2024-2025学年浙江省杭州联谊学校高三（下）月考数学试卷（3月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年浙江省杭州联谊学校高三（下）3月月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={1,2,3}，B={x∈N|x2<4}，则A∪B=A.{1,2,3} B.{0,1,2,3} C.{−1,1,2,3} D.{−1,0,1,2,3}2.已知向量a=(2x,3)，b=(2,0)，(a−b)A.−1 B.12 C.1 D.3.已知复数z满足(1+i)z=2i，则|z|=(

)A.2 B.3 C.2 4.若圆锥的轴截面是一个边长为4的等边三角形，则它的体积为(

)A.833π B.8π C.5.已知函数f(x)=xex,x≤0lnx−A.−1 B.−1e C.1 6.已知两条相交直线a，b，a在平面α内，b在平面α外.设a，b的夹角为θ1，直线b与平面α所成角为π2−θ1，sinθ1=2A.π12 B.π6 C.π47.设抛物线C：x2=4y的焦点为F，斜率为12的直线与抛物线交于A，B两点，若|AF|+|BF|=7，则cos∠AFBA.0 B.−45 C.−8.在△ABC中，“sin2A+sin2B=sinA.充分但非必要条件 B.必要但非充分条件

C.充要条件 D.既非充分条件也非必要条件二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.设(1+2x)6=aA.a0=1

B.a3=20

C.该二项式的所有二项式系数之和为10.已知函数f(x)=sin(π4+x)，A.f(x)的最小正周期为2π B.g(x)是偶函数

C.g(x)在区间(0,π2)上单调递减 D.g(x)在11.已知正项等差数列{an}与正项等比数列{bn}首项相等，且满足aA.{bn}的公比为2B.∃m≥3，使得am=bm

C.对三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的上顶点与右顶点分别为A，B13.已知函数f(x)=x3−6x2+9x在x=a处取得极大值，在x=b处取得极小值，若f(x)在[0,m]上的最大值为14.有6张卡片，正面分别写有数字1，2，3，4，5，6，且背面均写有数字7.先把这些卡片正面朝上排成一排，且第k个位置上的卡片恰好写有数字k.然后掷一颗均匀的骰子，若点数为n，则将第n个位置上的卡片翻面并置于原处.进行上述实验3次，发现卡片朝上的数字之和为偶数，在这一条件下，计算骰子恰有一次点数为2的概率为______．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

为了了解高中学生语文与数学成绩之间的联系，从某学校获取了400名学生的成绩样本，并将他们的数学和语文成绩整理如表：

单位：人数学成绩语文成绩不优秀优秀不优秀18090优秀5080(1)依据α=0.05的独立性检验，能否认为学生的数学成绩与语文成绩有关联？

(2)以顾率估计概率、从全市高中所有数学不优秀的学生中随机抽取5人，设其中恰有X位学生的语文成绩优秀，求随机变量X的分布列以及数学期望．

附：P(0.0500.0100.001k3.8416.63510.828χ16.(本小题15分)

已知等轴双曲线C的左右焦点分别为F1，F2，经过点F2的直线与C的渐近线相交于点M，N，点M的横坐标为−1，N是线段F2M的中点，经过点F1的直线l与C相交于A，B两点．

(1)求双曲线C的方程；

(2)当△ABF17.(本小题15分)

如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AB=6，O为AB的中点，D，E分别为AB，AC边上一点，满足AD=1，DE//OC.将△ADE，△BOC分别沿着DE，OC翻折成△A′DE，△B′OC，满足A′，B′平面CODE的同一侧，A′D⊥面CODE，B′O⊥面CODE．

(1)证明：A′，B′，C，E共面；

(2)在线段B′C上是否存在一点F(异于端点)，满足EF//平面A′DOB′？若存在，求出点F的位置；若不存在，请说明理由；

(3)在(2)的情况下，求直线CE与平面ODF所成角的正弦值．18.(本小题17分)

已知a，b∈R，函数f(x)=xe−x−aex+b．

(1)若曲线y=f(x)在(0,f(0))处的切线方程为y=2(x+1)，求a+b的值；

(2)若函数f(x)在R上单调递增，求a的取值范围；

(3)若对∀b∈R19.(本小题17分)

对任意给定的n∈N∗，若有穷数列{an}满足：am=k=1nXk,m−1，(∀m≤n且m∈N∗)，其中Xk,i=0,ak≠i1,ak=i，则称该数列为“D数列”．

(1)当n∈{1,2)时，是否存在符合条件的“D数列”？若存在，请求出所有的符合条件的“D数列”：若不存在，请说明理由；参考答案1.B

2.C

3.A

4.A

5.B

6.B

7.B

8.C

9.ACD

10.ABD

11.ACD

12.613.4

14.133615.解：(1)零假设H0为：学生的数学成绩与语文无关，

由题χ2=400(180×80−90×50)2270×130×230×170=1452005083=28.566>3.841，

所以依据α=0.05的独立性检验，推断零假设H0不成立，即认为学生的数学成绩与语文成绩有关联，此推断犯错误的概率不大于5%；

(2)由题意可知数学不优秀的学生中语文成绩优秀的概率为90180+90=13，

随机变量x的取值有0，1，2，3，4，5，由已知X～B(5,13)，

则P(X=0)=C5X012345P

32

80

80

40

101所以E(X)=5×1316.解：(1)因为双曲线C为等轴双曲线，故可设双曲线方程为x2−y2=a2，

则F1(−2a,0)，F2(2a,0)，

所以双曲线C的渐近线方程为y=±x，

若点M在渐近线y=−x上，则M(−1,1)，故N(2a−12,12)，

代入渐近线y=x，可得a=2，

所以双曲线C的方程为x2−y2=2，

若点M在渐近线y=x上，则M(−1,−1)，故N(2a−12,−12)，

代入渐近线y=−x，可得a=2，

所以双曲线C的方程为x2−y2=2，

故双曲线方程为x2−y2=2．

(2)由题直线l不与y轴垂直，不妨设l的方程为x=ty−2，

联立x2−y2=2x=ty−2，消x可得(t17.解：(1)证明：延长OD，CE相交于点A，

因为AB=6，O为AB的中点，

故AO=BO=3，又AD=1，所以AD=13AO，

又DE//OC，所以AEAC=13，

因为A′D⊥平面CODE，B′O⊥平面CODE，

所以A′D//B′O，

而A′D=13B′O，AD=13AO，

所以△A′AD∽△B′AO，

故∠A′AD=∠B′AO，

故A，A′，B′共线，且AA′AB′=13，

又AEAC=13，

所以A′E//B′C，

所以A′，B′，C，E共面，

(2)由(1)得A′D//B′O，B′O⊂面B′OC，A′D⊄面B′OC，

所以A′D//面B′OC，

同理可得ED/​/面B′OC，

因为A′D∩ED=D，所以平面A′DE//平面B′OC，

又由(1)得A′，B′，C，E共面，故A′E//B′C，

取B′C上靠近B′的三等分点F，可得A′E=B′F，

因此四边形A′B′FE为平行四边形，

故EF//A′B′，又EF⊄面A′DOB′，A′B′⊂面A′DOB′，

所以EF/​/平面A′DOB′；

(3)由(2)得直线CE与平面ODF所成角即直线AC与平面OAF所成角，

作CH⊥OF与OF相交于点H，

由B′O⊥平面CODE，得B′O⊥OA，又CO⊥OA，B′O∩CO=O，

故OA⊥平面OB′C，

因此OA⊥CH，又OA∩OF=O，

故CH⊥平面OAF，

所以∠CAH就是直线AC与平面OAF所成角，

在△BOC中，可计算得CH=65518.解：(1)由题意得f(0)=b−a=2．

f′(x)=(1−x)e−x−aex，故f′(0)=1−a=2，得a=−1，

所以b=1，a+b=0．

(2)若函数f(x)在R上单调递增，

则f′(x)=(1−x)e−x−aex≥0⇔a≤(1−x)e−2x，

令g(x)=(1−x)e−2x，g′(x)=(2x−3)e−2x，

故当x∈(−∞,32)时，g′(x)<0，g(x)单调递减：当x∈(32+∞)时，g′(x)>0，g(x)单调递增．

因此g(x)min=g(32)=−12e3，

所以a≤−12e3，经检验，符合题意，

所以a的取值范围是(−∞,−1219.解：(1)当n=1时，a1=X1,0=0,a1≠01,a1=0，可知不存在“D数列”；

当n=2时，若a1=0，又a1=X1,0+X2,0=1+X2,0≠0矛盾；

若a1≠0，则a1=X1,0+X2,0=0+X2,0=X2,0≤1，

因此只能a1=X2,0=1，故a2=0，

但此时a2=X1,1+X2,1=1+0=1，矛盾，所以不存在“D数列”．

(2)证明：(i)由题意可知am≤n(