《 备考指南 数学 》课件-第3章 第9讲

函数概念与基本初等函数第三章

第9讲函数模型及其应用栏目导航01基础整合

自测纠偏03配套训练02重难突破

能力提升基础整合自测纠偏11.几类函数模型2.三种函数模型的性质递增递增y轴x轴3.解函数应用问题的步骤(四步八字)(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型．(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型．(3)解模：求解数学模型，得出数学结论．(4)还原：将数学问题还原为实际问题的意义．【特别提醒】“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长量越来越小．x123458y0.51.52.082.52.853.52．(2021年临沂月考)已知f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，对三个函数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是

(

)A．f(x)>g(x)>h(x) B．g(x)>f(x)>h(x)C．g(x)>h(x)>f(x) D．f(x)>h(x)>g(x)【答案】B3．(2021年宁波期末)(多选)如图所示的某池塘中的浮萍蔓延的面积y(m2)与时间t(月)的关系为y＝at.有以下几个判断，正确的是 (

)A．a＝2B．浮萍从5m2蔓延到15m2只需要经过1.5个月C．在第6个月，浮萍面积超过30m2D．若浮萍蔓延到2m2,4m2,8m2所经过的时间分别为t1，t2，t3，则t1＋t2＝t3【答案】ACD【答案】185．(2021年大庆模拟)某机构一年需购买消毒液300吨，每次购买x吨，每次运费为3万元，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是________．【答案】15判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．(1)某种商品进价为每件100元，按进价增加25%出售，后因库存积压降价，若按九折出售，则每件还能获利． (

)(2)幂函数增长比直线增长更快． (

)(3)在(0，＋∞)内，随着x的增大，y＝ax(a>1)的增长速度会超过并远远大于y＝xa(a>0)的增长速度． (

)(4)指数型函数y＝a·bx＋c(a≠0，b>0，b≠1)的增长速度越来越快． (

)(5)指数函数模型，一般用于解决变化较快、短时间内变化量较大的实际问题． (

)【答案】(1)√

(2)×

(3)√

(4)×

(5)√重难突破能力提升2已知函数模型求解实际问题【答案】C【解题技巧】利用所给函数模型解决实际问题的关键点(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数；(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数；(3)利用该模型求解实际问题．【答案】C利用函数图象刻画实际问题给出下列四个结论：①在[t1，t2]这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②在t2时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；③在t3时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；④甲企业在[0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]这三段时间中，在[0，t1]的污水治理能力最强．其中所有正确结论的序号是________．【答案】①②③【解析】由题图可知甲企业的污水排放量在t1时刻高于乙企业，而在t2时刻甲、乙两企业的污水排放量相同，故在[t1，t2]这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强，故①正确；由题图知在t2时刻，甲企业对应的关系图象斜率的绝对值大于乙企业，故②正确；在t3时刻，甲、乙两企业的污水排放量都低于污水达标排放量，故都已达标，③正确；甲企业在[0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]这三段时间中，在[0，t1]的污水治理能力明显低于[t1，t2]时的，故④错误．【解题技巧】判断实际问题中两变量呈现某种变化趋势的方法(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象；(2)验证法：当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案．【变式精练】2．(1)(2021年武汉月考)如图所示是一鱼缸的轴截面图，已知该鱼缸装满水时储水量为V，缸高为H，其底部破了一个小洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为h时水的体积为v，则函数v＝f(h)的大致图象是 (

)(2)已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线(假定为直线)行驶，甲、乙车的速度曲线分别为v甲和v乙，如图所示，那么对于图中给定的t0和t1，下列判断中一定正确的是 (

)A．在t1时刻，甲车在乙车前面B．t1时刻后，甲车在乙车后面C．在t0时刻，两车的位置相同D．t0时刻后，乙车在甲车前面【答案】(1)B

(2)A【解析】(1)v＝f(h)是增函数，且曲线的斜率应该是先变大后变小．故选B．(2)由图象可知，曲线v甲比v乙在0～t0,0～t1与t轴所围成的图形面积大，则在t0，t1时刻，甲车均在乙车前面．示通法构建函数模型解决实际问题的步骤构建函数模型解决实际问题考向2构建指数、对数函数模型

(2021年青岛期末)2006年某市某地段商业用地价格为每亩60万元，由于土地价格持续上涨，到2018年已经上涨到每亩120万元，现给出两种地价增长方式，其中P1：f(t)＝at＋b(a，b∈R)是按直线上升的地价，P2：g(t)＝clog2(d＋t)(c，d∈R)是按对数增长的地价，t是2006年以来经过的年数.2006年对应的t值为0.(1)求f(t)，g(t)的解析式；(2)2018年开始，国家出台“稳定土地价格”的相关调控政策，为此，该市要求2022年的地价相对于2018年上涨幅度控制在10%以内，请分析比较以上两种增长方式，确定出最合适的一种模型(参考数据：log210≈3.32)．(1)求k的值，并将该产品每日的利润L(万元)表示为日产量x(千只)的函数；(2)当日产量为多少千只时，每日的利润可以达到最大，并求出最大值．【解题技巧】构建函数模型解决实际问题的方法(1)在实际问题中，若两个变量之间的关系是直线上升或直线下降或图象为直线(或其一部分)，一般构建一次函数模型，利用一次函数的图象与性质求解；构建二次函数模型，首先根据已知条件确定二次函数解析式，再利用二次函数的图象、最值求法、单调性、零点等知识解决实际问题；若变量间的关系由几个不同的关系式构成，则应构建分段函数模型求解．(1)你认为哪个函数模型较好，并简单说明理由；(2)试用你认为较好的函数模型，分析大约从第几个月份开始，该公司的月收入会超过100万元(参考数据：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771)?x15202530Q(x)