高中数学人教版高三理科综合复习试卷及解析

1、已知集合4={(羽田及2=耳，B={(x,y)\y=x}t则4地=()

A.{(0,0)}B,{(1,1)}c>{(0,0),(1,1)}D.{0J

2

2、设"smq,/2=晦3,6[j),则()

A.a<c<bB.c<a<bQb<a<cj)c<b<a

3、已知三棱锥A-BCD中，8_1_平面480,口43。中两直角边43=5,BC=3,

该三棱锥的外接球的表面积为50",则三棱锥的体积为（）

A.10B.20C.30D.40

4、

与圆V+V-4y=（）外切，又与x轴相切的圆的圆心轨迹方程是（）

A.y2=8xB.y~=8x（x>°）和y=0

c%2=8y（y>0）D.f=8y（y>0）和x=0（><0）

5、某班级共有50人，把某次数学测试成绩制作成直方图如图，若分数在180100]

内为优秀，则任取两人成绩均为优秀的概率为（）

2416

A.175B.H5c.35D.175

6、一个三位数：个位、十位、百位上的数字依次为“,z,当且仅当y>“，

丁>2时，称这样的数为“凸数”（如243）,现从集合｛5,6,7,8｝中取出三个不同

的数组成一个三位数，则这个三位数是“凸数”的概率为（）

2]_]_J_

A.§B.3c.6D.12

sin2。

7、已知角e的终边在直线>=-3x上，则"cos?®（）

__6_3_3_6_

A.11B.11C.11D.11

8、已知'巡为单位向量，则1'+"用"一可的最大值为()

6+1B.3C.2&D.26

9、中国古代数学专家(九章算术)中有这样一题：今有男子善走，日增等里，九

日走1260里，又第一日，第四日，第七日所走之和为390里，则该男子的第三日

走的里数为()

A.240B.120C.100D.90

10、若函数f(x)的定义域为R,则“f(x)是偶函数”是“f(|x|)=f(x)对

切xGR恒成立”的()

A,充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

22

rx-%V=1(〃>02>0),v_、后

11、已知双曲线〃什的右焦点为尸，直线)—分别交双曲线

左、右两支于RQ两点，若上QF,则双曲线的离心率为()

A.近+1B.6+1C.2D.小

12、已知直线>=2x+l与曲线/(x)=ae'+x相切，其中，e为自然对数的底数，

则函数丁=/(幻的零点所在区间为()

A.(-1,0)B(0,1)c(1,2)D>(0,+co)

A.-6°B.60C.720D.120

14、若复数z=i(3-2i)(i是虚数单位)，贝！)z的模为

,则Ml)

15、若

16、曲线y=x?与y=x所围成的封闭图形的面积为.

17、已知A、B为双曲线E的左、右顶点，点M在E上，2\曲乂为等腰三角形，且顶

角为120。，则E的两条渐近线的夹角为.

18、已知各项均为正数的数列S/的前〃项和为S",若4=1,S.=a,小

(1)求数列｛%｝的通项公式.

⑵若"，="4+1,求数列也，｝的前〃项和9.

19、如图，四棱锥P—MCO中，PA_L平面A88,底面A3CD是边长为2的正

方形，%=2,E为PD中点.

(1)求证：AE^-PC.

(2)求二面角3-AE-C的正弦值.

20、在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手(1至5号)登台演唱，由现场数百名观

众投票选出最受欢迎歌手.各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众

甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名.观众

乙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中随机选3名歌手.

(1)求观众甲选中3号歌手的概率；

(2)X表示3号歌手得到观众甲、乙的票数之和，求P(X=1).

C\-7-+=e=

21、已知椭圆矿匕的两个焦点分别是“卜%,离心率2,

P为椭圆上任意一点，且△耳尸K的面积最大值为百.

(1)求椭圆C的方程.

（2）过焦点6的直线/与圆°：/+>2=1相切于点°,交椭圆G于A8两点，证

明：阐=|班

22、已知函数/（司="-叱+（2-e）x-1,且曲线》=小）在x=l处的切线方

程为y=°.

（1）求a的值；

⑵证明：当%>°时，"力川.

x=-2+cosa

<

23、在平面直角坐标系x0）‘中曲线G的参数方程为1y=2+sina（a为参数）.

以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线q的极坐标方程为

p（sin。一Gcos夕）=1

（1）分别求出曲线G的普通方程和曲线的直角坐标方程；

（2）若分别是曲线a和G上的动点，求iPQ的最小值.

24、已知函数।।.

（1）当时,解不等式/*）<5；

（2）若关于x的不等式§有实数解，求实数。的取值范围.

参考答案

1、【答案】C

2、【答案】B

3、【答案】A

4、【答案】D

5、【答案】B

6、【答案】B

7、【答案】A

8、【答案】C

9、【答案】B

10、【答案】C

11、【答案】B

12、【答案】A

13、【答案】B

14、【答案】713

15、【答案】|

16、【答案】

O

17、【答案】90°.

1•/?=1

18、【答案】（1）c⑵着=（〃T）2"+1

2n..2

试题分析：（1）根据S”。“的关系，可得％,并验证，最后可得结果.

（2）根据（1）的结果，可得"的通项公式，然后利用错位相减法进行求和，可得结果.

【详解】

（1）S”=all+i,

当“N2时，S“M=a“，

Cl[.

两式作差得；a“=an_t-an,即才=2,

又由。1一1一百，"2=S],求得%=1.

.•.当“N2时，«„=2'-1,

验证〃=1时不成立，

1•77=1

••_n2-

(2)bn=nalt+i

：.7；=1.2。+2.2+…-l)2"-2+〃-2"T.

2n-1,!

2Tn=l-2'+2-2+---+(/i-l)2+n-2.

•••两式相减可得

02n

-Tn=2+2+2+---+2"-'-n-2,

\-2"

-Tn=--n-2«=T“=(n-l)2«+l.

【点睛】

本题主要考查S.,。“的关系，以及利用错位相减法求和，属中档题.

19、【答案】(1)见详解；(2)B

3

试题分析：(1)先证明面尸AQ，得到CD_LAE,然后得到9利用线面

垂直，进一步得到线线垂直，可得结果.

(2)利用建立空间坐标系，利用向量的方法，得到平面/WE的一个法向量以及平面W

的一个法向量，然后利用向量的夹角公式，可得结果.

【详解】

(1)证明：

•.•底面ABC。是边长为2的正方形，

Q4=2,E为PO中点，

VAEVPD,CD±AD.

•.•必_L平面ABC。，CD平面ABC。，

CD1PA.

"：PAr>AD=A

.•.CD，平面尸AD，

•.*AE平面PAD，ACDYAE,

:CDCPD=D.

，AE_L平面PCD,

•；PC平面PCD,

/.AE.LPC.

(2)

以A为原点，

A3为8轴，A。为了轴，AP为z轴,

建立如图空间直角坐标系.

则40,0,0),8(2,0,0),C(2,2,0),

.UUli

E(0,l,D,通=(0,1,1),AB=(2,0,0).

UUIU

AC=(2,2,0),

设平面4组的一个法向量加=(x,y,z),

m-AB-2-x=0

则〈一，

th-AE=y+z=0

取y=l,得诉=(0,l,-l).

设平面AEC的一个法向量为〃=(%,x,z).

n•AC=2x+2y=0

则<—,

n•AE=y+z=0

取为=1.得3=(1,—1,1),

一一m-n—2、/6

cos<m-n>————=—7=——7=-=-------,

\m\-\n\V3x>/23

・・・二面角B-AE-C的正弦值

为用常

【点睛】

本题考查了线线垂直的证明以及利用通过建系来求二面角的正弦值，通过建系的方法,

将几何问题代数化，是立体几何中常用的方法，属中档题.

27

20、【答案】（1）-；（2）—

315

2

试题分析：（1）由于观众甲必选1,不选2,则观众甲选中3号歌手的概率为P£

3

（2）X=1表示观众甲、乙只有一人投票给3号歌手，分别求出观众甲投票给3号歌手,

而乙没有投票给3号歌手和观众乙投票给3号歌手,而甲没有投票给3号歌手的投票方

法总数，从而得出答案.

详解：（1）设A表示事件“观众甲选中3号歌手”

观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，则观众甲选3名歌手有穹种选法.

观众甲选中3号歌手有G种选法.

所以观众甲选中3号歌手的概率P=G二

（2）X表示3号歌手得到观众甲、乙的票数之和,

X=1表示观众甲、乙只有一人投票给3号歌手.

观众甲投票给3号歌手,而乙没有投票给3号歌手有种

观众乙投票给3号歌手，而甲没有投票给3号歌手有C\C｝种

7

P（x=l）

15

【点睛】

本题考查古典型概率的求解问题，关键是弄清楚基本事件的总数和某事件所包含的基本

事件数，属于基础题.

r2

21、【答案】（1）—+y2=l；（2）证明见详解.

4'

试题分析：（1）根据离心率以及面积最大值的状态，求得即可;

（2）设出直线方程，联立椭圆方程，利用韦达定理，将问题转化为证明线段A8,耳。中

点重合的问题进行处理.

【详解】

（1）由椭圆性质知，,

a2

—2c-Z?=6,

2

解得a=2/=l

所以椭圆。的方程为三+V=1

4

（2）证明：容易知/的斜率存在，

故/的方程可设为丁=从尤+6）.

因为直线/与圆。：/+>2=1相切，

所以圆心（0,0）到/:y=A（x+G）的距离

明NJ2

d=^^=l，解得％=土注.

2

当％=等时，直线/的方程为y=^（x+G）

由/联立，

X2y

可得3/+4百》+2=0,显然/>0,

设46,%）,5卜2，%），

则玉+々=一述.所以土也=一友

323

宕+巾=1

设。（天,%），由，%..变=_]

x02

不妨取Q-与，又£（一6,0）,

所以=_2V|=X+W

232

由此可得线段AB,耳。中点重合，故|4。=忸用.

同理当心一变时，线段AB,EQ中点也重合，故|4。=忸用

综上|=忸周.

【点睛】

本题考查椭圆方程的求解，以及利用韦达定理证明线段相等的问题；本题的难点在于如

何转化线段相等的条件.

22、【答案】(1)«=1(2)证明见解析

试题分析：(1)根据导数的运算法则以及基本初等函数的导数求出导函数，再根据导数

的几何意义即可求解.

(2)由(1)知/(x)=e*-f+(2-e)x-l,/'(x)=e*-2x+2-e,令函数

9(x)=7'(x),则9'(％)="-2,从而求出/”(x)的单调性，进而求出/(x)的单调区

间，然后即可求出〃0)=/(1)=0,根据单调性即可得出“x)20.

【详解】

解：(1)/(x)=e'-tiv?+(2—e)x—1的导数为/'(x)=e'-2czx+2-e,

曲线y=/(x)在尤=1处的切线方程为y=()，

可得/⑴=e_a+2_e_l,且/[l)=e-2a+2—e=(),

解得。=1;

(2)证明：由(1)知/(%)=，-%2+(2-6卜一1,

f\x)^ex-lx+2-e,令函数夕(6=7(%),则。(x)=e*-2,

当0<x<ln2时，d(x)<0,/'(%)单调递减;

当x>ln2时，”(x)>0,尸(力单调递增，

又/(0)=3-6>0,/(1)=0,0<ln2<l,/'(ln2)<0,

所以，存在飞«0,1),使得ra)=o,

当时，r(x)>o；

当xe(事」)，r(x)<o,

故/(X)在(0,天)上单调递增，在(天』)上单调递减，在(1，田)上单调递增，

又/(0)=/(1)=0，

f^x)-ex-x2-(e-2)x-l>0,

当且仅当X=1时取等号.故当x>0时，/(x)NO.

【点睛】

本题考查了导数的几何意义以及导数在不等式中的应用，综合性比较强，难度较大.

23、【答案】(1)G的普通方程为2>+(>-2>=1,G的直角坐标方程为

右,,zx2\/3-1

73x-y+1=0n(92)------

2

试题分析：(1)根据平方关系，可得曲线G的普通方程，由％=夕以55。,〉=25亩。，可

得曲线的直角坐标方程，即可得结果.

(2)p的坐标用参数表示，然后利用点到直线的距离，可得IPQI,结合辅助角公式,

可得结果.

【详解】

(1)因为曲线G的

x=—2+coscc

参数方程为c.(e为参数).

y=2+sina

所以曲G的

普通方程为(X+2)2+(y-2)*2=l.

又因为曲线G的

极坐标方程为p(sin。-百cos。)=1.

所以曲线G的直角坐标方程为8X-)'+1=0.

(2)设尸(一2+85仇2+5山夕).

因为点尸到直线G的距离为4,所以

6(-2+cos8)-(2+sin。)+1

d-

2

mii,V3COS-sin-2^3-1

则a=------------------------------

2

即

2cos［。+.卜26一1

d

2

所以当cos(e+^)=i时，

TT