2024-2025学年陕西省汉中市宁强县天津高级中学等校高三（上）期末数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年陕西省汉中市宁强县天津高级中学等校高三（上）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x|0<x<3}，B={−2,−1,0,1,2}，则A∩B=(

)A.{0,1,2} B.{1,2} C.{−2,2} D.{−2,−1,1,2}2.若复数z满足z=3+i1+i，则|z|=(

)A.102 B.2 C.3.抛物线y=4x2的焦点坐标是(

)A.(0,1) B.(1,0) C.(0,116)4.双曲线x23t−yA.22 B.233 5.将正整数1，2，3，…按从小到大的顺序分组，第n组含2n−1个数，分组如下：(1)，(2,3)，(4,5,6,7)，(8,9,10,11,12,13,14,15)，⋯，则2025在第(    )组．A.9 B.10 C.11 D.126.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=3，c=4，且△ABC的面积S=34(a2+c2−bA.1237 B.6357.已知面积为93的正三角形ABC的所有顶点都在球O的球面上，若三棱锥O−ABC的体积为63，则球O的表面积为A.32π

B.64π

C.8π

D.16π8.已知函数f(x)=sin(ωx+π6)+sin(ωx−π2)(0<ω<5)，将f(x)的图象向右平移π6个单位长度后得到g(x)的图象，若g(x)在A.4 B.6 C.8 D.10二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知命题“∀x∈[1,+∞),lnx−12x−a≥0”为真命题，则实数a的值可以是A.2 B.0 C.−1 D.−210.已知随机变量X∼N(90,900)，Y∼N(100,400)，则下列说法正确的是(

)A.E(X)<E(Y) B.E(2X−10)=170

C.D(2Y+10)=800 D.P(X>120)+P(Y<120)=111.若定义在R上的偶函数y=f(x)，对任意两个不相等的实数x1，x2∈(0,+∞)，都有x1f(x1)+x2f(xA.f(x)=4−x2 B.f(x)=ln(4+x2三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.在(2+x)5的展开式中，含13.若lgx=3lgy，y=log24，则x=14.如图，已知圆O的半径为4，AB是圆O的一条直径.C，D两点均在圆O上，|CD|=43，点P为线段CD上一动点，则PA⋅四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知asinA−csinCb−c=sin(A+C)(b≠c)．

(1)求角A的大小；

(2)若b=2c，△ABC的面积为316.(本小题15分)

在数列{an}中，a1=1，an+1=2an+3⋅2n−1．

(1)若bn=an17.(本小题15分)

如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB1⊥A1C，AB⊥BC，AB=BC=2．

(1)求证：AB1⊥平面18.(本小题17分)

已知A(6,m+2)，B(24,m+8)是抛物线C：y2=2px(p>1)上的两点．

(1)求C的准线方程；

(2)若直线y=kx+t(k≠0)经过C的焦点，且与C交于P，Q两点，求|PQ|+19.(本小题17分)

已知函数f(x)=(x+12)ln(1x+1)．

(1)证明曲线y=f(x)是轴对称图形；

(2)设函数g(x)=f(1答案解析1.B

【解析】解：由题易得A∩B={1,2}．

故选：B．

根据交集的定义即可求解．

本题主要考查集合的基本运算，属于基础题．2.D

【解析】解：由题知z=(3+i)(1−i)(1+i)(1−i)=4−2i2=2−i，所以|z|=5．

故选：3.C

【解析】解：抛物线y=4x2的标准方程为

x2=14y，p=18，开口向上，焦点在y轴的正半轴上，

故焦点坐标为(0,116)，

故选：4.B

【解析】解：由x23t−y2t=1，

得a2=3t，b2=t，所以c2=4t5.C

【解析】解：由题意可设前n组里含有的正整数的个数为Sn，

则Sn=1+2+22+23+⋯+2n−1=1(1−2n)1−2=2n−1，

6.A

【解析】解：由S=34(a2+c2−b2)可知，

由余弦定理可得a2+c2−b2=2accosB，

所以12acsinB=34×2accosB，

可得tanB=3，而B∈(0,π)，

所以B=π3，

在△ABC中，由等面积法得S△ABC7.B

【解析】解：如图，设球O的半径为R，△ABC外接圆圆心为O1，半径为r，△ABC的边长为a．

因为△ABC是面积为93的等边三角形，所以12a2×32=93，解得a=6，

所以r=33a=23，所以VO−ABC=13S△ABC⋅OO1=13×98.C

【解析】解：f(x)=sin(ωx+π6)+sin(ωx−π2)=sin(ωx+π6)−cosωx=32sinωx−12cosωx=sin(ωx−π6)，

故g(x)=f(x−π6)=sin(ωx−π6ω−π6)，

因为当x∈[0,πω]时，ωx−π6ω−π6∈[−π6ω−π6,−π6ω+5π6]，9.CD

【解析】解：因为命题“∀x∈[1,+∞),lnx−12x−a≥0”为真命题，

所以∀x∈[1,+∞),a≤lnx−12x．

令f(x)=lnx−12x,x∈[1,+∞),

根据增函数减去减函数知：f(x)为增函数，

当x=1时，f(x)有最小值f(1)=−12，

故实数a的取值范围为(−∞,−12]10.ABD

【解析】解：由随机变量X∼N(90,900)，Y∼N(100,400)，

所以E(X)=90，D(X)=900，E(Y)=100，D(Y)=400，故A正确；

所以E(2X−10)=2E(X)−10=2×90−10=170，故B正确；

所以D(2Y+10)=22D(Y)=4×400=1600，故C错误；

两个随机变量的μ+σ均为120，由正态分布特点知D正确．

故选：ABD．

11.ACD

【解析】解：对任意两个不相等的实数x1，x2∈(0,+∞)，都有x1f(x1)+x2f(x2)<x1f(x2)+x2f(x1)，

可得(x1−x2)⋅[f(x1)−f(x2)]<0．

若x1<x2，可得f(x1)−f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，f(x)在(0,+∞)上单调递减，

又f(x)为偶函数，

所以f(x)在(−∞,0)上单调递增．

对A：f(x)=4−x2定义域为R，且f(−x)=4−(−x)2=4−x2=f(x)，则f(x)为偶函数，

根据二次函数性质可得f(x)在(0,+∞)上单调递减，在(−∞,0)上单调递增，符合题意，故A正确；

对B：f(x)=ln(4+x2)定义域为R，且f(−x)=ln(4+(−x)2)=ln(4+x2)=f(x)，则f(x)为偶函数，

函数y=4+x2，在(0,+∞)上单调递增(0,+∞)，在(−∞,0)上单调递减，函数y=lnx为增函数，

根据复合函数定义可知函数f(x)=ln(4+12.80

【解析】解：由题意可得(2+x)5的二项展开式的通项公式为Tr+1=C5r25−r⋅(x)r=C5r25−rx13.8

【解析】解：lgx=3lgy=y3，

y=log24=2，

所以x=y3=8．14.[−12,0]

【解析】解：根据题意，连接OP，由O为圆心，得PB=PO+OB=PO−OA，

结合PA=PO+OA，得PA⋅PB=(PO+OA)⋅(PO−OA)=|PO|2−|OA|2=|PO|2−16．

因为点P在线段15.解：(1)在△ABC中，sin(A+C)=sinB，

所以asinA−csinCb−c=sinB，可得asinA−csinC=bsinB−csinB，

结合正弦定理得a2−c2=b2−bc，即b2+c2−a2=bc，

由余弦定理得cosA=b2+c2−a22bc=12，结合0<A<π，可得A=【解析】(1)根据正弦定理，结合由sin(A+C)=sinB化简已知等式，得到b2+c2−a2=bc，进而运用余弦定理求出角A的大小；

(2)由(1)的结论，运用三角形面积公式算出b16.解：(1)证明：在数列{an}中，a1=1，an+1=2an+3⋅2n−1，

若bn=an2n，则bn+1−bn=an+12n+1−an2n=an+1−2an2n+1=2a【解析】(1)根据已知得bn+1−bn=34、b1=117.解：(1)证明：∵AA1⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴AA1⊥BC．

又∵AB⊥BC，且AB，AA1⊂平面ABB1A1，AB∩AA1=A，

∴BC⊥平面ABB1A1．

∵AB1⊂平面ABB1A1，∴BC⊥AB1．

又∵AB1⊥A1C，BC∩A1C=C，BC，A1C⊂平面A1BC，

∴AB1⊥平面A1BC．

(2)由(1)知AB1⊥A1B，∴四边形ABB1A1为正方形，即AA1=AB=2，且有AC=22，

以点A为原点，以AC，AA1所在直线分别为y，z轴，以过A点和平面ACC1【解析】(1)根据题意由线面垂直求出AA1⊥BC，再利用线面垂直即可求解；

(2)建立空间直角坐标系，分别求出平面ABP和平面BCP18.解：(1)由A(6,m+2)，B(24,m+8)是抛物线C：y2=2px(p>1)上的两点，

可得(m+2)2=12p，(m+8)2=48p，

解得m=4，p=3，或m=−4，p=13(舍去)，

可得抛物线的方程为y2=6x，准线方程为x=−32；

(2)抛物线的焦点为(32,0)，由直线y=kx+t(k≠0)经过C的焦点，可得t=−32k，

联立y=kx−32ky2=6x，可得【解析】(1)将A，B两点坐标代入抛物线方程，解方程可得所求准线方程；

(2)联立直线方程与抛物线方程，运用韦达定理和弦长公式、基本不等式，可得所求最小值．

本题考查抛物线的定义、方程和性质，以及直线和抛物线的位置关系，考查方程思想和运算能力，属于中档题．19.(1)证明：由题意可得1x+1>0x≠0，解得x<−1或x>0，

∴函数f(x)的定义域为(−∞,−1)∪(0,+∞)，

∵f(−12−x)=(−12−x+12)ln(1−12−x+1)=−xln2x−11+2x=xln1+2x2x−1，

f(−12+x)=(−12+x+12