中考数学一轮复习备考专题18：多边形与平行四边形（讲义）

专题十八多边形与平行四边形（讲义）——中考数学一轮复习备考合集考情分析命题点命题形式命题热度命题特点平行四边形1.平行四边形的有关证明与计算☆☆☆本专题主要从平行四边形的性质、判定，多边形的有关计算方面命题，多以选择题和填空题的形式出现，解答题常见题型为平行四边形的有关证明与计算，要求学生熟练掌握平行四边形的性质与判定定理，体现了数形结合的核心素养.多边形6.多边形的有关计算☆☆讲解一：多边形一、多边形及其有关概念名称概念多边形在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形.内角多边形相邻两边组成的角叫做它的内角.外角多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.对角线连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线.凸多边形画出多边形的任何一条边所在直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形叫做凸多边形正多边形各个角都相等、各条边都相等的多边形叫做正多边形.【拓展延伸】（1）多边形有几条边就是几边形，且顶点个数、内角个数均与边数相同，外角个数是边数的2倍.（2）从边形的一个顶点可以引出条对角线，引出的对角线将边形分成个三角形，边形有个顶点，共有条对角线.【易错点津】（1）三角形没有对角线.（2）正多边形必须满足定义中的两个条件：①各个角都相等；②各条边都相等.二者不可缺一.如果一个多边形的各个角都相等或每条边都相等，那么这个多边形不一定是正多边形，如长方形.二、多边形的内角和内容推理过程应用方法图形边形内角和等于.方法1：如图所示，从边形的一个顶点引出条对角线，这条对角线把边形分成个三角形，每个三角形的内角和是，所以变形的内角和是.（1）已知边数，求内角和.（2）已知内角和，求边数.（3）已知正边形每个内角的度数.求边数和内角和.方法2：如图所示，在边形内任取一点P，连接，把边形分成个三角形，这个三角形的内角和为，再减去一个周角，即得边形的内角和是.方法3：如图所示，在边形的一边上任取一点P与各顶点相连，得个三角形，边形内角和等于这个三角形的内角和减去在点P处的一个平角，即.【规律方法】（1）多边形内角和公式的推理过程是将多边形的内角进行分割，然后把它们放到三角形中，随着点P的位置不同所得三角形个数也不同，但以上几种证明方法都是把多边形的问题转化为三角形的问题进行解决.（2）任意多边形的内角和是的整数倍，且多边形每增加一条边，它的内角和就增加，正边形每个内角的度数是.三、多边形的外角和内容推导过程应用多边形的外角和等于多边的每个内角和与它相邻的外角都是邻补角，所以边形的内角和加上外角和为，外角和等于（1）已知外角度数求正多边形的边数.（2）已知正多边形的边数求外角度数.【拓展延伸】（1）多边形的外角和恒等于，与边数多少无关.（2）正边形的每个内角都相等，则每个外角也相等，其外角和为，所以正边形的每个外角度数都为.（3）正多边形的内角相等，隐含着外角也相等这一条件，利用这种隐含关系求正多边形的边数比直接利用内角和求边数要简单.命题精练命题形式1多边形的有关计算1.（2024·西藏·中考真题）已知正多边形的一个外角为，则这个正多边形的内角和为（）A． B． C． D．【答案】B解析：∵正多边形的一个外角为，∴正多边形的边数为，∴这个正多边形的内角和为，故选：B．【题型分析】本题考查了多边形的内角和外角，先求出正多边形的边数，再根据多边形的内角和公式计算即可得解，根据多边形的外角求出边数是解此题的关键．2．（2024·山东青岛·中考真题）为筹备运动会，小松制作了如图所示的宣传牌，在正五边形和正方形中，，的延长线分别交，于点M，N，则的度数是（）A． B． C． D．【答案】B解析：∵五边形是正五边形，∴，∵四边形为正方形，∴，，∴，，∴，故选：B．3.（2024·吉林长春·中考真题）在剪纸活动中，小花同学想用一张矩形纸片剪出一个正五边形，其中正五边形的一条边与矩形的边重合，如图所示，则的大小为（）A． B． C． D．【答案】D解析：，故选：D．4.（2024·河北·中考真题）直线l与正六边形的边分别相交于点M，N，如图所示，则（）A． B． C． D．【答案】B解析：正六边形每个内角为：，而六边形的内角和也为，∴，∴，∵，∴，故选：B．5.（2024·云南·中考真题）一个七边形的内角和等于（）A． B． C． D．【答案】B解析：一个七边形的内角和等于，故选：B．6.（2024·江苏宿迁·中考真题）如图，已知正六边形的边长为2，以点E为圆心，长为半径作圆，则该圆被正六边形截得的的长为．【答案】【思路点拨】本题主要考查了正多形的内角和以及弧长公式，根据六边形是正六边形，根据正多边内角和等于，求出内角，再根据弧长公式即可得出答案．解析：∵六边形是正六边形，∴，∴，故答案为：．7.（2024·青海·中考真题）正十边形一个外角的度数是．【答案】解析：正十边形的一个外角的大小是，故答案为：．讲解二：平行四边形一、平行四边形的定义1.平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.平行四边形的定义既是性质，又是判定.2.表示方法：如图所示，平行四边形用“”表示，平行四边形记作“”，读作“平行四边形”.【注意】（1）表示平行四边形时，一定要按照顺时针或逆时针方向依次书写各顶点字母，不能打乱顺序；（2）“”作为表示平行四边形的符号，其后要紧跟表示平行四边形四个顶点的字母，不能单独使用它来代替“平行四边形”.3.平行四边形的基本元素：基本元素主要内容图示边邻边和，和，和，和，共有四组.对边和，和，共有两组.角邻角和，和，和，和，共有四组.对角和,和，共有两组.对角线和，共有两条二、平行四边形的性质性质数学语言图示边平行四边形的对边相等四边形是平行四边形，角平行四边形的对角相等四边形是平行四边形，对角线平行四边形的对角线互相平分四边形是平行四边形，【拓展延伸】（1）平行四边形的每条对角线都将平行四边形分成两个全等的三角形.（2）平行四边形被两条对角线分成的四个小三角形的面积相等，每个小三角形的面积都等于平行四边形面积的；相邻两个三角形周长之差的绝对值等于平行四边形两邻边之差的绝对值.三、平行四边形的判定方法判定方法数学语言图形边两组对边分别平行的四边形是平行四边形.（定义）四边形是平行四边形.两组对边分别相等的四边形是平行四边形.四边形是平行四边形.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.（或），四边形是平行四边形.角两组对角分别相等的四边形是平行四边形.，四边形是平行四边形.对角线对角线互相平分的四边形是平行四边形.四边形是平行四边形.命题精练命题形式2平行四边形的有关证明与计算1．（2024·四川巴中·中考真题）如图，的对角线相交于点，点是的中点，．若的周长为12，则的周长为（）A．4 B．5 C．6 D．8【答案】B解析：∵四边形是平行四边形，∴O是中点，又∵E是中点，∴OE是的中位线，∴，，∵的周长为12，，∴，∴的周长为．故选：B.2．（2024·辽宁·中考真题）如图，的对角线，相交于点，，，若，，则四边形的周长为（）A．4 B．6 C．8 D．16【答案】C【思路点拨】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握知识点是解题的关键．由四边形是平行四边形得到，，再证明四边形是平行四边形，则，即可求解周长．解析：∵四边形是平行四边形，∴，，∵，，∴四边形是平行四边形，∴，∴周长为：，故选：C．3.（2024·浙江·中考真题）如图，在中，相交于点O，．过点A作的垂线交于点E，记长为x，长为y．当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（）A． B． C． D．【答案】C解析：过点D作交的延长线于点F，∵的垂线交于点E，∴，∵四边形是平行四边形，∴，∴，∴∴，由勾股定理可得，，，∴，∴∴即，解得，∴当x，y的值发生变化时，代数式的值不变的是，故选：C4.（2024·贵州·中考真题）如图，的对角线与相交于点O，则下列结论一定正确的是（）A． B． C． D．【答案】B解析：∵是平行四边形，∴，故选B．5.（2024·河南·中考真题）如图，在中，对角线，相交于点O，点E为的中点，交于点F．若，则的长为（）A． B．1 C． D．2【答案】B解析：∵四边形是平行四边形，∴，∵点E为的中点，∴，∵，∴，∴，即，∴，故选：B．6.（2024·宁夏·中考真题）如图，在中，点在边上，，连接并延长交的延长线于点，连接并延长交的延长线于点F．求证：．小丽的思考过程如下：参考小丽的思考过程，完成推理．【答案】见解析证明：四边形是平行四边形，，，同理可得，，∴又，即，又，．7.（2024·湖南·中考真题）如图，在四边形中，，点E在边上，．请从“①；②，”这两组条件中任选一组作为已知条件，填在横线上（填序号），再解决下列问题：