2024-2025学年新教材高中数学 第四章 指数函数与对数函数 4.5 函数的应用（二）（4）教学实录 新人教A版必修第一册

2024-2025学年新教材高中数学第四章指数函数与对数函数4.5函数的应用（二）（4）教学实录新人教A版必修第一册科目授课时间节次--年—月—日（星期——）第—节指导教师授课班级、授课课时授课题目（包括教材及章节名称）2024-2025学年新教材高中数学第四章指数函数与对数函数4.5函数的应用（二）（4）教学实录新人教A版必修第一册教学内容本节课主要学习新人教A版必修第一册教材第四章“指数函数与对数函数”中的4.5节“函数的应用（二）（4）”。内容包括：指数函数、对数函数的实际应用，如经济增长、人口增长、科学实验等问题的解决方法。通过本节课的学习，使学生掌握运用指数函数和对数函数解决实际问题的能力。核心素养目标1.培养学生的数学建模能力，通过将实际问题转化为指数函数和对数函数模型，提高学生解决实际问题的能力。

2.强化学生的逻辑推理能力，引导学生通过观察、分析、归纳，理解函数的性质和变化规律。

3.增强学生的数据分析意识，通过数据收集、处理、分析，让学生体会数学在现实世界中的应用价值。

4.提升学生的创新思维，鼓励学生在解决问题时尝试不同的方法和策略，培养其独立思考和解决问题的能力。学习者分析1.学生已经掌握了哪些相关知识：

学生在进入本节课之前，已经学习了基本的函数概念、指数函数和对数函数的基本性质，以及这些函数的基本图像和性质。他们能够识别指数函数和对数函数的图像，并了解它们在特定区间内的单调性和极值。

2.学生的学习兴趣、能力和学习风格：

高中学生对数学的学习兴趣因人而异，但普遍对应用数学和解决实际问题的情境较为感兴趣。他们的学习能力方面，部分学生能够快速理解新概念，而另一些学生可能需要更多的时间来消化吸收。学习风格上，有学生偏好通过视觉学习来理解函数图像，而有的学生则更倾向于通过数学推导和公式来掌握知识。

3.学生可能遇到的困难和挑战：

在本节课中，学生可能会遇到将实际问题转化为数学模型时的困难，因为他们可能不熟悉如何从实际问题中提取关键信息，以及如何选择合适的函数模型。此外，对数函数和指数函数的复合可能让学生感到混淆，尤其是在处理涉及多个函数层级的复合函数时。此外，学生可能在理解和应用对数函数的换底公式时遇到困难，因为这一公式需要学生对对数的概念有深刻的理解。教学方法与手段教学方法：

1.讲授法：通过讲解指数函数和对数函数的基本性质和图像，帮助学生建立清晰的概念框架。

2.讨论法：组织学生围绕实际问题进行讨论，引导学生思考如何将实际问题转化为数学模型。

3.案例分析法：选取典型案例，引导学生分析解决问题的步骤，提高学生应用知识解决实际问题的能力。

教学手段：

1.多媒体教学：利用PPT展示函数图像和性质，增强直观性。

2.互动软件：使用数学软件或在线平台，让学生通过操作体验函数的变化。

3.实物教具：使用几何图形或实物模型，帮助学生理解函数在现实世界中的应用。教学流程1.导入新课

详细内容：

-教师通过展示一组经济增长、人口增长等现实生活中的数据图表，引导学生思考这些数据背后的规律。

-提问：“同学们，你们认为这些数据呈现的规律可以用数学函数来描述吗？”

-引出指数函数和对数函数的概念，并简要介绍它们在现实生活中的应用。

用时：5分钟

2.新课讲授

详细内容：

（1）指数函数的基本性质和图像

-讲解指数函数的定义、性质，如单调性、奇偶性、周期性等。

-通过动画展示指数函数图像的变化，帮助学生直观理解。

-举例说明指数函数在现实生活中的应用，如细菌繁殖、放射性衰变等。

用时：10分钟

（2）对数函数的基本性质和图像

-讲解对数函数的定义、性质，如单调性、奇偶性、周期性等。

-通过动画展示对数函数图像的变化，帮助学生直观理解。

-举例说明对数函数在现实生活中的应用，如声音强度、温度等。

用时：10分钟

（3）指数函数与对数函数的复合

-讲解指数函数与对数函数的复合运算，如f(x)=a^log_b(x)。

-通过实例分析，让学生理解复合函数的求解方法。

-引导学生思考如何将实际问题转化为指数函数与对数函数的复合形式。

用时：10分钟

3.实践活动

详细内容：

（1）绘制指数函数和对数函数的图像

-学生独立完成指数函数y=2^x和y=3^x的图像绘制。

-学生合作完成对数函数y=log2(x)和y=log3(x)的图像绘制。

用时：10分钟

（2）解决实际问题

-教师提供实际问题，如某地区人口增长问题，要求学生运用指数函数模型进行解答。

-学生分组讨论，分析问题，提出解决方案。

用时：10分钟

（3）应用练习

-教师给出几道关于指数函数和对数函数的应用题目，学生独立完成。

-教师巡视指导，解答学生疑问。

用时：10分钟

4.学生小组讨论

写3方面内容举例回答XXX：

（1）如何将实际问题转化为数学模型？

-举例：某市人口增长问题，学生讨论如何从人口增长的数据中提取关键信息，建立指数函数模型。

（2）如何求解复合函数？

-举例：f(x)=2^(log3(x))，学生讨论如何求解该复合函数的值。

（3）如何分析函数图像？

-举例：分析函数y=2^x-3^x的图像，学生讨论函数的单调性、极值等性质。

5.总结回顾

内容：

-教师回顾本节课所学内容，强调指数函数、对数函数的性质和应用。

-学生总结本节课所学知识，分享自己的学习心得。

-教师解答学生在课堂中提出的问题，巩固学生所学知识。

用时：5分钟

总计用时：45分钟教学资源拓展1.拓展资源：

-指数函数的实际应用：介绍指数函数在生物学、物理学、经济学等领域的应用案例，如种群增长模型、放射性衰变模型、复利计算等。

-对数函数的实际应用：探讨对数函数在数据分析、信息理论、声学等领域的应用，如对数定律、声压级计算、信息熵等。

-复合函数的应用：分析复合函数在工程学、计算机科学、信号处理等领域的应用，如信号放大器的设计、计算机算法中的指数运算等。

-函数图像的变换：研究函数图像的平移、伸缩、翻转等变换，以及这些变换在实际问题中的应用。

2.拓展建议：

-阅读相关书籍：《数学建模》、《应用数学导论》等，了解数学在实际问题中的应用。

-观看教育视频：通过在线教育平台观看关于指数函数和对数函数的科普视频，加深对概念的理解。

-实践项目：参与数学建模竞赛或学校组织的科研活动，将所学知识应用于解决实际问题。

-制作函数图像：利用数学软件（如MATLAB、Python等）制作函数图像，观察函数在不同参数下的变化。

-参加讲座和研讨会：参加与数学相关的讲座和研讨会，了解数学领域的最新研究进展。

-自主学习：通过阅读教材附录、参考书籍等资料，自主学习函数的性质、图像和变换。

-小组合作：与同学组成学习小组，共同探讨函数的应用问题，互相交流学习心得。

-实地考察：参观科研机构或企业，了解数学在现实世界中的应用场景。

-创作数学小论文：针对感兴趣的数学问题，进行深入研究，撰写小论文，提高自己的研究能力。典型例题讲解1.例题一：已知函数f(x)=2^x-3^x，求函数的零点。

解答：设f(x)=0，则2^x-3^x=0。由于2^x和3^x都是正数，所以它们不可能相等，除非x=0。因此，函数f(x)的零点为x=0。

2.例题二：已知某商品的价格P随时间t（单位：年）的变化关系为P=1000*1.05^t，求5年后商品的价格。

解答：将t=5代入公式，得到P=1000*1.05^5≈1287.62。因此，5年后商品的价格约为1287.62元。

3.例题三：某城市的人口P随时间t（单位：年）的增长关系为P=1000*1.02^t，若要使人口翻倍，需要多少年？

解答：人口翻倍意味着P=2*1000=2000。将P=2000代入公式，得到2000=1000*1.02^t。解这个方程，得到t=log1.02(2)≈34.66。因此，大约需要35年人口才能翻倍。

4.例题四：已知函数f(x)=2^x+3^x，求函数的最小值。

解答：由于2^x和3^x都是正数，函数f(x)的最小值发生在x=0时，因为此时两个指数函数的值都是1。因此，f(x)的最小值为f(0)=2^0+3^0=1+1=2。

5.例题五：已知函数f(x)=log2(x)+log3(x)，求函数的值域。

解答：由于对数函数的定义域是正实数，所以x>0。函数f(x)的值域可以通过分析对数函数的性质来确定。log2(x)和log3(x)都是增函数，所以f(x)也是增函数。当x趋近于0时，log2(x)和log3(x)都趋近于负无穷；当x趋近于正无穷时，f(x)趋近于正无穷。因此，函数f(x)的值域为(-∞,+∞)。教学反思教学反思

今天这节课，我带大家学习了指数函数与对数函数的应用。回顾一下，我觉得有几个方面值得我反思和总结。

首先，我觉得课堂的导入部分做得还可以。通过展示现实生活中的数据图表，让学生感受到数学的实用性和趣味性，这有助于激发学生的学习兴趣。但是，我也注意到有些学生对于这些图表的理解还不够深入，他们可能需要更多的引导和解释。

在讲授新课的过程中，我尽量用通俗易懂的语言来讲解指数函数和对数函数的性质，同时结合实例来帮助学生理解。我发现，当我在讲解函数图像时，学生的反应比较积极，他们能够通过图像直观地看到函数的变化趋势。但是，对于复合函数的讲解，我觉得学生可能有些吃力。他们对于如何将实际问题转化为数学模型，以及如何求解复合函数，还需要更多的练习和指导。

在实践活动环节，我安排了绘制函数图像、解决实际问题、应用练习等活动。这些活动旨在让学生将所学知识应用到实际中去。我发现，学生在解决实际问题时，能够积极地参与到讨论中，提出自己的观点和解决方案。但是，有些学生在独立完成练习时，对于如何选择合适的函数模型还存在困惑。

在小组讨论环节，我注意到学生们在讨论问题时，能够互相启发，共同进步。他们从不同的角度分析问题，提出不同的解决方案。这让我感到很欣慰。但是，我也发现有些学生在讨论中不太积极，可能是由于他们对某些知识点掌握不够牢固，或者缺乏自信。

总的来说，这节课的教学效果还是不错的。但是，我也意识到自己在教学过程中还存在一些不足。比如，对于一些较难的知识点，我可能需要更多地引导学生进行思考，而不是直接给出答案。此外，我还应该更加关注学生的学习差异，针对不同学生的学习需求，提供个性化的辅导。

在今后的教学中，我打算采取以下措施来改进我的教学方法：

1.在讲解新知识时，多采用启发式教学，引导学生主动思考。

2.对于较难的知识点，设计更多层次的问题，帮助学生逐步理解。

3.加强课堂练习，让学生在练习中巩固所学知识。

4.关注学生的学习差异，提供个性化的辅导，确保每个学生都能跟上教学进度。

我相信，通过不断反思和改进，我的教学水平会不断提高，学生们也能在数学学习的道路上越走越远。课堂课堂评价是教学过程中不可或缺的一环，它有助于教师了解学生的学习情况，及时调整教学策略，同时也能激励学生积极参与课堂活动。以下是我对本次课堂评价的反思和总结：

1.课堂评价：

（1）提问评价：

在课堂教学中，我通过提问的方式检验学生对知识的掌握程度。例如，在讲解指数函数和对数函数的性质时，我提问：“谁能告诉我，指数函数y=a^x在a>1时具有什么性质？”这样的问题旨在引导学生回顾已学知识，并能够灵活运用。通过观察学生的回答，我发现大部分学生能够正确回答，但也有一部分学生对某些性质理解不够深入。针对这一问题，我决定在课后提供额外的辅导材料，帮助学生巩固这些知识点。

（2）观察评价：

在课堂上，我注意观察学生的参与度和互动情况。例如，在讨论函数图像变换时，我注意到一些学生能够积极参与讨论，提出自己的观点，而另一些学生则显得较为沉默。为了鼓励所有学生参与，我尝试了小组讨论的形式，让学生在小组内分享自己的理解和发现。通过这种形式，我发现学生的参与度有所提高，课堂氛围也变得更加活跃。

（3）测试评价：

为了更全面地了解学生的学习情况，我设计了小测验来测试学生对本节课知识点的掌握。测试包括选择题、填空题和解答题。通过测试结果，我发现学生在理解函数性质和图像变换方面存在差异，一些学生在解答题部分表现不佳。针对这一情况，我计划在接下来的课程中加强这部分内容的练习和讲解。

2.作业评价：

（1）认真批改：

对于学生的作业，我进行了认真的批改。在批改过程中，我不仅关注学生的答案是否正确，还注意他们的解题过程是否合理、步骤是否清晰。对于错误，我会在旁边注明正确的解答，并给出修改建议。

（2）及时反馈：

我及时将作业批改结果反馈给学生，让他们知道自己的学习进度和需要改进的地方。对于作业中表现较好的学生，我给予了表扬和鼓励，以激发他们的学习动力。对于作业中存在的问题，我会在课堂上进行讲解，帮助学生理解