在79k+83L=8条件下计算kL最大值的方法

已知79k+83L=8,求kL最大值的方法主要内容：本文详细介绍通过代入法、三角换元法、判别式法、中值替换法、不等式法、几何数形法、构造函数等方法计算kL在79k+83L=8条件下的最大值。主要公式：1.sin²a+cos²a=1；2.ab≤eq\f((a+b)²,2)；3.二次方程根的判定定理；4.一次函数的导数公式d（ax）=adx。思路一：直接代入法根据已知条件，替换L=eq\f(8-79k,83)，得到关于k的函数，再配方并根据二次函数性质得kL的取值范围。kL=keq\f(8-79k,83)=-eq\f(1,83)(79k²-8k)=-eq\f(79,83)(k²-eq\f(4,79)k)=-eq\f(79,83)(k-eq\f(4,79))²+eq\f(16,6557),则当k=eq\f(4,79)时，kL有最大值为eq\f(16,6557)。思路二：判别式法设kL=p，得到L=eq\f(p,k),代入已知条件关于k的函数，并根据二次函数性质得kL的取值范围。79k+83L=8,79k+83*eq\f(p,k)=8,79k²-8k+83p=0,对k的二次方程有：判别式△=8²-4*79*83p≥0,即：p≤eq\f(8²,4*79*83)=eq\f(16,6557),此时kL=p的最大值=eq\f(16,6557)。思路三：三角换元法将kL表示成三角函数，进而得kL的最大值,对于本题设:79k=8cos²t，83L=8sin²t，则：k=eq\f(8,79)cos²t,L=eq\f(79,83)sin²t,代入得：kL=eq\f(8,79)cos²t*eq\f(79,83)sin²t,=eq\f(1,4)*eq\f(8,79)*eq\f(79,83)*(4cos²t*sin²t),=eq\f(8²,4*79*83)*sin²2t,当sin2t=±1时，kL有最大值=eq\f(16,6557)。思路四：中值代换法设79k=eq\f(8,2)+t₁,83L=eq\f(8,2)-t₁，则：k=eq\f(1,79)(eq\f(8,2)+t₁),L=eq\f(1,83)(eq\f(8,2)-t₁),此时：kL=eq\f(1,79)(eq\f(8,2)+t₁)*eq\f(1,83)(eq\f(8,2)-t₁)=eq\f(1,79*83)(eq\f(8²,4)-t₁²)。当t₁=0时，即：kL≤eq\f(8²,4*79*83)=eq\f(16,6557),则:kL的最大值为eq\f(16,6557)。思路五：不等式法当k，L均为正数时，则：∵79k+83L≥2eq\r(79*83*kL),∴(79k+83L)²≥4*79*83kL,8²≥4*79*83kL,即：则kL的最大值为:eq\f(16,6557)。思路六：数形几何法如图，设直线79k+83b=8上的任意一点P(k₁,L₁),op与x轴的夹角为θ，则： yp(k₁,L₁) o x79k₁+83L₁=8,L₁=k₁tanθ, 79k₁+83k₁tanθ=8，即：k₁=eq\f(8,79+83tanθ), |k₁*L₁|=8²*eq\f(|tanθ|,(79+83tanθ)²),=eq\f(8²,\f(6241,|tanθ|)+2*79*83+6889|tanθ|),≤eq\f(8²,2*79*83+2*79*83)=eq\f(16,6557)，则：kL的最大值=eq\f(16,6557).思路七:构造函数法设函数：f(k,L)=kL-λ*(79k+83L-8),则偏导数：f'k=L-79λ,f'L=k-83λ,f'λ=79k+83L-8。令f'k=f'L=f'λ=0，则：L=79λ,k=83λ。进一步代入得：79λ+79λ=8,即λ=e