理工学院车辆工程专业《理论力学》教案

理工学院车辆工程专业《理论力学》教案

课程性质必修课程编号013504总学时/学分56/3.5

学

时理论56

2017.2-2

分授课时间授课班级2016级车

017.6

配实践0辆工程

理论力学课程教学的目的是使学生掌握分析机构受力，质点、

质点系和刚体机械运动的基本规律及其研究方法，初步学会运用这

种规律和方法去分析和解决工程实际问题，并为学习后继课程及有

关的科学技术打好必要的基础。

课程教学的基本要求

（1）在保证该课程教学的科学性和系统性的前提下，着重突

出理论力学课程的推理严密、体系完整、理论性较强的特点。有关

本课程教

学目的、要本课程的基本概念、基本定律、基本定理、基本公式及其推导和应

求用，作为教学的重点内容，要求学牛牢固掌握并熟练运用C

（2）坚持理论密切联系实际。讲授时，尽可能将所学的理论

与日常生活中的一些典型事例结合，旨在提高学生的学习兴趣和学

习的积极性，通过本课程的学习，使学生受到理论力学研究方法的

初步训练，培养学生严密逻辑推理的能力、抽象思维的能力、从一

般到特殊的分析方法及运用高等数学方法解决力学问题的能力，并

较好理解数学与物理的密切关系j最终使学生能运用已学过的基木

定律，基本定理会解答习题。

（3）教学方法宜采用启发式、讨论式。应培养学生的自学能

力、独立思考的能力、敢于创新的能力以及独立解决问题的能力。

学生应在实践中完善认识、培养能力，提倡多看参考书、多思考、

兼收并蓄，多动手推演，多总结归纳。

（4）坚持课后练习是教好、学好本门课程的关键。在整个教

学过程中，将根据正常教学进度布置一定量的作业，要求学生按时

完成。理论力学可做习题很多，难题也很多，要提倡多思考，不提

倡做太多太难的习题。

教学重点、教学难点分析及解决方法:

静力学部分：

一、平面汇交力系与平面力偶系

重点：受力分析。

难点：平衡关系的建立。

解题指导：

解析法：

（1）仔细审题。这就是要弄清题意，明确已知量利未知量，

选取适当的分离体，使要求的未知量都能被表示在分离体上。

（2）画受力图。利用所给出的各种支座和连接的力学模型，

画出正确的受力图。特别要善于应用二力杆和三力平衡定理的概

念，以减少未知力的个数。

（3）选取坐标系。选取的原则是尽量使一个平衡方程中，只

本课程教包含一个未知数。通常使一坐标轴与某一未知力的作用线垂直。

学重点、难（4）列平衡方程。

点及拟解（5）解平衡方程。求得的力的绝对值表示力的大小，力的正

决方法负号表示在受力图中所假设的力的指向是否与实际的指向一致。

几何法：

（1）仔细审题。

（2）画受力图。（此两步骤与解析法相同，所不同的是要事先

假定约束反力的指向工

（3）选择适当的比例尺，根据受力图，作封闭的力的三角形

或封闭的力的多边形。作图要先从已知力开始。

（4）用比例尺和量角器从封闭的力的三角形或多边形中确定。

二、平面任意力系（重要）

重点：力的平移定理，平面任意力系的简化，平面任意力系的

平衡方程。

难点：求解平面静定桁架的内力：

（1）节点法。

逐个地取节点为研究对象，应用平面汇交力系的平衡方程，

求出各杆的内力。

（2）截面法。

将待求内力的杆截断，把桁架分割成两部分，取其中一部分为

研究对象，应用平面任意力系的平衡方程，求出各杆的内力。

重点难点分析

重点：选取平衡对象，建立平衡方程。难点：刚体系统的平衡

问题。

解题指导，解题步骤：

1.对于单个刚体的平衡问题，其解题步骤为：

（1）取分离体。根据问题的要求，选择合适的平衡对象，并

取出为隔离体。

（2）画受力图。根据平衡对象与周围物体的联系，确定约束

的性质，并根据约束性质分析约束力，应用作用与反作用定律，分

析隔离体所受力的可能方向和作用线，画出隔离体的受力图。

（3）列平衡方程求解。建立已知力与未知力之间的关系，求

解未知力。

2.对于刚体系统平衡问题

求解刚体系统平衡问题的基本方法与分析单个刚体平衡问题

的方法大体相似，但也有一些差异。根据刚体系统平衡问题的特点,

求解刚体系统平衡问题，一般可按下列步骤进行：

（1）判断刚体系统的静定与超静定性质，只有肯定了所给的

刚体系统是静定的，才着手求解。对于超静定问题，需要平衡方程

联合相应数量的补充方程才能求解。

（2）先考虑整体平衡，求得某些未知的约束力，然后根据要

求的未知量，选择合适的局部或单个刚体作为研究对象，根据约束

性质及作用力与反作用力定律，区分施力体与受力体，区分内力与

外力，画出研究对象的受力图。

（3）分别考虑不同研究对象的平衡，建立平衡方程，求解未

知量。

方法与技巧

1.单个刚体求解过程中要注意以下问题

（1）对单个物体的平面任意力系问题，其解步骤与平面汇交

力系问题的解题步骤基本相同，不同之处是平面任意力系的独立平

衡方程有三个，可解出三个未知数。

（2）要根据实际情况，选择合适的坐标轴，尽量使一个平衡

方程中出现一个未知力。

（3）建立平衡方程时，要考虑力系中所有的力，任何一个力

都不能遗漏。

（4）要正确确定每一个力在坐标轴上投影的大小和正负号，

特别要注意正负号。

（5）当未知约束力的作用线确定，而方向不能确定时（一般

情况下均如此），可以先假定方向（一般假定约束力的正方向与坐

标轴正向一致）。然后，根据所得结果的正负号，判断未知约束力

的实际方向：若所得结果为正，则实际方向与所设方向一致；若为

负，则实际约束力的方程与所设方向相反。

（6）当未知约束力的作用线不能确定时，可先假设未知约束

力在两个坐标上投影的方向（一般设为正向）。然后建立平衡方程,

这时，约束力的投影方向为已知，投影大小为未知。由平衡方程求

得约束力投影的大小，即可求得相应的约束力。

2.刚体系统求解求解过程中需要注意的几个问题

（1）当有几个平衡对象可供选择时，应考虑选择哪能一个最

合适，或者先选择哪能一个，然后再选择哪一个。选择的原则是，

能够利用平衡条件确定某些未知力（不一定确定全部未知力）的部

分应优先考虑。

（2）当刚体间相互作用力的方向无法确定时，可以称假设其

方向。必须注意的是，当所求结果为负时，表示施力体作用在所研

究的刚体上的方向与实际方向相反。

（3）画各个构件的受力图时，要特别注意作用与反作用定律、

二力平衡及三力平衡定理等概念和原理的应用。虽然所有构件的受

力图对建立平衡方程及求解所感兴趣的未知数不一定都有用，但是

同时画出所有构件的受力图，会减少受力分析的错误。

（4）建立平衡时，应尽量使一个平衡方程中只出现一个未知

力，以避免求解联立方程。

（5）解方程时，若求得的约束反力为负值，说明在受力图

中假设的约束反力方向与实际方向相反。但若用它代入另一方程中

求解其他未知数时，应连同其负号一并代入。

（6）可以利用解题过程中尚未被选为研究对象的刚体，对其

作受力分析，建立平衡方程，以验证所得结果的正确性。

（7）刚体系的平衡问题是静力学的重点内容，多数情况下，

是各种考试必考的内容。

3.受力分析时应注意的几个问题

（1）怎样根据问题的性质，选取合适的研究对象。所谓“合

适”：一是指在研究对象上既有未知力又有己知力；二是指所选择

的研究对象上受力比较简单。

（2）一定要根据约束性质确定研究对象上所受力约束力，力

争做到，在研究对象上每画一个力都有充分的依据，切忌主观随意

以及毫无根据的猜测。

4.刚体系统的“内力”和“外力”

（1）刚体系统或其分系统中的各个刚体之间的相互作用力，

对于系统而言，都是“内力”。

（2）内力总是成对出现的，它们两两大小相等，方向相反，

向且作用在同一条直线上。

（3）当考虑刚体系统的平衡问题时，要特别注意那种对于系

统是内力，对局部或单个刚体却是外力的力。这种力很容易被漏掉。

5.刚体系统的“整体平衡”与“局部平衡”

当刚体系统处于平衡状态时，其中的每一个局部以及每个刚

体也必然处于平衡状态。反之亦然。因此，求解刚全系统的平衡问

题时，作用于系统及每个局部上的力系，既满足整体的平衡要求，

也满足局部的平衡要求。（此为刚化公理应用之结果）

三、摩擦

重点：1.滑动摩擦力和临界滑动摩擦力，滑动摩擦定律。2.

考虑滑动摩擦时物体的平衡问题的求解方法。

难点：正确区分不同类型的含摩擦平衡问题；正确判断摩擦力

的方向及正确应用库仑摩擦定律。

解决方法：考虑摩擦的平衡问题；运动状态不定时的有摩擦平衡问

题；摩擦角、自锁。

运动学部分：

一、点的运动学

重点难点分析

1.重点：点的运动的基本概念（速度与加速度，切向加速度和法

向加速度的物理意义等）；选择坐标系，建立运动方程，求速度、

加

速度。求点的运动轨迹。

2.难点；运动方程的建立。

解题指导：

1.第一类问题（求导）：建立运动方程然后求导。若已知点的运动

轨迹，且方程易于写出时，一般用自然法，否则用直角坐标法。根

据点的运动性质选取相应的坐标系，对于自然法要确定坐标原点和

正向。不管用哪种方法，注意将点置于一般位置，而不能置于特殊

位

置。根据运动条件和几何关系把点的坐标表示为与时间有关的几何

参数的函数，即可得点的运动方程。

2.第二类问题（积分）：由加速度和初始条件求运动方程，即积分

并确定积分常数。

二、刚体的简单运动

重点难点分析：

1.重点：刚体平移、定轴转动基本概念；刚体运动方程，刚体上

任一点的速度和加速度。

2.难点：曲线平移。

解题指导：

首先正确判断刚体运动的性质。其后的分析与点的运动分析一样分

两类问题进行。建立刚体运动方程时，应将刚体置于一般位置。

三、点的合成运动（重要）

重点难点分析：

1.重点：动点和动系的选择；三种运动的分析。速度合成与加速

度合成定理的运用。

2.难点：动点和动系的选择。

解题指导：

1.动点的选择、动系的确定和三种运动的分析常常是同时进行的,

不可能按顺序完全分开。

2.常见的运动学问题中动点和动系的选择大致可分以下五类：

（1）两个（或多个）不分大小的物体独立运动，（如飞机、海上的

船舶等）对该类问题，可根据情况任选一个物体为动点，而将动系

建立在另一个物体上。由于不考虑物体的大小，因此动系（刚体）

与物体（点）只在一个点上连接，可视为较接，建立的是平移动坐

标系。

（2）一个小物体（点）相对一个大物体（刚体）运动，此时选小

物体为动点，动系建立在大物体上。

（3）两个物体通过接触而产生运动关系。其中一个物体的接触只

发生在一个点上，而另一个物体的接触只发生在一条线上。选动点

为前一物体的接触点，动系则建立在后一物体上。此时，那条线就

是动点的相对运动轨迹。

（4）两个物体或多个物体通过接触或约灾而产生运动关系。其中

两个物体的接触也有上述点、线关系，但提供线的物体运动状态不

简单，而其上有运动状态已知或明确的点。此时，将此点选为动点,

动系建立在接触处的物体（如套简〉上。

（5）两个物体通过接触而产生运动关系。两个物体各为接触提供

了一条线。对此类问题通常有两种分析方法：

A如果一个物体的接触线是圆弧，则选其圆心为动点，动系建立在

另一物体上；

B假想有一个忽略大小的环套在两条接触线上，将其设为动点，分

别将动系建立在两个物体上，共同研究小环的运动。此时两条线分

别是小环在两个动系的相对运动轨迹。

3.选择动系时通常希望相对运动简单明确，但不是所有问题都能

做到这一点。（如笫一类问题多数不能明确相对运动轨迹。此时可

将相对速度分解为两个垂直分量来计算。）

4.速度和加速度合成定理是矢量式，各可以建立两个投影方程，

如果未知数过多将无法全部求得。可以选择适当的投影轴，使得不

需计兑的未知短量垂直于投影轴，减少方程中的未知数。

5.速度和加速度合成定理表示的是合成关系，不是平衡方程。在

写投影方程时，应先写绝对速度（加速度）的投影和等号，再写等

号右边的各个加速度的投影。要注意投影的正负号。

6.有些问题最后关心的是加速度，但在计算时首先要分析速度，

在不是很困难的情况下最好将动点的各个速度都计算出来，以备加

速度分析使用。

7.要注意不能遗漏关于哥氏加速度的分析，正确判断其方向、计

算其大小。

四、刚体的平面运动（重要）

重点难点分析：

重点：平面运动的分解；基点与动点的选择；速度瞬心的确定；投

影方程的建立。

难点：运动学综合问题的求解。

解题指导：

1.刚体的平面运动可以视为跟随基点的平移与绕基点转动的合成,

也可以有其他的分解方法。

2.基点的选择是任意的，一般选运动状态己知的点。基点不同，

随基点平移的速度、加速度等将有变化，但平面运动刚体转动的角

速度、角加速度是不随基点的选择而变的。

3.平面运动刚体内的点的速度计算常用的有三种方法，即基点法、

速度投影法和瞬心法，它们各有特点：

（1）基点法：该方法延续了点的合成运动的分析思路，通用性强,

适用于计算各种运动学物理量。但计算步骤多，不灵活。

（2）投影法：该方法在计算速度时是最快捷的。但它却只能用来

求速度。

（3）瞬心法：该方法可以用来求速度，也可用来计算角速度。缺

点是有时几何美系复杂。

4.在点的合成运动与刚体的平面运动结合，就构成了复杂的运动

学综合问题。对于这类问题常可用“逆向分析，顺向求解”的方法。

即先对要计算的物理量进行分析，找出合成关系，看看合成关系中

哪些是待求的，再对这些待求的物理量进行分析，找出合成关系，

再看要计算哪些量，依次类推，直到可用已知条件求解。而求解过

程与分析过程顺序正好反向。

5.在综合问题坟解时常遇到某一中间物理量是其他物理量的短期

聚落量运算结果，对这种结果不一定要求出，而是可将这种关系式

直接代入后面的运算过程中。

6.与点的合成运动分析一样，有的物理量方向可以假设，如切向

加速度等，但法向加速度和简直氏加速度的方向一般是可以确定

的，不能任意假设。方向反了就会得到错误的结果。

动力学部分：

一、质点动力学

建立质点运动微分方程的方法，或质点动力学的建模方法，是整个

动力学任务的中心问题，十分重要。

已知运动求力（第一类问题）和已知力求运动（第二类问题）。也

有些混合问题，即已知部分运动和部分力，求未知的运动和力。

基本要求：

1.理解质点动力学基本方程和基本概念。

2.能正确建立直角坐标形式与弧坐标形式的质点运动微分方程。

3.掌握质点动力学两类基本问题的解法。对运动初始条件的力学

意义及其在确定质点运动规律中的作用有清晰的认识。

重点难点分析：

重点：建立质点运动微分方程；掌握两类问题的解法。

质点的运动规律不仅取决于质点的质量和作用力，还与质点运动的

初始条件（运动开始时质点的位置和速度）有关。在第二类问题中，

积分常数或定积分的上下限由初始条件决定。

在数值计算中，常用投影形式的微分方程。在建立运动微分方程时,

应该注意各物理量投影的正负号。微分方程等号左边总设为正，等

号右边是力在坐标轴上的投影，应注意投影的正负。

一般情况下，力是时间、速度和位置的函数。因此，加速度也是这

些参量的函数。在求解动力学问题时，不要无根据地用交变速或交

速

运动公式。

在静力学中，约束反力只决定于主动力。但在动力学中，约束反力

不仅与主动力有美，还与质点的加速度有关。在求约束反力的动力

学问题中，要特别注意。

难点：经变量代换再积分的方法。

对于第二类问题：当力是常量或时，直接分离变量，逐次积分。当

或时，先变量代换，再分离变量积分。也可用常系数二阶线性微

分方程求解。

当力的函数非常复杂或是非线性方程时，用计算机按数值积分方法

求解。

二、动量定理（重要）

动量与冲量

1.动量

（1）质点的动量：质点的质量与速度的乘积

（2）质点系的动量：质点系内各质点动量的矢量和（动量主矢）

（3）质点系的动量还等于质点系的总质量与质心速度的乘积

2.力的冲量

（1）力的元冲量：在微小时间间隔内，力的元冲最为：

（2）在时间间隔内，力的冲量为：

3.质心坐标公式

质点系质心〔质量中心）C到某固定点的矢径为

动量定理

1.动量定理

（1）质点的动量定理微分形式：质点的动量对时间的一阶导数，

等于作用于质点上的力，即：

积分形式：在一段时间内，质点动量的变化，等于作用力在同一时

间内的冲量，即：

（2）质点系的动量定理微分形式：质点系动量对时间的一阶导数,

等于作用于质点系上外力的矢量和（外力主矢），即：

积分形式：具体计算中，常用动量定理的投影形式：即质点

系动量在坐标轴上的投影对时间的一阶导数，等于作用于质点的所

有外力在同一轴上的投影的代数和。

质点系动量在某方向上投影的变化，等于作用于质点系所有外

力冲量在同一方向投影的代数和。

2.动量守恒定理

3.定常流形式的动量定理附加动压力

质心运动定理

1.质心运动定理：

2.质心运动守恒定理：

基本要求：

1.深刻理解质点系的动量、质心的概念。

2.熟练计算质点系的动量和质心坐标。

3.掌握动量定理与质心运动定理的各种表达形式，并熟练应用它

们求解劭力学问题。

重点难点分析

重点：

1.质点系的动量；

2.动量定理与质心运动定理的各种表达形式。

动量及冲量都是矢量，是有大小和方向的量。

质心运动定理与牛顿第二定律在数学形式上相似，但意义不同。牛

顿第二定律是公理，它描述的是质，即质点的质量与加速度的乘积

等于力。侦心运动定理是导出的定理，它描述的是质点系质心的运

动规律。

难点：动量定理中力的计算。

质点系的内力总是成对出现的，因此内力的主矢为零，对任一点

的主矩也为零。内力冲量的矢量和亦为零，这是内力的三个重要性

质。

只有外力才能改变质点系的动量，因此在质点系的动量定理中根本

不考虑内力。

解题指导

1.动量定理常见题目类型：

（1）求约束反力力问题；

（2）突然解除约束问题；

（3）已知主动力求运动问题；

（4）综合动力学问题。

2.解题步骤：

（1）选定研究对象：可以选质点，也可以选质点系，在有些情

况下，取整体为研究对象往往会对解题带来方便，因为系统的内力

不必考虑。

（2）进行受力分析和运动分析。

（3）建立方程，应用定理的微分形式时，必须取运动的一般位

置建立方程，应用定理的积分形式成守恒形式时，必须明确所考查

过程的始末位置及所对应的时间。

附加动压力

质心运动定理

1.质心运动定理：

2.质心运动守恒定理：

基本要求：

1.深刻理解质点系的动量、质心的概念。

2.熟练计算质点系的动量和质心坐标。

3.掌握动量定理与质心运动定理的各种表达形式，并熟练应用它

们求解动力学问题。

重点难点分析

重点：

1.质点系的动量；

2.动量定理与质心运动定理的各种表达形式。

动量及冲量都是矢量，是有大小和方向的量。

质心运动定理与牛顿第二定律在数学形式上相似，但意义不同。

牛顿第二定律是公理，它描述的是质，即质点的质量与加速度的乘

积等于力。质心运动定理是导出的定理，它描述的是质点系质心的

运动规律。

难点：动量定理中力的计算。

质点系的内力总是成对出现的，因此内力的主矢为零，对任一点

的主矩也为零。内力冲量的矢量和亦为零，这是内力的三个重要性

质。

只有外力才能改变质点系的动量，因此在质点系的动量定理中根本

不考虑内力。

解题指导

1.动量定理常见题目类型：

（1）求约束反力力问题；

（2）突然解除约束问题；

（3）已知主动力求运动问题；

（4）综合动力学问题。

2.解题步骤：

（1）选定研究对象：可以选质点，也可以选质点系，在千金情

况下，取整体为研究对象往往会对解题带来方便，因为系统的内力

不

必考虑。

（2）进行受力分析和运动分析。

（3）建立方程，应用定理的微分形式时，必须取运动的一般位

置建立方程，应用定理的积分形式成守恒形式时，必须明确所考查

过

程的始末位置及所对应的时间。

（4）解出未知量。

3.注意的问题：

（1）动量是矢量，运算时必须同时考虑其大小和方向，特别要

注意取投影时的正负号。当质点作复合运动时，应采用质点的绝对

速度来计算其动量。

（2）在应用质心系动量定理时，总是把作用力分为外力与内力，

但因内力不能改变质点系的动量，故只需考虑外力，而不必考虑内

力。

（3）动量定理建立了动量与冲量的关系，在动量方程（定理）中

所包含的物理量有质量，速度、力和时间，所以在解决与速度、力

和时间有关的问题时，应用动量定理较为简便。

（4）当质点系的南心的加速度为已知或通过运动学关系可以求出

时，质心运动定理实际上就是外力的关系式，而外力一般包括主动

力和约束反力。若主动力为已知，则可从这个关系式中求出约束反

力。此外，若已知质点系的外力，则可用质心运动定理确定质点系

质心的运动。

（5）动量守恒定理是动量定理的特殊情形。它反映了机械运动在

移动中相互传递的一个方面。

三、动量矩定理（重要）

质点和质点系的动量矩

1.质点的动量矩：

2.质点系的动量矩：

3.动量矩在过固定点。的直角坐标系上的投影：

4.定轴转动刚体对转轴的动量矩：

动量矩定理

1.质点的动量矩定理

质点对某固定点的动量矩对时间的一阶导数，等于作用于质点

上的力对同一点之矩。即

2.质点系的动量矩定理

质点系对某固定点的动量矩对时间的一阶导数，等于作用于质

点系上所有外力对同一点之矩的矢量和，即

3.动量矩守恒定律

当外力对某固定点之矩矢量和始终为零时，质点系对同一点的动

量矩保持不变。

刚体绕定轴的转动微分方程

1.转动惯量

2.刚体定轴转动微分方程式

定轴转动刚体对转轴的转动惯量与角加速度的乘积，等于外力对该

轴之矩的代数和。即

刚体对轴的转动惯量

1.刚体对转轴的转动惯量

2.平等轴定理

3.回转半径

质点系相对于质心的动量矩定理

1.相对质心的动量矩

以质点系质心C为坐标原点的平动坐标系为动系，则各质点质量

与相对速度之乘积对质心相对于质心之矩的矢量和称为相对于质

心的动量矩。

2.相对于质心的动量矩定理

质点第相对于质心的动量矩对时间的一阶导数，等于作用于质点系

的外力对质心之矩的矢量和。

刚体作平面运动时.，相对于质心的动量矩定理为

当速度瞬心P以质心C的距离保持不变时，也可取速度瞬心为矩

心建立动量矩方程，即

3.相对于质心动量矩守恒定理

当外力对质点系质心之矩矢量和为零时，质点系对质尺度的动量

矩为常矢量。

刚体的平面运动微分方程

1.平面运动刚体（具有质量对称面）对质心的动量矩

平面运动刚体（具有质量对称面）对质心的动量矩为刚体对质心的

转动惯量与平面图形角速度的乘积：

2.刚体平面运动微分方程

将质心运动定理与相对于质心的动量矩定理的相结合，就得到刚

体平面运动微分方程式

基本要求：

1.全面理解动量矩和转动惯量的物理意义。

2.掌握动量矩定理的各种表达式、意义及其应用。

3.熟悉刚体绕定轴转动及刚体平面运动的微分方程，并能用它们

解决相应的实际问题。

4.了解质心点相对质心（平移坐标）的动量矩定理。

5.熟练应用刚体平面运动微分方程求解动力学问题。

重点难点分析

重点：

1.'质点系的动量矩和转动惯量。

2.质点系相对定点的动量矩定理（包括守恒式）。

3.定轴转动微分方程应用。

4.刚体平面运动微分方程及其应用。

对点的动量矩是矢量，对轴的动量矩是代数量。计算质点系相对于

质心的动量矩阵收缩时，无论是用绝对运动的动量还是用相对于以

质心为基点的平移坐标系的相对运动的动量，其计算结果是相同

的。但是对质心之外的其他的点，用此两种方法计算的动量矩阵收

缩是不同的，必须用在绝对运动中的动量来计算动量矩；

平行移轴公式中必须是与轴平行的质心轴。

难点：

1.质点系相对质心的动量矩定理；

2.平面运动微分方程及其应用；

内力不能改变质点系对定点或对质心的动量矩，只有外力矩才能

使之改变。

动量矩定理仅仅对定点（或定轴）及质心（或质心轴）成立，在满

足一定条件时对速度瞬心成立。对一般的动点或动轴通常是不成立

的，在应用动量矩定理时一定要注意这一点。

解题指导

1.动量矩定理常见题目类型：

（1）求约束反力偶问题；

（2）突然解除约束问题；

（3）已知主动力求运动问题；

（4）综合动力学问题。

2.解题步骤

（1）根据题意确定研究对象。对于多轴系统，必须拆开来取单轴

为研究对象。

（2）受力分析。只画外力，不分析内力。还要根据受力特点判断

是否是动量矩守恒问题。

（3）运动分析，建立必要的运动学关系。

（4）建立坐标系，规定外力矩和动量矩的正转向，且须使外力与

动量矩正的转向一致。

（5）计算动量矩。动量矩的矩轴或矩心一般是固定轴或固定点。

速度和角速度都是绝对速度和绝对角速度。对于相对于质心的动量

矩，矩心是质心，速度或角速度是相结于质心的速度或角速度。

（6）建立动量矩方程（或守恒方程）并求解。

3.注意的问题

（1）动量矩定理从另一个侧面描述机械运动规律，即动量矩

对时间的变化率等于外力矩。对于有心力作用问题和定轴转动的动

力学问题，用动量矩定理求解特别有效。

（2）动量定理描述了质点系随质心的运动规律；对刚体而言,

即随质心的平动规律。相对于质心的动量矩定理，描述了质点系相

对于质心的运动规律。对刚体而言，即描述了绕质心的转动规律，

二者结合，则描述了质心系的总的运动规律。

（3）动量矩定理建立了外力（外力矩）、时间、质量和速度（角

速度）之间的关系。常应用对轴的动量矩定理或转动微分方程解决

下面几种问题：

己知质点系的运动求作用于质点系得外力或外力矩，特别是对

轴有矩的约束反力；

已知外力矩是常数或只是时间的函数时，求刚体转动的角加速

度、角速度、转动方程；

已知外力矩等于零或外力对轴之矩代数和对于零时，应用动量

矩守恒定理求运动。

（4）正确计算定轴转动刚体动量矩的关键是正确计算转动惯

量。应该牢记均质细长杆、均质圆柱体和均质圆环转动惯量公式：

对于其他有关规则的物体的转动惯量，可看成由几个几何规则的部

分组成，根据组合法求总的转动惯量，对芍空心或缺口的物体，可

用负质量法求转动惯量。

（5）计算转动惯量时，常用到平等轴定理。

（6）动量定理描述了质点系随质心的运动规律；对刚体而言，

即随质心的平动规律。质点系相对质心（平移坐标）的动量矩定理,

描述了质点系相对于质心的运动规律；对刚体而言，即描述了绕质

心的转动规律。二者结合，则描述了质点系总的运动规律。

（7）对平面运动刚体，研究的对象是整个刚体，可利用平面

运动微分方程求解。求解时，常常需要建立质心速度或加速度与绕

质心转动的角速度或角加速度之间的关系。

四、动能定理（重要）

普遍定理的综合应用

1.动力学普遍定理

2.应用原则及方法

（1）通过受力分析，首先判断是否是某种运动守恒问题：如

动量守恒、质心运动守恒、动量矩或相对于质心的动量矩守恒及机

械能守恒等。若是守恒问题，可根据相应的守恒定律求未知的运动。

（2）求约束反力的问题，可选用动量定理、质心运动定理、

动量矩定理或相对于质心的动量矩定理，但不能用动能定理直接求

约束反力。

（3）当作用力（力矩）是时间的函数时，应优先考虑用动量

定理或动量矩定理求速度（角速度）和时间；当作用力是路程的函

数或力的功容易计算时，优先考虑用动能定理。

（4）若等求量是加速度或角加速度时，对质点系可用动量定

理、质心运动定理；对定轴转动刚体，可用动量矩定理或定轴转动

微分方程；对平面运动刚体，常用平面运动微分方程；对以上各种

物体运动及由两个转轴以上物体组成的系统，也常用微分形式的动

能定理或功率方程形式的动能定理。

（5）一般求解一个单自由度的综合性题目，比较简单的方法

是先用动能定理求运动，再用其他定理求力。

（6）研究对象的选取：若不需要求质点系内力，则一般选整

个系统为研究对象；对于两个转轴以上的系统，若用动量矩定理或

定轴转动微分方程时，必须取单个轴为研究对象；对单自由度系统

用动能定理时，常取整个系统为研究对象。

（7）补充方程；用动力学普遍定理列出的方程，其未知量个

数常多于独立的方程式数，需要列运动补充方程或力的补充方程。

基本要求：

1.深刻理解力的功和质点系的动能等概念。

2.熟练掌握重力、弹性力、摩擦力、力偶等所作功的计算。

3.熟练掌握刚体作平移、定轴转动和平面运动时动能的计算

方法。

4.熟悉在何种约束下，约束反力作功之和等于零。

5.能正确而熟练地应用动能定理和机械能守恒求解动力学问

题。

6.对每个定理中所涉及的基本物理量要有清晰的理解，并能

正确和熟练地进行计算。

7.掌握各定理的内容、特点、适用条件及所能解决的问题；

要正确而灵活地应用各定理求解动力学问题。

重点难点分析

重点

1.’3的功和动能的计算。

2.质点系的动能定理及其应用。

关于刚体平面运动问题力系的功的计算方法也适用于刚体的

任意运动。当C点不是质心时，公式也成立，即力系在刚体平面运

动中的功等于力系向任一点简化的主矢在该点位移上的功与主矩

在绕该点转动中所作功之和。不过通常用质心计算很方便。另外，

在计算力系的主矢和主矩时，可以不计算不作功的力。当然，无论

刚体作平面运动还是作任意运动，都可以单独计算各力的功，然后

求其代数和即得整个力系的功。

利用动能定理的积分形式一般可以求出速度、角速度。如果所

列出的动能定理的积分形式是函数关系式，则可以将其两端对时间

求导，从而可求得加速度、角加速度，这是一种常用的方法。

难点：

综合应用动力学普遍定理求平面机构的动力学问题。

对具体问题，选用合适的定理，使求解过程尽可能简单。

大量动力学问题是既求运动又求力，属于混合型问题。由于是理想

约束，而动能定理可能避免未知的约束力，只考虑主动力，因此第

一步应用动能定理求得运动；第二步再应用动量或动量矩定理求未

知的约束力。

解题指导

1.动能定理常见题目类型

（1）已知主动力求运动问题；

（2）求约束反力偶问题；

（3）综合动力学问题。

2.解题步骤

（1）选取研究对象。

（2）受力分析，画受力图。分清内刀和外力，主动力和约束

反力，作功之力和不作功之力。

（3）运动分析；分清每个物体的运动形式、特点，为计算基

本物理量和建立运动学补充方程作准备。

（4）根据以上分析及对己知量和未知量的分析，选取合适的

定理，建立方程。

（5）求解并讨论。

3.注意的问题

（1）功是度量力在一段路上作用的累积效应的物理量。

（2）动能是代数量，并总是正的，只与速度的大小有关，与

方向无关。

（3）动能定理从能量观点描述了机械运动的规律，即建立了

质点或质点系动能的变化与作用力所作功之间的关系。

（4）止确应用动能定理的关键，除止确理解动能定理的意义

外，熟练地、正确地计算力的功和质点系的动能是特别重要的。

（5）由动能定理建立的方程是标量方程，应用时不必建立坐

标系，但心须注意力所作功的正负。

（6）动能定理中所涉及力、路程、速度和质量等物理量。

（7）用动能定理计算的优点是常取整个系统为研究对象，方

程式中不含未知的约束反力，又是标量方程，便于求解。

（8）不要把动能定理与机械能守恒定律相混淆。

（9）动力学普遍定理分别从三个不同的侧面反映了机械运动

的规律，建立了运动学量和机械作用量之间的关系。

（10）动力学普遍定理可分为两类：一类是动量原理（动量定

理和动量矩定理），它们是矢量式，都有投影方程，用它们不仅可

求未知量的大小，还可求方向。另一类是动能定理则标量方程，只

能求未知量的大小。

（11）动量定理和动量矩定理（包括质心运动定理和相对于质

心的动量矩定理）只与质点系的外力有关，用其解题时，只需分析

外力，不需分析内力。而用动能定理解题时需分析所有主动力所作

功，不需要分析约束反力所作功。

动力学普遍定理的各种守恒定律，各有特点和适用条件，在满

足条件的前提下，可用于求质点系的运动。

《理论力学》很枯燥，概念很抽象，课程内容包括静力学、运

动学和动力学三大块，各部分相互贯通、相互渗透的、互相联系、

不可分割。理论力学的教学应该适应课时被大量的压缩的现实，任

课教师在教学中以概念作为为基础，通过概念、判断、推理的形式,

认识事物的本质；通过归纳与演绎（从个别到一般、从i般到个别）、

分析与综合（分析是综合的基础，综合是分析的完成）等，让学生

对概念、定理深入理解，全面掌握分析和解决问题思路和方法。

运用联系与类比的方法，剖析基本概念和基本定理

《理论力学》的概念繁多，与高中物理和大学物理有很多重复,

研究思路有很大的相似性，一些基本的概念可以让学生自己复习一

下，教师不用再讲述。但从联系角度出发把概念进行归类，概念是

思维的细胞，离开了概念，所有的理论就成了无源之水，无本之木。

所以分析概念的联系与区别，抛弃事物的片面性和表面性，抓住本

本课程主质属性，按照现象一概念一推理一本质性结论这样的过程，学会如

要教学方何进行知识的迁移，提升分析问题的水平。例如：静力学部分的概

法、手段念主要包括力、力偶、力矩的概念，从它们的联系出发直接比较三

者的异同，三者在轴上的投影分析，接着讲解它们的如何简化的方

法，分清各个简化定理的使用范围及成立条件，对比平面力系与空

间力系的简化结果，加强对结论的理解，从约束反力角度分析摩榛

力性质和特点，讲解该部分内容时需要联系动力学的一个重要概

念：动量矩，同时把相关概念解释清楚，再讲解相关定理，这样可

以节约很多时间。运动学部分：先研究点在矢量坐标系、自然坐标

系、直角坐标系运动规律，分析同一点在三个坐标系中的关系及运

动规律的描述方法。再比较分析不同参考系中三种运动的定义：即

绝对运动、相对运动、牵连运动。阐述三种定义时，必须通过一个

具体的例子，结合辩证法思想分析三者的联系和区别，尤其是三种

运动的轨迹曲线特点，找出动点、动系、定系、牵连点关系。牵连

速度求解问题是个难点，必须分清在所选参考系的轨迹是否明显，

特别要注意三种速度的方向和三种速度关系，发现它们始终满足平

行四边形法则，比较刚体的平动与刚体的平面运动的概念，弄清楚

两种运动规律速度、角速度、角加速度、加速度特点和求解方法，

这两个概念学生很容易混，把平面运动看成平动，把平动当成平面

运动。动力学部分与静力学、运动学是很有联系的，它是探讨作用

力与机械运动的科学，例如速度对时间变化率是加速度，动量矩对

时间的变化率推导出动量矩定理和刚体定轴转动的微分方程，功对

时间的变化率推导出功率方程，这样就可以解决平动效应与主矢、

转动效应与主矩的关系。从公式联系出发，推导出公式容易理解，

方便记忆，能够灵活运用解决具体问题。

运用归纳与演绎的方法，即从个别到一般，从一般到个别的方

法，把握定理和概念的运用

课堂教学从个别实例推导出一般理论（定理和公式）可以节约

时间，提高效率，帮助学生学会分析问题。例如，静力学部分关键

是受力分析，要把受力分析把握好，必须要搞清楚约束的特征，该

部分内容可以通过一个包含各种约束的例题来说明各种约束和约

束反力特点，这样非常明了。研究力系平衡问题时，寻找一个典型

求解平面力系平衡问题的例题和一个空间力系的平衡问题的例题，

归纳出运用力矩与投影方程的规律，选择坐标系的技巧，简化计算，

提高学生学习《理论力学》的兴趣。运动学部分的速度合成定理通

过一艘船横渡河流的实例，分析三种运动，推导出速度合成定理的

公式，即绝对速度等于牵连速度与相对速度的矢量和，学生对公式

的把握更直观，便于理解和运用，再举例分析，理解得到强化，至

于公式的推导可以自行学习。同样可以推出牵连运动为平动和转动

时点的加速度合成定理，再通过实例分析比较加速度公式异同，分

析科氏的方向和大小的计算，科氏加速度是一个难点，搞清楚它来

源于两个部分：一部分是由于相对速度方向的改变产生；一部分是

牵连速度大小的改变而产生，同时结合矢量投影定理的应用。利用

同样的方法研究平面运动的合成与分解，可以剖析平面图形内各点

速度和加速度求解方法，通过典型例题讲解，最好是可以分别运用

基点法、速度投影定理、速度瞬心三种方法在同一题中求同一点的

速度，让学生比较分析三种求速度的方法的特点，总结出它们的规

律，然后，出三道类似的计算题让学生自己分析。工科的学生注重

公式、理论的运用，公式的理论推导可以作一般性了解，掌握这些

方法后再去解决具体问题，可以得心应手，游应有余，调动学生学

习《理论力学》的积极性。

运用分析与综合的方法，提高学生灵活、综合运用知识解决实

际问题的能力

分析就是把所要研究的问题进行分解，再把分解的各个部分加

以研究，找出规律性的东西。综合就是把整个问题分解成各个部分

的基础上，再按其内在规律结合成一个统一整体，不是简单地、机

械地凑合在一起的，分析与综合实际上是个整体与部分的关系问

题，也是个共性与个性的问题。一个正确的认识过程，就是要把分

析与综合两者结合起来，才能形成一个关于事物的统一的整体认

识。在《理论力学》的教学过程中运用分析与综合的思维方法，可

以培养学生的创新能力、建构力学模型的能力，这个能力可以体现

在周培源全国大学生力学竞赛综合题上，就是说，主要应用于解决

具体问题的综合运用上，也是作为•种辩证的逻辑思维方法价值所

在。例如，在静力学受力分析时，画整体受力分析与各个杆件的受《理

力分析，可以看成分析与综合思维方法的运用，运动学部分：点与

刚体的复合运动的综合题，体系包括二、三个以上的杆件，先分析论力

每个杆件的运动规律，杆件的运动一般分为定轴转动、平面运动、

平动。再分析点的运动的速度、加速度、角速度、角加速度，对于学》授

平板构件，可以进行简化为杆件来研究其运动规律。最后综合分析

整体运行规律，可能还要多次运用矢量投影定理（速度矢量投影和课记

加速度矢量投影）。动力学部分：最重要、最难的是运用动力学的

普遍定理即动量定理、动量矩定理和动能定理解决动力学综合性的录

问题，对于动力学的问题，可以从运动微分方程和和牛顿三定律出

发来解映^第为相盛理隔㈱侬受树蜀物力学普遍定理联哈求解会变得

存班,1能楙找制崭适的解题方法，该部分采用今析与

授课课题

绩畲的思雒樨凝冽系统的整体和部分关wr选择木同的

物海硼的定理环洞力遢:宓分析的根重点是不一村泊勺。由于内

力或内力t矢不改变雷点系IKJ动量和动E动量和动量

课程类型矩定理部靓有必要考榔）力,但或用动自

t然后，从

教学过、析可以让复

程设计杂的问题简单化。

《理论力学》中的许多问题的力学模型来源于实际工程问题，

掌握好《理论力学》学习方法和基础知识，调动学生的学习的积极

复习旧课

性和学习兴趣，增强学生解决实际问题的能力。能够为后续专业课

程的学习打下坚实的基础。

一、理论力学的研究对象

导入新课

二、理论力学的研究方法

嬴窕理论力学1.哈工大主编.高教出版社.2009第7版

本课程教参考相黄理塾％攀亢施鞍珊编.高等教育出版社.2010第2版

材、参考书理论力爰通能务孽伊知楠至浦丁檎琴莪曾出假曲科20也戏与搬运

动是指物体在空间的位黄随时间的变化。

物悴OV机侬运叨郁服队宋营■见义观仔，达受，力又现伴万比yr7J

教研室主任全£希理学的研究对象。按照循序渐进的认识规才期本书分为静力学、

教学内容运劫学、动力学二部分依次进行研究A

静力学是研究物体平衡的科学，是研究动力学的基础。在工

程中具有重要的意义。平衡是物体机械运动的特殊形式。静力学

中主要研究力系的简化和物体的平衡条件。

运动学是研究物体在空间的位置随时间变化规律的科学，在

工程中有其独特的意义。如对一部机器，为了满足生产的需要，

首先要求各零部件能正确实现预先规定的运动，这就需要运动学

的知识。也就是运动学只从稽核的角度来研究物体的运动（如轨

迹、速度和加速度等），而并不研究引起物体运动的物理原因。

动力学研究的是物体机械运动的变亿和作用在物体上的力之

间的关系，在理论力学中占有主体地位。动力学研究的就是受力

物体的运动与作用力之间的关系。

二、理论力学的研究方法

任何一门学科由于研究对象的不同而有不同的研究方法，但

是通过实践而发现真理，这是任何科学技术发展的正确途径。理

论力学的发展史也遵循着这一认识规律。概括地说，理论力学的

研究方法是从对事物的观察、实践和科学实脸出发，经过分析、

综合归纳和抽象化，建立起力学模型，总结出力学的最基本的概

念和规律；从基本规律出发，利用数学推理演绎，得出具有物理

意义和实用意义的结论和定理，构成力学理论；然后再回到实践

中去脸证理论的正确性，并在更高的水平上指导实践，同时从这

个过程中获得新的材料、新的认识，再进一步完善和发展理论力

学。

三、学习理论力学的目的

理论力学是现代工程技术的理论基础，它的定律和结论被广泛应

用于各种工程技术中。各种机械、设备和结构的设计，机器的自

动调节和振动的研究，航天技术等等，都要以理论力学的理论为

基础。另外对于工程实际中出现的各种力学现象，也需要利用理

论力学的知识去认识，必要时加以利用或消除。因此一般工程技

术人员都必须具备一定的理论力学知识。

理论力学是一门理论性较强的技术基础课。通过学习本课程，要

掌握物体机械运动的基本规律，初步学会运用这些规律去分析

第一章静力学公理和物体的受力分析

第一节静力学公理

\基本概念

1.平衡：指物体相对于地面保持静止或匀速直线运动的状态，平

衡是机械运动的一种特殊形式。

2.刚体：物体受力作用后大小和形状保持不变的物体，特征是刚

体内任意两点的距离始终保持不变。

3.物体间的相互机械作用，这种作用可使物体的运动状态和形状

发生改变。

改变物体运动状态的效应叫外效应，也叫运动效应，改变物体形

状状态的效应叫内效应，也叫变形效应

4.力系：作用在物体上的一群力，记为（6，E，…，E）

5.等效力系：若两个力系对物体的效应完全相同，则称这两个力

系为等效力系，记为

（月,月,…,E）三（G，&,••・&）

等效的两个力系可以相互代替，称为力系的等效替换。

6.力系的简化：用一个简单的力系等效替换一个复杂的力系。

合力：一个力的作用效应同一个力系的作用效应相同。

（户）三（R,户2,…，或）

平衡力系：（5）三（八，…，力

二、静力学公理

1.二力平衡公理：作用在刚体J•的二力使刚体平衡的充要条件

是：大小相等、方向相反、作用在一条直线上。

X

应用此公理，可进行简单的受力分析。构件AB在A、B各受

一力而平衡，则此二力的作用线必定在AB的连线上，像这种受两

力而平衡的构件，称为二力构件（二力杆）。

2.加减平衡力系公理：在作用于刚体的已知力系中加上或减去任

何平衡力系，并不改变原力系对刚体的效应。

推论1力的可传性：作用于刚体上的力可沿其作用线移至同

一刚体内任意一点，并不改变其对于刚体的效应。

证明：P=F\=-户2

（户）三（户，E，E）=（K）

由推论1可知：对于刚体来说，作用点并不重要，对力的作

用线有影响的是力的作用线，因而，对刚体来说，力的三要素是

大小、方向和作用线。

3.力的平行四边形法则：作用于物体上某一点的两力，可以合成

为一个合力，合力亦作用于该点上，合力的大小和方向可由这两

个力为邻边所构成的平行四边形的对角线确定。

力的三角形法则：F=F,+A

推论2三力平衡正交定理：当刚体受三力作用而平衡时，若其中

两力作用线相交于一点，则第三力作用线必通过两力作用线的交

点，且三力的作用线在同一平面内。

证：（图解）

由平行四边账法则

（%%）=（户）（E，凰户3）=（艮片）」.凡E二力平衡必共线，

过A点。

4.作用力与反作用力定律：两物体间的相互作用力总是大小相等、

方向相反，沿同一直线，分别作用在两个物体上。

5.刚化原理：若将处于平衡状态的变形体刚化为刚体，则平衡状

态保持不变。（举例）应写出具体的例子来。

户＜-----O-O-O-O-O-O-O---A户

此公理说明，刚体的平衡条件是变形体平衡的必要条件。

§1-2约束和约束反力

1.基本概念：

自由体：可以在空间不受限制地任意运动的物体。例子！

非自由体：运动受到了预先给定条件的限制的物体。例子！

约束：事先对物体的运动所加的限制条件。

约束力：约束对被约束物体的作用力，它是一种被动力。

（主动力：使物体运动或有运动趋势的力。）

约束力三要素：作用点：在相互接触处

方向：与约束所能阻止的物体的运动方向相反。

大小：不能事先知道，由主动力确定。

2.常见约束

①柔性约束:

概念：像由链条、绳索等柔软的、不可伸长的、不计重量的柔性

连接物体构成的约束。

限制的运动：限制物体沿着柔性伸长的方向运动。

约束力方向：沿着绳索，背离物体，是拉力。

其它例子：

②光滑接触面约束

概念：两物体直接接触，不计接触处磨擦而构成的约束。

限制的运动：限制了物体沿过接触点的公法线而趋向接触面方向

的运动。

约束力方向：沿过接触点的公法线而指向物体是压力。

更多的例子：

A

③光滑较链约束

活动较支座固定较支座

概念：两个构件钻有同样大小的圆孔，并用与圆孔直径相同的光

滑销钉连接而构成的约束。限制的运动：限制物体沿圆柱销的任

意径向口例，而不能限制绕圆柱销轴线的转动和平行圆柱销轴线

方向的移动。

约束力分析图

约束力三要素：

作用点：接触点，但此点不能事先确定。

方向：沿过接触点的公法线方向，生直于轴线，是压力。但

实际上由于接触点不能事先确定，因而约束力的方向也不能预先

确定，通常用两个正交未知分力表示。

大小：由主动力确定。

方向：过轴心，垂直于轴，方向不变，通常用正交合力表示。

④棍轴支座

概念：较支座用几个辐轴支承在光滑的支承上，它是光滑接触面

约束和光滑较摧约束的复合。

限制的运动：限制了沿支承面法线方向的运动。

约束力：

约束力方向：垂直于支承面，指向求知。

§1-3物体的受力分析和受力图

为了根据已知力求出未知力，需要弄清楚物体受哪些力即每个力作用

线的位直及方向。这个分析物体受力情况的过程称为物体的受力分析。

解决力学问题时，需要分析某个物体或若干物体组合而成的系统的受

力情况，这个物体或若干物体组成的系统称为研究对象。为了清晰的表示

研究对象的受力情况，需要把研究对象从与它有联系的周围其他物体中分

离出来，单独画出研究对象的简图，这称为画分离体图。在分离体的简图

上画出它所受的全部力（包括主动力和约束反力），这种表示分离体受力情

况的简明图形称为物体的受力图。

1、解除约束原理：当受约束的物体在某些主动力的作用下处于平衡，若

将其部分或全部的约束除去，代之以相应的约束力，则物体的平衡不受影

响。

2、画受力图步骤如下：

1、根据题意，恰当的选取研究对象，划出研究对象的分离体图：

2、在分离体图上，画出它所受的主动力，如重力、风力、已知力等。

并标注上各主动力的名称；

3、根据约束的类型，画出分离体所受的约束反力，并标注上各约束反

力的名称；

4、为了计算方便，在受力图上标上有关的尺寸、角度和坐标，并写上

各力作用点的名称。

画受力图不仅在静力学，而且在动力学中都是进行力学计算的重要步

骤。错误的受力图必将导致错误的结果，只有正确的受力图才能得出正确

的解答。因此必须正确熟练的掌握受力图的画法。下面举例说明。

例：已知：物块重P,小球重G