小学几何解题全套43大定理

几何解题定理库数学高手解题定理库 3定理1共边模型 3定理2鸟头模型 10定理3蝴蝶模型 17定理4燕尾模型 25定理5沙漏模型 36定理6梅涅劳斯定理(梅氏线) 48定理7塞瓦定理(赛瓦点) 52定理8格点面积公式(皮克公式) 54定理9构造新底新高巧求面积(万底公式) 55定理10阿基米德折弦定理 56定理11圆幂定理 65定理12巴布斯定理(中线定理) 67定理13斯库顿定理 68定理14费马点 69定理16古堡朝圣问题 75定理17四点共圆 78定理18阿波罗尼定理 83定理19三角形中线长定理 84定理20广义勾股定理 85定理21三角形高线长定理 86定理22三角形内、外角平分线模型、角平分线长定理 87定理23托勒密定理 88定理24清宫定理 91定理25西姆松定理(西姆松线) 92定理26九点圆 93定理27莫利定理(摩莱三角形) 94定理28蝴蝶定理 95定理29正弦定理、余弦定理 97定理30斯特瓦尔特(Stewart)定理 99定理31欧拉(Euler)线 102定理32欧拉(Euler)定理 106定理33海伦公式 107定理34密格尔(Miquel)点 108定理35葛尔刚(Gergonne)点 109定理36帕普斯(Pappus)定理 110定理37笛沙格(Desargues)定理 111定理38帕斯卡(Paskal)定理 112定理39阿波罗尼斯(Apollonius)圆 113定理40布拉美古塔(Brahmagupta)定理 114定理41张角定理 115定理42鸡爪定理 116定理43牛顿线定理..........................................................................................................................117数学高手解题定理库定理1共边模型|(等积模型|共边模型〈一半模型|燕尾模型1.正方形ABCD和正方形CEFG，且正方形ABCD边长为10厘米，则图中阴影面积为多少平方厘米？原图解析：如图1，当G点无限逼近C点时，阴影部分的面积接近于正方形ABCD面积的一半。2.图中的E、F、G分别是正方形ABCD三条边的三等分点，H是任意点。如果正方形的边长是12，那么阴影部分的面积是______。解析：S3=SBCH=..S正方形=S正方形SABH+SCDH=3.(S1+S2)=.S正方形S1+S2=S正方形阴影123正方形：S=S+S+S=1S阴影123正方形33.如图，正方形的边长为10，四边形EFGH的面积为5，那么阴影部分的面积是______。解析：S阴影=(SJCF5)+(SIBF5)JCFIBF=S+SJCFIBF=404.⑴如图，ABFE和CDEF都是矩形，AB的长是4厘米，BC的长是3厘米，那么图中阴影部分的面积是平方厘米。原图解析：图2是原图的等效图：432S阴影==62⑵一个长方形分成4个不同的三角形，绿色三角形面积占长方形面积的15%，黄色三角形面积是21cm2。问：长方形的面积是多少平方厘米？解析：根据一半模型得：黄色与绿色面积和占整个长方形面积的一半。5.如图，正方形ABCD的边长为6，AE＝1.5，CF＝2。长方形EFGH的面积为______。解析：根据一半模型得，长方形EFGH的面积为ΔDEF面积的2倍.\2\22222)(2x(2x+y=20(x=7.56.如图，已知BD＝DC，EC＝2AE，三角形ABC的面积是30，求阴影部分面积。解析：设SCDF=x,SCEF=y，则SBDF=x,SAEF=y|SBCE|SBCE=2x+y=330=20〈SACD=x+y=30=15SxSxy=12.5定理2鸟头模型几何模型概述两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形结论及证明SAABCABACAB根AC\大根大) .AB.CG2.AD.EFCGACBFAEF？【分析】鸟头定理或共边模型【答案】22.5cm2【解答】根据鸟头定理或共边模型得：SAEF=SABE=SABD=SABC=SABC==22.5cm2MONACEBDFOABABCBCDCDE、△DEF的面积都等于1，则△DCF的面积等于______________.【解答】由题意得：BCD=3=OD=4DF=4SS=S=44DCFODC443.如右图，AD＝DB，AE＝EF＝FC，已知阴影部分面积为5平方厘米，△ABC的面积是平方厘米。【分析】鸟头模型【答案】30平方厘米【解答】S阴影=SABC=5SABC=30面积是16平方厘米，求△ABC的面积。所以，S四边形A'B'C'D'=5S四边形ABCD=5【分析】鸟头模型【答案】70【解答】========头SABCABAC57355.分别延长四边形ABCD的四个边，使得AB=BA,BC=CB,CD=DC,DA=AD(如下图所示)，如果四边形ABCD的面积是1，请问四边形ABCD的面积为多少？【分析】鸟头模型【答案】5【解答】连接BD，根据鸟头模型，可得SAA'D'+SCC'B'=2S四边形ABCD同理，连接AC，易证：SDC'D'+SBA'B'=2S四边形ABCDABCDBAEACABAD＝5∶2，AE∶EC＝3∶2，△ADE的面积是12平方厘米，求△ABC的面积。【分析】鸟头模型【答案】50【解答】==========头SABCSABCABAC55256.已知△DEF的面积为7平方厘米，BE＝CE，AD＝2BD，CF＝3AF，求△ABC的面积。【分析】鸟头模型【答案】24【解答】===|SABCBCAC428JEQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up18(S),S)EQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up15(D),A)EQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up15(E),)EQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up15(F),)=1EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up18(),)=SABC==24SABCBCAC428J7.一只小鸟ABC，后来长成大鸟XYZ了。AB先长出一倍到X；BC再长出两倍到Y；CA再长出三倍到Z；问大鸟是小鸟面积的几倍?【分析】鸟头模型【答案】18倍【解答】===SBXY=3SABC|SXYZ=SABC+3SABC+8SABC+6SABC=18SABC8.长方形ABCD面积为120，EF为AD上的三等分点，G、H、I为DC上的四等分点，阴影面积是多大？【答案】15【解答】如图所示，S阴影=S1+S2=SADI=SACD=60=159.如右图，过平行四边形ABCD内的一点作边的平行线EF、GH，若△PBD的面积为8平方分米，求平行四边形PHCF的面积比平行四边形PGAE的面积大多少平方分米？【分析】“都增加一个定量”【答案】16【解答】题目等效于S四边形PBCD一S四边形ABPD=16SPHCF一SAEPG=16定理3蝴蝶模型几何模型概述任意四边形中的比例关系梯形中比例关系结论及证明(1)==.(2)S1.S3=S2.S4.(3)=12.AO(3)=12.34OCS+34BOBOS+SOD=S1+S4.(1)(2)(3)S1=a23Sb2.3 ababS2=S4=a2+b2+2ab.S梯形=(a+b)2S梯形证明：3==S=SSCO3==S=S23.2SOAa23.23=S=.SS3=S=.S1Sa21b23.11324b233b3b3：S:S:S:S=a2S:S:1324b233b3b3=a2:b2:ab:ab.(4)梯形S的对应份数为(a+b)2.1.如下图所示，在梯形ABCD中，AB//CD，对角线AC，BD相交于点O.已知AB=5，CD=3，且梯形CDOAB【分析】【答案】【解答】蝴蝶模型252.如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD，被对角线AC、BD分成四个部分，△AOB面积为1平方千米，△BOC面积为2平方千米，△COD的面积为3平方千米，公园由陆地面积是6.92平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？【分析】共边模型【答案】0.58平方千米【解答】EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up8(S),S)EQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up5(),)EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up8(S),S)EQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up5(),)23.如下图，梯形ABCD的AB平行于CD，对角线AC，BD交于O，已知△AOB与△BOC的面积分别为25平方厘米与35平方厘米，那么梯形ABCD的面积是多少平方厘米？【分析】蝴蝶定理【答案】144【解答】EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up8(S),S)EQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up5(),)EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up8(S),S)EQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up5(),)EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up8(35),)4.如图，长方形ABCD被CE、DF分成四块，已知其中3块的面积分别为2、5、8平方厘米，那么余下的四边形OFBC的面积为_____平方厘米。【分析】蝴蝶模型、一半模型【答案】9【解答】S编COD\OC)8\OC)OC2S编COD\OC)8\OC)OC2EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up8(S),S)EQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up5(),)根据蝴蝶模型：S编DOE=S编COF=4，所以S编ADE=S四边形ADOE-S编DOE=5-4=1由一半模型得：1S矩形ABCD=S编ADE+S编CEF+S编BCF所以，SBCF=55.如图，长方形中，若三角形1的面积与三角形3的面积比为4比5，四边形2的面积为36，则三角形1的面积为。【分析】蝴蝶模型【答案】16【解答】由蝴蝶定理得：S1=三角形1的面积，S3=三角形3的面积13|5S+S=13|56.如图所示，BD、CF将长方形ABCD分成4块，△DEF的面积是5平方厘米，△CED的面积是10平方厘米。问：四边形ABEF的面积是多少平方厘米？【分析】蝴蝶模型、一半模型【答案】25【解答】根据蝴蝶模型：SBEF=SCDE=10,SBCE0由一半模型得：S矩形ABCD=SCDF+SABF20+10=15+SABFABFS=ABF所以，S四边形ABEF=SABF+SBEF=15+10=25举一反三：如图，BD、CF将长方形ABCD分成4块，红色三角形面积是4平方厘米，黄色三角形面积是6平方厘米，问：绿色四边形的面积是多少平方厘米？【分析】蝴蝶模型【答案】11【解答】同上，略7.平行四面形ABCD中，对角线AC、BD交于一点O。E是AD中点，F是AB中点。CE交BD于点M，CF交BD于点N。求阴影部分面积占平行四边形面积的几分之几？【分析】【答案】【解答】比例模型13OD=OB：OM=ON,即MN=BD：SMNC=SBCD=S平行四边形=S平行四边形：S阴影=2SMNC=S平行四边形8.如下图，在梯形ABCD中，与CD平行，且CD＝2AB，点E、F分别是AD和BC的中点，已知阴影四边形EMFN的面积是54平方厘米，则梯形ABCD的面积是多少平方厘米？【分析】蝴蝶模型【答案】210【解答】((ABa2EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up5(E),D)EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up5(F),C)=EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up11(a),a)=43(92SABFE=5k,SEFCD=7k572定理4燕尾模型S ADESSBDE .AD.EH1.BD.EHAD=BD2ACESACESBDBCE证法(二)SACESADESADC.AD.(h1h2)ADSBCESBDESBDC.BD.(h1h2)BD与AC的交点，则AF:FC=________________.【分析】燕尾模型SEC1SABDSEC1ACDSABD=3x，SACD=x，则SBDE=3x，SCDE=xFCS4AFFCS4BCD典例2如下图所示，在△ABC中，BD=2DA，CE=2EB，AF=2FC，那么△ABC的面积是阴影三角形面积的______________倍.【分析】燕尾模型【答案】7【解答】SBCH=1==|卜SBCH:SABH:SACH=1:2:4SABH=SABCSBCH=1理可证：ACGBCIABCS=SACGBCIABC7GHIABCGHIABC7GCGBCACABDE积为多少？【分析】燕尾模型【答案】1365【解答】126+x2703280+y=360=4y=140x=189=126+x=ySABC=270+360+280+189+140+126=1365典例4在下图中，三角形ABC是直角三角形，已知AB=BC=14且BE=BD=6，请问图中阴影部分的面积是多少？【分析】燕尾模型【答案】【解答】 A ABFSSACF BCFACFACF58=4SABF:SBCF:SACF=3:3:4S阴影=4.SABC=211414=196=10525典例5下面两幅图中，一个是风筝模型，一个是燕尾模型，我们来看看它们之间有什么联系。已知在下面两幅图中，△ABD的面积是15，△ACD的面积是20，△CDE的面积是10。求△BDE的面积。【分析】比例模型【答案】7.5；7.5【解答】(1)=SBDE=7.5(2)=SBDE=7.5典例6如图，已知BD=3DC,EC=2AE,BE与AD相交于点O,则△ABC被分成的4部分面积各占△ABC面积的几分之几？【分析】燕尾模型【解答】 3)EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up3(S),S)EQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up1(),)EQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up1(A),)EQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up1(O),O)EQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up1(B),C)EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up24(S),S)EQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up21(),)EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up24(S),S)EQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up21(),)ABC|EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up13(S),SEQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up13(S),S)EQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up10(),)EQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up10(A),)EQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up10(O),O)EQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up10(B),C)EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up6(S),S)EQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up3(),)EQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up3(),)AOE编ABC编ABCAOE编ABC编ABC31030OECD：S=1-3-9-1=OECD10203060典例7如图，三角形ABC的面积是1，BD=2DC，CE=2AE，AD与BE相交于点F，请写出这4部分的面积各是多少?【分析】燕尾模型【解答】=SBDF=SBCF==ACFAEFCEFS=1S=11=1S=21=2ACFAEFCEF737213721CEFDS=4+2=2CEFD21217典例8如图，△ABC中，BD:DC=2:3，AE:EC=5:3,则AF:FB=?【分析】燕尾模型【解答】S S S 6)S编BCG=31S编ABC|AFSS编ACG=S编ABCFBS编BCG 2DBECFA2ABC的面积【分析】燕尾模型【解答】连接BGS ABGSSACG A ACGSBCG=7同理可证：SABH=SBCI=SACG=SABC：SGHI=SABCSABCSABC7体验1如图，三角形ABC中，AF:FB=BD:DC=CE:AE=3:2，且三角形GHI的面积是1，求三角形ABC的面积.【分析】燕尾模型【解答】连接BG解答过程和上一道一样略典例10如图，△ABC中，G是AC的中点，D、E、F是边上的四等分点，AD与BG交于M，AF与BG交于N，已知△AMN的面积是1，求△ABC的面积.【分析】燕尾模型【解答】以M为结点，易算出SABM=SABC以N为结点，易算出SABN=SABCABC88SABC88【挑战题】如图，三角形ABC的面积是1，BD=DE=EC，CF=FG=GA，三角形ABC被分成9部分，请求出中心四边形的面积.【分析】燕尾模型【解答】以H为结点，易算出SABH=以K为结点，易算出SABK=所以SAHK==;SAGK==同理，以I为结点，易算出SABI=所以SBIH==;SBDI==以J为结点，易算出SABJ=所以SHIJK==定理5沙漏模型1.沙漏模型OECDOF=ABOEOECDEF=h=AB+CD2.平行线分线段成比例定理证明：ABEBEFSABEBEFBCEBDESBCEBDESS=SS=SSBCESSBCEBDE .AB.EG.EF.BH.BC.EG.BC.EG.DE.BH=+1=+1AB+BCEF+DE=BCDE3.平行线分线段成比例定理推导解析：从运动变化角度证明4.沙漏模型推导证明：AJ=IG=====2典例1图中的四边形土地总面积为52公顷，两条对角线把它分成了4个小三角形，其中2个小三角形的面积分别是6公顷和7公顷。那么最大的一个三角形的面积是多少公顷？【分析】要求最大三角形的面积是多少，先求出较大的两个三角形的面积是多少，较大的两个三角后根据按比例分配知识进行解答即可.【答案】21公顷【解答】左下角两个较小的三角形的面积比为6:7，因为这两个三角形等高，所以底边的比也为6:7，所以FD【分析】考察沙漏模型、蝴蝶模型【答案】3【解答】GHF编BCHGHF编BCHEQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up9(S),S)EQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up6(),)EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up9(S),S)EQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up6(),)EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up9(),C)2ABEFDABEFD点，求三角形BDG的面积．【分析】考察比例模型【答案】6.25cm2【解答】222\22)222\22)典例4如图，正方形ABCD的面积是120平方厘米，E是AB的中点，F是BC的中点，四边形BGHF的面积是多少平方厘米？【分析】沙漏模型【答案】14【解答】延长CE交DA的延长线于M点S编DHM\DM)\4)16 S编DHM\DM)\4)16 DMHD4552DMHD4552FGhhhh【答案】48cm2【解答】E是CD的中点，F是AC的中点DEFDEFS2ADE4典例6如下图所示，将边长8厘米和12厘米的两个长方形并放在一起，那么图形中阴影三角形的面积是_____________平方厘米.【分析】【答案】【解答】沙漏模型2165181822【挑战题】典例7如图，ABCD是平行四边形，面积为72平方厘米，E、F分别为边AB、BC的中点．则图形中阴影部分的面积为多少平方厘米?【分析】沙漏模型【答案】48【解答】因为平行四边形的面积为72平方厘米，则SADC=722=36(平方厘米)，SADM=SDMN=SDNC=SADC=36=12(平方厘米)SAEM=SNFC=SADM=12=6(平方厘米)所以阴影部分的面积=721266=48(平方厘米)，在正方形ABCD中，E，F分别是BC、CD的中点.已知正方形ABCD的面积为60，求阴影部分面积.G、H为BD的三等分点，AHGABDABCDS=1.S=1AHGABDABCD6典例9如图，在直角三角形ABC中，点F在AB上，且AF=2FB，四边形EBCD是平行四边形，那么FD:EF的比值是多少？若三角形BEF的面积是1，那么三角形ABC的面积是多少？得==2ADFSAFADFSAFAD4=.==.=SABAC9ABCABCS=9ABC习题1.如图，已知在平行四边形ABCD中，AB=16，AD=10，BE=4，那么FC的长度是多少？所以BF:FC=BE:CD=4：16=1：4FC82.如图，DE平行BC,若AD:DB=2:3，那么SADE:SECB=________.由金字塔模型AD:AB=AE:AC=DE:BC=2：(2+3)=2：5，SADE:SABC=22:52=4:25,CSBEC所以SADE:SECB=4:153.右图中正方形的面积为1，E、F分别为AB、BD的中点，GC=FC，求阴影部分的面积。根据沙漏模型性质，CI:CH=CG:CF=1：3，BIBC-1)：6=5:6，所以SBGE==.4.如图，已知正方形ABCD的边长为4，F是BC边的中点，E是DC边上的点，且DE:EC=1：3，AEAFDC两条线交于点M，构造出两个沙漏，所以有AB:CM=BF:FC=1：1，因此CM=4，据题意有CE=3，再据沙漏有GB:GE=AB:EM=4:7，SABF=422=4,根据蝴蝶定理SABF:SAEF=BG:GE=4:7,，长方形ABCD中，E为AD的中点，AF与BE、BD分别交于G、H，OE垂直于AD于E，由于AB平行DF，利用沙漏模型可得AB:DF=AH:HE=5：3，又因为E为AD中点，那么OE:FD=1:2，利用沙漏模型可以得到AG：GO=AB:OE=10：3，所以AG=4=(cm)。SADE:S四边形DEGF:S四边形FGNM:S四边形MNQP:S四边形PQCB=_________.设SADE=1份，SADE:SAFG=AD2:AF2=1:4，因此SAFG=4份，进而有S四边形DEFG=3份，同理有S四边形FGNM=5份，S四边形MNQP=7份，S四边形PQCB=9份。所以有SADE:S四边形DEGF:S四边形FGNM:S四边形MNQP:S四边形PQCB=1:3:5:7:9如图:MN平行BC，SMPN:SBCP=4:9，AM=4cm，求BM的长度.在沙漏模型中，因为SMPN:SBCP=4:9，所以MN:BC=2：3，在金字塔模型中有：AMABMNBCAMcmABcmBM2cm如图在ABC中，有长方形DEFG，G、F在BC上，D、E分别在AB，AC上，AH是ABC边BC的高，交DE与M，DG:DE=1:2，BC=12厘米，AH=8厘米，求长方形的长和宽。1、观察图中有金字塔模型5个，用与已知边有关系的两个金字塔模型，所以1，解得x=,2x=，因此长方形的长和宽分别是厘米，厘米。9.如右图，长方形ABCD中，EF=16，FG=9，求AG的长。G所以AG=15.定理6梅涅劳斯定理(梅氏线)E、F均不是ABC的顶点，则有明：如图，过点C作AB的平行线，交EF于点G．CGAB—(1)CGAB(2)注：添加的辅助线CG是证明的关键“桥梁”，两次运用相似比得出两个比例等式，再拆去“桥梁”(CG)使得命题顺利获证．4．梅涅劳斯定理的逆定理及其证明么，D、E、F三点共线．证明：设直线EF交AB于点D/，则据梅涅劳斯定理有AD/BECFD/B.EC.FA=1．注：证明方法与上面的塞瓦定理的逆定理如出一辙，注意分析其相似后面的规律．定理7塞瓦定理(赛瓦点)1．塞瓦定理及其证明定理：在ABC内一点P，该点与ABC的三个顶点相连所在的三条直线分别交ADSS ADPADSS证明：运用面积比可得DB=SBDP=SBDC．根据等比定理有 ADPADCADC ADPADCADC一ADPAPC===BDPBDCBDC一BDPBPCSBDPBDCBDC一BDPBPC注：在运用三角形的面积比时，要把握住两个三角形是“等高”还是“等底”，这样就可以产生出“边之比”．2．塞瓦定理的逆定理及其证明线共点．FPCPABAD/BECFD/B.EC.FA注：利用唯一性，采用同一法，用上塞瓦定理使命题顺利获证．定理8格点面积公式(皮克公式)定理9构造新底新高巧求面积(万底公式)定理10阿基米德折弦定理上任意一点，且MD」BC于D.求证：AB+BD=DC证法一：(补短法)如图：延长DB至F，使BF=BA∵M为的中点∴AM=MC,,∴∠MAC=∠MCA---①又∵∴MC=MA∴∠MBC=∠MAC---②,又∵∠MBC+∠MBF=180---③由M,B,A,C四点共圆∴∠MCA+∠MBA=180---④由①②③④可得：∠MBA=∠MBF〈|三MBA=〈|三MBA=三MBF∴△MBF△MBA(SAS)∴MF=MA,又∵MC=MA∴MF=MC|MB=MB又∵MD⊥CF∴DF=DC∴FB+BD=DC又∵BF=BA∴AB+BD=DC(证毕)如图：在CD上截取DB=DG∵MD⊥BG∴MB=MG∴∠MBG=∠MGB---①∴∠MBG=∠MCA---②由①②可得∠MGB=∠MCA=∠BCA+∠MCGCBCABMABCA∴∠BMA=∠GMC,在△∴∠BMA=∠GMC,在△MBA与△MGC中〈|三BMA=三GMC∴△BMA△GMC(SAS)|MA=MCMBMB=MB∴AB=GC,∴AB+BD=GC+BD=GC+DG=DC(证毕)∵△MBA与△MBE关于BM对称，所以△MBE≌MBA∴MA=ME,∠MBA=∠MBE-①又∵MA=MC,∴ME=MC,又∵M,B,A,C四点共圆，∴∠MBA+∠MCA=180---②又∵MA=MC(已证)∴∠MAC=∠MCA由①②③得:∠MBC+∠MBE=180∴E,B,C三点共线。又∵ME=MC,MD⊥CE∴DE=DC,∴EB+BD=DC,又∵△MBE≌MBA∴AB=EB∴AB+BD=DC(证毕)MBMAMCACAB,过点M作MH⊥AB于点H,∵M为的中点∴AM=MC,又∵,∴∠HAM=∠DCM(MHA=MDC又∵∠MHA=∠MDC=90∴在△MHA与△MDC中〈|HAM=DCM|MC=MA∴△MHA≌△MDC(AAS)∴CD=AH---①MD=MH在RT△MHB与RT△MDB中〈∴△MDB≌△MHB〈∴△MDB≌△MHB(HL)∴BD=BH又∵AH=AB+BH,∴AH=AB+BD-②由①②可得DC=AB+BD(证毕)变式训练反思：在平时数学教学活动中，尤其是几何学的教学，它可以让觉得数学课枯燥无味的学生顿时感兴趣，更是师生互动的一个很好的媒体。老师与学生一起想办法，也是一种数学情感的体现。在圆这一章节，很多学生反映难学，难在辅助线多，方法多，同一个问题灵活多变，不同的出发点会得到不同的解题方法。本题就是一个很好的例子。对于一个著名的平面几何定理，我们的证明也仅仅是使用了非常常见的“截长补短”，“对称变换”等方法。在以后的几何教学过程中多总结出一些通用，常见的解题方法这会让学生受益匪浅的，万变不离其宗，才是数学的特点。阿基米德折弦定理例题：如图，AB和BC是。o的两条弦(即折线ABC是。o的一条折弦)，BCAB,M是A的中点，过点M作MD」BC垂足为D，求证：CD=AB+BD.(阿基米德折弦定理)ABCoABDAC上一点,三ABD=45,AE」BD于E,求BDC的周长。=120,(2)探究DA、DB、DC之间的关系，并证明。3.已知：如图1，在o中，C是劣弧AB的中点，直线CD」AB于E,易证得：AE=BE,从圆上任意一点出发的两条弦所组成的折线，成为该圆的一条折弦。如图2，PA、PB组成o的一条折弦，C是劣弧AB的中点，直线CD」PA于E,(1)求证：AE=PE+PB(2)如图3，PA、PB组成o的一条折弦，若C是优弧AB的中点，直线CD」PA于E,则AE、PE、PB之间存在怎样的数量关系？写出结论，并证明。定理11圆幂定理圆幂定理是对相交弦定理、切割线定理及割线定理(切割线定理推论)以及它们推论统一归纳的结相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。统一归纳：过任意不在圆上的一点P引两条直线L1、L2，L1与圆交于A、B(可重合，即切线)，定理12巴布斯定理(中线定理)定理13斯库顿定理定理14费马点【问题12】“费马点”做法原理△ABC中每一内角都小于120°，C值最小所求点为“费马点”，即满足∠APB=∠BPC=∠为边向外作等边三角形ABD、ACE，连接CD、BE求两点之间线段最短，长破解策略费马点是指三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点。这个最小距离叫做费马距离。若三角形的内角均小于120°，那么三角形的费马点与各顶点的连线三等分费马点所在的周角；若三角形内有一内角大于120°，则此钝角的顶点就是到三个顶点距离之和最小的点。1.若三角形有一个内角大于等于120°，则此钝角的顶点即为该三角形的费马点。如图，∆ABC中，∠BAC≥120°，则钝角的顶点即为该三角形的费马点。AP’=AP,连接PP’。因为∠BAC≥120°，所以∠PAP’=∠CAC’≤60°，在等腰△PAP中，AP≥PP’,所以PA+PB+PC>PP+PB+PC＞BC=AB+AC,2.若三角形三个内角均小于120°，则以三角形的任意两边向外作等边三角形，两个等边三角形外接圆在三角形内的交点即为该三角形的费马点。如图，△ABC中，三个内角均小于120°，分别以AB,AC为边向外作等边三角形，两个等边三角形ABC内的交点为O，求证：点O为△ABC的费马点。所以△AOO'为等边三角形，OO'=AO，所以OA+OB+OC=OO'+0B+0'D,则当点B,O,O',D四点共线时，OA+OB+OC最小，此时∠AOB=∠A0C=∠B0C=120°，即以AB,AC为边向外作等边三角形，两个等边三角形的外接圆在△ABC内的交点即为点O。∠BOC=∠COA=120°。所以三角形的费马点也称为三角形的等角中心。例题讲解例1：如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(-6，0)，点B的坐标为(6，0)，点C使点P按照上述要求到达A点所用的时间最短。例2：A,B,C,D四个城市恰好为一个正方形的四个顶点，要建立一个公路系统，使每两个城市之间都有公路相通，并使整个公路系统的总长为最小，则这个公路系统应当如何修建？进阶训练1.如图，在△ABC中，∠ABC=60°，AB=5，BC=3,P是△ABC内一点，求PA+PB+PC的最小值，并确定理16古堡朝圣问题传说：从前有一个虔诚的信徒，他是集市上的一个小贩，每天他都从家所在的A点出发，到集市B点做买卖.到集市之前他要先拐弯儿到圆形古堡朝拜阿波罗神像.古堡是座圣城,阿波罗像供奉在古堡的圆心O上,而圆周上的点都是供信徒朝拜的顶礼点.这个信徒在想：我应该选择什么样的顶礼点,才能从家到朝拜点,然后再到集市的路程最短呢?(感谢刘俊勇老师提供此传说)这一题有一个一般的解答，如图所示：者的最短路线.下面我们证明这个结论：PB就是朝圣APBAP’+P’B=AR+RP’+P’B=A’R+RP’+P’B>A’P’+P’B>A’B=A’P+PB=AP+PB从上面的证明过程我们可以看出，这样的P点时存在的，但是要想在一般情况下用尺规作图讲它做出来是不可能的。因此一般来说，这个问题是没有初等解法的，不过因为本题的数据比较特殊，两个定点离圆心的距离相等，因此我们才有下面的初等解法.简解一作第一、三象限的平分线，它在一、三象限分别交○O于P、Q，则AP+PB最小，AQ+QB最大。证明如下：过P作OP的垂线，与y轴，x轴分别交于M、N。对于圆周上另一点P’(不同于P)，连AP’,P’显然RB=RB’,PB=PB’.PAOPOPOPBOPAOP于是∠APL=∠BPL，∴∠APN=∠BPM=∠B'PM∴A,P,B'共线.AP’+P’B=AR+RP’+P’B=A’R+RP’+P’B>A’P’+P’B>A’B=A’P+PB=AP+PB类似的，可以证明AQ+QB≥AP’+P’B.OPQ，-1)这样我们不仅计算出了下面我们使用代数的方法重新计算一下上面的问题.简解二设P(x,y)AP=(x4)2+y2，BP=x2+(y4)2AP+PB=188x+188y>24(188x)(188y)(取等条件x=y)于是问题转换为在x²+y²=2条件下，求(9-4x)(9-4y)的最小值。x9-4y)=81-36(x+y)+16xy继续转换：在在x²+y²=2条件下，求4xy-9(x+y)的最小值。∵x²+y²=2，易知-2≤x+y≤2令x+y=t,-2≤t≤24xy-9(x+y)=2[(x+y)²-(x²+y²)]-9(x+y)=2t²-9t-4因此(9-4x)(9-4y)=81-36(x+y)+16xy=81+4[4xy-9(x+y)]≥25)求最大值则稍简单一些：(AP+PB)²≤2(AP²+PB²)=2[(x²+y²)+32-8(x+y)]=72-16(x+y)≤104∴AP+PB≤2，当x=y=-1时等号成立.显然我们可以将上面的问题稍作推广：∠AOB=2α，OA=OB=d,OP=r(d>r),求(AP+PB)min.注意我们保留了核心条件两个定点到圆心的距离相等，只不过改成了一般的数据，另外，两线的夹角变成了一般的角度。从简解一的角度来看，这个问题的解法是显然的，就不再赘述了。定理17四点共圆证明四点共圆的基本方法：从被证共圆的四点中先选出三点作一圆，然后证另一点也在这个圆上，若能证明这一点，即可肯定这四点共圆．把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧，若能证明其顶角相等(同弧所对的圆周角相等)，从而即可肯定这四点共圆．(若能证明其两顶角为直角，即可肯定这四个点共圆，且斜边上两点连线为该圆直径。)把被证共圆的四点连成四边形，若能证明其对角互补或能证明其一个外角等于其邻补角的内对角时，即可肯定这四点共圆．把被证共圆的四点两两连成相交的两条线段，若能证明它们各自被交点分成的两线段之积相等，即可肯定这四点共圆(相交弦定理的逆定理)；或把被证共圆的四点两两连结并延长相交的两线段，若能证明自交点至一线段两个端点所成的两线段之积等于自交点至另一线段两端点所成的两线段之积，即可肯定这四点也共圆．(割线定理的逆定理)证被证共圆的点到某一定点的距离都相等，从而确定它们共圆．既连成的四边形三边中垂线有交点，即可肯定这四点共圆．上述五种基本方法中的每一种的根据，就是产生四点共圆的一种原因，因此当要求证四点共圆的问题时，首先就要根据命题的条件，并结合图形的特点，在这五种基本方法中选择一种证法，给予证明．五个基本判断方法：1.若四个点到一个定点的距离相等，则这四个点共圆。2.若一个四边形的一组对角互补(和为180°)，则这个四边形的四个点共圆。3.若一个四边形的外角等于它的内对角，则这个四边形的四个点共圆。4.若两个点在一条线段的同旁，并且和这条线段的两端连线所夹的角相等，那么这两个点和这条线的两个端点共圆。5.同斜边的直角三角形的顶点共圆。(1)已知：四边形ABCD中，∠A+∠C=180°.求证：四边形ABCD内接于一个圆(A，B，C，D四点共圆)证明：用反证法连结DC’，根据圆内接四边形的性质得∠A+三DC'B=180°，这与三角形外角定理矛盾，故C不可能在圆外。类似地可证C不可能在圆内。证明：假设四点不在同一圆上，作△ABC外接圆，则D点不在圆上，因二角共用AB弧，则∠A≠∠D，与实际不符，所以只有D点在△ABC外接圆上，课堂练习题2.矩形ABCD中，E是BD上一点，EF⊥AE交BC于F，sin∠ADB=，则=____________.ABCABACAaACA向旋(1)当∠BAC＝∠MBN＝90°时，②如图b，当θ≠45°时，①中的结论是否发生变化？说明理由；(2)如图c，当∠BAC＝∠MBN≠90°时，请直接写出∠ANC与∠BAC之间的数量关系，不必证明4.阅读下面材料：小红遇到这样一个问题，如图1：在△ABC中，AD⊥BC，BD＝4，DC＝6，且∠BAC＝45°，求线段小红是这样想的：作△ABC的外接圆⊙O，如图2：利用同弧所对圆周角和圆心角的关系，可以知道在Rt△AOF中可以求出AF，最后利用AD＝AF＋DF得以解决此题．请你回答图2中线段AD的长____________．参考小红思考问题的方法，解决下列问题：如图3：在△ABC中，AD⊥BC，BD＝4，DC＝6，且∠BAC＝30°，则线段AD的长___________．5.已知：A、B、C三点不在同一直线上．(1)若点A、B、C均在半径为R的⊙O上，(2)若定长线段BC的两个端点分别在∠MAN的两边AM、AN(B、C均与A不重合)滑动，如图③，当∠MAN＝60°，BC＝2时，分别作BP⊥AM，CP⊥AN，交点为P，试探索在整个滑动过程中，P、A两点间的距离是否保持不变？请说明理由．定理18阿波罗尼定理定理19三角形中线长定理APABCBCAP=AB2+AC2一BC2．定理20广义勾股定理推论1：平行四边形对角线的平方和等于四边平方和。ABC三边长分别为a、b、c，对应边上中线长分别为ma、mb、mc 111则：ma=2；mb=2；mc=2定理21三角形高线长定理定理22三角形内、外角平分线模型、角平分线长定理三角形内、外角平分线定理：BDAB内角平分线定理：如图：如果∠1=∠2，则有DCAC外角平分线定理：如图，AD是△ABC中∠A的外角平分线交BC的延长线与D，BDAB则有DCAC5．托勒密定理及其证明定理5．托勒密定理及其证明定理：凸四边形ABCD是某圆的内接四边形，则有证明：设点M是对角线AC与BD的交点，在线段BD上找一点，得E一、托勒密定理MMEABCDACBE————(2)BD注：巧妙构造三角形，运用三角形之间的相似推得结论．这里的构造具有特点，不容易想到，需要认真分析题目并不断尝试．6．托勒密定理的逆定理及其证明BCD证法1(同一法)：可得AB×CD=BE×AC———(1)AEAB且AD=AC———(2)AD×BC=DE×AC———(3)由(1)+(3)可得AB×CD+BC×AD=AC×(BE+DE)．据条件可得BD=BE+DE，则点E在线段BD上．则由三EBA=三DCA，得证法2(构造转移法)A/B/A/DB/C/C/D可得A/B/+BC//=.方面，AC=CD，即=CD．A/C/A/DA/方面，AC=CD，即=CD．ABA/D+BCC/DACA/D欲证BD=CD，即证AD即BCCDC/D=(ACBDABCD)A/D．据条件有ACBDABCD=ADBC，所以需证CDCDADAD．所以，A/B/+BC//=A/C/，7．托勒密定理的推广及其证明定理：如果凸四边形ABCD的四个顶点不在同一个圆上，那么就有AB×CD+BC×AD>AC×BDDAC．可得AB×CD=BE×AC————(1)AEAB且AD=AC————(2)是AD×BC=DE×AC————(3)由(1)+(3)可得AB×CD+BC×AD=AC×(BE+DE)因为A、B、C、D四点不共圆，据托勒密定理的逆定理可知AB×CD+BC×ADAC×BD所以BE+DEBD，即得点E不在线段BD上，则据三角形的性质有BE+DE>BD．所以AB×CD+BC×AD>AC×BD．定理24清宫定理PQABC的外接圆上异于A、B、C的两点，P关于三边BC、CA、AB的对称点分F在同一直线上定理25西姆松定理(西姆松线)定理：从ABC外接圆上任意一点P向BC、CA、AB或其延长线引垂线，垂足分E四点共圆．由于过点P作BC的垂线，垂足只有一个，所以点D与F注：(1)采用同一法证明可以变被动为主动，以便充分地调用题设条件．但需注意运用同一法证明时的唯一性．(2)反复运用四点共圆的性质是解决此题的关键，要掌握好四点共圆的运用手法．定理26九点圆三角形三边的中点，三高的垂足和三个欧拉点(连结三角形各顶点与垂心所得三线段的中点)九点共圆。通常称这个圆为九点圆(nine-pointcircle)，或欧拉圆、费尔巴哈圆。九点圆具有许多有趣的性质，例如：1.三角形的九点圆的半径是三角形的外接圆半径之半；2.九点圆的圆心在欧拉线上，且恰为垂心与外心连线的中点；3.三角形的九点圆与三角形的内切圆，三个旁切圆均相切(费尔巴哈定理)；4.九点圆是一个垂心组(即一个三角形三个顶点和它的垂心，共四个点，每个点都是其它三点组成的三角形的垂心，共4个三角形)共有的九点圆，所以九点圆共与四个内切圆、十二个旁切圆相切。5.九点圆心(V)，重心(G)，垂心(H)，外心(O)四点共线，且HG=2OG，OG=2VG，OH=2OV。定理27莫利定理(摩莱三角形)莫利定理：将任意三角形的各角三等分，则每两个角的相邻三等分线的交点构成一个正三角形。 定理28蝴蝶定理蝴蝶定理：AB是圆的一条弦，中点记为S，圆心为O，过S作任意两条弦CD、EF，分CDEFCFEDAB于点M、N，求证：MS=NS。 蝴蝶定理及其证明AB证明：过点M作直线AB的垂线l，作直线CF关于直线l的对称直线交圆于点C/、FF/AB，PM=MQ/．M此定理还可用解析法来证明：想法：设法证明直线DE和CF在x轴上的截距互为相反数．证：以AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，M点是坐标原点．设直线DE、CF的方程分别为x=m1y+n1，x=m2y+n2；直线CD、EF的方程分别为y=k1x，y=k2x．F(y–k1x)(y–k2x)+入(x–m1y–n1)(x–m2y–n2)=0．整理得由于C、D、E、F四点在一个圆上，说明上面方程表示的是一个圆，所以必须入+k1k2=1+入m1m2≠0，又y轴是弦AB的垂直平分线，则圆心应落在y轴上，故有入(n1+n2)=0，从而得n1+n2=0．这说明直线DE、CF在x轴上的截距互为相反数，即得PM=MQ．注：利用曲线系方程解题是坐标法的一大特点，它可以较好地解决直线与曲线混杂在一起的问题．如本题，四条直线方程一经组合就魔术般地变成了圆方程，问题瞬息间得以解决，真是奇妙．运用它解题，不拘泥于小处，能够从整体上去考虑问题．另外，待定系数法在其中扮演了非常重要的角色，需注意掌握其用法．定理29正弦定理、余弦定理定理1正弦定理 abc abcsinAsinBsinC=2RBA2R,sinABA2R,sinA理可得===2R ab理可得===2RsinAsinBsinC定理2余弦定理sA有时也用它的等价形式c=acosB+bcosA【基础知识】AB2.PC+AC2.BP=AP2.BC+BP.PC.BCAPABAC一BC2..．①②-1，不失一般性，不妨设∠APC想90o，则由余弦定理，有C对上述两式分别乘以BP，PC后相加整理，得①式或②式．BPAPBCBPPCBCAPABACBC将上述两式分别乘以PC，BP后相加，再与已知条件式相比较得so斯特瓦尔特定理的推广(1)设P为△ABC的BC边延长线上任一点，则(2)设P为△ABC的BC边反向延长线上任一点，则APABBCACBCAPABBCACBCBC.BC.BC．④注若用有向线段表示，则②，③，④式是一致的．推论1设P为等腰△ABC的底边BC上任一点，则AP2=AB2一BP.PC．注此推论也可视为以A为圆心，AB为半径的圆中的圆幂定理．推论2设AP为△ABC的BC边上的中线，则AP2=AB2+AC2一BC2．PABACBPPC证明：内角平分线定理：=AB.PC=AC.BP22PC2BP2BPPCAP=AB.BC+AC.BC22PC2BP2BPPCPC证明：外角平分线定理：=AB.PC=AC.BPAP=一AB.+AC.+BC..22PCAP=一AB.+AC.+BC..BCBCBCBC=一++BP.PC=一AB.AC+BP.PC定理31欧拉(Euler)线同一三角形的垂心、重心、外心三点共线，这条直线称为三角形的欧拉外心与重心的距离等于垂心与重心距离的一半。点共线(欧拉线)，且满足OH=3OG．DADHCEBCC)))OH=OA+AH———①因为CD⊥BC，AH⊥BC，所以AH//CD．同理CH//DA．所以，AHCD为平行四边形．))))))EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up14()),OE)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up14()),OB)EQ\*jc3\*