河南省信阳市等五市2025届高三下学期第一次联考数学试题

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页河南省信阳市等五市2025届高三下学期第一次联考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知全集U=x∈N*∣−2<A．2,7,C．1,2,2．已知复数z满足1+iz=−A．12−12i B．−13．已知an是各项均为正数的等比数列，其前n项和为Sn，a3=1，且2a4A．34 B．74 C．1144．若a=2，b=1，a−b⊥A．−14a B．14a 5．已知角α和β的终边关于直线y=x对称，且sinα+2A．−255 B．−55 6．已知定义在R上的函数fx=e|x−2A．-2 B．-1 C．1 D．27．某次跳水比赛甲、乙、丙、丁、戊5名跳水运动员进入跳水比赛决赛，现采用抽签法决定决赛跳水顺序，在“运动员甲不是第一个出场，运动员乙不是最后一个出场”的前提下，“运动员丙第一个出场”的概率为（

）A．313 B．15 C．148．将椭圆C1:x2a2+y2A．θ=π4C．椭圆C2的离心率为23 D．−6二、多选题9．在一次考试后的数学成绩分析中，分别采用简单随机抽样的方式抽取A班的一组数据：a1，a2，a3，a4，a5，a6和B班的一组数据：b1，b2，b3，b4进行分析.经计算，两组数据的平均数分别为a=A．平均数为85 B．平均数为86 C．方差为28 D．方差为5210．对于给定数列cn，如果存在常数p，q使得cn+1=pcn+A．若an=2n+1，B．共bn=3⋅2n−C．若数列an是“H数列”，则数列an+D．若数列an满足a1=2，an+11．阿基米德（公元前287年—公元前212年）是古希腊伟大的物理学家、数学家、天文学家，他曾经定义了抛物线阿基米德三角形：抛物线的弦与弦的端点处的两条切线围成的三角形称为抛物线阿基米德三角形.设抛物线C:y=x2上两个不同点A，B横坐标分别为x1，x2，以A，BA．若AB过抛物线的焦点，则PB．若△PAC．若PA⊥PBD．一般情况下，△PA三、填空题12．x−2x13．已知三棱锥P−ABC，PA=PB=PC14．若关于x的不等式logax≤ax四、解答题15．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C(1)求B；(2)若b=2，求16．2025年春节假期，文旅市场火爆.文化和旅游部公布的数据显示；春节假期8天，全国国内出游5.01亿人次，同比增长5.9%；国内出游总花费6770.02亿元，同比增长7.0%.某景区的某网红饮品小店统计了春节假期前7天的营业额y（单位：千元），得到y与x的数据如表所示：第x天1234567营业额y791012161911(1)已知y与x有较强的线性相关关系，求y关于x的线性回归方程，并预测春节假期第8天的营业额；(2)如果该天营业额大于10（单位：千元），则该天“达标”，从表格中的7组数据中随机选4组，设X表示“达标”的数据组数，求X的分布列和数学期望.参考公式：在线性回归方程y=bx+a17．在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AB⊥A

(1)若E为线段PC的中点，求证：DE/(2)求点A到平面PC(3)求平面PAB与平面18．已知A，B两点的坐标分别是2,0，−2,0，直线AP，BP相交于点P，且它们的斜率之积是−34，记点P的轨迹为曲线C(1)求曲线C的方程；(2)若以线段MN为直径的圆经过点A①求证：直线l过定点D，并求出D的坐标；②求三角形AM19．已知函数fx=e(1)讨论fx(2)若fx≥1(3)若m，n是函数y=fx答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页《河南省信阳市等五市2025届高三下学期第一次联考数学试题》参考答案题号12345678910答案ADBDDCACBDAB题号11答案ABC1．A【分析】将全集进行化简，补集及交集运算，即可得出答案.【详解】因为全集U=x∈N*则U=1,2,所以∁U故选：A.2．D【分析】利用复数的除法运算法则求解即可.【详解】因为1+iz故选：D.3．B【分析】设等比数列an的公比为q,q>0【详解】设等比数列an的公比为q因为2a4与a5又a3=1，所以2q+q2所以an的通项公式为a所以S3故选：B.4．D【分析】根据向量垂直可得a⋅【详解】因为a=2，b=则a−b⋅所以向量a在向量b上的投影向量为a⋅故选：D.5．D【分析】由题意得到sinα=cos【详解】设角α的终边与单位圆的交点为m,n，由题意可知角β的终边与单位圆的交点为所以sinα所以由sinα可得：cosβ所以5555sinθ+β所以θ+β=所以sinβ所以sinβ故选：D6．C【分析】由两个函数图象都关于x=【详解】易知fx=e且当x>2时，单调递增，当又gx=a所以gx=a由于函数fx=e即方程e|x−所以方程的根为2，即e|2−经检验符合题意，故选：C7．A【分析】先甲最后一个出场或甲在中间出场分类讨论求出方法数，再求出此时运动员丙第一个出场的方法数，然后由概率公式计算．【详解】“运动员甲不是第一个出场，运动员乙不是最后一个出场”可分为甲最后一个出场或甲在中间出场，方法数为A4在“运动员甲不是第一个出场，运动员乙不是最后一个出场”的前提下，“运动员丙第一个出场”，即“运动员丙第一个出场，运动员乙不是最后一个出场”，方法数为C3因此所求概率为P=故选：A．8．C【分析】根据题意，由椭圆的对称性，求解顶点坐标，从而可求得a,【详解】椭圆C1:x2a2+设点P(x,y)在该椭圆上，则其关于y=x同理可得其关于y=−x−y2+所以x2+y2−将y=x代入x2+y所以椭圆长轴的顶点为(3,3将将y=−x代入x2+所以椭圆短轴的顶点为(3,−所以c=18−焦点在y=x，结合c=故选：C.9．BD【分析】由两组数据的平均数、方差计算公式即可求解；【详解】c=s故选：BD10．AB【分析】对于AB，根据给定的数列，利用“H数列”的定义直接计算判断即可；对于C，利用“H数列”的定义推理论证可判断；对于D，根据给定的递推关系，利用并项求和法及等比数列的前n项和公式求解即可判断.【详解】对于A，因为an=2n+1，有故数列an是“H对于B，因为bn=3⋅2n−故数列bn是“H对于C，若数列an是“H则存在实常数p，q使得an+1显然an+2因此an+2故数列数列an+an+对于D，因为an则a1+a2=3t所以数列an前2024项的和为S2024故选：AB.11．ABC【分析】设出直线AB的斜截式方程、点A,B的坐标，根据导数的几何意义求出切线PA,A：把抛物线焦点的坐标代入直线ABB：根据正三角形的性质，结合正三角形的面积公式进行判断即可；C：根据直角三角形的性质，结合直角三角形的面积公式进行判断即可；D：根据点到直线距离公式、两点间距离公式进行求解判断即可.【详解】由题意可知：直线AB所以设直线AB的方程为：y由题意可知：点A(x1由y=x2y−两方程联立得：y−解得：x=x1+x直线ABy=对于A：抛物线C：y=x2的焦点坐标为(因为AB过抛物线的焦点，所以m=1显然P点一定在抛物线的准线上，故A正确；对于B：因为阿基米德三角形PAB为正三角形，所以有则(x因为x1≠x此时A(x1,x因为阿基米德三角形PAB为正三角形，所以有所以(0因此正三角形PAB的边长为所以正三角形PA12对于C：阿基米德三角形PAB为直角三角形，当所以kPA⋅kP直线AB的方程为：y所以P点坐标为(k2,−1k2又|=[因为x1+x因此直角PAB的面积为：当且仅当k=0时，取等号，所以其面积有最小值对于D：因为x1|A点P到直线ABx1所以阿基米德三角形PAS=故选：ABC.12．60【分析】利用二项式展开式的通项公式，令x的指数为0，求得参数r的值，即可求得答案.【详解】由题意x−2x令3−故x−2x故答案为：6013．147π2【分析】先通过余弦定理求出△ABC的一个内角的余弦值，进而求出正弦值，再利用正弦定理求出△AB【详解】在△ABC中，已知AB=根据余弦定理cosB=Asin∠设△ABC外接圆的半径为r可得：2r=8因为PA=PB=PC=7设三棱锥P−ABC外接球的球心为O，半径为R，则OO1⊥平面A又因为R2=r展开可得：R2移项化简可得1463R根据球的表面积公式S=S=故答案为：147π214．e【分析】由logax≤ax等价于ln【详解】因为不等式logax≤ax由logax≤则xln令h(t)当t>−1时，h′(所以h(t)在(当t<0时，h(t)因为x>0,lna>0令f(x)所以当0<x<e时，f′当x>e时，f′(x所以f(x)所以lna≥1e，所以a≥15．(1)B(2)3【分析】（1）由正弦定理边化角，再结合辅助角公式即可求解；（2）法一：由余弦定理b2=a2+c2【详解】（1）∵b由正弦定理可得sin∵A∈0,π∴2∵B∈0（2）（方法一）在△ABC即4=a2∴S即△AB（方法二）由正弦定理得a∴a=4则△AB===2因为B=π3所以−π所以当2A−π所以233sin即△AB16．(1)y=1914(2)分布列见解析，E【分析】（1）利用最小二乘法求解即可；（2）利用超几何分布求解即可.【详解】（1）x=y=b^a线性回归方程为y当x=8时，即预测春节假期第8天的营业额为1227（2）由题意可知X的所有可能取值为：1，2，3，4.PX=1PX=X的分布列为X1234P418121X的数学期望为E17．(1)证明见解析(2)6(3)3【分析】（1）法一：以A为原点，AB，AD，AP，分别为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系，求得平面PAB的一个法向量，利用AD⋅DE=0可得结论；法二：取PC、（2）法一：求得平面PCD的一个法向量，利用向量法求得点A到平面PCD的距离；法二：利用等体积法求得点（3）法一：设平面PAB与平面PCD夹角为θ，利用向量法可求平面PAB与平面PCD夹角的正弦值.法二：延长BA，CD交于点【详解】（1）法一：以A为原点，AB，AD，AP，分别为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系，则A0,0,0

由E为线段PC的中点，可得E1,由题意可得AD=0∵AD⋅DE=0×法二：取PC、PB的中点分别为E、F，连接DE、E

∵EF为△PBC的中位线，∵AB⊥AD，AB⊥BC∴EF/∴四边形EFA又DE⊄面PAB∴DE（2）法一：DC=2设n=x,y,不妨设x=1，则设点A到平面PCD的距离为d法二：∵AB⊥AD，AB⊥BC∴CD设点A到平面PCD的距离为d，则由13×（3）设平面PAB与平面PCD夹角为cossin即平面PAB与平面PC法二：延长BA，CD交于点G，连接

∵底面ABCD为直角梯形，BC=2，A∴AG=AB=2.又PA⊥同理可证：GP∴∠BPC为平面在Rt△BPC中，BC=2即平面PAB与平面PC18．(1)x24+y(2)①证明见解析，D27【分析】（1）设Px,y（2）①设直线MN的方程为x=my+n，联立方程组，由韦达定理有②点A到直线MN的方程为d=127m【详解】（1）设Px,y，动点P满足直线PA和直线∴kP即x24+∴曲线C的方程为x24+y2（2）①设点Mx1,若MN⊥y轴，则N−x1,此时，MA设直线MN的方程为x

联立x=myΔ=由韦达定理可得y1+yAM=∴==3因为直线MN不过点A，则n≠2，整理可得7∴直线MN的方程为x=my+②直线MN的方程为x∴点A到直线MN的方程为dM=∴=24令t=则S△因为0<1t≤14时，故当19．(1)答案见解析(2)1(3)证明见解析【分析】（1）f′x=ex−a，当a≤0时，f′x=ex−（2）由fx≥1转化为求fxmin≥1，由（1）可知f（3）根据函数y=fx的单调性，函数y=fx有两个零点时，fxmin=flna<0，得【详解】（1）函数fx=ex−当a≤0时，f′x=当a>0时，由f′x>0，解得：∴fx在−∞综上所述：当a≤0时，fx当a>0时，fx在−（2）要使fx≥1由（1）可知，当a≤0时，fx在R∴当x<0时，当a>0时，fx在−∴f只需fxmin=a−记ga=a−∵当0<a<1时，g′a>0，∴