《 备考指南 数学 》课件-第7章 第2讲

数列第七章第2讲等差数列及其前n项和课标要求考情概览1．理解等差数列的概念．2．掌握等差数列的通项公式与前n项和公式．3．能在具体的问题情境中发现数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题．4．体会等差数列与一次函数、二次函数的关系考向预测：从近三年高考情况来看，本讲一直是高考的热点．预测本年度高考将会以等差数列的通项公式及其性质、等差数列的前n项和为考查重点，也可能将等差数列的通项、前n项和及性质综合考查，题型以客观题或解答题的形式呈现，试题难度一般不大，属中档题型．学科素养：主要考查数学抽象、逻辑推理的素养栏目导航01基础整合

自测纠偏03素养微专

直击高考02重难突破

能力提升04配套训练基础整合自测纠偏11．等差数列的概念(1)如果一个数列从第______项起，每一项与它的前一项的差等于_____________，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的________．公差通常用字母d表示．数学语言表达式：an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数)，或an－an－1＝d(n≥2，d为常数)．2

同一个常数公差(2)若a，A，b成等差数列，则A叫做a，b的等差中项，且A＝________．2．等差数列的通项公式与前n项和公式(1)若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an＝______________．a1＋(n－1)d

3．等差数列的有关性质(1)通项公式的推广：an＝am＋________(n，m∈N*)．(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则__________________．(3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为________的等差数列．(4)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也为等差数列．(n－m)d

ak＋al＝am＋an

md

【特别提醒】用等差数列的定义判断数列是否为等差数列，要注意定义中的三个关键词：“从第2项起”“每一项与它的前一项的差”“同一个常数”．【常用结论】1．已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{an}一定是等差数列，且公差为p．2．在等差数列{an}中，a1＞0，d＜0，则Sn存在最大值；若a1＜0，d＞0，则Sn存在最小值．3．等差数列{an}的单调性：当d＞0时，{an}是递增数列；当d＜0时，{an}是递减数列；当d＝0时，{an}是常数列．4．数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)．1．(教材改编)设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S11＝55，则a6＝ (

)A．6

B．5

C．4

D．3【答案】B2．(2021年哈尔滨模拟)已知数列{an}是等差数列，若a1＋a2＋a3＝1，a4＋a5＋a6＝3，则a7＋a8＋a9＝ (

)A．5

B．4

C．9

D．7【答案】A3．(2021年河南模拟)在等差数列{an}中，若a3＋a9＝30，a4＝11，则{an}的公差为 (

)A．－2

B．2

C．－3

D．3【答案】B4．(2021年沈阳三模)(多选)已知无穷等差数列{an}的公差d∈N*，Sn为其前n项和，且5,23,29是数列{an}中的三项，则下列关于数列{an}的选项中，正确的有 (

)A．dmax＝6B．S3≤2a4C．数列{sinan}为单调递增数列D．143一定是数列{an}中的项【答案】AD5．(2020年Ⅱ卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a1＝－2，a2＋a6＝2，则S10＝________．【答案】25判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列． (

)(2)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2． (

)(3)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的． (

)(4)数列{an}为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数． (

)(5)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数． (

)【答案】(1)×

(2)√

(3)√

(4)×

(5)×重难突破能力提升2等差数列基本量的运算(2)(2021年大连期末)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S5＝50，S7＝56，则S12＝ (

)A．106

B．53

C．48

D．36【答案】(1)B

(2)D【变式精练】1．(1)(2021年玉林模拟)已知等差数列{an}，若a3＝－4，a5＝－10，则a10＝ (

)A．35

B．15

C．－22

D．－25【答案】(1)D

(2)A等差数列的判定与证明所以Sn＝n2a1

①；当n≥2时，有Sn－1＝(n－1)2a1

②．由①②，得an＝Sn－Sn－1＝n2a1－(n－1)2a1＝(2n－1)a1

③，经检验，当n＝1时也满足③．所以an＝(2n－1)a1，n∈N*，当n≥2时，an－an－1＝(2n－1)a1－(2n－3)a1＝2a1，所以数列{an}是等差数列．【解题技巧】等差数列的判定与证明方法方法解读适合题型定义法对于数列{an}，an－an－1(n≥2，n∈N*)为同一常数⇔{an}是等差数列解答题中的证明问题等差中项法2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N*)成立⇔{an}是等差数列通项公式法an＝pn＋q(p，q为常数)对任意的正整数n都成立⇔{an}是等差数列选择、填空题中的判定问题前n项和公式法验证Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)对任意的正整数n都成立⇔{an}是等差数列示通法利用等差数列的性质解题，需仔细观察代数式中各项间的联系，尤其在一些有关的结论上要熟记熟用．考向1等差数列的性质

(1)(2021年广州阶段训练)已知{an}是等差数列，a3＝5，a2－a4＋a6＝7，则数列{an}的公差为 (

)A．－2

B．－1

C．1

D．2等差数列的性质及应用(2)(2021年临汾模拟)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若4＋a7＝a5＋a8，则S11＝

(

)A．28

B．34

C．40

D．44【答案】(1)D

(2)D考向2等差数列和的性质

(1)(2021年菏泽月考)已知等差数列{an}的公差为4，其项数为偶数，所有奇数项的和为15，所有偶数项的和为55，则这个数列的项数为 (

)A．10

B．20

C．30

D．40(2)(2020年Ⅱ卷)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层．上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块．下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块．已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石) (

)A．3699块 B．3474块C．3402块 D．3339块【答案】(1)B

(2)C考向3等差数列前n项和的最值

(2021年石家庄模拟)在①a5＝6，a1＋S3＝50；②S12＞S9，a2＋a21＜0；③S9＞0，S10＜0这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并解决问题．问题：设等差数列{an}的前n项和为Sn，若________，判断Sn是否存在最大值，若存在，求出Sn取最大值时n的值；若不存在，说明理由．若选②S12＞S9，a2＋a21＜0，由S12－S9＝a10＋a11＋a12＝3a11＞0，得a11＞0；由a2＋a21＝a11＋a12＜0，得a12＜0．所以等差数列{an}的公差d＝a12－a11＜0，所以n≤11时，an＞0；n≥12时，an＜0．所以n＝11时，Sn取得最大值．若选③S9＞0，S10＜0，(2)(2021年武汉模拟)(多选)已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝n2＋an＋1，则 (

)A．{an}是等差数列B．{an}不是等差数列C．若{Sn}是递增数列，则a的取值范围是[－2，＋∞)D．若{Sn}是递增数列，则a的取值范围是(－3，＋∞)【答案】(1)B

(2)BD(2)Sn＝n2＋an＋1，n＝1时，a1＝S1＝2＋a．n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋an＋1－[(n－1)2＋a(n－1)＋1]＝2n