2024-2025学年辽宁省高二上学期10月月考数学检测试题合集2套（附解析）

2024-2025学年辽宁省高二上学期10月月考数学检测试题（一）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.下列说法正确的是（）A.零向量没有方向B.在空间中，单位向量唯一C.若两个向量不相等，则它们的长度不相等D.若空间中的四点不共面，则是空间的一组基底2.已知直线的倾斜角为，则该直线的一个方向向量为（）A.B.C.D.3.如图所示，在三棱锥中，为的中点，设，则（）A.B.C.D.4.已知两直线，若，则与间的距离为（）A.B.C.D.5.已知直线，则“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.已知平面的法向量，平面的法向量，若，则（）A.B.1C.2D.7.如图所示，正方体的棱长为2，点分别为的中点，则（）A.直线与直线垂直B.直线与平面平行C.三棱锥的体积为D.直线与平面所成的角为8.如图，在三棱锥中，平面是的中点，是内的动点（含边界），且平面，则的取值范围是（）A.B.C.D.二､多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题所给的四个选项中，多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.已知直线，则（）A.若，则直线的倾斜角为B.直线过定点C.若，则直线在轴和轴上的截距相等D.若直线不经过第二象限，则10.如图，四边形为正方形，平面为的中点，则（）A.四点共面B.平面C.平面D.平面平面11.在正方体中，为的中点，为正方体表面上的一个动点，则（）A.当点在线段上运动时，与所成角的最大值是B.若点在上底面上运动，且正方体棱长为与所成角为，则点的轨迹长度是C.当点在面上运动时，四面体的体积为定值D.当点在棱上运动时，存在点使三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知直线过点，则当取得最小值时，直线的方程为__________.13.如图，正三棱柱的各棱长均为1，点为棱上的中点，点为棱上的动点，则在上的投影向量的模的取值范围为__________.14.已知正方体的体积为8，且，则当取得最小值时，三棱锥的外接球体积为__________.四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤）15.（13分）已知直线与直线的交点为.（1）求点关于直线的对称点；（2）求点到经过点的直线距离的最大值，并求距离最大时的直线的方程.16.（15分）如图，是半圆的直径，是的中点，，平面垂直于半圆所在的平面，.（1）若为的中点，证明：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.17.（15分）如图①，在边长为4的菱形中，分别是边的中点，，如图②，将菱形沿对角线折起.（1）证明：；（2）当点折叠到使二面角为直二面角时，求点到平面的距离.18.（17分）如图，在斜四棱柱中，.（1）证明：平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值.19.（17分）定义：如果在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，那么称为两点间的曼哈顿距离.（1）已知两点的坐标分别为，如果它们之间的曼哈顿距离不大于2，求的取值范围；（2）已知两点的坐标分别为，如果它们之间的曼哈顿距离恒大于1，求的取值范围；（3）若点在函数的图象上且，点的坐标为，求的最小值.参考答案及解析一､单选题1.D【解析】对于A，零向量的方向是任意的，错误；对于B，单位向量的方向是任意的，B错误；对于C，若两个问量不相等，则它们的长度可能相等，如相反向量，C错误；对于D，因为空间中的四点不共面，所以向量不共面且不为零向量，所以是空间的一组基底，D正确.2.C【解析】因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率为，故其一个方向向量为.3.A【解析】连接，因为为的中点，所以，所以4.D【解析】由，整理为一般式得，由题意，得，解得，故，所以与问的距离为.5.A【解析】因为，所以，所以，解得或，故“”是“”的充分不必要条件.6.A【解析】因为，所以存在，即，解得，所以.7.B【解析】対丁A，因为为正方体，所以，直线与直线不舁直，所以直线与直线不垂直，故A错误；如图，建立空间直角坐标系，则，对于B，，设平面的法向早为，则，令，取，因为，所以，所以，因为在平面外，所以直线与平面平行，故B正确；对于C，，所以三棱锥的体积为，故C错误，对于D，，设直线与平面所成的角为，故D错误.8.B【解析】设分别为的中点，连按，如图，易得，因为平面平面，所以平面，同理平面，又因为平面，所以平面平面.因为平面，所以为线段上的点.由平面平面，得，又，则，由平而，得平面，因为，所以平面.因为，所以.所以..因为，所以.二､多选题9.ABC【解析】对于A，若，则直线：，直线的倾斜角为，A正确；对于B，由，即，则，解得，所以直线过定点，B正确：对于C，若，则直线，则直线在轴和轴上的截距相等，C正确；对于D，由A可知当时，直线的方程为，此时直线不经过第二象限，故D错误.10.BCD【解析】由题意可知两两垂直，以为坐标原点，以所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系.取则对于A，若四点共面，，，则存在，使，所以，方程组无解，故四点不共而，A错误；对于，，所以，故共面，又平面，所以平面，B正确；对于C，，易知，所以.又，可得.又平而，所以平面，故C正确；对于D，因为平面平面，所以平而平面，故D正确.11.CD【解析】对于A，如图一，在正方体中，易知，所以与所成的角等价于与所成的角，当为的中点时，，此时所成角最大，为，故A错误.对于B，如图二，因为棱垂直于.上底而，与所成角为，在中，，所以所在的轨迹是以为圆心，1为半径的弧，轨迹长度是，故B错误.对于，如图三，因为在面内，而到面的距离等于，而面积不变，故体积为定值，故C正确.对于D，如图四，以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为，因为，由，得，解得，故D正确.三､填空题12.【解析】因为直线过点，所以，则，所以，当且仅当，且，即时，等号成立，此时直线的方程为，即.13.【解析】连接，则，又三棱柱为正三棱柱，则半而平而，所以，又平面，所以平面，建立如图所示的空间直分坐标系，则，，所以，因为点为校上的动点，设，则，所以，则在上的投影向量的模为，因为，所以，即在上的投影向量的模的取值范围为14.【解析】由题意得，，如图，将平面展开且与平面在同一平面，当点共线时，此时最小，在展开图中作，交的延长线于，因为为等腰直角三角形，所以，由得，，则，解得，在正方休，过点作，垂足为，则，如图，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，则，则，因为.，所以，又因为平面，且，所以平面，因为，所以三棱锥外接球的球心在上，设球心为，则，因为，所以，解得，即，所以外接球的半径，所以三棱锥外接球的体积.四､解答题15.解：由，解得，即点，（1）设，由得，则，解得，故.（2）过作任一直线，设为点到直线的距离，则（当时等号成立），所以，直线的斜率为，所以直线的斜率为.此时直线的方程为，即.16.（1）证朋：因为点分别是的中点，所以，又平面平面，所以平面.（2）解：因为足的中点，所以.又平面平面，平面平面，所以平而.因为，所以，所以两两垂直.以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，知，，设平面的法向量为，则取，得，所以平面的一个法向量设直线与平面所成的角为，则即直线与平而所成分的正弦值为17.解：（1）如图，取的中点，连接，结合折叠后线段长度不变得到，所以.又平面，所以平面，所以.又分别是边的中点，所以，所以.（2）因为点折叠到使二面角为直二面角，所以平面平面.又因为平面平面，，所以平面.又平面，所以.结合（1）可知两两垂直，故以为坐标原点，所在的直线分别为辑，建立如图所示的空间直角坐标系.则所以设平面的法向量为，则，即，令，得，取，所以.所以点到平面的距离为18.（1）证明：由，四边形为平行四边形，可知底面为菱形，故.又所以又则，所以，即.又平面，且，故平面.（2）解：过点分別作于于，连接，设与交于点，因为平面平面，所以.底面，所以底面，所以.又，所以平面平面，所以.在中，，在中，，在中，，以为坐标原点，以过点且与平行的直线为轴，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，设平面的法向量为，则，即，令，则，取，次而的一个法向量为.所以即平面与平面夹角的余弦值为19.解：（1）因为，所以，由受哈顷距离不大于2可得，即，解得，故的取值范围是（2）因为，所以由题意可得恒成立，因为，当且仅当时等号成立，即的最小值为，所以，则或，解得或.故的取值范围是.（3）点任函数图象上：，点的坐标为，收当时，，函数在上单调递增，故，则.当时，.令，由于，故，当时，，函数在上单调递减，故则.综上可知，的最小值为2.2024-2025学年辽宁省高二上学期10月月考数学检测试题（二）一.选择题（共8小题）1.若点在圆的外部，则a的取值范围为（）A. B. C. D.2.下列选项中，不正确的命题是（）A.若两条不同直线，的方向向量为，，则B.若是空间向量的一组基底，且，则点在平面内，且为的重心C.若是空间向量的一组基底，则也是空间向量的一组基底D.若空间向量，，共面，则存在不全为0的实数，，使3.设，，，，且，，则（）A. B. C.3 D.4.唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为．若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（）A. B. C. D.5.若直线在轴､轴上的截距相等，且直线将圆的周长平分，则直线的方程为（）A B.C.或 D.或6.已知直线与直线交于，则原点到直线距离的最大值为（）A2 B. C. D.17.正方体棱长为为棱中点，为正方形内（舍边界）的动点，若，则动点的轨迹长度为（）A. B. C. D.8.已知曲线与x轴交于不同两点A，B，与y轴交于点C，则过A，B，C（A，B，C均不重合）三点的圆的半径不可能为（）A. B. C.1 D.2二.多选题（共3小题）9.已知直线l1：3x﹣y﹣1＝0，l2：x＋2y﹣5＝0，l3：x﹣ay﹣3＝0不能围成三角形，则实数a的取值可能为（）A.1 B. C.﹣2 D.﹣110.在正三棱柱中，已知，空间点满足，则（）A.当时，为正方形对角线交点B.当时，在平面内C.当时，三棱锥的体积为D当，且时，有且仅有一个点，使得11.如图，六面体的一个面是边长为2的正方形，，，均垂直于平面，且，，则下列正确的有（）A.B.直线与直线所成角的余弦值为C.平面与平面所成角的余弦值为D.当时，动点到平面的距离的最小值为1三.填空题（共3小题）12.已知直线：，：，若，则实数______.13.设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的取值范围是___________.14.已知，空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为.用以上知识解决下面问题：已知平面的方程为，直线是两个平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为___________.四.解答题（共5小题）15.如图，在平行六面体中，，，，，，是的中点，设，，.（1）求的长；（2）求异面直线和夹角的余弦值.16.已知直线的方程为：.（1）求证：不论为何值，直线必过定点；（2）过点引直线交坐标轴正半轴于两点，当面积最小时，求的周长.17.如图，在三棱锥中，平面平面，，点在棱上，且（1）证明：平面；（2）设是的中点，点在棱上，且平面，求二面角的正弦值.18.如图，在三棱台中，，，为的中点，二面角的大小为．（1）求证：；（2）若，求三棱台的体积；（3）若到平面的距离为，求的值．19.已知两个非零向量，在空间任取一点，作，则叫做向量的夹角，记作．定义与的“向量积”为：是一个向量，它与向量都垂直，它的模．如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，为线段上一点，．（1）求的长；（2）若为的中点，求二面角的正弦值；（3）若为线段上一点，且满足，求．

高二上学期数数学10月月考答案一.选择题（共8小题）【1题答案】【答案】A【2题答案】【答案】C【3题答案】【答案】D【4题答案】【答案】C