高中数学满分秘籍3-高考幂指对三角函数比较大小10类题型解题方法与技巧

高考塞指对三角函数比较大小10类题型

解题方法与技巧

目录

一、十大题型精讲

【题型一】临界值比较：0、I临界

【题型二】临界值比较：选取适当的常数临界值（难点）

【题型三】差比法与商比法

【题型四】利用对数运算分离常数比大小

【题型五】构造函数：lnx/x型函数

【题型六】构造函数综合

【题型七】放缩（难点）

【题型八】函数奇偶性和单调性等综合

【题型九】三角函数值比较大小

【题型十】数值逼近

二、最新模拟试题精练

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一、十大题型精讲

【题型一】临界值比较：0、1临界

【典例分析】

1设a=log54,0=log[4,c=0.5s,则。也c的大小关系是（）

5

A.a<b<cB.b<a<cC.c<b<aD.c<a<b

【分析】

根据对数函数的单调性和对数的运算可得到0<。<1,-1<Z?<O；根据指数函数的单调性得到C>1,

从而可得出答案.

【详解】

g]^0=log5l<log54<log55=l,所以0<°<1；

因为分=1以4=log5T4=4,所以

5

又c=0.542>0.5。=1,所以b<a<c.

故选：B.

【提分秘籍】

基本规律

因为幕指对函数的特殊性，往往比较大小，可以借助于临界值0与1（或者-1）比较大小.

【变式演练】

_!_1

2.已知a=20222。212021,c=log2（）22丞五丁则小b），的大小关系为（）

A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.a>c>b

【分析】

利用指数函数及对数函数的性质即得.

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【详解】

2021

,**a_2022>2022°=1,°=^°§20221<b=log20222021<log20222022=1,

C=l°g2022202]<l°g20221=°，

a>h>c.

故选：A.

3.若。=2"',6=1082（）.3,。=（）.32,1=1080.32,则a,b,c,d的大小关系为（）

A.a<h<c<dB.d<b<c<aC.b<d<c<aD.d<c<b<a

【分析】

根据指数函数、对数函数的性质计算可得；

【详解】

解：20-3>20=1>0<0,32<0.3°=1，即a>l,0<c<l；

11,

因为10821<1082。.3<1082]，所以log22-2<log2（）.3<log22T,即一2<1（出0.3<-1,即

,一111

-2<b<-\,又,所以一l<k）go32<——，即一1<4<—一，即a>c>d>6,

log?0.30-22

故选：C

9

4.a=log。70.8,b=log110.9,c=1.1°的大小关系是

A.c>a>bB.a>b>cC.b>c>aD.c>b>a

【详解】

09

因为0<。=1080.7（）.8<1,/?=loglt0.9<0,c=l.l>1»所以c>a>h,故选A.

【方法点评】（1）比较两个指数幕或对数值大小的方法：①分清是底数相同还是指数（真数）相

同；②利用指数、对数函数的单调性或图像比较大小；③当底数、指数（真数）均不相同时，可

通过中间量过渡处理；（2）多个指数哥或对数值比较大小时，可对它们先进行0』分类，然后在

每一类中比较大小.

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【题型二】临界值比较：选取适当的常数临界值（难点）

【典例分析】

5.已知4=6力=24,。=108，0，则。，b,c的大小关系为（）

A.a>c>bB,a>h>cC.h>a>cD.b>c>a

【分析】

首先求出/、b4,即可判断。>人，再利用作差法判断犷>（g）,即可得到/）>|,再判断。,

即可得解；

【详解】

由。一所以/=9,/=8，可知”>6,又由/一仁1=8--=—>0,有6>3，又

U-73,。—⑵16162

由e?<8,有e<2上=2晨可得log2e<5，即cc^,故有a>〃>c.

故选：B

【提分秘籍】

基本规律

寻找中间变量是属于难点，可以适当的总结积累规律

1.估算要比较大小的两个值所在的大致区间

2.可以对区间使用二分法（或者利用指对转化）寻找合适的中间值

【变式演练】

6.已知a=61n〃，b=3n\n2,c=4"In1.5,则q、b、c大小关系为（）

A.c<b<aB.c<a<bC.b<a<cD.b<c<a

【分析】

根据事函数卜=乂°（&>0）在（0,+8）上是增函数,对数函数^=111》在（0,+8）上是增函数可得答案.

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【详解】

a=61n%=In，/?=3;rln2=In2，",c=4^In1.5=In1.54;r,

因为23k=8">1.5知=5.0625",所以匕=3%ln2>c=4%lnl.5,即6>c,

因为了6=(任『>=.286.29⑸了,

6

/£\/必、6/g\6_6

2凯=27<2T=V=(*)=(^256)，

\\J\J

(V286.29151)6>(V256)6.所以/$>23",所以a=61n万>人=3乃ln2,即a>。，

所以CVb<Q.

故选：A.

7.已知a=log2,b=------—,c=0.7°\则a,b,c的大小关系为()

1呜」°-7

A.a<c<bB.a<b<cC.b<c<aD.c<a<b

【分析】

利用0,g,0.7,1等中间值区分各个数值的大小.

【详解】

log51<Iog52<log5#),•**0<a<g,

。.，

,­'b=bg。：0.7=kg70.1log0.70.1>log070.7,

Z.b>\,

0.71<0.703<0.7%故0.7<c<L

所以avcvA.

故选：A.

8.若a=0.5°6,V=0.6°s,c=k)g93,则a,瓦c的大小关系是()

A.a<h<cB.c<a<b

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C.c<b<aD.h<c<a

【分析】

根据指数函数和毫函数的单调性分别比较0.5°，6,0.5°S和0.5°3,0.6°5的大小，即可比较。力，再根据

c=log93=1,即可得出答案.

【详解】

因为函数y=0.5’是减函数，

所以0.5<0.5°6<0.5°5,

又函数丁=a5在（0,+8）上是增函数，

所以05°5<06°5,

所以0.5°E<0.6°5，即」<。<6,

2

,\1

c=叱93=晨

所以C<Q<b.

故选：B.

【题型三】差比法与商比法

【典例分析】

9.已知实数久权c满足a=63,b=k>g,3+log64,5"+12”=13。，则大权c的关系是（）

A.b>a>cB.c>b>a

C.b>c>aD.c>a>b

【分析】

利用基函数的性质知。<2,利用对数的运算性质及作差法可得〃-2>0,再构造13:13J根据指

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数的性质判断其符号，即可知上C的大小.

【详解】

a=63<83=2；

2log,3-(log,3-1)

。=1暇3+1%4=1幅3+「一b—2=巳：。-』>0,h>2；

1+log,3l+log23

13c=5"+12〃>52+12?=132,c>2；

13°-13&=5"+12"-13"=52•5b-2+122-12b-2-132-13b-2<5212b-2+122-126-2-13213b~2

=12*2(52+12?)-132•133=132(12h-2-13*2)<0,

b>c,

综上，h>c>a.

故选：C

【提分秘籍】

基本规律

1.一般情况下，作差或者做商，可处理底数不一样的的对数比大小

2.作差或者做商的难点在于后续变形处理，注意此处的常见技巧和方法解

【变式演练】

10.已知a=0.824,b=iog53,c=l0gti5,则()

A.a<b<cB.b<c<aC.c<h<aD.a<c<b

【分析】

应用作商法，由对数的运算性质、基本不等式可得2=吗*<期过坐匚可知仇。的大小，再

cIn2541n25

结合指对数的性质可知。、c的大小.

【详解】

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22

blog,3In31n8(In3+ln8)lnV24,nr1,

一=6=——j—<--------5--------=——;-<1,即8<C

22

clog85In541n25In5

Vc<l<a=0.8-04,

综上，b<c<a.

故选：B

11.已知〃=5陛”4/=51％3.6,C=1，则

A.a>b>cB.b>a>cC.a>c>bD.c>a>b

【详解】

因为c=5幅与，又1。823.4>1/0843.6<1,

10Ig3.41g3-lg21g^

log23.4-log,—=----------------------t」

233Ig21g3

所以log23.4>log3y>1>log43.6,

即〃>c>b

12.己知3"=6〃=10,则2,abfa+b的大小关系是（）

A.ab<a+b<2B.ab<2<a+h

C.2<a+b<abD.2/<ab<a+h

【分析】

先将指数式化为对数式，再根据对数函数单调性以及运算法则比较大小，确定选项.

【详解】

a=log310>log39=2,/?=Iog610>1,

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ah>2；

「a+b11Ti-ci

又----=—+—=lg3+lg6=Igl8>1

ahah

a+b>ab,.=a+/?>">2.故选：D.

【题型四】利用对数运算分离常数比大小

【典例分析】

13.已知,"=10g4n7C,〃=10g4ee,2=，则机，〃，〃的大小关系是(其中e为自然对数的底数)

()

A.p<n<mB.m<n<pC.n<m<pD.n<p<m

【分析】

根据已知条件，应用对数函数的单调性、对数的换底公式，可比较“，〃，g的大小关系，再由指

-11

数的性质有〃=e3>5,即知〃?，n,p的大小关系.

【详解】

由题意得，H=10g4笠:g：-=]一]:g：

lg41lg4+lg/r1g4+1­g

]IgeIgelg4

n=loge==——----=1t----------,

4t,lg4e1g4+1ge1g4+1ge

Vlg4>IgTc>Ige>0,则Ig4+lg4>lg4+lg兀>lg4+lge,

...l__>1__lg4)]_lg4,

lg4+lg4lg4+lglg4+lge'

.IK411

..n<m<—,而p=e3=b>一,

2&2

.,.n<m<p.

故选：C.

【提分秘籍】

基本规律

这是对数值所独有的技巧，类似于分式型的分离常数，借助此法可以把较复杂的数据，转化为某

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一单调区间，或者某种具有单调性的形式，以利于比较大小

【变式演练】

14.log23,Iog812,1g15的大小关系为（）

A.Iog23<log812<lgl5B.Iog812<lgl5<log23

C.Iog23>log812>lgl5D.Igl5>log23>log812

【分析】

先把log23,log812,lgl5分别转化为l0g23=l+昌万，l°g812=l+£^,Igl5=l+荻

222

利用>=1Og3X的单调性判断出0<1Og32<l°g,8<1O§310,即可得到结论.

2222

【详解】

log3=lo[2x|）=llog|=l-^（3、31

2g2+2+llog812=log8^x-J=l+log8rl+—

22

=i+ig3=i+―-—

lgl5=lg

2log,10-

因为了T°g厂在（0,+“）上为增函数，所以。<1电2<1受8<1电10,

所以1。823>108812>坨15.

故选：C.

b1

15.已知a>b>0,ab=l,x=—,y=\og2（a+b）,z=a+-,则log,（3x）,log,.（3y）,log=（3z）

的大小关系为（）

A.logv（3x）>logv（3y）>log2（3z）B.logv（3y）>log,（3%）>logz（3z）

C.log、（3x）>logz（3z）>logv（3y）D.log,（3y）>log2（3z）>logA（3x）

【分析】

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先化简log,(3幻=?式3幻=1+—,log,(3y)=1+,log-(3z)=1+,

log3xlog3xlog3ylog3z

再根据x,y,z的大小关系，利用对数函数的单调性即可得到其大小关系.

【详解】

11

因为log、.(3%)=?'(*)=1+-—Jog、.(3y)=1+—-,logz(3z)=l+—^―,

log3xlog3xlog3ylog3z

函数y=丁匚在(o,i)和(i,位)上均单调递减，

10g3X

b1

又。〉b〉O,〃b=l,所以。fnx=—,y=log2(6K+/?),z=tz+—,

所以0<x<g,y>l,z>2,即y>x,z>x,可知log,(3x)最小.

2a

^^-y=log2(cz+ZJ)=log,a+^,z=2«=log22=log24°,所以比较真数

a+J_与4"的大小关系.当。>1时，。+_1<4",所以z>y>l,

aa

即1+7^—>1+1^一•综上Jog、，(3y)>log：(3z)>log、.(3x).

log3ylog3Z

故选：D.

16.已知a=logal5,b=log440,2,=3,则（）

A.d>c>bB.c>d>bC.b>d>cD.a>b>c

【分析】

把c用对数表示，根据式子结构，转化为比较1%5、1。84工1。821的大小，分别与1和1•比较即可.

【详解】

a=log315=log33+log35=1+log35,b=log440=log44+log410=1+log410,

3

由2'=3得，c=log23=1+log2—.

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因为5>3,10>4，T<2,所以Iog35>l>log23,log410>l>log2-,即a>c,b>c.

下面比较46的大小关系:

之3-3、

2

log35<log33=-（其中¥=36x5.2），

23

2

log410>log48=log44=-1,所以log35<log410

所以心a

所以

故选：C.

【点睛】指、对数比较大小：

（1）结构相同的，构造函数，利用函数的单调性比较大小；

（2）结构不同的，寻找“中间桥梁”，通常与0、1比较.

【题型五】构造函数：lnx/x型函数

【典例分析】

4—In41in2

17.设a=——，b」,。=乎，则a,b,。的大小关系为（）

e2e2

A.a<c<bB.c<a<bC.a<b<cD.b<a<c

【分析】

]n丫-

设=」,利用导数判断单调性，利用对数化简a=7—e,h=/（e）,c=/（2）=/（4）,

xI2,

再根据单调性即可比较a，b,。的大小关系.

【详解】

设小卜竽则小卜二^二审，

当x«l,e）,r（x）>0,〃x）单调递增，

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当xe(e,+8),/,(x)<0,/(x)单调递减,

3

2(lne2-In2)

i4-ln4_2_

因为。=;—-)

e.

方=L叱=〃e),c=^="2),所以“〃e)最大,

ee2

2

又因为c=/(2)=/(4),e<1p-<4,

所以〃=/yj>/(4)=c,所以/?>a>c,

故选：B.

【提分秘籍】

基本规律

学习和积累“构造函数比大小”，要先从此处入手，通过这个函数，学习观察，归纳，总结“同构”

规律，还要进一步总结“异构”规律，为后续积累更复杂的“构造函数”能力做训练.

【变式演练】

18.已知a=31n2",b=21n3",c=31n/,则下列选项正确的是

A.a>b>cB.c>a>bC.c>b>aD.h>c>a

【分析】

由旨=牛，;=竽?=皿,则c的大小比较可以转化为牛，竽啊的大小比较.设

6万26万36万723%

/(x)则/(x)=工竺，根据对数的运算性质，导数和函数的单调性，即可比较.

XX

【详解】

a_ln2b_Inic_ln/r

67r267r36兀兀

V6TT>0,

・・・mAc的大小比较可以转化为咚，中，”IHTI的大小比较.

237r

设/(x)=蛆

X

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则，(x)=上坐，

X

当x=e时，f(x)=0,当时，f(x)>0,当OVxVe时，f(x)<0

工/(x)在(e,+8)上，f(x)单调递减，

「eV3Vli<4

.Iri3、InTi、ln4ln2

••—>--->---=---,

3万42

.\h>c>af

故选D.

19.以下四个数中，最大的是()

.八In兀厉In15

A.Inv3B.-C.---

e兀30

【分析】

令〃X)=雪，利用导数得到/(X)在(e,+o。)上递减，求得ine(>ln3(〉lnU>ln/

>lnl5^>lnl5^f即可求解，得到答案・

【详解】

由题意，令〃x)=岑，则/(力=宁，

所以x>e时，7(6<0,.•./(X)在(e,+8)上递减，

又由0<3<乃<15,工/(e)>/(3)>f⑺>/(15),

mil11111巫

'Inee>ln33>ln^3>In乃">In1515>In1530'

E|J->InV3>In15，

en30

故选B.

【方法点评】本题主要考查了函数的单调性的应用，以及对数的运算性质的应用，其中解答中利

用导数得到函数/(x)=史」的单调性，再利用对数的运算性质求解是解答的关键，着重考查了推

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理与运算能力.

20.下列命题为真命题的个数是(

兀

①ln3<风2；②km<③2屈<15;@3eln2<472

【分析】

本题首先可以构造函数/(x)=—,然后通过导数计算出函数/(力=一的单调性以及最值，然

后通过对①②③④四组数字进行适当的变形，通过函数/(x)=—的单调性即可比较出大小.

【详解】

构造函数/(x)=—,导数为r(x)=W竺，

当0<x<e时,/'(x)>0,“X)递增，x>e时,f\x)<0,/(%)递减,

可得当光=e时/(1)取得最大值1.

/〃3<6勿2=2/〃G〈疯”20色’〈㈣，由百<2<e可得/(6)</(2),故①正确；

132

/〃万<[02^<竽，由&<正<6,可得/(&)</(五)，故②错误；

由/(16)</(15)可推导出卷<禁，即华<嗤，M2〈禁，所以呼<舞，可得

/(2)</(15),故③正确；

3e/〃2<40。妈<变<L由的最大值为L故④正确，

82eee

综上所述，故选C.

【方法点评】本题考查如何比较数的大小，当两个数无法直接通过运算进行大小比较时，如果两

个数都可以转化为某个函数上的两个函数值，那么可以构造函数，然后通过函数的单调性来判断

两个数的大小，考查函数思想，是难题.

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【题型六】构造函数综合

【典例分析】

21.已知实数a、b,满足a=logs6+k)g3625,3"+4"=5"，则关于。下列判断正确的是()

A.a</?<2B.b<a<2C.2<a<bD.2<b<a

【分析】

先根据a=logs6+*25判断a接近2,进一步对a进行放缩,a>log56+log3625,进而通过对

数运算性质和基本不等式可以判断a>2；

根据6的结构，构造函数〃x)=(|)Ol”R,得出函数的单调性和零点，进而得到岫

的大小关系，最后再判断6和2的大小关系，最终得到答案.

【详解】

2

a=log,6+log,625>log,6+log,625=log,6+log:5=log,6+log65=log,6+

log56

Wk.康=2

构造函数：/(x)=-l,xeR,易知函数/(x)是R上的减函数，且/(2)=0,由a>2,

可知：/(a)=(|)+(1]-1<0"3"+4"<5",又3"+4"=5"，5"<5°,贝Ua>b.

又5'=3"+4">3?+4?=25=〃>2,/.a>b>2.

故选：D.

【方法点评】对数函数式比较大小通常借助中间量，除了0和1之外，其它的中间量需要根据题

目进行分析，中间会用到指对数的运算性质和放缩法；另外，构造函数利用函数的单调性比较大

小是比较常用的一种方法，需要我们对式子的结构进行仔细分析，平常注意归纳总结.

【提分秘籍】

基本规律

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构造函数，.观察总结“同构”规律，许多时候，三个数比较大小，可能某一个数会被刻意的隐藏了

“同构”规律，所以可以优先从结构最接近的两个数规律.

【变式演练】

22.若2020、-2020V<202L-202「'(eR),则()

A.in(y-x+l)>0B,ln(^-x+l)<0

C.ln|x-^|>0D.ln|x-^|<0

【分析】

将不等式变为2020,-202L<2020y-2021^,根据/(x)=202()'-202广的单调性知》<>,以此

去判断各个选项中真数与1的大小关系，进而得到结果.

【详解】

由2020'-2020'<202-202rJ,可得2020'-2021T<2020、-202『，

令〃x)=2()2O'-202L,则〃力在R上单调递增，且〃x)<2(y),

Qy-x>0,.-.y-x+l>l,.,.ln(^-x+l)>0,则A正确，B错误；

Q|x-y|与1的大小不确定，故CD无法确定.

故选：A.

【方法点评】关键点点睛：本题考查对数式的大小的判断问题，解题关键是能够通过构造函数的

方式，利用函数的单调性得到X，)'的大小关系，考查了转化与化归的数学思想.

23.已知。+2"=2/+3''=2,则引ga与Hg。的大小关系是()

A.b\ga<a\gbB.b\ga-a\gb

C.b\ga>aigbD.不确定

【分析】

令/(x)=x+2*,g(x)=x+3，,结合题意可知0<匕<<1,进而有Y>及>6",再利用对数函数的

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单调性和运算性质即可求解

【详解】

令〃x)=x+2*,g(x)=x+3",

则当x>0时，g(x)>/(x),当％<0时，g(x)<，(x)；

由a+2"=2/+3〃=2,得/(a)=2,g0)=2

考虑到/(a)=g(0)=2得

:.ah>bh>ba

由得1g(叫>lg(b"),

即biga>algb

故选：C

24.已知a=61n%,b=3%ln2,c=4zrlnl.5,则a、b、c大小关系为()

A.c<b<aB.c<a<bC.b<a<cD.h<c<a

【分析】

根据幕函数y=£(a>0)在(0,+。)上是增函数，对数函数y=lnx在(0,+。)上是增函数可得答案.

【详解】

a-6ln/r=In,Z?=3^1n2=ln23/r,c=4^In1.5=In1.54;r,

因为23%=8尸>1.5物=5.0625万,所以b=3"ln2>c=4〃lnl.5,即〃〉c,

(V286.29151)6>(V256)6，所以乃‘>23%，所以a=61n»:>〃=3%ln2,即〃>/?,

所以c<b<。.故选：A.

【题型七】放缩(难点)

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【典例分析】

25.若a=log23,Z?=log34,c=log45,贝］a、b、c的大小关系是（）

A.a<b<cB.b<c<a

C.b<a<cD.c<b<a

【分析】

根据对数函数的性质可得c>\,然后利用对数的运算化为同底并结合对数函数的单调

性，可比较出。的大小关系，分别与中间值;比较，得出。>仇c分别与中间值;

224

比较，得出>>2>c,综合即可选出答案.

4

【详解】

由题意，log23>log22=1,log34>log33=1,log45>log44=1,

即,c>\,

2

c=log45=log2,5=^log25=log25=log2石，

而a=log23>log,石，所以a>c>1,

33

a=log23>log22>/2=；,而b=log34<log33>/3=-,

3

a>—>b>\,

2

又，=log33^=log3,h=log34=log3,

而下>35,则log?舛>10g3疗，即

4

同理，=log44=log4,C=log45=log4V?'

而45>5%贝hog&标>log4痂，即:〉c,

35

综上得：a>->b>->c>\,

24

所以c<h<a.

故选：D.

【方法点评】本题考查对数的大小比较，考查对数函数单调性的应用和对数的运算性质，与中间

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值1,I，1■比较，以及运用公式勺。g'=log“肃=log〃版进行化简是解题的关键，考查学

24n

生的化简运算和推理能力.

【提分秘籍】

基本规律

1、对数，利用单调性，放缩底数，或者放缩真数

2、指数和幕函数结合来放缩。

3、利用均值不等式等不等关系放缩

【变式演练】

26.设a=log2019V^丽=log202o/^，c=2019^，则。也。的大小关系是（）

A.a>b>cB.a>c>b

C.c>a>bD.c>b>a

【分析】

分别求出。、AC的范围，即可得到答案.

【详解】

a=log20l9V2020=llog20l92020>^log20l92019=；,即;<a<1,

b=log2020^019=llog20202019<1log20202020=g,即b<g,

I

c=2O192mo>2019°=l-

所以C>Q>力.

故选：c

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27.设。=log43,b=log52,c=log85,则()

A.a<b<cB.b<c<a

C.h<a<cD.c<a<h

【分析】

12271Q25I

由。=log43="^£>0=10885=^^比较。、C的大小，利用中间量k比较。、c,从而得解.

1g641g642

【详解】

1g27lg25

。=啕3=畸c=log85=log^

1g64lg64

.■.log：>log：,即。>c,

2<V5,5>次，

c=log；>log『=T〃=log；<log；'5=；,

.,.log；>logs,即C>Z?,

，log；>log；>log；,即a>c>匕.

故答案选B.

28.已知口=2百，b=%,c=log,5,[=2后，则下列大小关系正确的为（）

A.c>a>d>bB.a>c>d>hC.a>d>c>hD.a>d>b>c

【分析】

利用指数函数、对数函数的性质进行比较即可.

【详解】

3

d=2^/^=2^<2*=a

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b=-=log22?-log2732>log2V25-log25=c

2

.\a>d>b>c,

故选：D

【题型八】函数奇偶性和单调性等综合

【典例分析】

29.已知/(x)为R上的奇函数，g(x)=A/'(x),若g(x)在区间(-。,0)上单调递减若a=g(21,

b=g(26)，c=g⑴，则a,h,c的大小关系为()

A.a<b<cB.c<b<aC.b<a<cD.b<c<a

【分析】

判断g(x)为偶函数，且在(o,+8)上为增函数，又2">26>1，根据单调性即可判断•

【详解】

<28(%)=犷(%)定义域为我,/(x)为奇函数，

g(-X)=—MX—x)=-x[-/(x)]=xf(x)=g(x),所以g(x)为偶函数，

又g(x)在区间(-8,0)上单调递减，故g(x)在(0,+8)上为增函数，

又2">2代>1，，g(2")>g(2G)>g(l),所以a>A>c,

故选：B.

【提分秘籍】

基本规律

1.对于抽象函数，可以借助中心对称、轴对称、周期等性质来“去除f()外衣''比较大小；

2.有解析式函数，可以通过函数性质或者求导等，寻找函数单调性对称性，以用于比较大小.

【变式演练】

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30.己知函数/(x)=x-JT7,若a=/(3°2)]=/(0.23),c=/(logo23),则。也c的大小关系

是()

A.a>b>cB.b>a>c

C.c>a>hD.c>h>a

【分析】

3

根据指数函数的单调性及对数函数的单调性确定3°-2>0.2>log023,再由函数/(X)的单调性即可

求解.

【详解】

3

因为3>3°-2>3°=1，0<0,2<0.2°=1,log023<log021=0,

所以3°2>023>logo.23

由〃x)=x-知，函数在(-8,3]上单调递增，

所以a=/(3°2)"=/(0.23)>c=/(log(j23)

故选：A

31.已知函数满足/(x)+/(r)=0,且当工口―8,0)时，/(工)+矿(同<0成立，若

a=(2°6)./(2°6),0=(In2)"(In2),c=(log2-I-/Ilog2-I,则a,b,c的大小关系是

()

A.a>b>cB.c>b>aC.a>c>bD.c>a>h

【分析】

构造函数g(x)=x・/(x),利用奇函数的定义得函数g(x)是偶函数，再利用导数研究函数的单调

性，结合In2<l<2°-6<-log2：,再利用单调性比较大小得结论.

O

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【详解】

因为函数“X)满足/(x)+f(—x)=0,BP/(x)=-/(-x),且在R上是连续函数，所以函数“X)

是奇函数，

不妨令g(x)=x"(x)，则g(-X)=T"(-X)=X./(X)=g(X),所以g(x)是偶函数,

则g(x)=/(x)+x-f(x),因为当X€(T»,0)时，/(x)+矿(x)<0成立，

所以g(尤)在xe(y),0)上单调递减，

又因为g(x)在R上是连续函数，且是偶函数，所以g(x)在(0，+8)上单调递增，

则a=g(2°6),b=1g(ln2),c=gflog21j=(gf-log2^'j,

因为20-6〉1，0<ln2<l,

所以In2<l<2°6<—log2：,所以c>a>力，

o

故选：D.

32.已知〃x)=〃2—x),xeR,当x«L+8)时，〃x)为增函数.设。=/(1),b=f(2),

c=/(T)，则。、b、。的大小关系是()

A.a>b>cB.b>a>c

C.c>a>bD.c>b>a

【分析】

分析得出/(-1)=/⑶，利用函数“X)在［1,4W)上的单调性可得出。、b、C的大小关系.

【详解】

/(力=/(2-力，.­../(-1)=/(3).当时，“X)为增函数，

所以,/(3)>/(2)>/(1),因此，c>b>a.

故选：D.

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【题型九】三角函数值比较大小

【典例分析】

317

33.三个数co1>—,sin—,sin^的大小关系是（）

31.73.7.1

A.cos—>sin—>sin—B.cos—>sin—>sin

210424To

c3.1.7、.73.i

C.cos—<sin—<sin—D.sin—>cos—>sin—

21044210

【分析】

诱导公式化余弦为正弦，然后由正弦函数的单调性比较大小.

【详解】

7.(7、

sin—=sin7t——

4I4j

V---«0.07,—=0.1,

22104

.£>7r_Z>£_3>0,

2422

又•.•y=sinx在上是增函数,

317

/.cos—<sin—<sin—.

2104

故选：C.

【提分秘籍】

基本规律

1.三角函数值比大小，主要是利用周期性，把角化到一个单调区间里

2.利用正余弦的有界性和正负值，结合函数性质，比较大小.

【变式演练】

44343

34.已知a=sin—力=-sin—,c=-cos—，则a,己c的大小关系为()

53434

A.a<h<cB.b<c<aC.a<c<bD.b<a<c

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【分析】

根据sin:<sin/=cos3<cos;比较。，c的大小关系，构造函数/(x)=L』-sinx,xe］』］比较

4444Xy

a,b的大小关系，即可得解.

【详解】

1.71.3.71713

—=sm—<sin—<sin—=cos—<cos—,所以,

264444

1-r「3、

构造函数〃x)=­J・sinx,x£-,1I,

,、ii_r-sinx+(x-x2)cosx

fr(x)=——-sinx+------cosx=--------------------------

x7xx

sinx>sin—>—,所以一sinx<——,

422

,3、33

必有0<x-x2〈京，cosx<1,所以(x-f)cosx〈立

所以-sinx+(x-f)cosx<0,

2

口门i1_v—sinx+(x-x)cosx

即广(x)=——sinx+------cosx=-------工--------<0

v7x2xx2

1_r「3、

所以/(1)=------sinx,xe单调递减，

ucI，⑶1.41.3

所以/匕1，产二寸,

,44.3

即sin—<—sin—,

534

所以4<Z?<C

故选：A

【点睛】此题考查比较三角函数值的大小，常利用中间值比较，或构造函数利用函数单调性比较