2024-2025学年云南省文山州重点学校高三（上）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年云南省文山州重点学校高三（上）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={−1,0,1,2,3}，B={x|x−2x+1≤0}，则A∩B=A.{−1,0} B.{−1,0,1} C.{0,1} D.{0,1,2}2.函数f(x)=1−x2A.[−1,1] B.[−1,0)∪(0,1]

C.(−∞,−1]∪[1,+∞) D.(−∞,−1)∪(1,+∞)3.圆C1：x2+y2=4与圆CA.外离 B.相交 C.外切 D.内含4.学校组织知识竞赛，某班8名学生的成绩(单位：分)分别是65，60，75，78，86，84，90，94，则这8名学生成绩的75%分位数是(

)A.88分 B.86分 C.85分 D.90分5.已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，点M(2,2)在抛物线上，则|MF|=(

)A.32 B.52 C.3 6.把一个高9cm的圆锥形容器装满水，倒进一个与它底面积相等、高度相等的圆柱形容器中，此时水的高度是(

)A.4.5cm B.3cm C.27cm D.1cm7.阿基米德是古希腊数学家，他利用“逼近法”算出椭圆面积等于圆周率、椭圆的长半轴长、短半轴长三者的乘积.据此得某椭圆面积为62π，且在y轴上的两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程为A.x28+y29=1 B.8.已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，PA.−12 B.0 C.−1二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.若两直线l1：(a−1)x−3y−2=0与l2：x−(a+1)y+2=0平行，则实数a的值可以为(

)A.3 B.2 C.−2 D.110.已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，P，QA.B1P⊥BQ B.AP是平面BB1Q的一个法向量

C.C1P,BQ11.如图，造型为“∞”的曲线C称为双纽线，其对称中心为坐标原点O，且曲线C上的点满足：到点F1(−2,0)和F2(2,0)的距离之积为定值a.若点P(m,n)在曲线C上，则下列结论正确的是A.|m|≤22 B.|PO|≤22

C.△PF1F三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知sin(π2+α)=2sin(π−α)，则tan13.若直线3x+y−3=0与圆O：x2+y2=114.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线l与双曲线C的两支分别交于A四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知直线l：(2a+3)x+(1−a)y+7+3a=0，a∈R．

(1)求l恒过的定点A的坐标；

(2)若l经过点B(0,1)，求直线l的方程．16.(本小题15分)

已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(b−c)sinC=(b+a)(sinB−sinA)．

(1)求角A的大小；

(2)若a=4，D为BC的中点，△ABC的面积为332，求17.(本小题15分)

在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，规定比赛成绩达到9.50m以上(含9.50m)的同学将得优秀奖.为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据(单位：m)：

甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；

乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；

丙：9.85，9.65，9.20，9.16．

假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立．

(1)估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；

(2)求甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中恰有2人获得优秀奖的概率．18.(本小题17分)

如图，底面四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，AD=ED=2，PA=3．

(1)证明：BD⊥平面PAC；

(2)求二面角B−PC−E的正弦值．19.(本小题17分)

定义：一般地，当λ>0且λ≠1时，我们把方程x2a2+y2b2=λ(a>b>0)表示的椭圆Cλ称为椭圆C：x2a2+y2b2=1的相似椭圆.已知椭圆C：x24+y2=1的相似椭圆为Cλ：x24+y2=λ(λ>0且λ≠1)，

(1)求证：椭圆C与椭圆Cλ的离心率相等；

(2)若直线l1，l2与椭圆C均有且只有一个公共点，且l1，l2的斜率之积为−14，求证：l参考答案1.D

2.B

3.C

4.A

5.B

6.B

7.D

8.A

9.BC

10.BC

11.ABC

12.−113.π314.715.解：(1)由l：(2a+3)x+(1−a)y+7+3a=0，a∈R可得a(2x−y+3)+3x+y+7=0，

由2x−y+3=03x+y+7=0解得x=−2y=−1，所以直线l恒过点A(−2,−1)．

(2)若l经过点B(0,1)，直线l：(2a+3)x+(1−a)y+7+3a=0，a∈R，

所以1−a+7+3a=0，解得a=−4，

所以直线l的方程为x−y+1=016.解：(1)∵(b−c)sinC=(b+a)(sinB−sinA)，由正弦定理可得(b−c)c=(b+a)(b−a)，

可得b2−a2=bc−c2，即b2+c2−a2=bc，所以cosA=b2+c2−a22bc=12．

因为A∈(0,π)，所以A=π3．

(2)因为A=π3，17.解：(1)已知只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，

规定比赛成绩达到9.50m以上(含9.50m)的同学将得优秀奖，

设事件A为“甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖”，

因为比赛成绩达到9.50m以上(含9.50m)的同学将得优秀奖，

甲以往的10次比赛成绩中达到9.50m以上(含9.50m)的有9.80，9.70，9.55，9.54，共4次，

所以甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率为P(A)=410=25，

(2)由(1)知，甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率为P(A)=25，

设事件B为：“乙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率”，

乙以往的6次比赛成绩中达到9.50m以上(含9.50m)的有9.78，9.56，9.51，共3次，

故P(B)=36=12，

事件C为：“丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率”，

丙以往的4次比赛成绩中达到9.50m以上(含9.50m)的有9.85，9.65，共2次，

故P(C)=18.解：(1)证明：因为底面四边形ABCD是正方形，

所以AC⊥BD，

因为PA⊥平面ABCD，且BD⊂平面ABCD，

所以PA⊥BD，

因为AC∩PA=A，AC，PA⊂平面PAC，

所以BD⊥平面PAC；

(2)因为PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD为矩形，

所以以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，

由题可得B(2,0,0)，P(0,0,3)，C(2,2,0)，E(0,2,2)，

所以BP=(−2,0,3)，PC=(2,2,−3)，CE=(−2,0,2)，

设平面BPC的法向量为n1=(x,y,z)，

则BP⋅n1=−2x+3z=0PC⋅n1=2x+2y−3z=0，令x=3，得z=2，y=0，所以n1=(3,0,2)，

设平面PCE的法向量为n2=(a,b,c)，

则PC⋅n2=2a+2b−3c=0CE⋅n19.解：(1)证明：当λ>0且λ≠1时，把方程x2a2+y2b2=λ(a>b>0)表示的椭圆Cλ称为椭圆C：x2a2+y2b2=1的相似椭圆，

椭圆C：x24+y2=1的相似椭圆为Cλ：x24+y2=λ(λ>0且λ≠1)，

椭圆C：x24+y2=1的离心率为e1=32，

Cλ：x24+y2=λ(λ>0且λ≠1)可化为x24λ+y2λ=1(λ>0且λ≠1)，

其离心率为e2=4λ−λ2λ=32，

∴e1=e2，

∴椭圆C与椭圆Cλ的离心率相等．

(2)证明：直线l1，l2与椭