2024-2025学年下学期初中数学北师大新版八年级同步经典题精练之平四边形的判定

第24页（共24页）2024-2025学年下学期初中数学北师大新版八年级同步经典题精练之平四边形的判定一．选择题（共5小题）1．（2024秋•长春校级期末）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，添加下列一个条件后，一定能判定四边形ABCD是平行四边形的是（）A．AB＝CD B．AD＝BC C．AB＝BC D．∠B+∠C＝180°2．（2024秋•重庆期末）如图，已知四边形ABCD，下列条件不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（）A．AB∥CD，AD∥BC B．AD＝BC，AB＝CD C．∠A＝∠C，∠B＝∠D D．AB∥CD，AD＝BC3．（2024•潮州一模）如图所示，在▱ABCD中，∠BAD的平分线交CD于点E，∠ABC的平分线交CD于点F．若AB＝11，AD＝7，则EF的长是（）A．3 B．4 C．5 D．64．（2024•南充模拟）▱ABCD中，E、F是对角线BD上不同的两点，下列条件中，不能得出四边形AECF一定为平行四边形的是（）A．BE＝DF B．AF∥CE C．CE＝AF D．∠DAF＝∠BCE5．（2024春•孝义市期末）如图，在▱ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，添加下列选项中的一个条件，不一定能使四边形AECF是平行四边形的是（）A．AE＝CF B．BE＝DF C．BF＝DE D．∠DCF＝∠BAE二．填空题（共5小题）6．（2024秋•潍坊期末）如图，▱ABCD中，AD＝5cm，CD＝3cm，AE平分∠BAD，则EC＝．7．（2024秋•鲤城区校级期末）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AC⊥CD，过点O作OE⊥AC交AD于点E，连接CE．已知AC＝6，BD＝10，则△CDE的周长是．8．（2023秋•巴中期末）如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，点P为BC上任意一点，连接PA，以PA、PC为邻边作平行四边形PAQC，连接PQ，则PQ的最小值为．9．（2024春•赣州期中）如图，平行四边形ABCD中，AB＝8cm，AD＝12cm，点P在AD边上以每秒1cm的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上，以每秒4cm的速度从点C出发，在CB间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止运动（同时点Q也停止运动），当t＝时，四边形PDQB为平行四边形．10．（2024秋•松北区期末）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝3，BC＝5，点E，F分别是AD，BC上的动点，AE＝CF，连接EF，过点B作BG⊥EF，垂足为G，若S平行四边形ABCD＝12，则BG的最大值为．三．解答题（共5小题）11．（2024秋•沙坪坝区校级期末）如图，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，延长CD至点E，使CD＝DE，连接AE．（1）求证：四边形ABDE是平行四边形；（2）若AC平分∠BAE，AC＝8，AE＝6，求△ACE的面积．12．（2024秋•鄠邑区期末）已知：如图，在平行四边形ABCD中，对角线BD，AC相交于点O，点E，F分别在BD，DB的延长线上，且DE＝BF，连接AE，AF，CF，CE．（1）求证：四边形AFCE为平行四边形；（2）若AC平分∠EAF，∠AEC＝60°，OA＝4，求四边形AFCE的周长．13．（2024秋•莱芜区期末）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O的直线EF分别交AD、CB的延长线于点E，F．求证：OE＝OF．14．（2022•绿园区校级一模）如图，在▱ABCD中，点O是对角线AC，BD的交点，EF过点O且垂直于AD．（1）求证：OE＝OF；（2）若S▱ABCD＝63，OE＝3.5，求AD的长．15．（2024•孝南区模拟）如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F分别是OA、OC的中点，求证：BE＝DF．

2024-2025学年下学期初中数学北师大新版八年级同步经典题精练之平四边形的判定参考答案与试题解析题号12345答案ADACA一．选择题（共5小题）1．（2024秋•长春校级期末）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，添加下列一个条件后，一定能判定四边形ABCD是平行四边形的是（）A．AB＝CD B．AD＝BC C．AB＝BC D．∠B+∠C＝180°【考点】平行四边形的判定．【专题】多边形与平行四边形；推理能力．【答案】A【分析】由AB∥CD，AB＝CD，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”证明四边形ABCD是平行四边形，可判断A符合题意；由AB∥CD，AD＝BC，可知四边形ABCD是平行四边形或等腰梯形，而不能判定四边形ABCD是平行四边形，可判断B不符合题意；由AB∥CD，AB＝BC，不能判定四边形ABCD是平行四边形，可判断C不符合题意；由AB∥CD，得∠B+∠C＝180°，可知由AB∥CD，∠B+∠C＝180°，不能判定四边形ABCD是平行四边形，可判断D不符合题意，于是得到问题的答案．【解答】解：∵AB∥CD，AB＝CD，∴四边形ABCD是平行四边形，故A符合题意；∵AB∥CD，AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形或等腰梯形，∴不能判定四边形ABCD是平行四边形，故B不符合题意；∵由AB∥CD，AB＝BC，不能推导出AB＝CD，∴不能判定四边形ABCD是平行四边形，故C不符合题意；∵AB∥CD，∴∠B+∠C＝180°，∴由AB∥CD，∠B+∠C＝180°，不能判定四边形ABCD是平行四边形，故D不符合题意，故选：A．【点评】此题重点考查平行四边形的判定，正确理解和运用平行四边形的判定定理是解题的关键．2．（2024秋•重庆期末）如图，已知四边形ABCD，下列条件不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（）A．AB∥CD，AD∥BC B．AD＝BC，AB＝CD C．∠A＝∠C，∠B＝∠D D．AB∥CD，AD＝BC【考点】平行四边形的判定．【专题】多边形与平行四边形；推理能力．【答案】D【分析】由AB∥CD，AD∥BC，根据平行四边形的定义证明四边形ABCD是平行四边形，可判断A不符合题意；由AD＝BC，AB＝CD，根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”证明四边形ABCD是平行四边形，可判断B不符合题意；由∠A＝∠C，∠B＝∠D，推导出∠A+∠B＝180°，∠A+∠D＝180°，则AD∥BC，AB∥CD，再根据平行四边形的定义证明四边形ABCD是平行四边形，可判断C不符合题意；由AB∥CD，AD＝BC，可判定四边形ABCD是平行四边形或等腰梯形，可判断D符合题意，于是得到问题的答案．【解答】解：∵AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，故A不符合题意；∵AD＝BC，AB＝CD，∴四边形ABCD是平行四边形，故B不符合题意；∵∠A＝∠C，∠B＝∠D，且∠A+∠C+∠B+∠D＝360°，∴2∠A+2∠B＝360°，2∠A+2∠D＝360°，∴∠A+∠B＝180°，∠A+∠D＝180°，∴AD∥BC，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，故C不符合题意；∵AB∥CD，AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形或等腰梯形，∴由AB∥CD，AD＝BC不能判定四边形ABCD是平行四边形，故D符合题意，故选：D．【点评】此题重点考查平行四边形的定义及判定定理，适当选择平行四边形的定义或判定定理证明四边形ABCD是平行四边形是解题的关键．3．（2024•潮州一模）如图所示，在▱ABCD中，∠BAD的平分线交CD于点E，∠ABC的平分线交CD于点F．若AB＝11，AD＝7，则EF的长是（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】平行四边形的性质；角平分线的性质．【专题】多边形与平行四边形；推理能力．【答案】A【分析】由平行四边形的性质推出AB∥CD，CD＝AB＝11，BC＝AD＝7，由角平分线定义得到∠DAE＝∠BAE，由平行线的性质得到∠DEA＝∠BAE，因此∠DEA＝∠DAE，得到DE＝AD＝7，同理：CF＝BC＝7，即可求出EF＝CF+DE﹣DC＝7+7﹣11＝3．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，CD＝AB＝11，BC＝AD＝7，∵AE平分∠BAD，∴∠DAE＝∠BAE，∵AB∥CD，∴∠DEA＝∠BAE，∴∠DEA＝∠DAE，∴DE＝AD＝7，同理：CF＝BC＝7，∴EF＝CF+DE﹣DC＝7+7﹣11＝3．故选：A．【点评】本题考查平行四边形的性质，关键是由平行四边形的性质推出DE＝AD＝7，CF＝BC＝7．4．（2024•南充模拟）▱ABCD中，E、F是对角线BD上不同的两点，下列条件中，不能得出四边形AECF一定为平行四边形的是（）A．BE＝DF B．AF∥CE C．CE＝AF D．∠DAF＝∠BCE【考点】平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．【专题】多边形与平行四边形；推理能力．【答案】C【分析】连接AC与BD相交于O，根据平行四边形的对角线互相平分可得OA＝OC，OB＝OD，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，只要证明得到OE＝OF即可，然后根据各选项的条件分析判断即可得解．【解答】解：连接AC与BD相交于O，在▱ABCD中，OA＝OC，OB＝OD，要使四边形AECF为平行四边形，只需证明得到OE＝OF即可；A、若BE＝DF，则OB﹣BE＝OD﹣DF，即OE＝OF，故本选项不符合题意；B、AF∥CE能够利用“角角边”证明△AOF和△COE全等，从而得到OE＝OF，故本选项不符合题意；C、若CE＝AF，则无法判断OE＝OE，故本选项符合题意；D、由∠DAF＝∠BCE，从而推出△DAF≌△BCE，然后得出∠DFA＝∠BEC，∴∠AFE＝∠CEF，∴AF∥CE，结合选项B可证明四边形AECF是平行四边形；故本选项不符合题意；故选：C．【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．5．（2024春•孝义市期末）如图，在▱ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，添加下列选项中的一个条件，不一定能使四边形AECF是平行四边形的是（）A．AE＝CF B．BE＝DF C．BF＝DE D．∠DCF＝∠BAE【考点】平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．【专题】图形的全等；多边形与平行四边形；几何直观；推理能力．【答案】A【分析】根据平行线的判定方法结合已知条件逐项进行分析即可得．【解答】解：如图所示，连接AC，交BD于点O，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝CO，BO＝DO，当BE＝DF时，∴OE＝OF，∴四边形AECF是平行四边，故B选项不合题意；当BF＝DE时，同理可得OF＝OE，故C选项不合题意，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠CDF＝∠ABE，当∠DCF＝∠BAE时，△DFC≌△BEA（ASA），∴BE＝DF，∴OE＝OF，则四边形AECF是平行四边，故D选项不合题意，当AE＝CF时不能证明三角形全等，无条件证明四边形AECF是平行四边，故A选项符合题意，故选：A．【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，作出辅助线构造全等三角形是解答本题的关键．二．填空题（共5小题）6．（2024秋•潍坊期末）如图，▱ABCD中，AD＝5cm，CD＝3cm，AE平分∠BAD，则EC＝2cm．【考点】平行四边形的性质；角平分线的定义；平行线的性质；等腰三角形的判定．【专题】多边形与平行四边形；推理能力．【答案】2cm．【分析】根据平行四边形的性质证明∠BAE＝BAE，得BE＝AB＝3cm，然后根据线段的和差即可解决问题．【解答】解：在▱ABCD中，BC＝AD＝5cm，AB＝CD＝3cm，AD∥BC，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝DAE，∵AD∥BC，∴∠BEA＝DAE，∴∠BAE＝BAE，∴BE＝AB＝3cm，∴CE＝BC﹣BE＝5﹣3＝2（cm），故答案为：2cm．【点评】本题考查平行四边形的性质，角平分线定义，平行线的性质，等腰三角形的判定，解决本题的关键是得到BE＝AB．7．（2024秋•鲤城区校级期末）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AC⊥CD，过点O作OE⊥AC交AD于点E，连接CE．已知AC＝6，BD＝10，则△CDE的周长是4+213．【考点】平行四边形的性质；线段垂直平分线的性质．【专题】等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；运算能力；推理能力．【答案】4+213．【分析】由平行四边形的性质得OC＝OA=12AC＝3，OD＝OB=12BD＝5，而AC⊥CD，OE⊥AC，则∠ACD＝90°，AE＝CE，所以CD=OD2-OC2=4，则AD=AC2+CD2=2【解答】解：∵四边ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O，AC＝6，BD＝10，∴OC＝OA=12AC＝3，OD＝OB=12∵AC⊥CD，OE⊥AC，∴∠ACD＝90°，AE＝CE，∴CD=OD∴AD=AC2∵∠ECD+∠ECA＝90°，∠EDC+∠EAC＝90°，∠ECA＝∠EAC，∴∠ECD＝∠EDC，∴DE＝CE＝AE=12AD∴△CDE的周长＝CD+DE+CE＝4+13+13∴故答案为：4+213．【点评】此题重点考查平行四边形的性质、线段的垂直平分线的性质、等角的余角相等、勾股定理等知识，证明DE＝CE＝AE是解题的关键．8．（2023秋•巴中期末）如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，点P为BC上任意一点，连接PA，以PA、PC为邻边作平行四边形PAQC，连接PQ，则PQ的最小值为245【考点】平行四边形的性质．【答案】见试题解答内容【分析】设PQ与AC交于点O，作OP′⊥BC于P′．首先求出OP′，当P与P′重合时，PQ的值最小，PQ的最小值＝2OP′．【解答】解：设PQ与AC交于点O，作OP′⊥BC于P′．在Rt△ABC中，BC=AC∵∠OCP′＝∠ACB，∠OP′C＝∠CAB，∴△COP′∽△CBA，∴COCB∴410∴OP′=12当P与P′重合时，PQ的值最小，PQ的最小值＝2OP′=24故答案为245【点评】本题考查平行四边形的性质．直角三角形的性质、勾股定理、垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用垂线段最短解决最值问题，属于中考常考题型．9．（2024春•赣州期中）如图，平行四边形ABCD中，AB＝8cm，AD＝12cm，点P在AD边上以每秒1cm的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上，以每秒4cm的速度从点C出发，在CB间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止运动（同时点Q也停止运动），当t＝4.8s或8s或9.6s时，四边形PDQB为平行四边形．【考点】平行四边形的判定与性质．【专题】多边形与平行四边形；运算能力；推理能力．【答案】＝4.8s或8s或9.6s．【分析】根据平行四边形的判定可得当DP＝BQ时，以点P、D、Q、B为顶点组成平行四边形，然后分情况讨论，再列出方程，求出方程的解即可．【解答】解：设经过m秒，以点P、D、Q、B为顶点组成平行四边形，∵以点P、D、Q、B为顶点组成平行四边形，∴DP＝BQ，分为以下情况：①点Q的运动路线是C﹣B，方程为12﹣4m＝12﹣tm此时方程m＝0，此时不符合题意；②点Q的运动路线是C﹣B﹣C，方程为4m﹣12＝12﹣m，解得：m＝4.8；③点Q的运动路线是C﹣B﹣C﹣B，方程为12﹣（4m﹣24）＝12﹣m，解得：m＝8；④点Q的运动路线是C﹣B﹣C﹣B﹣C，方程为4m﹣36＝12﹣tm解得：m＝9.6；综上所述，m＝4.8s或8s或9.6s时，以P、D、Q、B四点组成的四边形为平行四边形，故答案为：＝4.8s或8s或9.6s．【点评】此题考查了平行四边形的判定．求出符合条件的所有情况是解此题的关键，注意分类讨论思想的应用．10．（2024秋•松北区期末）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝3，BC＝5，点E，F分别是AD，BC上的动点，AE＝CF，连接EF，过点B作BG⊥EF，垂足为G，若S平行四边形ABCD＝12，则BG的最大值为13．【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；运算能力；推理能力．【答案】13．【分析】连接BD交EF于点L，作BH⊥DC交DC的延长线于点H，由平行四边形的性质得DC＝AB＝3，AD＝BC，AD∥BC，则∠EDL＝∠FBL，而AE＝CF，可证明DE＝BF，由S平行四边形ABCD＝DC•BH＝3BH＝12，求得BH＝4，则CH=BC2-BH2=3，所以DH＝6，则BD=BH2+DH2=213，再证明△DLE≌△BLF，得DL【解答】解：连接BD交EF于点L，作BH⊥DC交DC的延长线于点H，则∠H＝90°，∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝3，BC＝5，∴DC＝AB＝3，AD＝BC，AD∥BC，∴∠EDL＝∠FBL，∵AE＝CF，∴AD﹣AE＝BC﹣CF，∴DE＝BF，∵S平行四边形ABCD＝DC•BH＝3BH＝12，∴BH＝4，∴CH=BC∴DH＝DC+CH＝3+3＝6，∴BD=BH2在△DLE和△BLF中，∠DOE∴△DLE≌△BLF（AAS），∴DL＝BL=12BD=1∵BG⊥EF于点G，∴BG≤BL，∴BG≤13∴BG的最大值为13，故答案为：13．【点评】此题重点考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、垂线段最短等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．三．解答题（共5小题）11．（2024秋•沙坪坝区校级期末）如图，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，延长CD至点E，使CD＝DE，连接AE．（1）求证：四边形ABDE是平行四边形；（2）若AC平分∠BAE，AC＝8，AE＝6，求△ACE的面积．【考点】平行四边形的判定与性质；角平分线的性质．【专题】等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；运算能力；推理能力．【答案】（1）证明见解答；（2）△ACE的面积是85．【分析】（1）由平行四边形的性质得AB∥CD，AB＝CD，因为延长CD至点E，使CD＝DE，所以AB∥DE，AB＝DE，则四边形ABDE是平行四边形；（2）连接OE，由▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，得OA＝OC=12AC＝4，由AC平分∠BAE，得∠BAC＝∠EAC，由AB∥CD，得∠BAC＝∠ECA，则∠EAC＝∠ECA，所以AE＝CE＝6，则OE⊥AC，所以∠AOE＝90°，求得OE=AE2-OA2=25，则S【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∵延长CD至点E，使CD＝DE，∴AB∥DE，AB＝DE，∴四边形ABDE是平行四边形．（2）解：连接OE，∵▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AC＝8，∴OA＝OC=12AC＝∵AC平分∠BAE，∴∠BAC＝∠EAC，∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠ECA，∴∠EAC＝∠ECA，∴AE＝CE＝6，∴OE⊥AC，∴∠AOE＝90°，∴OE=AE2∴S△ACE=12AC•OE=12×8×∴△ACE的面积是85．【点评】此题重点考查平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．12．（2024秋•鄠邑区期末）已知：如图，在平行四边形ABCD中，对角线BD，AC相交于点O，点E，F分别在BD，DB的延长线上，且DE＝BF，连接AE，AF，CF，CE．（1）求证：四边形AFCE为平行四边形；（2）若AC平分∠EAF，∠AEC＝60°，OA＝4，求四边形AFCE的周长．【考点】平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．【专题】多边形与平行四边形；矩形菱形正方形；运算能力；推理能力．【答案】（1）证明见解答；（2）四边形AFCE周长是32．【分析】（1）由平行四边形的性质得OD＝OB，OA＝OC，而DE＝BF，所以OE＝OF，即可证明四边形AFCE是平行四边形；（2）由∠EAC＝∠FAC，∠ECA＝∠FAC，推导出∠EAC＝∠ECA，则AE＝CE，所以四边形AFCE是菱形，而∠AEC＝60°，则△EAC是等边三角形，所以AE＝AC＝8，即可求得四边形AFCE周长是32．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴OD＝OB，∵DE＝BF，∴OD+DE＝OB+BF，∴OE＝OF，∵OA＝OC，∴四边形AFCE为平行四边形．（2）解：∵AC平分∠EAF，∴∠EAC＝∠FAC，∵四边形AFCE为平行四边形，OA＝4，∴CE∥AF，OC＝OA＝4，∴∠ECA＝∠FAC，AC＝4+4＝8，∴∠EAC＝∠ECA，∴AE＝CE，∴四边形AFCE是菱形，∵∠AEC＝60°，∴△EAC是等边三角形，∴AE＝AC＝8，∴AF+CF+CE+AE＝4AE＝4×8＝32，∴四边形AFCE周长是32．【点评】此题重点考查等式的性质、平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、菱形的周长等知识，证明OE＝OF，以及在AC平分∠EAF的条件下证明四边形AFCE为菱形是解题的关键．13．（2024秋•莱芜区期末）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O的直线EF分别交AD、CB的延长线于点E，F．求证：OE＝OF．【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．【专题】多边形与平行四边形；推理能力．【答案】证明见解析．【分析】根据平行四边形的性质可得AO＝CO，AD∥BC，进而可得∠EAO＝∠FCO，再根据对顶角相等可得∠AOE＝∠COF从而证明△AOE≌△COF，证得结论．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴得AO＝CO，AD∥BC，∴∠EAO＝∠FCO，在△AOE和△COF中，∠EAO∴△AOE≌△COF（ASA），∴OE＝OF．【点评】本题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练运用平行四边形的性质．14．（2022•绿园区校级一模）如图，在▱ABCD中，点O是对角线AC，BD的交点，EF过点O且垂直于AD．（1）求证：OE＝OF；（2）若S▱ABCD＝63，OE＝3.5，求AD的长．【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．【专题】综合题；几何直观．【答案】（1）证明见解析；（2）9．【分析】（1）运用ASA证明△AEO≌△CFO即可得到结论；（2）由（1）得EF＝7，再根据平行四边形的面积计算公式求解即可．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，OA＝OC，∴∠EAO＝∠FCO，在△AEO和△CFO中，∵∠EAO＝∠FCO，OA＝OC，∠AOE＝∠COF，∴△AEO≌△CFO，（ASA）∴OE＝OF；（2）解：∵OE＝OF，OE＝3.5，∴EF＝2OE＝7，又∵EF⊥AD，∴S▱ABCD＝AD×EF＝63，∴AD＝9．【点评】本题考查了平行四边形性质，全等三角形的判定的应用，注意：平行四边形的对边平行且相等，平行四边形的对角线互相平分，全等三角形的判定方法有SAS，ASA，AAS，SSS等，本题主要考查了学生运用定理进行推理的能力．15．（2024•孝南区模拟）如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F分别是OA、OC的中点，求证：BE＝DF．【考点】平行四边形的性质．【专题】证明题．【答案】见试题解答内容【分析】根据平行四边形的性质对角线互相平分得出OA＝OC，OB＝OD，利用中点的意义得出OE＝OF，从而利用平行四边形的判定定理“对角线互相平分的四边形是平行四边形”判定BFDE是平行四边形，从而得出BE＝DF．【解答】证明：连接BF、DE，如图所示：∵四边形ABCD是平行四边形∴OA＝OC，OB＝OD∵E、F分别是OA、OC的中点∴OE=12OA，OF∴OE＝OF∴四边形BFDE是平行四边形∴BE＝DF．【点评】本题考查了平行四边形的基本性质和判定定理的运用．性质：①平行四边形两组对边分别平行；②平行四边形的两组对边分别相等；③平行四边形的两组对角分别相等；④平行四边形的对角线互相平分．判定：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．

考点卡片1．角平分线的定义（1）角平分线的定义从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．（2）性质：若OC是∠AOB的平分线则∠AOC＝∠BOC=12∠AOB或∠AOB＝2∠AOC＝2∠（3）平分角的方法有很多，如度量法、折叠法、尺规作图法等，要注意积累，多动手实践．2．平行线的性质1、平行线性质定理定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．2、两条平行线之间的距离处处相等．3．全等三角形的判定与性质（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．4．角平分线的性质角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．注意：①这里的距离是指点到角