《 备考指南 数学 》课件-第3章 第4讲

第三章第4讲[A级基础达标]1．(2021年南平期末)幂函数f(x)＝(m2－3m＋3)xm2－6m＋6在(0，＋∞)上单调递增，则mA．1 B．2C．3 D．1或2【答案】A2．若函数f(x)＝4x2－ka－8在(－∞，5)上单调递减，则实数k的取值范围为()A．(－24,40) B．[－24,40]C．(－∞，－24] D．[40，＋∞)【答案】D3．(2021年浙江模拟)已知f(x)＝x2－2021x，若f(m)＝f(n)，m≠n，则f(m＋n)等于()A．2021 B．－2021C．0 D．10021【答案】C4．(2021年大庆期中)若幂函数f(x)＝(2m2－6m＋5)x2m－3没有零点，则f(A．关于原点对称 B．关于x轴对称C．关于y轴对称 D．不具有对称性【答案】A5．(2021年天津模拟)已知幂函数f(x)＝xα满足2f(2)＝f(16)，若a＝f(log42)，b＝f(ln2)，c＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5－\f(1,2)))，则a，b，c的大小关系是()A．a＞c＞b B．a＞b＞cC．b＞a＞c D．b＞c＞a【答案】C6．(2021年重庆十八中期末)(多选)已知函数f(x)＝ax2＋2ax＋4(a＞0)，若x1＜x2，则()A．当x1＋x2＞－2时，f(x1)＜f(x2)B．当x1＋x2＝－2时，f(x1)＝f(x2)C．当x1＋x2＞－2时，f(x1)＞f(x2)D．f(x1)与f(x2)的大小与a有关【答案】AB【解析】二次函数f(x)＝ax2＋2ax＋4(a＞0)的图象开口向上，对称轴为x＝－1.当x1＋x2＝－2时，x1，x2关于x＝－1对称，此时f(x1)＝f(x2)，选项B正确；当x1＋x2＞－2时，x1与x2的中点大于－1，又x1＜x2，所以点x2到对称轴的距离大于点x1到对称轴的距离，所以f(x1)＜f(x2)，选项A正确，C错误；显然当a＞0时，f(x1)与f(x2)的大小与a无关，选项D错误．故选AB．7．(多选)已知函数f(x)＝(m2－m－1)xm2＋m－3是幂函数，对任意x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，满足eq\f(fx1－fx2,x1－x2)＞0.若a，b∈R，且f(a)＋f(b)的值为负值，则下列结论可能成立的有()A．a＋b＞0，ab＜0 B．a＋b＜0，ab＞0C．a＋b＜0，ab＜0 D．a＋b＞0，ab＞0【答案】BC【解析】由题意可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2－m－1＝1，,m2＋m－3＞0，))解得m＝2，所以f(x)＝x3.因为f(a)＋f(b)＝a3＋b3＝(a＋b)·(a2－ab＋b2)的值为负值，若A成立，则f(a)＋f(b)＝(a＋b)(a2－ab＋b2)＞0，不满足题意；若B成立，则f(a)＋f(b)＝(a＋b)(a2－ab＋b2)＝(a＋b)·eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(b,2)))2＋\f(3b2,4)))＜0，满足题意；若C成立，则f(a)＋f(b)＝(a＋b)(a2－ab＋b2)＜0，满足题意；若D成立，则f(a)＋f(b)＝(a＋b)(a2－ab＋b2)＝(a＋b)·eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(b,2)))2＋\f(3b2,4)))＞0，不满足题意．故选BC．8．(2021年清远模拟)已知点(4,2)在幂函数y＝f(x)的图象上，则不等式f(x)≥3的解集为________．【答案】[9，＋∞)9．(2021年浙江模拟)已知函数f(x)＝ax2＋bx＋a(a≠0)．若f(x)＞0恒成立，则eq\f(b,a)的取值范围是________．【答案】(－2,2)【解析】若f(x)＞0恒成立，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＞0，,b2－4a2＜0，))所以－2a＜b＜2a，所以－2＜eq\f(b,a)＜2.10．(2021年上海期末)已知函数f(x)＝x2＋2ax－a＋2.(1)若对于任意x∈R，f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围；(2)若对于任意x∈[－1,1]，f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围；(3)若对于任意a∈[－1,1]，f(x)＞0成立，求实数x的取值范围．解：(1)f(x)＝x2＋2ax－a＋2≥0恒成立，可得Δ＝4a2－4(2－a)≤0，解得－2≤a≤即实数a的取值范围是[－2,1]．(2)若对于任意x∈[－1,1]，f(x)≥0恒成立，则f(x)min≥0.f(x)＝x2＋2ax－a＋2的对称轴为x＝－a.当－a＜－1，即a＞1时，f(x)min＝f(－1)＝3－3a≥0，解得a≤当－a＞1，即a＜－1时，f(x)min＝f(1)＝3＋a≥0，可得－3≤a＜－1.当－1≤－a≤1，即－1≤a≤1时，f(x)min＝f(－a)＝－a2－a＋2≥0，可得－1≤a≤1.综上所述，求实数a的取值范围是[－3,1]．(3)对于任意a∈[－1,1]，f(x)＞0成立，等价于对于任意a∈[－1,1]，g(a)＝(2x－1)a＋x2＋2＞0，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(g－1＝x2－2x＋3＞0，,g1＝x2＋2x＋1＞0，))解得x≠－1，所以实数x的取值范围是(－∞，－1)∪(－1，＋∞)．[B级能力提升]11．(2021年杭州模拟)已知二次函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)有两个不同的零点，若f(x2＋2x－1)＝0有四个不同的根x1＜x2＜x3＜x4，且x1，x2，x3，x4成等差数列，则a－b不可能是()A．0 B．1C．2 D．3【答案】D【解析】设f(x)的两个零点为m，n，不妨设x1，x4为x2＋2x－1－n＝0的两根，x2，x3为x2＋2x－1－m＝0的两根，则x1＋x4＝x2＋x3＝－2，x1x4＝－1－n，x2x3＝－1－m.又因为m，n为f(x)＝x2＋ax＋b的零点，所以－a＝m＋n，b＝mn，所以a－b＝－m－n－mn＝1－(1＋m)(1＋n)＝1－x1x2x3x4.由x1，x2，x3，x4成等差数列，设x1＝1－3d，x2＝1－d，x3＝1＋d，x4＝1＋3d，则a－b＝1－(1－3d)(1－d)(1＋d)(1＋3d)＝10d2－9d4＝－9eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(d2－\f(5,9)))2＋eq\f(25,9)，所以a－b的最大值为eq\f(25,9)，故D选项不符合．故选D．12．(2021年济南期末)(多选)若函数f(x)＝－x2＋2ax(a∈Z)在区间[0,1]上单调递增，在区间[3,4]上单调递减，则a的可能取值为()A．4 B．3C．2 D．1【答案】BCD【解析】f(x)＝－x2＋2ax的图象开口向下，对称轴为x＝a，因为f(x)＝在[0,1]上单调递增，在[3,4]上单调递减，所以1≤a≤3.又a是整数，所以a的可能取值为1,2,3.故选BCD．13．(2021年衢州月考)(多选)已知幂函数f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m＋\f(9,5)))xm，则下列结论正确的有()A．f(－32)＝eq\f(1,16)B．f(x)的定义域是RC．f(x)是偶函数D．不等式f(x－1)≥f(2)的解集是[－1,1)∪(1,3]【答案】ACD【解析】由题意可知m＋eq\f(9,5)＝1，所以m＝－eq\f(4,5)，所以f(x)＝x－eq\f(4,5)，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，故选项B错误．因为f(－32)＝(－32)－eq\f(4,5)＝eq\f(1,16)，故选项A正确．因为f(－x)＝eq\f(1,\r(5,－x4))＝eq\f(1,\r(5,x4))＝f(x)，所以f(x)是偶函数，故选项C正确．因为f(x)＝x－eq\f(4,5)，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递减，在(－∞，0)上单调递增，所以f(x－1)≥f(2)等价于f(|x－1|)≥f(2)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1≠0，,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x－1))≤2，))解得－1≤x＜1或1＜x≤3，故选项D正确．故选ACD．14．(2021年日照模拟)已知a，b，c为正整数，方程ax2＋bx＋c＝0的两实根为x1，x2(x1≠x2)，且|x1|＜1，|x2|＜1，则a＋b＋c的最小值为________．【答案】11【解析】因为a，b，c为正整数，所以x1＋x2＝－eq\f(b,a)＜0，x1x2＝eq\f(c,a)＞0.又|x1|＜1，|x2|＜1，所以x1，x2∈(－1,0)，令f(x)＝ax2＋bx＋c，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＝b2－4ac＞0，,f－1＝a－b＋c＞0，,f0＝c＞0，,－1＜－\f(b,2a)＜0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b2－4ac＞0，,b＜a＋c，,b＜2a.))①因为a，b，c为正整数，取c＝1，则a＋1＞b，所以a≥b，所以a2≥b2＞4ac＝4a，所以a＞4，所以a≥5，所以b2＞4ac≥20，所以b≥5，当a＝b＝5，c＝1时，符合①式，即符合题意，此时a＋b＋c＝11.当c≥2时，因为x1，x2∈(－1,0)，所以x1x2＝eq\f(c,a)＜1，所以c＜a，所以a≥3，所以b2＞4ac≥24，所以b≥5，又a＋c＞b≥5，所以a＋c≥6，所以a＋b＋c≥11.综上，a＋b＋c最小值为11.15．(2021年晋中月考)已知二次函数f(x)满足f(x)＝f(－4－x)，f(0)＝3，若x1，x2是f(x)的两个零点，且|x1－x2|＝2.(1)求f(x)的解析式；(2)若x>0，求g(x)＝eq\f(x,fx)的最大值．解：(1)因为二次函数满足f(x)＝f(－4－x)，所以f(x)的图象的对称轴为直线x＝－2.因为x1，x2是f(x)的两个零点，且|x1－x2|＝2，又x1＋x2＝－2x2＝－4，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＝－3，,x2＝－1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＝－1，,x2＝－3.))设f(x)＝a(x＋3)(x＋1)(a≠0)．由f(0)＝3a＝3，得a＝1.所以f(x)＝x2＋4x(2)由(1)，得g(x)＝eq\f(x,fx)＝eq\f(x,x2＋4x＋3)＝eq\f(1,x＋\f(3,x)＋4)(x>0)．因为x>0，所以eq\f(1,x＋\f(3,x)＋4)≤eq\f(1,4＋2\r(3))＝1－eq\f(\r(3),2)，当且仅当x＝eq\f(3,x)，即x＝eq\r(3)时等号成立．所以g(x)的最大值是1－eq\f(\r(3),2).[C级创新突破]16．(2021年北京八中期末)已知集合A是满足下列条件的函数f(x)的全体：在定义域内存在实数x0，使得f(x0＋1)＋f(x0)＝f(1)成立．(1)判断幂函数f(x)＝x－1是否属于集合A，并说明理由；(2)设g(x)＝lg(2x＋a)，x∈(－∞，1)，若g(x)∈A，求a的取值范围．解：(1)f(x)∈A，理由如下：令f(x＋1)＋f(x)＝f(1)，则eq\f(1,x＋1)＋eq\f(1,x)＝1，即x2－x－1＝0，解得x1＝eq\f(1－\r(5),2)，x2＝eq\f(1＋\r(5),2)，均满足定义域{x|x≠0}，所以当f(x)＝x－1时，f(x)∈A．(2)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＜1，,x＋1＜1，)