江西省宜春市宜春中学2025届高三下学期3月一模联考数学试题（原卷版+解析版）

高三数学试卷注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：高考全部内容.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数的虚部为（）A.1 B.5 C. D.2.已知命题p：，，命题q：，，，则（）A.p和q都是真命题 B.和都是真命题C.p和都真命题 D.和都是真命题3.某地为促进消费，向当地市民随机发放了面值10元、20元、50元的线下消费满减电子券，每位市民可以领取一张，且每笔消费仅能使用一张.某支持使用该消费券的大型商场统计到某日使用了10元、20元、50元消费券的消费账单的数量之比为5∶3∶2，若对这些账单用等比例分层随机抽样的方法进行抽样调查，抽取一个容量为50的样本，则样本中使用了50元消费券的消费账单的份数为（）A5 B.10 C.20 D.304.已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在该椭圆上，则该椭圆的离心率为（）A. B. C. D.5.已知为第一象限角，，则（）A. B. C.2 D.6.已知函数，则不等式的解集为（）A. B.C. D.7.铜钱，古代铜质辅币，指秦汉以后的各类方孔圆钱，其形状如图所示.若图中正方形的边长为，圆的半径为，正方形的中心与圆的圆心重合，动点在圆上，且，则的最大值为（）A B. C. D.8.如图，直线，，相互平行，且两两之间的距离为1，平面平面，且平面ABC与平面之间的距离为3，直线与平面ABC所成的角为，则三棱柱的体积为（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数，则下列命题正确的是（）A.的定义域为 B.的值域为C.是奇函数 D.在上单调递减10.已知函数，下列说法正确的是（）A.有3个零点B.的图象关于点对称C.既有极大值又有极小值D.经过点且与的图象相切的直线有2条11.数列满足，，，…，，依此类推，则下列结论正确的是（）A.的最小值为 B.C.若，则 D.若，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知抛物线C：焦点为F，点P在C上且位于第一象限，过点P作直线垂直于C的准线，垂足为A，若直线AF的倾斜角为，则__________.13.已知函数在上的最小值是1，则__________.14.已知集合，，集合U的子集，若对于任意的，i，，都有，则符合条件的集合B的个数为__________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.（1）求A；（2）若，的面积为，求a.16.已知某险种首次参保的保费为2000元，保险期为1年.在总体中抽取1000单，统计其在一个保险期内的赔偿次数，得到表1.赔偿次数01234单数90060201010表1用频率估计概率，解答下列问题.（1）求随机抽取1单，该单的赔偿次数不少于3的概率.（2）下一个保险期的保费由上一个保险期的赔偿次数决定，记上一个保险期的保费为a元，下一个保险期的保费与上一个保险期的赔偿次数的关系如表2所示.上一个保险期的赔偿次数01234下一个保险期的保费0.95a1.1a1.2a1.3a1.4a表2已知甲2025年首次参保，此后计划每年都参保.①估计甲2026年参保（第二个保险期）的保费为X元，求X的数学期望；②求在甲2026年参保的保费大于2000元的前提下，甲2027年参保（第三个保险期）的保费少于2400元的概率.17.如图，在等腰梯形ABCD中，，，E，F分别为AB，CD的中点，沿线段EF将四边形AEFD翻折到四边形MEFN的位置，连接MB，NC.已知，，，P为射线FN上一点.（1）若，证明：平面BCNM.（2）若直线FN与平面CEP所成角的正弦值为，求PF.18.已知函数.（1）已知导函数为，证明：有唯一实数解.（2）若函数，，，，求m的取值范围.19.已知点A，B在曲线T：上.（1）若直线AB的斜率为4，求的最小值；（2）若，求直线AB的斜率的最大值；（3）若点C在曲线T上，等腰直角三角形ABC的顶点按逆时针排列，，求直线AB的斜率的取值范围.

高三数学试卷注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：高考全部内容.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数的虚部为（）A.1 B.5 C. D.【答案】C【解析】【分析】根据题意，由复数的乘法运算，将复数化简，即可得到结果.【详解】，所以复数义的虚部为.故选：C2.已知命题p：，，命题q：，，，则（）A.p和q都是真命题 B.和都是真命题C.p和都是真命题 D.和都是真命题【答案】B【解析】【分析】举出例子来说明命题的真假性，再利用原命题和非命题真假相反来判断.【详解】当时，显然不成立，所以p是假命题，是真命题.当时，显然成立，所以q是真命题，是假命题.故选：B3.某地为促进消费，向当地市民随机发放了面值10元、20元、50元的线下消费满减电子券，每位市民可以领取一张，且每笔消费仅能使用一张.某支持使用该消费券的大型商场统计到某日使用了10元、20元、50元消费券的消费账单的数量之比为5∶3∶2，若对这些账单用等比例分层随机抽样的方法进行抽样调查，抽取一个容量为50的样本，则样本中使用了50元消费券的消费账单的份数为（）A.5 B.10 C.20 D.30【答案】B【解析】【分析】根据分层抽样特点，利用抽样比计算即可.【详解】样本中使用了50元消费券的消费账单的份数为.故选：B.4.已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在该椭圆上，则该椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据给定条件，结合椭圆的定义求出焦距及长轴长，再求出离心率.【详解】依题意，椭圆的焦距，长轴长，所以该椭圆的离心率.故选：A5.已知为第一象限角，，则（）A. B. C.2 D.【答案】D【解析】【分析】法一：由二倍角公式及同角三角商的关系即可求解；法二：先求得，再由正切的二倍角公式即可求解.【详解】（解法一）因为，所以，解得或2.因为为第一象限角，所以，，，，所以（舍去）.（解法二）因为为第一象限角，，所以.因为，所以，解得或.因为为第一象限角，所以，，，，所以（舍去）.故选：D6.已知函数，则不等式的解集为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】判断函数的单调性，再利用单调性解不等式即可.【详解】，易知在单调递减，在单调递减，且在处连续，故在R上单调递减，由，则，解得,故不等式的解集为.故选：A7.铜钱，古代铜质辅币，指秦汉以后的各类方孔圆钱，其形状如图所示.若图中正方形的边长为，圆的半径为，正方形的中心与圆的圆心重合，动点在圆上，且，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】解法一：建立平面直角坐标系，求出圆的方程，利用圆的参数方程设出点的坐标，结合辅助角公式可求得的最大值；解法二：过点作平行于的直线分别交直线、于点、，设直线交直线于点，取线段的中点，连接，要使得取最大值，可得出，利用当为射线与圆的交点时，取最大值，即可得解.【详解】解法一：建立如下图所示的平面直角坐标系，则、、，点P在圆上，设点，，，，因为，所以，所以，，，所以，，即的最大值为；解法二：过点作平行于的直线分别交直线、于点、，设直线交直线于点，取线段的中点，连接，因为、、三点共线，则存在，使得，所以，，则，因为、、三点共线，则存在，使得，因为，且、不共线，则，，所以，，因为，且，，则，所以，为等腰直角三角形，所以，，易知，即，故、、三点共线，要使得取最大值，则，且，当且仅当为射线与圆的交点时，取最大值，故选：C.8.如图，直线，，相互平行，且两两之间的距离为1，平面平面，且平面ABC与平面之间的距离为3，直线与平面ABC所成的角为，则三棱柱的体积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据题意，由条件可得四边形的面积，然后结合柱体的体积公式代入计算，即可得到结果.【详解】因为平面ABC与平面之间的距离为3，直线与平面ABC所成的角为，所以.则四边形的面积为.因为直线，，相互平行，且两两之间的距离为1，所以直线到平面的距离为.三棱柱的体积为.故选：A二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数，则下列命题正确的是（）A.的定义域为 B.的值域为C.是奇函数 D.在上单调递减【答案】BCD【解析】【分析】对于A，需找出使函数有意义的自变量取值范围；对于B，则根据函数的性质和自变量的取值范围来确定；对于C，奇偶性通过判断与的关系得出；对于D，单调性可利用复合函数单调性的判断规则来分析.【详解】由，解得，，所以的定义域为，A错误.，，所以的值域为，B正确.，所以是奇函数，C正确.当时，函数单调递增，且.函数在上单调递减，根据复合函数的单调性可得在上单调递减，D正确.故选：BCD.10.已知函数，下列说法正确的是（）A.有3个零点B.的图象关于点对称C.既有极大值又有极小值D.经过点且与的图象相切的直线有2条【答案】ACD【解析】【分析】对于A，因式分解解方程即可，对于B，由，可判断，对于C，求导确定单调性即可判断，对于D，设切点坐标，由导数的几何意义，列出等式求解即可判断.【详解】，令，得，或，所以有3个零点，A正确.所以的图象关于点对称，B错误.，令，，记方程的两个根为，（），易知在，上单调递增，在上单调递减，所以既有极大值又有极小值，C正确.设切线与的图象相切于点，，所以切线方程为.因为切线经过切点，所以，整理得，该方程有两个解，所以经过点且与的图象相切的直线有2条，D正确，故选：ACD11.数列满足，，，…，，依此类推，则下列结论正确的是（）A.的最小值为 B.C.若，则 D.若，则【答案】ACD【解析】【分析】根据通项公式的规律，分析各项表达式，结合不等式判断选项.【详解】根据规律可得，，；当m的值每增加1时，的变化在内，所以的值单调递增.当时，取最小值，最小值为，正确.易得，所以，即，所以，错误.若，则，，，，；记数列为1，2，3，5，…，则，.记，则；所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以.，正确.，要使得取最小值；则n为奇数，此时，正确.故选：.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知抛物线C：的焦点为F，点P在C上且位于第一象限，过点P作直线垂直于C的准线，垂足为A，若直线AF的倾斜角为，则__________.【答案】4【解析】【分析】利用抛物线的定义可以判断为等边三角形,利用平面几何知识求解即可.【详解】因为抛物线C：的焦点为F，所以，由题意可得,所以,又由抛物线定义得：，所以等边三角形，设准线与轴交于点，在直角中，，所以.故答案为：4.13.已知函数在上的最小值是1，则__________.【答案】##【解析】【分析】分三类，，，由复合函数的单调性判断的单调性，即可求出最小值.【详解】若，则，在上单调递增，最小值为，不符合题意；若，则的定义域为，且由复合函数的单调性可知在上单调递增，则最小值为，解得，不符合题意；若，则的定义域为，由题意可得，则，此时由复合函数的单调性可知在上单调递增，则最小值为，解得，符合题意；综上，.故答案为：14.已知集合，，集合U的子集，若对于任意的，i，，都有，则符合条件的集合B的个数为__________.【答案】30【解析】【分析】根据题意，设，即可得到B中元素由和有序数组决定，然后分类讨论即可得到，，，中有2个2，分别计算其对应情况数，然后相加，即可得到结果.详解】不妨设，再设，，2，3，4，则B中元素由和有序数组决定.，，且中任意相邻几个之和也不属于，否则会出现.若，，，中没有2或只有1个2，则一定有，不符合题意.若，，，中有3个2或4个2，不满足中任意相邻几个之和也不属于，所以，，，中有2个2.考虑的排列情况和的取值情况：若，，，由2，2，6，6组成，则B的个数为；若，，，由2，2，6，7组成，则B的个数为；若，，，由2，2，6，8组成，则B的个数为；若，，，由2，2，7，7组成，则B的个数为.故符合条件的集合B的个数为.故答案为：【点睛】方法点睛：对于集合新定义，首先要了解集合的特性，包括抽象特性和计算特性，抽象特性是将集合可近似的当作数列或者函数分析，计算特性是将复杂的关系通过找规律利用已学相关知识求解.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.（1）求A；（2）若，的面积为，求a.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先利用二倍角公式化简，再利用正弦定理化简，即可由余弦定理得出；（2）由面积公式得出，再由余弦定理得出，结合条件即可求解.【小问1详解】因为，所以，化简得，所以.由余弦定理得，因为，所以.【小问2详解】的面积为，解得.由（1）可得，所以，即，所以，解得（舍去）.16.已知某险种首次参保的保费为2000元，保险期为1年.在总体中抽取1000单，统计其在一个保险期内的赔偿次数，得到表1.赔偿次数01234单数90060201010表1用频率估计概率，解答下列问题.（1）求随机抽取1单，该单的赔偿次数不少于3的概率.（2）下一个保险期的保费由上一个保险期的赔偿次数决定，记上一个保险期的保费为a元，下一个保险期的保费与上一个保险期的赔偿次数的关系如表2所示.上一个保险期的赔偿次数01234下一个保险期的保费0.95a1.1a1.2a1.3a1.4a表2已知甲2025年首次参保，此后计划每年都参保.①估计甲2026年参保（第二个保险期）的保费为X元，求X的数学期望；②求在甲2026年参保的保费大于2000元的前提下，甲2027年参保（第三个保险期）的保费少于2400元的概率.【答案】（1）（2）①（元）；②【解析】【分析】（1）用频率估计概率，结合表1中数据运算求解即可；（2）①分析可知X可取1900，2200，2400，2600，2800，结合题意求相应概率和期望；②根据题意结合条件概率公式运算求解即可.【小问1详解】该单的赔偿次数不少于3的概率约为.【小问2详解】①X可取1900，2200，2400，2600，2800.，，，.（元）.②甲2026年参保的保费大于2000元的概率.甲2026年参保保费大于2000元，且2027年参保的保费少于2400元的情况包括：2026年参保的保费为2200元，且2026年的赔偿次数为0；2026年参保的保费为2400元，且2026年的赔偿次数为0.其概率.故所求概率为.17.如图，在等腰梯形ABCD中，，，E，F分别为AB，CD的中点，沿线段EF将四边形AEFD翻折到四边形MEFN的位置，连接MB，NC.已知，，，P为射线FN上一点.（1）若，证明：平面BCNM.（2）若直线FN与平面CEP所成角的正弦值为，求PF.【答案】（1）证明见解析（2）3【解析】【分析】（1）根据题意，在线段CN上取一点Q，使得，即可证明四边形EBQP是平行四边形，再由线面平行的判定定理即可证明；（2）根据题意，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算以及线面角的公式代入计算，即可得到结果.【小问1详解】证明：在线段CN上取一点Q，使得，连接PQ，BQ.因为，所以，且，因为，，所以，且，所以四边形EBQP是平行四边形，.因为平面BCNM，平面BCNM，所以平面BCNM.【小问2详解】以F为坐标原点，FN，FE所在直线分别为x轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，