高考数学总复习5.1平面向量的概念及线性运算本

§5.1平面向量概念及线性运算[考纲要求]

1.了解向量实际背景；2.了解平面向量概念，了解两个向量相等含义；3.了解向量几何表示；4.掌握向量加法、减法运算，并了解其几何意义；5.掌握向量数乘运算及其几何意义，了解两个向量共线含义；6.了解向量线性运算性质及其几何意义．1/471．向量相关概念2/473/472.向量线性运算4/475/473.共线向量定理向量a(a≠0)与b共线充要条件是存在唯一一个实数λ，使得_________．【思索辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)向量与有向线段是一样，所以能够用有向线段来表示向量．(

)(2)|a|与|b|是否相等与a，b方向无关．(

)b＝λa6/47【答案】

(1)×

(2)√

(3)×

(4)×

(5)√

(6)√7/471．给出以下命题：①零向量长度为零，方向是任意；②若a，b都是单位向量，则a＝b；③向量与相等．则全部正确命题序号是(

)A．①

B．③C．①③

D．①②8/47【答案】

A9/472．如图所表示，向量a－b等于(

)A．－4e1－2e2B．－2e1－4e2C．e1－3e2D．3e1－e210/47【答案】

C11/4712/47【答案】

B13/47【答案】

A14/475．已知a与b是两个不共线向量，且向量a＋λb与－(b－3a)共线，则λ＝________．15/4716/47④a＝b充要条件是|a|＝|b|且a∥b；⑤若a∥b，b∥c，则a∥c.其中正确命题序号是(

)A．②③

B．①②C．③④

D．④⑤17/4718/47【答案】

A19/47【方法规律】

向量相关概念5个关键点(1)向量：方向、长度．(2)非零共线向量：方向相同或相反．(3)单位向量：长度是一个单位长度．(4)零向量：方向没有限制，长度是0.(5)相等相量：方向相同且长度相等．20/47跟踪训练1

设a0为单位向量，①若a为平面内某个向量，则a＝|a|a0；②若a与a0平行，则a＝|a|a0；③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0.上述命题中，假命题个数是(

)A．0B．1C．2D．321/47【解析】

向量是现有大小又有方向量，a与|a|a0模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a与a0平行，则a与a0方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a＝－|a|a0，故②③也是假命题．总而言之，假命题个数是3.【答案】

D22/4723/4724/47【答案】

(1)A

(2)b－a－a－b25/4726/4727/4728/47【方法规律】

平面向量线性运算问题常见类型及解题策略(1)向量加法或减法几何意义．向量加法和减法均适合三角形法则．(2)求已知向量和．普通共起点向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾相连向量和用三角形法则．(3)求参数问题能够经过研究向量间关系，经过向量运算将向量表示出来，进行比较求参数值．29/4730/47【答案】

B31/4732/4733/47(2)∵ka＋b和a＋kb共线，∴存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，即ka＋b＝λa＋λkb.∴(k－λ)a＝(λk－1)b.∵a，b是两个不共线非零向量，∴k－λ＝λk－1＝0，∴k2－1＝0.∴k＝±1.34/4735/4736/4737/4738/4739/4740/4741/4742/4743/47【温馨提醒】(1)本题考查了向量线性运算，知识关键点清楚，但解题过程复杂，有一定难度．(2)易错点是找不到问题切入口，想不到利用待定系数法求解．(3)数形结合思想是向量加法、减法运算关键，向量是一个几何量，是有“形”量，所以在处理向量相关问题时，多数习题要结合图形进行分析、判断、求解，这是研究平面向量最主要方法与技巧．如本题易忽略A，M，D三点共线和B，M，C三点共线这个几何特征．(4)方程思想是处理本题关键，要注意体会.44/47►方法与技巧1．向量线性运算要满足三角形法则和平行四边形法则，做题时，要注意三角形法则与平行四边形法则要素．向量加法三角形法则要素是“首尾相接，指向终点”；向量减法三角形法则要素是“起点重合，指向被减向量”；平行四边形法则要素是“起点重合”．45/