《 备考指南 数学 》课件-第3章 第6讲

第三章第6讲[A级基础达标]1．(2021年银川一模)已知a＝lg2,10b＝3，则log56＝()A．eq\f(a＋b,1＋a) B．eq\f(a＋b,1－a)C．eq\f(a－b,1＋a) D．eq\f(a－b,1－a)【答案】B2．(2021年恩施月考)已知a＝0.20.2，b＝log20.3，c＝0.30.3，则A．a＜b＜c B．a＜c＜bC．b＜c＜a D．c＜a＜b【答案】C3．(2021年福建模拟)已知实数a，b满足a＝e5－a,2＋lnb＝e3－lnb，则ab＝()A．3 B．7C．e3 D．e7【答案】C4．(2021年苏州模拟)设x＝log0.40.5，y＝log1.50.5，则A．xy＜x＋y＜0 B．x＋y＜xy＜0C．x＋y＜0＜xy D．xy＜0＜x＋y【答案】A5．(2021年白山模拟)光线通过一块玻璃，强度要损失10%，若光线强度要减弱到原来的eq\f(1,5)以下，则要通过这样的玻璃的块数至少为(lg3≈0.477，lg2≈0.3)()A．14 B．15C．16 D．18【答案】C6．(2021年湖南模拟)(多选)已知a＝xlgx，b＝ylgy，c＝xlgy，d＝ylgx，且x≠1，y≠1，则()A．∃x，y∈(0，＋∞)，使得a＜b＜c＜dB．∀x，y∈(0，＋∞)，都有c＝dC．∃x，y∈(0，＋∞)，且x≠y，使得a＝b＝c＝dD．a，b，c，d中至少有两个大于1【答案】BD【解析】由题意得，lga＝lg2x，lgb＝lg2y，lgc＝lgx·lgy，lgd＝lgx·lgy，x，y∈(0，＋∞)，都有c＝d，B正确，A错误；只有x＝y时，才有a＝b＝c＝d，C错误；假设a，b，c，d中最多一个大于1，若x＞10，y＞10，则a＞10，b＞10，c＞10，d＞10，假设不成立，故D正确．故选BD．7．(多选)如果函数f(x)＝loga|x－1|在(0,1)上是减函数，那么()A．f(x)在(1，＋∞)上递增且无最大值B．f(x)在(1，＋∞)上递减且无最小值C．f(x)在定义域内是偶函数D．f(x)的图象关于直线x＝1对称【答案】AD【解析】由|x－1|＞0得，函数y＝loga|x－1|的定义域为{x|x≠1}．设g(x)＝|x－1|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1，x＞1，,－x＋1，x＜1，))则g(x)在(－∞，1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数，且g(x)的图象关于直线x＝1对称，所以f(x)的图象关于直线x＝1对称，D正确；因为f(x)＝loga|x－1|在(0,1)上是减函数，所以a＞1，所以f(x)＝loga|x－1|在(1，＋∞)上递增且无最大值，A正确，B错误；又f(－x)＝loga|－x－1|＝loga|x＋1|≠f(x)，所以C错误．故选AD．8．若函数f(x)＝loga(x＋2)＋2(a>0且a≠1)的图象恒过定点M，则点M的坐标为________．【答案】(－1,2)9．(2021年南通期末)若如表中恰有一个对数的值是错误的，则该对数是________，其正确的值为________.对数lg6lg2lg3lg12lg25值1＋b－c1－a－ca＋b－a＋b－2c(a＋c)2【答案】lg252(a＋c)【解析】由对数的运算法则得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(lg2＋lg3＝lg6，,lg2＋lg5＝1，,lg25＝2lg5，,lg2＋lg6＝lg12，))所以表中lg25错误，lg25的正确结果为2(a＋c)．10．已知函数f(x)＝loga(ax2－x)．(1)若a＝eq\f(1,2)，求f(x)的单调区间；(2)若f(x)在区间[2,4]上是增函数，求实数a的取值范围．解：(1)当a＝eq\f(1,2)时，f(x)＝logeq\s\do7(\f(1,2))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x2－x))，由eq\f(1,2)x2－x>0，得x2－2x>0，解得x<0或x>2，所以函数的定义域为(－∞，0)∪(2，＋∞)，利用复合函数单调性可得函数的增区间为(－∞，0)，减区间为(2，＋∞)．(2)令g(x)＝ax2－x，则函数g(x)的图象为开口向上，对称轴为x＝eq\f(1,2a)的抛物线．①当0<a<1时，要使函数f(x)在区间[2,4]上是增函数，则g(x)＝ax2－x在[2,4]上单调递减，且g(x)min>0，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2a)≥4，,g4＝16a－4>0，))此不等式组无解．②当a>1时，要使函数f(x)在区间[2,4]上是增函数，则g(x)＝ax2－x在[2,4]上单调递增，且g(x)min>0，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2a)≤2，,g2＝4a－2>0，))解得a>eq\f(1,2)，又a>1，所以a>1.综上可得a>1.所以实数a的取值范围为(1，＋∞)．[B级能力提升]11．(2020年Ⅰ卷)若2a＋log2a＝4b＋2log4b，A．a＞2b B．a＜2bC．a＞b2 D．a＜b2【答案】B【解析】令f(x)＝2x＋log2x，因为y＝2x在(0，＋∞)上单调递增，y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)＝2x＋log2x在(0，＋∞)上单调递增．又2a＋log2a＝4b＋2log4b＝22b＋log2b＜22b＋log2(2b)，所以f(a)＜f(2b)，所以a＜2b12．若直角坐标平面内两点P，Q满足条件：①P，Q都在函数y＝f(x)的图象上；②P，Q关于原点对称，则称(P，Q)是函数y＝f(x)的一个“伙伴点组”(点组(P，Q)与(Q，P)看作同一个“伙伴点组”)．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(kx－1，x＞0，,－ln－x，x＜0))有两个“伙伴点组”，则实数k的取值范围是()A．(－∞，0) B．(0,1)C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))) D．(0，＋∞)【答案】B【解析】依题意，“伙伴点组”的点满足：都在y＝f(x)的图象上，且关于坐标原点对称．可作出函数y＝－ln(－x)(x＜0)关于原点对称的函数y＝lnx(x＞0)的图象，使它与直线y＝kx－1(x＞0)的交点个数为2即可．当直线y＝kx－1与y＝lnx的图象相切时，设切点为(m，lnm)．又y＝lnx的导数为y′＝eq\f(1,x)，则km－1＝lnm，k＝eq\f(1,m)，解得m＝1，k＝1，可得函数y＝lnx(x＞0)的图象过(0，－1)点的切线的斜率为1，结合图象可知k∈(0,1)时两函数图象有两个交点．13．(2021年重庆一诊)(多选)已知a，b，c∈R，且b＞0，若ea＝lnb＝eq\f(1,c)，则a，b，c的大小关系可以是()A．a＜b＜c B．b＜c＜aC．c＜a＜b D．a＜c＜b【答案】ACD【解析】设ea＝lnb＝eq\f(1,c)＝k，则a＝lnk，b＝ek，c＝eq\f(1,k).在同一坐标系中画出f(x)＝lnx，g(x)＝ex，h(x)＝eq\f(1,x)的图象如图所示．由图象可知ACD正确．14．(2021年南京月考)如图，已知正方形ABCD的边长为2，BC平行于x轴，顶点A，B和C分别在函数y1＝3logax，y2＝2logax和y3＝logax(a＞1)的图象上，则实数a的值为________．【答案】eq\r(2)【解析】设B(x,2logax)，因为BC平行于x轴，所以C(x′，2logax)，即logax′＝2logax，所以x′＝x2，所以正方形ABCD边长＝|BC|＝x2－x＝2，解得x＝2.由已知，AB垂直于x轴，所以A(x,3logax)，正方形ABCD边长＝|AB|＝3logax－2logax＝logax＝2，即loga2＝2，所以a＝eq\r(2).15．(2021年资阳期末)已知对数函数y＝logax(a＞0且a≠1)和指数函数y＝ax(a＞0且a≠1)互为反函数，记函数g(x)＝log2x的反函数为y＝f(x)．(1)若函数g(mx2＋2x＋1)的定义域为R，求实数m的取值范围；(2)若不等式f(x)＋eq\f(b＋1,2x)＞b对任意x∈(log23，＋∞)恒成立，求实数b的取值范围．解：(1)因为g(mx2＋2x＋1)的定义域为R，所以mx2＋2x＋1＞0在R上恒成立，所以m＞0且22－4×m×1＜0，解得m＞1，故实数m的取值范围为(1，＋∞)．(2)由题意得f(x)＝2x，所以不等式f(x)＋eq\f(b＋1,2x)＞b可化为2x＋eq\f(b＋1,2x)＞b，即(2x)2－b×2x＋(b＋1)＞0.由x∈(log23，＋∞)，得2x∈(3，＋∞)，令u＝2x，则问题转化为u2－bu＋(b＋1)＞0对于任意u∈(3，＋∞)恒成立．分情况讨论：①当Δ＝(－b)2－4(b＋1)＜0，即2－2eq\r(2)＜b＜2＋2eq\r(2)时，u2－bu＋(b＋1)＞0恒成立；②当Δ＝(－b)2－4(b＋1)≥0，即b≥2＋2eq\r(2)或b≤2－2eq\r(2)时，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(b,2)≤3，,32－3b＋b＋1≥0，))解得b≤5.于是b∈(－∞，2－2eq\r(2)]∪[2＋2eq\r(2)，5]．由①②得实数b的取值范围为(－∞，5]．[C级创新突破]16．(2021年广州期末)已知函数f(x)＝logax(a＞0，且a≠1)．(1)若0＜x1＜x2，试比较feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)))与eq\f(fx1＋fx2,2)的大小，并说明理由；(2)若a＞1，且A(t，f(t))，B(t＋2，f(t＋2))，C(t＋4，f(t＋4))(t≥2)三点在函数y＝f(x)的图象上，记△ABC的面积为S，求S＝g(t)的表达式，并求g(t)的值域．解：设K＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)))－eq\f(fx1＋fx2,2)＝logaeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)))－eq\f(logax1＋logax2,2)＝logaeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)))－logaeq\r(x1x2)＝logaeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(\f(x1,x2))＋\r(\f(x2,x1)),2)))，eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(\f(x1,x2))＋\r(\f(x2,x1)))),2)＞1,0＜x1＜x2.(1)对a进行讨论：当a＞1时，K＞0，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)))＞eq\f(fx1＋fx2,2)；当0＜a＜1时，K＜0，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)))＜eq\f(fx1＋fx2,2).(2)分别过点A，B，C作x轴的垂线交x轴于点M，N，P，则S等于两梯形面积和与大梯形面积之差，即S＝g(t)＝eq\f(1,2)(f(t)＋f(t＋2))·2