哈尔滨工程大学研究生试卷 (2017年秋季学期) 矩阵论_第1页
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哈尔滨工程大学研究生试卷 TT,α3=TT,β2=T,β3=T,则由基α1,α2,α3到基β1,β2,β3的过渡阵为2．设W⊂Rn,W={(x1,x2,…,xn)Tx1+x2+…+xn=0}，则dimW=n−1.4．设S={A∈R3×3AT=−A}⊂R3×3,则S的一组基底为:5.设V为数域P上的n维线性空间,且V=L(α1,…,αn).若α∈V在基{α1,…,αn}下的坐标为(n,n−1,…,2,1),则α在基{α1,α1+α2,…,α1+α2+…+αn}下的坐标T.6．设P[x]3是内积空间,∀f(x),g(x)∈P[x]3,定义内积27．由向量α1=(1,2,1)T与α2=(1,−1,2)T生成的R3的子空间V=span(α1,α2)的正8．设A=,λ=−1为A的一个特征值,则λ的几何重复度aλ=2.,Ak=0,则det(A+I)=1.10．二次型f(x1,x2,x3)=x+4x1x2−8x1x3−4x2x3的矩阵12．已知x=(2,0,i,−1)T(i=−1),A=xTx,则13．设A=,则A⊗B=.二10分）求矩阵的UR分解.T,a2=T,a3=T线性无关.T,p2=a2−p1=(3,4,0)T,p3=a3+p2−p1=,−,0)T;a1=p1=2q1,a2=p1+p2=q1+5q2,a3=p1−p2+p3=2q1−q2+2q3;3所以矩阵A的UR分解为三．求A=的若当标准形分解.解答有一个二阶子式=λ−2,有一个二阶子式=λ−1,而且=1,因此A的各阶行列D1(λ)=D2(λ)=1,D3(λ)=λE−A=λ2(λ−1);A的若当标准形.设A=PP−1,P=则Ap1=p1,Ap2=0,Ap3=p2.四．设α=T,X=求.11−2x12+3x13+6x14x21−2x22+3x23+6x24];令f11(X)=x11−2x12+3x13+6x14,f12(X)=x21−2x22+3x23+6x;4解答=−i,=i,A=P,，P−1=−.六．已知A∈Cn×n且rankA=rankA2,求证:(1)R(A)+N(A)是直和;(2)R(A)+N(A)=Cn.证明:(1)方法一任取y∈R(A)∩N(A),有y=Ax,Ay=0.由rankA=rankA2⇒A=P所以y=Ax=P=0,即R方法二由于方程Ax=0的解为A2x=0的解,从而N(A)⊆N(A2).dimN(A)=n−rankA=n−rankA2=dimN(A2),从而N(A)=N(A2),即方程Ax=0与A2x=0同解.任取y∈R(A)∩N(A),有y=Ax,Ay=0.从而A2x=Ay=0.于是y=Ax=0,即R(A)∩N(A)={0}.(2)dim(R(A)+N(A))=dimR(A)+dimN(A)=n.七．设A∈Cm×n,b∈Cm,且A=UVH为A的奇异值分解,Δ可逆,

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