《高考备考指南 数学 》课件-第1讲　集合及其运算

集合与常用逻辑用语、不等式第一章

第1讲集合及其运算(本讲对应系统复习P1)课标要求考情概览1.了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系.2.理解集合间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.3.理解两个集合的并集、交集与补集的含义，会求两个简单集合的并集、交集与补集.4.能使用Venn图表达集合间的基本关系与基本运算考向预测：集合的交、并运算及两集合间的包含关系是考查的重点.在集合的运算中经常与不等式、函数相结合.解题常用到数轴和韦恩图(Venn图)，题型以选择题为主.学科素养：主要考查数学抽象、逻辑推理、数学运算的素养栏目导航01基础整合

自测纠偏03素养微专直击高考02重难突破

能力提升04配套训练基础整合自测纠偏11.集合的相关概念(1)元素与集合的关系：若a属于集合A，记作

；若b不属于集合A，记作

.

(2)集合元素的三个特性：

、

、

.

(3)集合的三种表示方法：

、

、图示法.

(4)五个特定的集合：集合非负整数集(自然数集)正整数集整数集有理数集实数集符号

a∈A

b∉A

确定性

互异性

无序性

列举法

描述法

N

N*或N＋

Z

Q

R

表示关系文字语言记法子集集合A中任意一个元素都是集合B中的元素

或

______相等集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素

且

______

⇔A＝B真子集如果A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A

或

______空集空集是

集合的子集

⌀

A

空集是

集合的真子集

⌀⫋B且B≠⌀

2.集合间的基本关系

A⊆B

B⊇A

A⊆B

B⊆A

A⫋B

B⫌A

任何

⊆

任何非空

文字语言图形表示符号语言集合的并集属于集合A

属于集合B的元素组成的集合

A∪B＝_________________集合的交集

属于集合A

属于集合B的元素组成的集合

A∩B＝_________________集合的补集全集U中不属于集合A的

元素组成的集合

∁UA＝_________________3.集合的三种基本运算

或者

{x|x∈A或x∈B}所有

且

{x|x∈A且x∈B}

所有

{x|x∈U且x∉A}4.集合的运算性质(1)A∩A＝A，A∩⌀＝⌀，A∩B＝B∩A.(2)A∪A＝A，A∪⌀＝A，A∪B＝B∪A.(3)A∩(∁UA)＝⌀，A∪(∁UA)＝U，∁U(∁UA)＝A.【特别提醒】1.认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件.2.N为自然数集(即非负整数集)，包含0.而N*和N＋的含义是一样的，表示正整数集，不包含0.3.空集是任何集合的子集，是非空集合的真子集，应时刻关注对于空集的讨论.4.Venn图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补集运算的常用方法，其中运用数轴图示法时要特别注意端点是实心还是空心.【常用结论】1.A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁UA⊇∁UB.2.∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB).3.若集合A中含有n个元素，则它的子集个数为2n，真子集个数为2n－1，非空真子集个数为2n－2.

B2.(2023年新高考Ⅰ卷)已知集合M＝{－2，－1，0，1，2}，N＝{x|x2－x－6≥0}，则M∩N＝(

)A.{－2，－1，0，1}

B.{0，1，2}C.{－2}

D.2C

3.(2023年甲卷)设全集U＝Z，集合M＝{x|x＝3k＋1，k∈Z}，N＝{x|x＝3k＋2，k∈Z}，则∁U(M∪N)＝(

)A.{x|x＝3k，k∈Z}B.{x|x＝3k－1，k∈Z}C.{x|x＝3k－2，k∈Z}D.⌀A4.(2022年甲卷)设全集U＝{－2，－1，0，1，2，3}，集合A＝{－1，2}，B＝{x|x2－4x＋3＝0}，则∁U(A∪B)＝(

)A.{1，3}

B.{0，3}C.{－2，1}

D.{－2，0}D

5.(2023年无锡月考)(易错题)已知集合M＝{a2，a＋1，－3}，P＝{a－3，2a－1，a2＋1}，M∩P＝{－3}，则a＝

.

－1集合的基本运算问题的解题策略：(1)看元素组成.集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决运算问题的前提.(2)对集合化简.有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题变得简单明了，易于解决.(3)数形结合思想的应用.集合运算常用的数形结合形式有：数轴、坐标系和Venn图.在涉及集合之间的关系时，若未指明集合非空，则要考虑空集的可能性，如若A⊆B，则要考虑A＝⌀和A≠⌀两种可能.重难突破能力提升2集合的含义

(1)(2023年上海)已知P＝{1，2}，Q＝{2，3}，若M＝{x|x∈P，x∉Q}，则M＝(

)A.{1}

B.{2}

C.{3}

D.{1，2，3}(2)(2023年湖北期末)已知集合A＝{0，2}，B＝{1，2，3}，C＝{ab|a∈A，b∈B}，则集合C中元素的个数为(

)A.6

B.5

C.4

D.3A

C

【解析】(1)因为P＝{1，2}，Q＝{2，3}，M＝{x|x∈P，x∉Q}，所以M＝{1}.故选A.(2)因为a∈A，b∈B，所以ab＝0或2或4或6，故C＝{0，2，4，6}，即集合C中含有4个元素.故选C.【解题技巧】1.研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是什么，即弄清该集合是数集、点集，还是其他集合；然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么，从而准确把握集合的含义.2.利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合中的元素是否满足互异性.

B

C

集合间的基本关系

(1)(2023年重庆期末)已知集合M＝{x|x＝3k－2，k∈Z}，集合N＝{x|x＝6k＋1，k∈Z}，则(

)A.M＝N

B.M⊆N

C.N⊆M

D.M∩N＝⌀(2)(2023年南充期末)(多选)已知集合A＝{x|－1≤x≤7}，B＝{x|a＋2≤x≤2a－1}，若使B⊆A成立的实数a的取值集合为M，则M的一个真子集可以是(

)A.(－∞，4］ B.(－∞，3］

C.(3，4］D.［4，5)C

BC【解析】(1)对于集合N中的元素都有x＝3(2k＋1)－2，其中2k＋1表示奇数，对于集合M中的k能取所有的整数，集合N和集合M相比较，集合N少了代入偶数时所对应的x值，所以N⊆M.故选C.(2)当B＝⌀时，a＋2＞2a－1，解得a＜3；当B≠⌀时，－1≤a＋2≤2a－1≤7，解得3≤a≤4.故实数a的取值范围为(－∞，4］，即M＝(－∞，4］，所以M的一个真子集可以是(－∞，3］或(3，4］.故选BC.【解题技巧】1.集合间基本关系的两种判定方法：(1)化简集合，从表达式中寻找两个集合的关系.(2)用列举法、图示法表示各个集合，从元素或图形中寻找关系.2.求参数的方法：将两个集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系，表示为参数满足的关系.解决这类问题还要合理利用数轴、Venn图，化抽象为直观进行求解.【变式精练】2.(1)(2023年丹东模拟)已知集合A＝{x∈N*|(x＋1)(x－a)≤0}，B＝{－3，－2，1}，若A⊆B且A∩B≠⌀，则a＝(

)A.－3

B.－2

C.0

D.1(2)(2023年揭阳期末)(多选)若集合A，B满足∃x∈A，x∉B，则下列关系可能成立的是(

)A.A⊆B

B.A∩B≠⌀

C.B⊆A

D.A∩B＝⌀D

BCD【解析】(1)当a＝－1时，A＝{x∈N*|(x＋1)2≤0}＝⌀，不符合题意；当a＜－1时，A＝{x∈N*|(x＋1)(x－a)≤0}＝{x∈N*|a≤x≤－1}＝⌀，不符合题意；当a＞－1时，A＝{x∈N*|(x＋1)(x－a)≤0}＝{x∈N*|－1≤x≤a}.又因为B＝{－3，－2，1}，A⊆B且A∩B≠⌀，所以A＝{1}，故a的取值范围为［1，2)，故符合条件的a＝1.故选D.(2)存在当A＝{1，2，3}，B＝{1，2}时，满足“∃x∈A，x∉B”，且有A∩B≠⌀，B⊆A，则B正确，C正确；存在当A＝{1，2}，B＝{3，4}时满足条件“∃x∈A，x∉B”且有A∩B＝⌀，则D正确；若A⊆B，则∀x∈A，都有x∈B，与“∃x∈A，x∉B”矛盾，那么A不可能是B的子集，则A错误.故选BCD.集合的基本运算

示通法集合运算三步骤：

B

A【解析】(1)由|x－1|≤1，解得0≤x≤2，所以集合B＝{x|0≤x≤2}，所以A∩B＝{1，2}.故选B.(2)由题意可得M∪N＝{x|x＜2}，则∁U(M∪N)＝{x|x≥2}，选项A正确；∁UM＝{x|x≥1}，则N∪(∁UM)＝{x|x＞－1}，选项B错误；M∩N＝{x|－1＜x＜1}，则∁U(M∩N)＝{x|x≤－1或x≥1}，选项C错误；∁UN＝{x|x≤－1或x≥2}，则M∪(∁UN)＝{x|x＜1或x≥2}，选项D错误.故选A.

B

C

【解题技巧】1.解集合运算问题应注意如下三点：(1)看元素构成，即看集合中元素是数还是有序数对，是函数的自变量还是函数值等；(2)对集合进行化简，通过化简可以使问题变得简单明了；(3)注意数形结合思想的应用，集合运算常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图.2.根据集合运算求参数，要把集合语言转换为方程或不等式，然后解方程或不等式，再利用数形结合法求解.【变式精练】3.(1)(2023年福州模拟)已知集合A＝{x|x2－3x＋2≤0，x∈Z}，B＝{0，b}，若A∩B≠⌀，则实数b的值为

(

)A.1

B.0或1

C.2

D.1或2(2)(2023年长沙模拟)(多选)已知全集U＝Z，集合A＝{x|2x＋1≥0，x∈Z}，B＝{－1，0，1，2}，则

(

)A.A∩B＝{0，1，2}B.A∪B＝{x|x≥0}C.(∁UA)∩B＝{－1}

D.A∩B的真子集个数是7D

ACD

素养微专直击高考3创新应用能力——集合中的创新问题以集合为背景的创新问题常以“问题”为核心，以“探究”为途径，以“发现”为目的，这类试题只是以集合为依托，考查考生对新概念的理解，充分体现了核心素养中的数学抽象、理性思维.

定义集合A－B＝{x|x∈A，x∉B}，并称为集合A与集合B的差集.又定义AΔB＝(A－B)∪(B－A)，称为集合A，B的对称差集.记|A|表示集合A所含元素个数.现有两个非空有限集合S，T，若|SΔT|＝1，则|S|＋|T|的最小值为(

)A.1 B.2 C.3 D.4典例精析C【考查角度】集合的运算.【核心素养】逻辑推理、数学运算.【思路导引】根据题意分析可知SΔT＝{x|x∈S∪T，x∉S∩T}，再利用Venn图辅助分析即可.【解析】因为S，T为非空有限集合，故|S|≥