南方向，一艘船从港口P沿正南方向航行12海里后到达B处，在B处测得小岛A在它的南偏西60°方向，那么小岛A离港口P有（182+66）【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题；勾股定理的应用．【专题】解直角三角形及其应用；应用意识．【答案】（182+66【分析】作AE⊥PB于E，设AP＝x海里，利用锐角三角函数的定义用x表示出PE、BE，根据题意列出方程，求出x的值，根据勾股定理计算即可．【解答】解：作AE⊥PB于E，由题意得，PB＝12海里，设AE＝x海里，∵∠APE＝45°，∴PE＝AE＝x，∵∠ABE＝60°，∴BE=33由题意得，x-33x＝解得，x＝6（3+3则AP＝（182+66答：小岛A离港口P有（182+66故答案为：（182+66【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣方向角问题，正确标注方向角、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．10．（2025•徐汇区一模）如图，货船A在灯塔P的北偏西60°方向，客船B在灯塔P的东北方向，客船B在货船A的正东方向，如果货船A与客船B相距50千米，那么客船B与灯塔P的距离约是(256-【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题；勾股定理的应用．【专题】解直角三角形及其应用；应用意识．【答案】(256【分析】过点P作PC⊥AB于点C，则∠PCB＝∠PCA＝90°，由题意得∠CPB＝45°，∠CPA＝60°，在Rt△ACP和Rt△BCP中解直角三角形即可解答．【解答】解：过点P作PC⊥AB于点C，则∠PCB＝∠PCA＝90°，由题意得∠CPB＝45°，∠CPA＝60°，∴∠B＝∠CPB＝45°，∴CP＝CB，设CP＝CB＝xkm，则AC＝（50﹣x）km，在Rt△ACP中，tan∠CPA=AC即50-x解得x＝253-∴BP=2x=故答案为：(256【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，解题的关键是正确添加辅助线构造直角三角形并利用解直角三角形的知识求解．三．解答题（共5小题）11．（2024秋•金东区期末）某班的同学想测量教学楼AB的高度，如图，点A、B、C、D在同一平面内，大楼前有一段斜坡BC，已知BC的长为8米，它的坡度i=1：3（坡度＝垂直高度h：水平宽度l），在离C点30米的D处，测得教学楼顶端A（1）求点C到AB的水平距离．（2）教学楼AB的高度约为多少米．（结果精确到0.1米）（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，3≈1.73【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题；解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．【答案】（1）点C到AB的水平距离为43米；（2）教学楼AB的高度约为23.7米．【分析】（1）延长AB交DC于点E，根据题意可得：AE⊥DE，再根据已知易得：在Rt△BCE中，tan∠BCE=33，从而可得∠BCE＝30°，然后利用含（2）根据已知易得：DE＝（30+43）米，然后在Rt△ADE中，利用锐角三角函数的定义求出AE的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．【解答】解：（1）延长AB交DC于点E，由题意得：AE⊥DE，∵BC的坡度i=1∴BECE在Rt△BCE中，tan∠BCE=BE∴∠BCE＝30°，∵BC＝8米，∴BE=12BC＝4（米），CE=3BE＝∴点C到AB的水平距离为43米；（2）∵CD＝30米，CE＝43米，∴DE＝CD+CE＝（30+43）米，在Rt△ADE中，∠ADE＝37°，∴AE＝DE•tan37°≈（30+43）×0.75＝（22.5+33）米，∴AB＝AE﹣BE＝22.5+33-4＝18.5+33≈∴教学楼AB的高度约为23.7米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．12．（2024秋•靖江市期末）如图，三角形花园ABC紧邻湖泊，四边形ABDE是沿湖泊修建的人行步道．经测量，点C在点A的正东方向，AC＝400m，点E在点A的正北方向，点B，D在点C的正北方向，BD＝200m．点B在点A的北偏东30°，点D在点E的北偏东45°．求步道AE的长．（精确到1m，参考数据：3【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题．【专题】解直角三角形及其应用；应用意识．【答案】步道AE的长约为492m．【分析】过E作EH⊥CD于H，根据矩形的性质得到EH＝AC＝400m，CH＝AE，根据等腰直角三角形的性质得到DH＝EH＝400m，根据直角三角形的性质即可得到结论．【解答】解：过E作EH⊥CD于H，则四边形ACHE是矩形，∴EH＝AC＝400m，CH＝AE，∵∠D＝45°，∠EHD＝90°，∴DH＝EH＝400m，∵∠C＝90°，∠ABC＝30°，∴BC=3AC=400∴AE＝CH＝4003-（400﹣200）≈492（m答：步道AE的长约为492m．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，正确地作出辅助线是解题的关键．13．（2024秋•泉港区期末）小明利用“无人机”测量涂岭镇下炉村的下炉石佛（泉港打卡景点：玉笏朝天）的高度．无人机的探测器显示，观测“玉笏朝天”最高点A的仰角是30°，观测“玉笏朝天”底部B的俯角为60°．若AB与水平面垂直，无人机的观测点P与AB的水平距离PE为523米．请求出“玉笏朝天”的高度【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．【答案】玉笏朝天”的高度AB为10米．【分析】根据题意可得：∠APE＝30°，∠BPE＝60°，PE=523米，∠AEP＝∠BEP＝90°，然后分别在Rt△APE和Rt△BPE中，利用锐角三角函数的定义求出AE和【解答】解：由题意得：∠APE＝30°，∠BPE＝60°，PE=523米，∠AEP＝∠在Rt△APE中，∠APE＝30°，PE=∴AE=在Rt△BPE中，∠BPE＝60°，PE=∴BE=∴AB=答：玉笏朝天”的高度AB为10米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．14．（2025•崇明区一模）九年级数学活动小组用航拍无人机进行测高实践．如图，无人机从地面AB的中点C处竖直上升20米到达D处，测得实验楼顶部E的俯角为55°，综合楼顶部F的俯角为37°，已知实验楼BE高度为8米，且图中点A、B、C、D、E、F在同一平面内，求综合楼AF的高度．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，cot55°≈0.70，精确到0.1米．）【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．【答案】综合楼AF的高度约为13.7米．【分析】延长BE交DG于点N，延长AF交DG于点M，根据题意可得：AM⊥DG，BN⊥DG，AC＝DM，DN＝BC，AM＝CD＝BN＝20米，从而可得EN＝12米，然后在Rt△DEN中，利用锐角三角函数的定义求出DN的长，再根据线段中点的定义可得AC＝BC，从而可得DM＝DN＝8.4米，最后在Rt△DFM中，利用锐角三角函数的定义求出FM的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．【解答】解：如图：延长BE交DG于点N，延长AF交DG于点M，由题意得：AM⊥DG，BN⊥DG，AC＝DM，DN＝BC，AM＝CD＝BN＝20米，∵BE＝8米，∴EN＝BN﹣BE＝20﹣8＝12（米），在Rt△DEN中，∠EDN＝55°，∴DN＝EN•cot55°≈12×0.7＝8.4（米），∵点C是AB的中点，∴AC＝BC，∴DM＝DN＝8.4米，在Rt△DFM中，∠MDF＝37°，∴MF＝DM•tan37°≈8.4×0.75＝6.3（米），∴AF＝AM﹣FM＝20﹣6.3＝13.7（米），∴综合楼AF的高度约为13.7米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．15．（2024秋•高州市期末）在我市乡村振兴活动中，村委会办公楼外墙上有一幅电子显示屏DC每天上午在播放乡村宣传片，小丽同学在点A处，测得显示屏顶端D的仰角为30°，再向显示屏方向前进10米后，又在点B处测得显示屏顶端D的仰角为45°，已知观测点A、B和C离地面高度都为1.5米，求显示屏顶端D点距离地面的高度．（计算结果保留根号）【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．【答案】显示屏顶端D点距离地面的高度为(53【分析】在Rt△BCD中，利用锐角三角函数的定义可得：CD＝BC，然后在Rt△ACD中，利用锐角三角函数的定义列出关于CD的方程，进