第一篇　专题二　计算题培优练3　数学归纳法解决多次碰撞问题-2025高考物理二轮复习

计算题培优练3数学归纳法解决多次碰撞问题1.(14分)(2024·河南省信阳高级中学模拟)如图所示，质量为m的足够长的木板放在光滑的水平地面上，与木板右端距离为x的地面上立有一柔性挡板，木板与挡板发生连续碰撞时速度都会连续发生衰减，当木板与挡板发生第n次碰撞时，碰后瞬间的速度大小vn'与第一次碰前瞬间的速度大小v1满足关系式vn'=1n(n+1)v1。现有一质量为2m的物块以速度v0=4μgx从左端冲上木板，造成了木板与柔性挡板的连续碰撞(碰撞时间均忽略不计)，物块与木板间的动摩擦因数为(1)(3分)物块刚滑上木板时，求物块和木板的加速度大小；(2)(3分)从物块滑上木板到木板与柔性挡板第一次碰撞时，求物块与木板因摩擦产生的热量；(3)(8分)从物块滑上木板到木板与柔性挡板第n次碰撞时，求物块运动的位移大小。2.(16分)(2023·全国乙卷·25)如图，一竖直固定的长直圆管内有一质量为M的静止薄圆盘，圆盘与管的上端口距离为l，圆管长度为20l。一质量为m=13M的小球从管的上端口由静止下落，并撞在圆盘中心，圆盘向下滑动，所受滑动摩擦力与其所受重力大小相等。小球在管内运动时与管壁不接触，圆盘始终水平，小球与圆盘发生的碰撞均为弹性碰撞且碰撞时间极短。不计空气阻力，重力加速度大小为g(1)(5分)第一次碰撞后瞬间小球和圆盘的速度大小；(2)(4分)在第一次碰撞到第二次碰撞之间，小球与圆盘间的最远距离；(3)(7分)圆盘在管内运动过程中，小球与圆盘碰撞的次数。

答案精析1.(1)μg2μg(2)5μmgx(3)(152-2n-2解析(1)对物块由牛顿第二定律有μ×2mg=2ma1解得a1=μg对木板由牛顿第二定律有μ×2mg=ma2解得a2=2μg(2)从木板开始运动到第一次碰撞挡板有x=12a2从木板开始运动到发生第一次碰撞时的时间为t1=x这段时间内，物块的位移x1=v0t1-12a1解得x1=72故摩擦产生的热量为Q=μ×2mg(x1-x)解得Q=5μmgx(3)第一次碰撞前，木板的速度大小v1=a2t1=2μgx第一次碰撞后的速度大小v1'=11×2v1=(1-12)由对称性可知第二次碰前的速度v2=v1'故第一次碰撞到第二次碰撞的时间间隔为Δt1=2×v1'a2=2(1-故从木板开始运动到第二次碰撞时的时间间隔为t2=t1+Δt1=t1+2(1-12)t第二次碰撞后的速度v2'=12×3v1=(12-13第三次碰前的速度v3=v2'故第二次碰撞到第三次碰撞的时间间隔为Δt2=2×v2'a2=2(12故从木板开始运动到第三次碰撞时的时间间隔为t3=t2+Δt2=t1+2(1-13)t归纳可知，从木板开始运动到第n次碰撞时的时间间隔为tn=t1+2(1-1n)t1=(3-2n)该过程中，物块始终做匀减速运动，故对物块由运动学公式有x2=v0tn-12a1代入数据解得x2=(152-2n-2n2.(1)2gl22gl2解析(1)过程1：小球释放后自由下落，下降l，根据机械能守恒定律有mgl=12m解得v0=2过程2：小球以v0=2gl12mv02=12mv12mv0=mv1+Mv1'解得v1=m-Mm+v1'=2mm+M即第一次碰撞后瞬间小球速度大小为2gl2，方向竖直向上，圆盘速度大小为(2)第一次碰撞后，小球做竖直上抛运动，圆盘所受摩擦力与重力平衡，匀速下滑，所以只要圆盘下降速度比小球快，二者间距就不断增大，当二者速度相同时，间距最大，则有v1+gt=v1'解得t=v1'根据运动学公式得最大距离为dmax=x盘-x球=v1't-(v1t+12gt2)=v0(3)第一次碰撞后到第二次碰撞时，两者位移相等，则有x球1=x盘1即v1t1+12gt12=v解得t1=2此时小球的速度v2=v1+gt1=32v圆盘的速度仍为v1'，这段时间内圆盘下降的位移x盘1=v1't1=v02之后第二次发生弹性碰撞，根据动量守恒有mv2+Mv1'=mv2'+Mv2″根据能量守恒定律有12mv22+12Mv1'2=12mv2'2+联立解得v2'=0v2″=v0同理可得当位移相等时x盘2=x球2v2″t2=12g解得t2=2圆盘向下运动的位移大小x盘2=v2″t2=2v0此时圆盘距下端管口13l，之后二者第三次发生碰撞，碰前小球的速度v3=gt2=2v0由动量守恒有mv3+Mv2″=mv3'+Mv3″由机械能守恒有12mv32+12Mv2″2=12mv3'2+得碰后小球速度为v3'=v圆盘速度v3″=3当二者即将四次碰撞时x盘3=x球3即v3″t3=v3't3+12g得t3=2v0g=t1在这段时间内，圆盘向下移动x盘3=v3″t3=3v0此时圆盘距离下端管口长度为20l-l-2l-