重庆万州区七校联盟2024-2025学年九年级下学期数学第一次月考试卷（原卷版+解析版）

数学一、选择题（每小题4分，共40分）1.有理数的绝对值是（）A. B. C.3 D.2.纹样作为中国传统文化的重要组成部分，是古人智慧与艺术的结晶，反映出不同时期的风俗习惯，早已融入我们的生活.下面纹样的示意图中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A.如意纹 B.冰裂纹C.盘长纹 D.风车纹3.如果，且，那么一定正确是（）A.a为正数，且 B.a为正数，且C.b为负数，且 D.b为负数，且4.如图，直线，点B在直线b上，且，若∠1=125°，则∠2=（）A.125° B.130° C.135° D.145°5.如图，图1有4颗星，图2有6颗星，图3有9颗星，……，按照此规律图10的星星颗数为（）A.55 B.58 C.65 D.696.估算的值在（）A.4和5之间 B.5和6之间 C.6和7之间 D.7和8之间7.已知抛物线，抛物线与轴交于，两点，则，，，的大小关系是（）A. B. C. D.8.我国古代数学著作《九章算术》记载了这样一道题：“以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺，问绳长井深各几何？”题意是：用绳子测量水井深度，如果将绳子折成三等份，那么每等份井外余绳四尺；如果将绳子折成四等份，那么每等份井外余绳一尺．问绳长和井深各多少尺？下列说法正确是（）A.设绳子长为x尺，则所列方程为B.设井深为x尺，则所列方程为C.井深8尺D.绳子的长是32尺9.如图，圆是等边三角形的内切圆，分别与、、切于点，，，，点是弧上一点，且过圆心，求阴影部分的面积（）A. B. C. D.10.对于任意有序排列的整式，我们将相邻两个整式和的一半放在这两个整式之间，形成一组新的整式，这种操作称为“有序插队”，并把所得整式之和记为；现对整式：，，依次进行“有序插队”，已知第一次“有序插队”后所得的整式是：，，，且，以此类推，则下列说法中，正确的为（）①经过第二次“有序插队”后整式是：，，，，；②若，则；③若，，则可以经过次“有序插队”后使得为整数．A.①② B.①③ C.②③ D.①②③二、填空题（每小题4分，共24分）11.计算：________．12.万州是一座历史悠久的滨湖城市，不仅有迷人的风景，还有令人垂涎的美食，万州格格、万州杂酱、万州烤鱼更是无数游客必须的打卡美食．甲、乙、丙三人相约来到万州旅游，三人分别从万州格格、万州杂酱、万州烤鱼三种美食中随机选择一种美食品尝，甲、乙、丙三人同时选择万州烤鱼的概率为________．13.如图，在矩形中，点在上，，以为圆心，为半径的圆弧交于点，交于点．若是的中点，，则的长为______．14.关于x不等式组的解中至少包含三个整数，且关于y的分式方程的解是不小于的整数，则满足条件的所有整数a的值的和是________________．15.如图，在中，，，是边上一点，且，连接，把沿翻折，得到，与交于点，连接，则的面积为___________．16.如果一个四位数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足，那么称这个四位数为“胜利数”．将“胜利数”的千位数字与十位数字对调后，再将这个四位数的百位去掉，这样得到的三位数记为，记，例如：四位数1729，∵，∴1729不是“胜利数”，又如：四位数5432，∵，∴5432是“胜利数”，.若能被7整除，令，则所有满足条件的之和是______；若对于“胜利数”，在能被7整除的情况下，记，则当取得最大值时，“胜利数”是_____．三、解答题（第17题16分，其余每小题各10分，共86分）17.计算：（1）（2）18.寒假期间休闲放松，观影是个好选择，电影《哪吒之魔童闹海》上映10天突破60亿票房成为中国电影票房榜冠军，为了解大家对电影的评价情况，小川同学从某电影院上午、下午观影后的观众中各随机抽取20名观众对电影评价评分（十分制）进行收集、整理、描述、分析．所有观众的评分均高于8分（电影评分用表示，共分成四组：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息：上午20名学生的评价评分为：，，，9，9，，，，，，，，，，，，，10，10，10．下午20名学生的评价评分在C组的数据是：，，，，，，，．上下午所抽观众的评价评分统计表

上午下午平均数中位数众数（1）上述图表中___________，___________，___________；（2）根据以上数据分析，你认为该影院上、下午观众中哪个时间段的观众对电影的评分较高？请说明理由（写出一条理由即可）；（3）上午有800名观众，下午有600名观众参加了此次评分调查，估计上下午参加此次评分调查认为电影特别优秀的观众人数一共是多少？19.小西在探究角平分线性质的时候，他发出疑问，三角形的一个内角角平分线分其对边所成的两条线段与这个角的两边是否成比例？于是，他展开探究．根据他的想法与思路，完成以下作图和填空．（1）在中，用尺规作图作的角平分线交与点，在射线上取一点，使得（不写作法，保留作图痕迹）．（2）在（）所作的图中，求证：．证明：∵平分，∴，又∵，∴，∴，∴，∴，∴，又∵，∴，依据证明过程，小西得出如下结论：___________．20.临近春节，某商店分别用元，元购进一批数量相同的福字和对联，每副对联的进价比每张福字的进价高元．（1）求一张福字和一副对联的进价分别是多少元？（2）这批福字和对联很快被一抢而空，该商店计划再购进一批福字和对联，此时每张福字的进价上涨了元，购进福字的数量在第一次的基础上减少了张；对联的进价不变，购进对联的数量在第一次的基础上减少了副，总花费元，求的值．21.如图，在中，，，于点，动点从点出发．沿折线运动，到达点时停止运动，设点运动的路程为，连接，的面积为，的面积与点的运动路程的比为．（1）请直接写出，分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围；（2）在给定的平面直角坐标系中．画出函数，的图象，并写出函数的一条性质；（3）结合函数图象，请直接写出函数时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）．22.一艘渔船在海中自西向东航行，返回渔港，当渔船航行到点时发现剩余油量不足．可知附近有两岛可以加油，经观测，点在点的正南方，点在点的正东方，点在点的东北方向，点在点的南偏西方向，点在点的北偏西方向海里处．（参考数据：，，）（1）求的长度（结果精确到海里）；（2）该渔船准备加油后返回渔港，决定选择一条较短线路，请计算说明该渔船应选择路线，还是路线？23.在平面直角坐标系中，抛物线（）图象与x轴交于、两点，与y轴交于点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点是直线上方抛物线上的一个动点，连接、；点为轴上的一个动点，点为轴上的一个动点，连接、、．当的面积取得最大值时，求点的坐标及周长的最小值；（3）如图2，在（2）的条件下，连接，将抛物线沿射线的方向平移得到新抛物线，使得新抛物线经过点，且与直线相交于另一点，点为抛物线上的一个动点，当时，直接写出符合条件的所有点的坐标．24.如图三角形中，点在线段上，点在线段上，连接、交于点．（1）如图1，，，平分．若．求的长．（2）如图2，是等边三角形．延长至点，连接，连接交于点．若，．求证．（3）如图3，，，且，，．点、是平面内直线上方的动点且总有，．若，直接写出线段取得最小值．

数学一、选择题（每小题4分，共40分）1.有理数的绝对值是（）A. B. C.3 D.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了绝对值的概念，熟练掌握正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，0的绝对值等于0是解决此题的关键．根据绝对值的性质解答即可．【详解】解：，

故选：C

．2.纹样作为中国传统文化的重要组成部分，是古人智慧与艺术的结晶，反映出不同时期的风俗习惯，早已融入我们的生活.下面纹样的示意图中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A.如意纹 B.冰裂纹C.盘长纹 D.风车纹【答案】D【解析】【分析】本题考查轴对称图形，中心对称图形．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此进行判断即可．【详解】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，则A不符合题意；B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，则B不符合题意；C、是轴对称图形，也是中心对称图形，则C不符合题意；D、不是轴对称图形，但它是中心对称图形，则D符合题意．故选：D．3.如果，且，那么一定正确的是（）A.a为正数，且 B.a为正数，且C.b为负数，且 D.b为负数，且【答案】C【解析】【分析】根据可知然后两种情况：或分别讨论．【详解】解：∵，∴则a一定是正数，此时，与已知矛盾，∴，∵，当时，①若a、b同号，∵∴，②若a、b异号，∴，综上所述时，，．故选：C．【点睛】本题主要考查了有理数的减法、绝对值、有理数的加法、正数和负数，掌握加法、减法运算法则，分情况讨论是解题关键．4.如图，直线，点B在直线b上，且，若∠1=125°，则∠2=（）A.125° B.130° C.135° D.145°【答案】D【解析】【分析】根据平行线性质可求∠DBA，进而可求出∠DBC，再根据平行线的性质可求∠2．【详解】解：如图，∵，∴∠DBA+∠1=180°，∠2=∠DBC，∴∠DBA=180°-∠1=180°-125°=55°，∵AB⊥BC，∴∠ABC=90°∴∠DBC=∠ABC+∠DBA=145°，∴∠2=∠DBC=145°．故选：D．【点睛】本题考查平行线的性质，解题关键是结合图形利用平行线的性质进行角的转化和计算．5.如图，图1有4颗星，图2有6颗星，图3有9颗星，……，按照此规律图10的星星颗数为（）A.55 B.58 C.65 D.69【答案】B【解析】【分析】本题考查了图形的变化类—规律型，根据题目总结出图形的变化规律是解题的关键．根据题意得出图形中的数量的变化规律是解题的关键．【详解】解：根据题意得，图1有颗星，图2有颗星，图3有颗星，图10有颗星，故选：B

．6.估算的值在（）A.4和5之间 B.5和6之间 C.6和7之间 D.7和8之间【答案】C【解析】【分析】题考查了二次根式的混合运算以及估算无理数的大小，能估算出的范围是解此题的关键．利用二次根式的混合运算将原式化简，再进行无理数的估算即可．【详解】解：∵∴即，故选：C．7.已知抛物线，抛物线与轴交于，两点，则，，，大小关系是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查的是抛物线与轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，正确理解图象的平移是本题解题的关键．设，而，即函数向上平移1个单位得到函数，通过画出函数大致图象即可求解．【详解】解：设，则、是函数和轴的交点的横坐标，而，即函数向上平移1个单位得到函数，则两个函数的图象如图所示，从图象看，，故选：A．8.我国古代数学著作《九章算术》记载了这样一道题：“以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺，问绳长井深各几何？”题意是：用绳子测量水井深度，如果将绳子折成三等份，那么每等份井外余绳四尺；如果将绳子折成四等份，那么每等份井外余绳一尺．问绳长和井深各多少尺？下列说法正确的是（）A.设绳子长x尺，则所列方程为B.设井深为x尺，则所列方程为C.井深8尺D.绳子的长是32尺【答案】C【解析】【分析】根据一元一次方程的应用，设不同未知数解答即可．本题考查了古籍中的一元一次方程，熟练掌握列方程的基本要领是解题的关键．【详解】解：设绳子长为x尺，根据题意，得，解得，故（尺）．设井深为x尺，根据题意，得，故A，B，D都是错误的，C是正确的，故选：C．9.如图，圆是等边三角形的内切圆，分别与、、切于点，，，，点是弧上一点，且过圆心，求阴影部分的面积（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了等边三角形的性质，三角形的内切圆的性质，求扇形面积；连接，，根据题意得出，，，则，，求得，进而根据即可求解．【详解】解：如图所示，连接，∵圆是等边三角形的内切圆，分别与、、切于点，，，∴，，，则，∵∴，在中，∴，，∴∵∴∴∴∵∴∴故选：B．10.对于任意有序排列的整式，我们将相邻两个整式和的一半放在这两个整式之间，形成一组新的整式，这种操作称为“有序插队”，并把所得整式之和记为；现对整式：，，依次进行“有序插队”，已知第一次“有序插队”后所得的整式是：，，，且，以此类推，则下列说法中，正确的为（）①经过第二次“有序插队”后的整式是：，，，，；②若，则；③若，，则可以经过次“有序插队”后使得为整数．A.①② B.①③ C.②③ D.①②③【答案】A【解析】【分析】本题考查了整式的加减，读懂题目信息，理解有序插队的定义，以及根据数字的变化规律，得出是解题的关键，根据有序插队的定义，可得第二次有序插队后的整式，进而可以得到，即可判断；分别计算出、、，根据数字的变化规律，可得，即可判断②；根据②中所得，当时，计算可得是否为整数，即可判断③．【详解】解：①第二次“有序插队”后的整式是，故正确；，，，，整理得，因为，所以，故正确；若，则，故不是整数，故错误；故答案为：A二、填空题（每小题4分，共24分）11.计算：________．【答案】3【解析】【分析】本题考查实数的混合运算，掌握零指数幂运算法则与特殊角的三角函数值是解题的关键．先把特殊角三角函数值代入，并根据零指数幂运算法则计算，去绝对符号，再计算乘法，最后计算加减即可．【详解】解：原式．故答案为：3．12.万州是一座历史悠久的滨湖城市，不仅有迷人的风景，还有令人垂涎的美食，万州格格、万州杂酱、万州烤鱼更是无数游客必须的打卡美食．甲、乙、丙三人相约来到万州旅游，三人分别从万州格格、万州杂酱、万州烤鱼三种美食中随机选择一种美食品尝，甲、乙、丙三人同时选择万州烤鱼的概率为________．【答案】【解析】【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，先画树状图得到所有等可能性的结果数，再找到两人同时选中万州烤鱼的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．【详解】解：设分别用A、B、C表示万州格格、万州杂酱、万州烤鱼，画树状图如下：由树状图可知，一共有27可能性的结果数，其中他们同时选中万州烤鱼的结果数有1种，∴他们同时选择万州烤鱼的概率为故答案为：．13.如图，在矩形中，点在上，，以为圆心，为半径的圆弧交于点，交于点．若是的中点，，则的长为______．【答案】【解析】【分析】由是的中点可想到垂径定理以及弧相等则弧所对的弦相等，进而作辅助线、、，可得到等腰三角形和直角三角形，由矩形的性质，同角或等角的余角相等可推出，又有，可得，利用相似三角形的性质可求出，设，在中，用勾股定理列方程即可求出．【详解】解：如图，连接、、，是的中点，点P是圆心，，垂径定理，，作于，四边形矩形是矩形，，四边形是矩形，，，，设，则，，，等边对等角，等腰三角形三线合一，，，，，，，，，，在中，，即，解得，故答案为：．【点睛】本题考查了圆的圆心角、弧、弦的性质、垂径定理，矩形的性质以及勾股定理．相似三角形的性质和判定，是一道几何综合题，需要熟练掌握相关的性质并能熟练应用．14.关于x的不等式组的解中至少包含三个整数，且关于y的分式方程的解是不小于的整数，则满足条件的所有整数a的值的和是________________．【答案】【解析】【分析】本题考查分式方程的解和一元一次不等式组的整数解．由题意分别解不等式组的两个不等式，根据“该不等式组的解中至少包含三个整数”，得到关于a的不等式组，解之，解分式方程，结合“该分式方程的解是不小于的整数”，得到a的值进而即可得到答案．【详解】解：解不等式，得，解不等式，得，∵该不等式组的解中至少包含三个整数，∴该不等式组至少有整数解5，6，7，则有，解得，解分式方程得：且，∵该分式方程的解是不小于的整数，∴，则a的值为3的倍数，且，∴，且，∵，∴，且a为3的倍数，，则整数a的值为或或，即满足条件的所有整数a的值之和为．故答案为：．15.如图，在中，，，是边上一点，且，连接，把沿翻折，得到，与交于点，连接，则的面积为___________．【答案】【解析】【分析】过点B作交的延长线于G，证明；延长交的延长线于H，证明，过点B作于F，证明，利用勾股定理，三角形相似，面积计算的分割法，解答即可．【详解】解：∵，，，∴，∴，，过点B作交的延长线于G，∴，∵，∴，∴，∴，∴，，∴，，延长交延长线于H，由折叠知，，，，∵，∴，∴∴，∴，，∴，，，过点B作于F，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，即，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理，三角形相似的判定和性质，分割法计算图形的面积，熟练掌握勾股定理，折叠的性质，三角形相似的判定和性质是解题的关键．16.如果一个四位数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足，那么称这个四位数为“胜利数”．将“胜利数”的千位数字与十位数字对调后，再将这个四位数的百位去掉，这样得到的三位数记为，记，例如：四位数1729，∵，∴1729不是“胜利数”，又如：四位数5432，∵，∴5432是“胜利数”，.若能被7整除，令，则所有满足条件的之和是______；若对于“胜利数”，在能被7整除的情况下，记，则当取得最大值时，“胜利数”是_____．【答案】①.30②.8129【解析】【分析】本题考查的是数的整除，乘法分配律的灵活应用，二元一次方程的正整数解问题，由，可得能被7整除，再分类讨论即可．清晰的分类讨论是解本题的关键．【详解】解：∵，，∴，∵能被7整除，∴能被7整除，∵，，∴，，∴，21或35，∴，10，17，∴满足条件的t之和是．要使

最大，则应尽可能大，且c尽可能小，∴，此时，∵，10或17，∴c最小为2，此时“胜利数”S是8129．故答案为：30，8129．三、解答题（第17题16分，其余每小题各10分，共86分）17.计算：（1）（2）【答案】（1）（2）【解析】【分析】本题考查了整式及分式的混合运算：要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．（1）先运用整式的运算法则展开，再去括号，最后进行加减运算即可；（2）先把分子分母因式分解，再把除法运算化为乘法运算，然后约分即可．【小问1详解】解：原式，，；【小问2详解】解：原式，，，，，18.寒假期间休闲放松，观影是个好选择，电影《哪吒之魔童闹海》上映10天突破60亿票房成为中国电影票房榜冠军，为了解大家对电影的评价情况，小川同学从某电影院上午、下午观影后的观众中各随机抽取20名观众对电影评价评分（十分制）进行收集、整理、描述、分析．所有观众的评分均高于8分（电影评分用表示，共分成四组：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息：上午20名学生的评价评分为：，，，9，9，，，，，，，，，，，，，10，10，10．下午20名学生的评价评分在C组的数据是：，，，，，，，．上下午所抽观众的评价评分统计表

上午下午平均数中位数众数（1）上述图表中___________，___________，___________；（2）根据以上数据分析，你认为该影院上、下午观众中哪个时间段的观众对电影的评分较高？请说明理由（写出一条理由即可）；（3）上午有800名观众，下午有600名观众参加了此次评分调查，估计上下午参加此次评分调查认为电影特别优秀的观众人数一共是多少？【答案】（1），，40（2）上午观众时间段的观众对电影的评分较高，理由见解析（3）此次评分调查认为电影特别优秀的观众人数一共是1080人【解析】【分析】本题考查了求中位数，众数，用样本估计总体．（1）根据中位数，众数的定义，即可求出a和b的值，先求出下午a组的人数所占百分比，即可求出m的值；（2）根据上午和下午平均数，中位数，众数，即可得出结论；（3）将上午和下午认为电影特别优秀的观众人数相加即可．【小问1详解】解：∵上午的数据中，出现4次，出现次数最多，∴；，，∵，∴下午的中位数在C组，∴，，∴，故答案为：，，40．【小问2详解】解：∵上午的平均数，中位数，众数均高于下午，∴上午观众时间段的观众对电影的评分较高．【小问3详解】解：（人），答：此次评分调查认为电影特别优秀的观众人数一共是1080人．19.小西在探究角平分线性质的时候，他发出疑问，三角形的一个内角角平分线分其对边所成的两条线段与这个角的两边是否成比例？于是，他展开探究．根据他的想法与思路，完成以下作图和填空．（1）在中，用尺规作图作的角平分线交与点，在射线上取一点，使得（不写作法，保留作图痕迹）．（2）在（）所作的图中，求证：．证明：∵平分，∴，又∵，∴，∴，∴，∴，∴，又∵，∴，依据证明过程，小西得出如下结论：___________．【答案】（1）作图见解析；（2）；；；三角形的一个内角角平分线分其对边所成的两条线段与这个角的两边成比例．【解析】【分析】（）作角平分线和作一条线段等于已知线段即可；（）根据角平分线的定义和等边对等角得出，则，故有，然后根据相似三角形的性质即可求解；本题考查了尺规作图，角平分线的定义，等边对等角，相似三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键．【小问1详解】解：如图，【小问2详解】证明：∵平分，∴，又∵，∴，∴，∴，∴，∴，又∵，∴，依据证明过程，小西得出如下结论：三角形的一个内角角平分线分其对边所成的两条线段与这个角的两边成比例．故答案为：；；；三角形的一个内角角平分线分其对边所成的两条线段与这个角的两边成比例．20.临近春节，某商店分别用元，元购进一批数量相同的福字和对联，每副对联的进价比每张福字的进价高元．（1）求一张福字和一副对联的进价分别是多少元？（2）这批福字和对联很快被一抢而空，该商店计划再购进一批福字和对联，此时每张福字的进价上涨了元，购进福字的数量在第一次的基础上减少了张；对联的进价不变，购进对联的数量在第一次的基础上减少了副，总花费元，求的值．【答案】（1）一张福字进价为元，一副对联的进价为元；（2）的值为2．【解析】【分析】此题考查了分式方程的应用和一元二次方程的应用．（1）设一张福字进价为元，一副对联的进价为元，商店分别用300元，800元购进一批数量相同的福字和对联，据此列方程，解方程并检验即可；（2）根据总花费1100元列出一元二次方程，解方程即可得到答案．【小问1详解】解：设一张福字进价为元，一副对联的进价为元，解得，经检验是方程的解且符合题意，∴答：一张福字进价为元，一副对联的进价为元；【小问2详解】第一次购进福字（张），第一次购进对联（副），根据题意可得，解得（不合题意，舍去）答：的值为2．21.如图，在中，，，于点，动点从点出发．沿折线运动，到达点时停止运动，设点运动的路程为，连接，的面积为，的面积与点的运动路程的比为．（1）请直接写出，分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围；（2）在给定的平面直角坐标系中．画出函数，的图象，并写出函数的一条性质；（3）结合函数图象，请直接写出函数时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）．【答案】（1），（2）见解析，当时，随x增大而减小，当时，随x增大而增大（答案不唯一）（3）【解析】【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，勾股定理，三线合一定理：（1）由三线合一定理得到，则由勾股定理得到，进而可得，即；当点P在上时，过点D作于H，根据等面积法求出，则，再由对称性可求出当点P在上时，；（2）根据（1）所求画出对应的函数图象，再写出对应函数的性质即可；（3）求出两函数的交点坐标，根据函数图象找到函数图象在函数图象上方时自变量的取值范围即可．【小问1详解】解：∵在中，，，，∴，∴，∴，∴；如图所示，当点P在上时，过点D作于H，∵，∴，∵，∴，由对称性可得当点P在上时，；综上所述，；【小问2详解】解：列表如下：…12…

……16…

……12…

126…如图所示函数图象即为所求；由函数图象可知，当时，随x增大而减小，当时，随x增大而增大．【小问3详解】解：联立得，此时，原方程无解；联立得，解得或由函数图象可知，当时，．22.一艘渔船在海中自西向东航行，返回渔港，当渔船航行到点时发现剩余油量不足．可知附近有两岛可以加油，经观测，点在点的正南方，点在点的正东方，点在点的东北方向，点在点的南偏西方向，点在点的北偏西方向海里处．（参考数据：，，）（1）求的长度（结果精确到海里）；（2）该渔船准备加油后返回渔港，决定选择一条较短线路，请计算说明该渔船应选择路线，还是路线？【答案】（1）海里；（2）该渔船应选择路线．【解析】【分析】（）由题意得，，，，，海里，过点作于，解得海里，再解即可求解；（）解直角三角形求出的长，进而求出两条线路的长度即可求解；本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，正确作出辅助线是解题的关键．【小问1详解】解：由题意得，，，，，海里，过点作于，则，在中，海里，在中，海里，∴的长度为海里；【小问2详解】解：在中，海里，在中，海里，∴海里，在中，海里，海里，∴路线的距离为海里，路线为距离为海里，∵，∴该渔船应选择路线．23.在平面直角坐标系中，抛物线（）的图象与x轴交于、两点，与y轴交于点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点是直线上方抛物线上的一个动点，连接、；点为轴上的一个动点，点为轴上的一个动点，连接、、．当的面积取得最大值时，求点的坐标及周长的最小值；（3）如图2，在（2）的条件下，连接，将抛物线沿射线的方向平移得到新抛物线，使得新抛物线经过点，且与直线相交于另一点，点为抛物线上的一个动点，当时，直接写出符合条件的所有点的坐标．【答案】（1）（2），周长的最小值（3）或【解析】【分析】（1）将、、的坐标代入解析式，即可求解；（2）过点作轴于，交直线于，由待定系数法得直线的解析式为，设，由得出二次函数，利用二次函数的性质即可求解；过点分别作轴、轴的对称点、，连接交轴于点交轴于点，则此时周长最小，即可求解；（3）由正切函数得，由勾股定理得，设将抛物线沿射线的方向平移（）个单位得到新抛物线，可得原抛物线水平向右平移个单位，向下平移个单位，平移后的二次函数，将代入可求的值，联立此抛物线和直线的解析式可求，①当在直线的上方，连接，过点作轴交于，作轴交的延长线于，过作轴于，由可判定，由三角形的性质得，，由正切函数及勾股定理得，可求，，可求，待定系数法可求直线的解析式为，联立此直线与的解析式即可求出的坐标；②当在直线的下方，过点作轴交于，作轴交于，过作轴于，同理可求直线的解析式为，设，由勾股定理得，可求出的值，从而可求，同理可求直线的解析式为，联立此直线与的解析式即可求出的坐标．【小问1详解】解：由题意得，解得：，；小问2详解】解：过点作轴于，交直线于，设直线的解析式为，则有，解得：，直线的解析式为，设，，，